§1.3 三角函数的诱导公式(一)
一、基础过关 1. sin 585°的值为
( )
A .-2
2 B.22 C .-
3
2
D.32 2. 若n 为整数,则代数式sin (n π+α)
cos (n π+α)
的化简结果是
( )
A .±tan α
B .-tan α
C .tan α
D .1
2
tan α
3. 若cos(π+α)=-12,3
2
π<α<2π,则sin(2π+α)等于
( )
A.12
B .±32
C.
3
2
D .-32 4. tan(5π+α)=m ,则sin (α-3π)+cos (π-α)
sin (-α)-cos (π+α)
的值为
( )
A.m +1m -1
B.m -1m +1 C .-1
D .1 5. 记cos(-80°)=k ,那么tan 100°等于
( )
A.1-k 2
k
B .-1-k 2
k
C.
k
1-k 2
D .-
k
1-k 2
6. 若sin(π-α)=log 8 1
4
,且α∈????-π2,0,则cos(π+α)的值为
( )
A.5
3
B .-
53
C .±53
D .以上都不对
7.已知cos ????π6+θ=3
3,则cos ????5π6-θ=________. 8.代数式
1+2sin 290°cos 430°
sin 250°+cos 790°
的化简结果是________.
二、能力提升
9. 设f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)+2,其中a 、b 、α、β为非零常数.若f (2 013)=1,则
f (2 014)=________.
10.化简:sin(n π-23π)·cos(n π+4
3
π),n ∈Z .
11.若cos(α-π)=-2
3,求sin (α-2π)+sin (-α-3π)cos (α-3π)cos (π-α)-cos (-π-α)cos (α-4π)的值.
12.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0. 三、探究与拓展
13.在△ABC 中,若sin(2π-A )=-2sin(π-B ),3cos A =-2cos(π-B ),求△ABC 的三
个内角.
答案
1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.-3
3
8.-1 9.3 10.解 当n 为偶数时,n =2k ,k ∈Z .
原式=sin(2k π-23π)·cos(2k π+4
3π)
=sin ????-23π·cos ????43π =(-sin 2
3π)·cos ????π3+π =sin 23π·cos π3=sin π3·cos π3
=
32×12=34
. 当n 为奇数时,n =2k +1,k ∈Z . 原式=sin(2k π+π-23π)·cos(2k π+π+4
3π)
=sin ????π-23π·cos ????π+43π =sin π
3
·cos ????2π+π3 =sin π3×cos π3=32×12=3
4
.
∴sin(n π-23π)·cos(n π+43π)=34,n ∈Z .
11.解 原式=-sin (2π-α)-sin (3π+α)cos (3π-α)
-cos α-(-cos α)cos α
=
sin α-sin αcos α-cos α+cos 2α=sin α(1-cos α)
-cos α(1-cos α)
=-tan α.
∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α =-2
3,
∴cos α=2
3
.
∴α为第一象限角或第四象限角. 当α为第一象限角时,cos α=2
3,
sin α=1-cos 2α=
53
,
∴tan α=sin αcos α=52,∴原式=-5
2.
当α为第四象限角时,cos α=2
3,
sin α=-1-cos 2α=-
53
, ∴tan α=sin αcos α=-52,∴原式=5
2.
综上,原式=±5
2.
12.证明 ∵sin(α+β)=1,
∴α+β=2k π+π
2 (k ∈Z ),
∴α=2k π+π
2-β (k ∈Z ).
tan(2α+β)+tan β
=tan ????2?
???2k π+π2-β+β+tan β =tan(4k π+π-2β+β)+tan β =tan(4k π+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β =-tan β+tan β=0, ∴原式成立.
13.解 由条件得sin A =2sin B ,
3cos A =2cos B ,
平方相加得2cos 2A =1,cos A =±2
2,
又∵A ∈(0,π),∴A =π4或3
4π.
当A =34π时,cos B =-3
2<0,
∴B ∈????π2,π,
∴A ,B 均为钝角,不合题意,舍去. ∴A =π4,cos B =32,∴B =π6,
∴C =712
π.