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第二讲二次函数的图象

第二讲：二次函数的图像

教学设计者：黄勇教学接受者：

一、考点梳理：

考点一：

1、二次函数的图像：

二次函数的图像是一条关于a

x 2-

=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

2、二次函数图像的画法：五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2

与坐标轴的交点：

当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

考点二、二次函数图象的平移：

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=a (x-h )2+k

y=a (x-h )2

y=ax 2+k

y=ax 2

2y ax = ()2

y a x h =- ()2

y a x h k =-+

的图像。

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：

⑴、c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵、c bx ax y ++=2

沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

考点三、二次函数的解析式：

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般：一般式：)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，

（2）两根（两点式）：当抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴有交点时，即对应二次好方程0

=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212

x x x x a c bx ax --=++，二次函数

c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y

--=。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3）三顶点：顶点式：)0,,()(2

≠+-=a k h a k h x a y 是常数，

二、经典练习：

（一）、选择题

1、(中江县2011年初中毕业生诊断考试) 小李从如图所示的二次函数c bx ax y ++=2

的图象中，观察得出了下面四条信息：（1）b 2－4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）ab ＞0；（4）a －b ＋c ＜0. 你认为其中错误．．的有( )

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 1个

当h ＞0时向左平移h 个单位

当h ＜0时向左平移h 个单当k ＞0时向上平移k 个单位

当k ＜0时向左平移

个单

2、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )

A ．y ＝2(x + 2)2－2

B ．y ＝2(x －2)2 + 2

C ．y ＝2(x －2)2－2

D ．y ＝2(x + 2)2 + 2

3、（2011淮北市第二次月考五校联考）下列函数中，不是二次函数的是（）

A 、y=221x -

B 、y=2（x-1）2+4

C 、y=)4)(1(2

+-x x D 、y=（x-2）2-x 2

4、（2011淮北市第二次月考五校联考）根据下列表格的对应值，判断方程ax 2

+bx+c=0（a ≠0）一

个解x 的取值范围（）

x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c

－0.06

－0.02

0.03

0.09

A 、3

B 、3.23

C 、3.24

D 、3.25

5、（2011淮北市第二次月考五校联考）把抛物线y=x 2

+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平

移2个单位，所得函数的解析式是y=x 2-3x+5，则有（）

A 、b=3，c=7

B 、b=－9，c=－15

C 、b=3，c=3

D 、b=－9，c=21

6、（2011淮北市第二次月考五校联考）生产季节性产

品的企业，当它的产品无利润时，就会停产，现有一生产季节性产品的企业，其中一年中获得的利润y 与月份n 之间的函数关系式为y=－n 2+14n-24，则该企业一年中停产的月份是（）

A 、1月，2月，3月

B 、2月，3月，4月

C 、1月，2月，12月

D 、1月，11月，12月

7、（2011淮北市第二次月考五校联考）函数图象y=ax 2

（a －3）x+1与x 轴只有一个交点则a 的值为（）

A 、0，1

B 、0，9

C 、1，9

D 、0，1，9

8. （2011年浙江省杭州市高桥初中中考数学模拟试卷）对于每个非零自然数n ，抛物线

-3 -2 -1

0 1

2 3 4 5 6

4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -5

（第10题） D

B (4,4)

A (1,4)y

–1 3

O x

第1题

1 2211(1)

(1)

n n n n n y x x +++=-

与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则

1122201120

A B A B A B +++ 的值是（） A ．20112010 B ．20102011 C ．20122011 D ．20112012

9．（2011年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题）抛物线2

21y x x =-+的顶点坐标是（） A ．(1，0)； B ．(– 1，0) ； C ．(–2 ，1) ； D ．(2，–1)．

10．（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图，点A ，B 的坐标分别为（1,4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2

)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( ) A ．－3 B ．1 C ．5 D ．8

11、(2011山西阳泉盂县月考)二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图像经过点（－1，2），且与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中－2＜x 1＜－1,0＜x 2＜1有下列结论：①abc ＞0,②4a －2b+c ＜0,③2a －b ＜0,④b 2+8a ＞4ac 其中正确的结论有（）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

12. （2011年江苏盐都中考模拟）如图，已知抛物线y=ax 2

+bx+c(a ＞0)的对称轴是过点（1,0）且平行于y 轴的直线，并且经过点P （3，0），则a-b+c 的值为（） A.3 B.-3 C.-1 D.0

（二）、填空题

1、（2011重庆市纂江县赶水镇）在正方形的网格中，抛物线y 1=x 2+bx+c 与直线y 2=kx+m 的图象如图所示，请你观察图象并回答：当－1”或“<”或“=”号）．

2、（重庆一中初2011级10—11学年度下期3月月考）小颖同学想用“描点法”画二次函数

2(0)y ax bx c a =++≠的图象，取自变量x 的5个值，分别计算出对应的y 值，如下表：

1、 x

2、 …

3、 2-

4、 1-

5、 0

6、 1

7、 2

8、 …

9、 y 10、

…11、 1

1 12、 2

13、－

14、

2 15、

5 16、

…

由于粗心，小颖算错了其中的一个y 值，请你指出这个算错的y 值所对应的x= ______．

3、（2011年北京四中四模）抛物线342

-=x y 的顶点坐标是_____. 答案：（0，－3）

4、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)抛物线362

+-=x x y 的顶点坐标是________. 5、（2011北京四中模拟6）把抛物线2x y -=向上平移2个单位，那么所得抛物线与x 轴的两个交点之间的距离是 .

6、（2011淮北市第二次月考五校联考）抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）上两点，当x 取-1与3时，y

值相同，抛物线的对称轴是__________.

7．（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期初三数学期中试卷）如图，菱形ABCD 的三个顶

点在二次函数y =ax 2－2ax +3

2 （a ＜0）的图象上，点A 、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与y 轴的交

点，则点D 的坐标为．

8、（2011年北京四中模拟28）抛物线2

21y x =-的顶点坐标是．

（三）、解答题

第7题图

A C

x y O

1、（衢山初中2011年中考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(02)(32)(23)，，，，，．

（1）请在图中画出ABC △向下平移3个单位的像A B C '''△；

（2）若一个二次函数的图象经过（1）中A B C '''△的三个顶点，求此二次函数的关系式．

2、(中江县2011年初中毕业生诊断考试)

如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，D 是抛物线的顶点，O 为坐标

原点. A 、B 两点的横坐标分别是方程01242

=--x x

的两根，且cos ∠DAB ＝

2. （1）求抛物线的函数解析式；

（2）作AC ⊥AD ，AC 交抛物线于点C ，求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大？如果存在，请求

出点P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由.

O y A C B

3、（2011年北京四中四模）已知二次函数的图象经过点（－1，－5），（0，－4）和（1，1）.求这个二次函数的解析式.

4、已知二次函数y ax bx c a b a c =++>-=2

040，其中，，它的图象与x 轴只有一个交点，交点为A ，与y 轴交于点B ，且AB=2 . (1)求二次函数解析式；

(2)当b<0时，过A 的直线y=x ＋m 与二次函数的图象交于点C ，在线段BC 上依次取D 、E 两点，若

DE BD EC 222=+，试确定∠DAE 的度数，并简述求解过程。

轴、y 轴的正半轴上。抛物线c bx x y ++-=2

经过点B 、C 。（1）求抛物线的解析式；

（2）点D 、E 分别是AB 、BC 上的动点，且点D 从点A 开始，以1cm/s 的速度沿AB 向点B 移动，同时点E 从点B 开始，以1cm/s 的速度沿BC 向点C 移动。运动t 秒（t ≤2）后，能否在抛物线上找到一点P ，使得四边形BEDP 为平行四边形。如果能，请求出t 值和点P 的坐标；如果不能，请说明理由。

6、已知，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （－1，0）和点B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，

（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC 的面积。

7、丁丁推铅球的出手高度为1.6m ，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动路线是抛物线y =－0.1（x －k ）

+2.5，求铅球的落点与丁丁的距离。

y x

B A

8．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）经过(10)A -，、(30)B ，

两点，抛物线与y 轴交点为C ，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B 、D 重合），过点P 作y 轴的

垂线，垂足为E ，连接BE ．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；

（2）如果P 点的坐标为（x ，y ），△PBE 的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范

围，并求出s 的最大值；

（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 的垂线，垂足为F ，连接EF ，把△PEF 沿直线

EF 折叠，点P 的对应点为P ＇，请直接写出P ＇点坐标，并判断点P ＇是否在该抛物线上． 1-

1- 2- 3- 1 2 3 3 1

C B

A P

2 E x

第8题图

9．（2011年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题）已知二次函数2

y ax bx c =++的图象Q 与x 轴有且只有一个交点P ，与y 轴的交点为B （0，4），且ac ＝b ，（1）求这个二次函数的解析式。

（2）将一次函数y ＝－3x 的图象作适当平移，使它经过点P ，记所得的图象为L ，图象L 与Q 的另一个

交点为C ，请在y 轴上找一点D ，使得△CDP 的周长最短。

10．（2011年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题）已知：抛物线2y ax bx c =++经过点()0,0O ，()7,4A ，且对称轴l 与x 轴交于点()5,0B . （1）求抛物线的表达式；

（2）如图，点E 、F 分别是y 轴、对称轴l 上的点，且四边形EOBF 是矩形，点55,2C ??

???

是BF 上一点，

将BOC ?沿着直线OC 翻折，B 点与线段EF 上的D 点重合，求D 点的坐标；

（3）在（2）的条件下，点G 是对称轴l 上的点，直线DG 交CO 于点H ，:1:4DOH DHC S S ??=，求G 点坐标.

11．（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图1，已知抛物线经过坐

标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一

动点P 也以相同的速度．．．．．

从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当t=2

时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

B C

F x

(第3题图)

_ M

A _ B

O _x

y 第1题图

12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线4-2-2

x x y =与直线x y =交于点A 、B ，M 是抛物线上一个动点，连接OM 。

（1）当M 为抛物线的顶点时，求△OMB 的面积；

（2）当点M 在抛物线上，△OMB 的面积为10时，求点M 的坐标；（3）当点M 在直线AB 的下方且在抛物线对称轴的右侧，M

运动到何处时，△OMB 的面积最大；

答案：

图2

A D E M

· 图1

O (A )

E M

13、（2011年北京四中中考模拟20）(本题14分)已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ； (1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；

(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由。

三、体验中考

（一）、选择题

1、（2011年北京四中中考模拟20）把抛物线2

x y =向右平移2个单位得到的抛物线是( ) A 、2x y 2

+= B 、2x y 2

-= C 、2

)2x (y += D 、2

)2x (y -= 2、（北京四中模拟）已知抛物线2

1432

y x x =-++，则该抛物线的顶点坐标为（） A 、（1，1）

B 、（4，11）

C 、（4，－5）

D 、（－4，11）

3、（北京四中模拟）二次函数

2(3)y ax ax a =+--的图象如图所示，则（）

y x O

B C

T y

x O B

C A T

A 、0a <

B 、3a <

C 、0a >

D 、03a <<

4、已知二次函数)0(2

>++=a c bx ax y 经过点M （-1,2）和点N （1，-2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 则……( ▲ )

①2-=b ； ②该二次函数图像与y 轴交与负半轴

③ 存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上 ④若2

,1OC OB OA a =?=则以上说法正确的有：

A ．①②③④

B ．②③④

C ．①②④

D ．①②③

5 、已知二次函数y = 2

y ax bx c =++的图像如图所示，令M=︱4a-2b+c ︱+︱a+b+c ︱-︱2a+b ︱+︱2a-b ︱，则以下结论正确的是……………( )

A.M ＜0

B.M ＞0

C.M=0

D.M 的符号不能确定

6 二次函数y=-2(x-1)2+3的图象如何移动就得到y=-2x 2的图象（）

A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。

B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。

C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。

D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。

7.（2011.河北廊坊安次区一模）抛物线()2

0y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该

抛物线的顶点坐标是 A ．（0，－2）

B ．19,24??-

??? C ．19,24??- ??? D ．19,24??-- ???

8. (2011湖北省天门市一模) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9．（2011年浙江仙居）向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y=ax 2

+bx+c

（a ≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（） A ．第8秒 B ．第10秒 C ．第12秒 D ．第15秒 10. （2011年江苏盐城）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(3，－2)，那么该抛物线有 ( )

A. 最小值3

B. 最大值3

C. 最小值－2

最大值－2

11、（2011年浙江杭州五模）已知二次函数2

y ax bx c =++的图像如图，则下列5个代数式：

,,42,2,2ac a b c a b c a b a b ++-++-,其值大于0的个数为（）

A 、3

B 、2

C 、5

D 、4

O 1 x

第1题图

12、（2011年浙江杭州六模）抛物线y=－x 2＋2x －2经过平移得到y=－x 2,平移方法是（） A .向右平移1个单位，再向下平移1个单位 B .向右平移1个单位，再向上平移1个单位 C .向左平移1个单位，再向下平移1个单位 D .向左平移1个单位，再向上平移1个单位 13.已知二次函数y = 2

y ax bx c =++的图像如图所示，令M=︱4a-2b+c ︱+︱a+b+c ︱- ︱2a+b ︱+︱2a-b ︱，则以下结论正确的是………………………………………………( )

A.M ＜0

B.M ＞0

C.M=0

D.M 的符号不能确定

O 1

x = 1-

2- 0

-1

（二）填空题

1、老师给出一个y 关于x 的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y 随x 的增大而减小；丁：当x<2时y>0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数______________.

2、甲、乙两位同学对问题“求函数221x x y +=的最小值”提出各自的想法。甲说：“可以用配方法，把

它配成2)1(2

x y ，所以函数的最小值为-2”。乙说：

“我也用配方法，但我配成2)1(2+-=x x y ，最小值为2”。你认为__________（填写“甲对”、“乙对”、“甲、乙都对”或“甲乙都不对”）的。你还可以用________法等方法来解决．

3、（2011年黄冈中考调研六）抛物线y ＝7x 2

＋28x ＋30的顶点坐标为。

4、已知关于x 的函数y ＝（m －1）x 2＋2x ＋m 图像与坐标轴有且只有2个交点，则m ＝ 4.(河北省中考模拟试卷)抛物线y=（x+1）2-2的顶点坐标是．

（三）、解答题

14、（2011年北京四中中考模拟18）已知二次函数bx ax y +=2

的图象经过

点（2，0）、（－1，6）。（1）求二次函数的解析式；（2）画出它的图象；

（3）写出它的对称轴和顶点坐标。

15、已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）和B （3，0）两点，且与y 轴交于点C （0，3）。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴方程和顶点M 坐标；（3）求四边形ABMC 的面积。图5

16、已知：二次函数2

(0)y ax bx c a =++>的图象与X 轴交于A （1，0）、B （5，0），抛物线的顶点为P ，且PB=25，

求：（1）二次函数的解析式。

（2）求出这个二次函数的图象；

（3）根据图象回答：当x 取什么值时，y 的值不小于0。

17、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是边长为8的正方形，OA=2，

求：（1）写出A 、B 、C 、D 各点的坐标；

（2）若正方形ABCD 的两条对角线相交于点P ，请求出经过O 、P 、B 三点的抛物线垢解析式；（3）在（2）中的抛物线上，是否存在一点Q ，使△QAB 的面积为16，如果存在，请求出Q 点的坐

标；如果不存在，请说明理由。

18、（北京四中模拟）

如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32

-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．（I ）求抛物线的解析式；

（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；（III ）直线13

=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ， βαβ-=∠求,CBE 的值．

19、在△ABC 中，∠AOB=90°，OA=OB=10，分别以边OA 、OB 所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点P 自点A 出发沿线段AB 匀速运动至点B 停止。同时点D 自原点O 出发沿x 轴正方向匀速运动。在点P 、D 运动的过程中，始终满足PO=PD ，过点O 、D 向AB 做垂线，垂足分别为点C 、E,设OD=x (1) AP=(用含x 的代数式表示)

（2）在点P 、D 运动的过程中，线段PC 与BE 是否相等？若相等，请给予证明，若不相等，说明理由。（3）设以点P 、O 、D 、E 为顶点的四边形面积为y ，请直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。（原创）

20、（2011杭州模拟26）已知：二次函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

－10x ＋16＝0的两个根，且A 点坐标为（－6，0）．（1）求此二次函数的表达式；

（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作 EF∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．

21. （2011年兴华公学九下第一次月考）如图，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的直线

。轴交于点与E x m x y +-

(1)求点E 的坐标；

(2)求过 A 、O 、E 三点的抛物线解析式；

(3)若点P 是（2）中求出的抛物线AE 段上一动点（不与A 、E 重合），设四边形OAPE 的面积为S ，求S 的最大值。

22、（2011年浙江杭州五模）如图，设抛物线2113

424

y x x =

--交x 轴于A B ，两点，顶点为D ．以BA 为直径作半圆，圆心为M ，半圆交y 轴负半轴于C ．（1）求抛物线的对称轴；

（2）将ACB △绕圆心M 顺时针旋转180

，得到APB △，如图．求点P 的坐标；

（3）有一动点Q 在线段AB 上运动，QCD △的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

二次函数表达式、图象、性质及计算(讲义)

二次函数表达式、图象、性质及计算（讲义）一、知识点睛 1．一般地，形如__________________（_______________）的函数叫做x 的二次函数． 2．表达式、图象及性质： ①由一般式通过______________可推导出顶点式．顶点式：________________（其中h =______，k =_________）． ②二次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________． ③当a_______时，函数有最_____值，是____________；当a_______时，函数有最_____值，是____________． ④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a_____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______． ⑤a ，b ，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当_____时，开口向____． c 是抛物线与_______交点的______． b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3．二次函数图象平移： ①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______． ②图象平移口诀：________________、________________．平移口诀主要针对二次函数_________________．二、精讲精练 1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号） ①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③21 32 y x =-+； ④2 22y x =+；⑤2y x =-；⑥231252 y x x =-+； ⑦215s t t =++；⑧2 20x y -+=． 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数，则a =（） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式（） A ．2 (3)5y x =-- B ．2 (3)5y x =+- C ．2 2(3)5y x =-+ D ．2 2(3)5y x =--

二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质教学目标 1、知道二次函数的意义； 2、会用描点法画出二次函数的图象； 3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式； 4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值； 5、会根据已知条件求出二次函数的解析式. 知识讲解 1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2(a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。 2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，当 a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。例题讲解

例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式： ⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1) ⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0) ⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0) ⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2

巩固练习： 1．二次函数y=2x 2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______． 2．将函数y=－2x 2 +8x －7，写成y=a （x －h ）2 +k 的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______． 3．已知抛物线y=x 2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．?满足y<0的x 的取值范围是________，将抛物线y=x 2－6x+5向________平移______?个单位，可得到抛物线y=x 2 －6x+9． 4．老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．丙：函数的图像与坐标轴．．．只有两个交点．已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________． 5．不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是． 6．如图，如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，? 与y 轴交于C 点，且OB=OC= 12 OA ，那么b= _______________． 7．以下画抛物线y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的步骤，顺序正确的是（） ①利用函数的对称性列表；②确定抛物线的开口方向；③描点画图；?④将y=ax 2+bx+c 配方成y=a （x －h ）2+k 的形式 A ．③②①④ B ．④②①③ C ．②④①③ D ．③②④① 8．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有（） A ．b=3，c=7 B ．b=－9，c=－15 C ．b=3，c=3 D ．b=－9，c=21 9．抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图2，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a> 12 ；④b<1．其中正确的结论是（） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 10．满足a<0，b>0，c=0的函数y=ax 2 +bx+c 的图象是图中的（）

二次函数与实际问题(面积最值问题)教学设计解读

[教学设计 ] 二次数学的实际运用 ——图形面积的最值问题【知识与技能】 :通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题, 培养其整体性思想。【过程与方法】 :能通过设置的三个问题, 概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法, 并学会用数学问题的结论,分析是否是实际问题的解,掌握类比的数学思想方法。【情感态度与价值观】 :体会函数建模思想的同时, 体会数学与现实生活的紧密联系, 培养学生认真观察, 不断反思,主动纠错的能力和乐于思考,认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。【重点】 :如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题【难点】 :如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解【教学过程】【活动 1】 :导入引言: 二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类 (1利润最大问题; (2几何图形中的最值问题:面积的最值,用料的最佳方案等,本节课,我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。【活动 2】 :师生互动,合作学习我们来看一道简单的例题

例 1:李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园 ABCD ,用篱笆围成的另外三边总长为 24米,则矩形的长宽分别为多少时,围成的矩形面积最大? 师(让学生思考 :题目中已知量是什么? 未知量是什么?如何理解“矩形面积最大”问题?是什么影响了矩形面积的变化呢?我们一起来看下面的动画演示(通过动画演示,让学生感受量的变化师:在演示中你们看到了什么?想到了什么?你能列出函数解析式吗? 学生解决:若设矩形一边长为 X ,当 X 在变长时,另一边变短,当 X 变短时,另一边变长,则面积 S 也随之发生了变化;设宽 AB 为 X 米,则长为 24-2X (m 所以面积 S=X(24-2X=-2X2+24X=-2(X-122 +288 师:分析归纳解函数问题的一般步骤是什么? (板书 : 第一步,正确理解题意 , 分析问题中的常量和重量; 第二步,巧设未知数,用未知数表示已知量和未知量,列二次函数解析式表示它们的关系; 第三步,计算,将一般式转化为顶点式,求出数学问题的最值。师:请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解,如何检验呢?(在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误,分析解答是否符合实际问题小结:求解完答案后,我们要善于检查,分析,反思数学问题的解是否是实际问题的解。活动 3:变式训练,巩固应用。

二次函数的性质与图像

第二章二次函数 1.二次函数所描述的关系一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。教学目标 (一)知识与技能 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)过程与方法 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感态度与价值观 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．

关于比较一次函数的函数值与二次函数的函数值大小之我见

关于比较一次函数的函数值与二次函数的函数值大小之我见多力昆·阿布都热西提 2014.6.3

关于比较一次函数的函数值与二次函数的函数值大小之我见多力昆·阿布都热西提在初中数学中，一次函数的图像和二次函数的图像的复杂的和潜在的概念现象大部分的师生分析问题陷入困惑。数学教师对这一点的忽略引起了学生对这个容的探究精神的欠缺。数学没有明确概念，解决问题一定会受阻，如果概念里模糊，问题与学过知识之间的技术处理一定会失败。我认为，一次函数的图像与二次函数的图像之间的函数值的大小问题应该分层次分析。下面，我来分析二次函数的图像与一次函数的图像之间存在的模糊问题的看法。 1、在同一个平面直角坐标中，二次函数y 1 = ax2+bx+c和一次函数y 2 =ax+b的函数值的大小问题（1）判断二次函数的图像与一次函数的图像的关系，如果二次函数y 1 = ax2+bx+c的图像与一次函数的图像相交，则函数值相等，即 y 1= y 2 。由上可得：ax2+bx+c=ax+b。整理得：ax2+（b-a）x+c-b=0。检验：Δ=b2—4ac=(b—a)2—4a(c—b) 第一：当Δ>0时，二次函数的图像与一次函数相交于不同的两个点。

设交点的坐标为（x 1，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），在y= ax2+bx+c中，当a>0（x 1< x 2 ）时，x 1 y 1 ，当x> x 2或x< x 1 时，y 2 < y 1 （图1）在y= ax2+bx+c中，当a<0（x 1 < x 2）时，x 1 y 2 。当x> x 2 或x< x 1 时，y 2 > y 1 。（图2）图1 图2 在图1中，在直线x= x 1与直线x= x 2 之间，一次函数的图像在二次函数的上方，即，y 1> y 2 在直线x= x 1 的右边与直线x= x 2 的右边，一次函数的图像在二次函数的下方，即y 1> y 2 。在图2，在直线x= x 2 之间，二次函数的图像在一次函数的图像，即：y 1> y 2 。在直线x= x1的左边与直线x= x2的右边，一次函数的图像在二次函数的图像上方，即y2> y1。第二，当Δ=0时，一次函数的图像与二次函数的图像有一个交点，此时，设交点的坐标为（x 0，y ），在y 1 =ax2+bx+c，当a>0时，在x= x 0的条件下，y 1 > y 2 ，（图3）。在x≠ x 的条件下，y 1 > y 2 ，（图 4）。

数学：二次函数的表达式、图象、性质及计算(二人教版九年级训练考试卷)

学生做题前请先回答以下问题问题1：二次函数的一般式通过_______可推导出顶点式 ______________________．问题2：想一想什么特征下设二次函数解析式为顶点式，如何设？问题3：想一想什么特征下设二次函数解析式为交点式，如何设？问题4：二次函数图象平移： ①二次函数图象平移的本质是__________，关键在坐标； ②图象平移的口诀：__________，__________．平移口诀主要针对____________．二次函数的表达式、图象、性质及计算（二）（人教版）一、单选题(共12道，每道8分) 1.在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 2.抛物线如何平移可得到抛物线( ) A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位 3.要得到二次函数的图象，需将的图象( ) A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位 4.抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b，c的值分别为( )

A. B. C. D. 5.若把函数的图象记作，把函数的图象记作，则可以由______平移得到．( ) A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位 6.如图，把抛物线沿直线向上平移个单位后，其顶点在直线上的点A 处，则平移后的抛物线解析式为( ) A. B. C. D. 7.已知抛物线C：，将抛物线C平移到．若两条抛物线C，关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是( ) A.将抛物线C向右平移个单位 B.将抛物线C向右平移3个单位 C.将抛物线C向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位 8.把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，则b的值为( )

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：

2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．六、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

高中数学《二次函数的性质与图象》教案

§2.2.2 二次函数的性质与图象（教案）一、教学目标 1、知识目标（1）使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法（2）进一步掌握二次函数2(0) =++≠的性质及图象的画法。 y ax bx c a 2、能力目标（1）培养学生的观察分析能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题；（2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。 3、情感目标（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；（2）通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。二、教学重点、难点运用配方法研究二次函数的性质。三、教学方法采用“问题引导——合作探究”的教学方式，通过创设一个个问题情境，引导和激发学生对知识进行思考、探索，从而完成新知识的建构，用学案提高课堂效益，用多媒体辅助教学，以增强直观性。四、教学过程 1、问题引入问题1：二次函数的定义，二次函数的图象是一条抛物线。 2、研究函数2(0) y ax a =≠的性质请同学们拿出预习时所做的8个二次函数图象，对照图象填写下表。函数2 y ax =的性质

目的：由特殊到一般，同时为配方法打下基础。 3、配方法的引入问题2：（1）函数2(1)(0)y a x a =-≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？平移后哪些性质将会发生改变？哪些性质没变？（2）函数2(1)2(0)y a x a =-+≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？将2(1)2y a x =-+展开得2222y ax ax a =-++即二次函数的一般形式了。因此要研究一般形式的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象及性质，我们可想法化为 2(1)y a x k =-+形式，那采用方法是：配方法 4、实例演练例1：（1）研究二次函数21()462 f x x x =++的性质和图象；（2）研究二次函数2()43f x x x =--+的性质和图象先研究第一题（1）配方：21()462 f x x x =++2211(8)6[(4)16]62 2 x x x =++=+-+ 21 (4)22 x =+- 图象开口方向向上，顶点（-4，-2）

2二次函数图象的几何变换

一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+- ； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．知识点拨二次函数图象的几何变换

初三二次函数的图像与性质

龙文教育学科导学教师:学生:年级：日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。课题二次函数的图像与性质学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。学习重点图像的平移；待定系数法求解析式学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导学习内容与过程教学内容：知识回顾 1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴（1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x 1,0）（x 2 ,0）是抛物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系： 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系

二次函数的常规解法：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用或例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。二次函数的概念如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数练习：

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

函数值的大小比较

二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法： 1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。 2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。 3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2 【推理：由x 2-(a b 2- )＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞a b -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2- )＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜a b -，得221x x +＜a b 2-，即x 1离对称轴距离较远.】（2）当抛物线开口向下时（即a ＜0时），离对称轴距离越远，函数值越小，反之越大。当抛物线开口向下与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2，推理同（1） 4、图象法：结合具体图象，利用y 轴“上大下小”的特点比较具体各点的函数值的大小。（第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值） 5、移点法：利用抛物线的对称性将各点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个）教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾）学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的）学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏）热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路）教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论）教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？