第1讲合情推理与演绎推理

第1讲合情推理与演绎推理

【2013年高考会这样考】

1．从近年来的新课标高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主．

2．演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题．【复习指导】

本讲复习时，要注意做好以下两点：一要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题．二由于归纳、类比、演绎推理思维方式贯穿于高中数学的整个知识体系，所以复习时要有意识地培养逻辑分析等方面的训练．

基础梳理

1．归纳推理

(1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．

(2)特点：归纳是从特殊到一般的过程．

(3)归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．

2．类比推理

(1)概念：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．

(2)类比推理的一般步骤

①找出两类事物之间的相似性或一致性．

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．

3．演绎推理

(1)概念：根据一般性原理(或逻辑规则)导出特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理．

(2)特征：当前提为真时，结论必然为真．

(3)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．

一条规律

在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．

两个防范

(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格

证明．

(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．

双基自测

1．(人教B 版教材习题改编)数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( )．

A ．28

B ．32

C ．33

D ．27 解析 从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列，所以x ＝20＋12＝32. 答案 B

2．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )．

A ．白色

B ．黑色

C ．白色可能性大

D ．黑色可能性大 解析 由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．

答案 A

3．给出下列三个类比结论：

①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；

②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 解析 ③正确． 答案 B

4．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝????13x

是指数函数(小前提)，所以函数y ＝????13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )．

A ．大前提错误导致结论错

B ．小前提错误导致结论错

C ．推理形式错误导致结论错

D ．大前提和小前提错误导致结论错

解析 “指数函数y ＝a x 是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．

答案 A

5．(2011·山东)设函数f (x )＝x

x ＋2

(x >0)

观察：f 1(x )＝f (x )＝x

x ＋2，

f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x

3x ＋4

，

f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x

7x ＋8，

f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x

15x ＋16

，……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.

解析 根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知f n (x )的分母

中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝x

(2n －1)x ＋2n

.

答案

x

(2n

－1)x ＋2n

.

考向一 归纳推理

【例1】?观察下列等式： 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15，

13＝1，13＋23＝9，

13＋23＋33

＝36，

13＋23＋33＋43＝100，13＋23＋33＋43＋53＝225.

可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)． [审题视点] 第二列的右端分别是12,32,62,102,152，与第一列比较可得．

解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n 项a n 与第n －1项a n －1(n ≥2)的差为：a n －a n －1＝n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3

，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得，

a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ，其中a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ，即a n ＝n (n ＋1)2，∴a 2n ＝14n 2

(n ＋1)2.

答案 1

4

n 2(n ＋1)2

所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化

规律，从而得到一般结论．

【训练1】 已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17＜210，7.5＋12.5＜210，8＋2＋12－2＜210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________．

解析 观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等

式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是：若m ，n ∈R ＋

，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n ＜210.

答案 若m ，n ∈R ＋

，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n ＜210

考向二 类比推理

【例2】?在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则

三角形面积为S

△ABC ＝1

2

(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四

个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．

[审题视点] 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．

解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，

内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝1

3

(S 1

＋S 2＋S 3＋S 4)r .

答案 V 四面体ABCD ＝1

3

(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .

(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧

有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．

【训练2】 已知命题：“若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈N *)，

则a m ＋n ＝b ·n －a ·m

n －m ”．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)为等比数列，且b m ＝a ，b n ＝b (m ＜n ，

m ，n ∈N *

)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝________.

答案 a ·????b a n n －m

考向三 演绎推理

【例3】?数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2

n S n

(n ∈N ＋)．证明：

(1)数列????

??

S n n 是等比数列；

(2)S n ＋1＝4a n .

[审题视点] 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式．

证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2

n S n

，

∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1

＝2·S n n ，(小前提)

故????

??

S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)

(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1

n －1

(n ≥2)，

∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2

n －1

·S n －1

＝4a n (n ≥2)，(小前提)

又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)

(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问

题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．

【训练3】 已知函数f (x )＝ 2x －1

2x ＋1

(x ∈R )．

(1)判定函数f (x )的奇偶性；

(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．

解 (1)对?x ∈R 有－x ∈R ，并且f (－x )＝2－

x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －1

2x ＋1

＝－f (x )，所以f (x )

是奇函数．

(2)法一 f (x )在R 上单调递增，证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，并且x 1＞x 2，

f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－1

2x 2＋1

＝(2x 1－1)(2x 2＋1)－(2x 2－1)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)

＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)

. ∵x 1＞x 2，∴2x 1＞2x 2＞0，

即2x 1－2x 2＞0，又∵2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0.

∴

2(2x 1－2x 2)

(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0.

∴f (x 1)＞f (x 2)．

∴f (x )在R 上为单调递增函数．

法二 f ′(x )＝2x ＋

1ln x

(2x ＋1)2

＞0

∴f (x )在R 上为单调递增函数．

难点突破25——高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略

从近两年新课标高考试题可以看出高考对归纳推理与类比推理的考查主要以填空题的形式出现，难度为中等，常常以不等式、立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考查归纳推理与类比推理．

一、归纳推理 【示例】? (2011·陕西)观察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

照此规律，第五个等式应为________．

二、类比推理

【示例】? 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数

列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，______，T 16

T 12

成等比数列．

小学数学中的合情推理

小学数学中的合情推理 (2009-07-29 16:35:15) 分类：教学 标签： 杂谈 合情推理，是美籍数学家波利亚在30年代提出的概念，它是指“观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正和调控等方法”。波利亚在致力改变美国数学落后状态的工作中，大力倡导合情推理的方法，并获得成功。 在数学学科教学中，我们重视和加强了双基教学，但学生在校所学到的学科知识，随着他们离开学校，多数会逐渐忘掉，甚至有的会忘得“一干二净”。如果说“教育是所有学会的东西都忘却以后，仍然留下来的那些东西”（M?劳厄），学生学习数学获得的不仅仅是知识，除此之外，更为重要的是思想与方法。而在研究探究性学习的今天，我们的教学一直在研究如何组织和组织的形式上，对在发展过程中使用的合情推理等方法没有予以足够的重视，而这些恰恰是人的优秀文化素质的重要组成部分。再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息，不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓。 一、合情推理在数学能力发展中的功能和作用 《数学课程标准（实验稿）》在课程的具体目标中明确提出了“培养和发展学生的合情推理能力”。合情推理，它“是在认知过程中，主体根据自己在日常生活中积累的知识、经验，经过非演绎（或非完全演绎）的思维而得到合乎情理、理想化结论的一种推理方式”。其主要表现在：“它可能是……”（猜测），“做出来看一看”（实验），“由上所述可得……”（归纳），“将人心比自心”（类比），“可以想象”（联想）等。 合理推理与通常所说的论证推理是不相同的。论证推理是可靠的；而合情推理是根据经验、知识、直观与感觉得到的一种可能性结论的推理，它推出的结论不一定都正确，却和论证推理一样在数学和生活中都有广泛的应用。在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，人际交往等都应用合情推理。一些科学发现的思维，也主要是合情推理：量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德“称”出来的；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。事实证明，合情推理的这两种主要推理方式…归纳?和…类比?，不受逻辑规则的约束具有强烈的创造性质，它推动了数学的进步和发展。尽管由类比、归纳得出的结论不一定正确，必须加以论证才能确立，但它在数学教学中突出发展学生创造性思维的

合情推理演绎推理(带答案)

合情推理 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．． 等．式． 为3333332 12345621+++++=。 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1； 可以推测，m －n+p= . 答案：962 3：与不等式有关的推理 例1、观察下列式子： 213122+<，221151,233 ++<22211171, 2344............. +++< 由上可得出一般的结论为： 。 答案： 22211121 1......,23(1)1n n n ++ ++<++ 练习、由 331441551 ,,221331441 +++>>> +++。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。

(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1

高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π，周长r r C ?=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ?=?ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________. 解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。 分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N * ）。 例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。

合情推理与演绎推理的教学案例

2.1合情推理与演绎推理导学案 一、教学目标：通过几个练习题的思考和讨论，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力； 二、教学过程展示： 展示题组一： 1．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添加的条件为．你得到的一对全等三角形是△≌△． 2．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，下面有四个条件，请你从其中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并证明．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF． 课后练习：如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个结论：①AD=CB；②AE=CF；③∠B=∠D；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并写出解答过程． 考查内容：1．从复杂图形中分解出基本的图形，能否利用合情推理能力获得合理的数学猜想。2、从图形中观察猜想，通过合情推理组成命题，然后用演绎推理验证命题的正确

性，从而正确解决问题。3．考查内容同2，课后练习巩固此类题的解决方法，进一步培养其推理能力。

展示题组二： 1、如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连结FG，如果α＝45°，AB＝4√2，AF＝3，求FG的长． 2、图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上. （1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形.（画一个即可）（3分） （2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.（画一个即可）

第八讲 离散最值与逻辑推理问题1

第八讲 离散最值与逻辑推理问题 在数学竞赛中，常会出现在自然数范围内变化的量的最值问题，称之为离散最值问题。解决这类非常规问题一般无统一的方法，对不同的问题要用不同的策略与方法。就具体的问题而言，大致可从极端分析、推理分析、枚举比较和构造估计来着手分析。 一、极端分析 1．一把钥匙只能开一把锁，现有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能打开所有的锁？ 2．一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相等，红球上标有“4”，黄球上标有“5”，绿球上标有“6”。小明从袋中取出8个球，它们的数字和为39，问其中最多可能有多少个球是红球？ 3．红星小学的礼堂共有座位24排，每排有30个座位，全校有650名同学到礼堂开会，那么至少有多少排座位上的学生人数一样多？ 二、推理分析 1．形如 1993 199319931993个n 520，且能被11整除的最小的n 是多少？ 2．ABCD 表示一个四位数，EFG 表示一个三位数，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 代表1至9中的不同的数。已知ABCD ＋EFG ＝1993，问：乘积ABCD ×EFG 的最大值与最小值的差是多少？ 3．命题委员会为5∽10年级准备数学奥林匹克试题，每个年级各7道题，而且都恰好有4道题跟任何其他年级不同。试问，其中最多可以有多少道不同的试题？（指各个年级的不同试题加在一起） 4．把1993分成若干个互不相等的自然数的和，且使得这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？ 5．某城市设立1993个车站，并打算设立若干条公共汽车线路。要求 （1）从任何一站上车，至多换乘一次车就可到达城市的任一车站； （2）每个车站，至多是两条线路的公共站。 问这个城市最多可以开辟多少条公共汽车线路？ 三、枚举比较 1．某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个车站。如果公共汽车从起点开出，除终点站外，每个车站上车的乘客中，恰好各有一位从这站到以后每一站。为了使每位乘客都能有座位，那么这辆公共汽车最少应有多少各座位？ 2．把19分成几个自然数（可以是相同的数）的和，再求出这些数的积，那么最大的乘积是多少？ 3．设a 和b 是100之内不同的两个自然数，那么b a b a -+的最大值是多少？ 四、估计与构造 1．在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这十个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。我们有两个要求：（1）算式等于37；（2）这个算式中所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能的大。 2．设654321,,,,,a a a a a a 表示1到6中6个不同的正整数。试用这六个数字分别组成两个三

合情推理与演绎推理优秀教案

0(1,2,,)i a i n >=2.1合情推理与演绎推理 姓名班级 【学习目标】 （1）结合已学过地数学实例，了解归纳推理、合情推理地含义，通过生活中地实例和已学过地教学地案例，体会演绎推理地重要性；（2）能利用归纳、类比进行简单地推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中地作用.掌握推理地基本方法，并能运用它们进行一些简单推理.【教学重点】能利用归纳、类比、演绎地方法进行简单地推理. 【教学难点】用归纳和类比进行推理，作出猜想；分析证明过程中包含地“三段论”形式. 【教学过程】 问题一：归纳推理 一、创设情境 1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 1000=29+971，, ……猜测：任一不小于6地偶数都等于两个奇质数之和.2.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对 2 0213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4 242165537F =+=地观察，发现其结果都 是素数，于是提出猜想：任何形如12 2+=n F （*∈N n ）地数都是素数.后来瑞士数学家欧拉， 发现5 252142949672976416700417F =+==?不是素数，从而推翻费马猜想.3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学地弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣地现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界地国家着上不同地颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注地问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学地两台不同地计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.4.哥尼斯堡城七桥问题：18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)地普莱格尔河上有7座桥，将河中地两个岛和河岸连结，如图1所示.城中地居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点.这就是七桥问题，一个著名地图论问题.这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里.欧拉以深邃地洞察力很快证明了这样地走法不存在.欧拉是这样解决问题地：既然陆地是桥梁地连接地点，不妨把图中被河隔开地陆地看成A 、B 、C 、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点地线，如图2所示. 图1图2图3 于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形地一笔画问题了.欧拉注意到，每个点如果有进去地 边就必须有出来地边，从而每个点连接地边数必须有偶数个才能完成一笔画.图3地每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次地走法.二、合作探究： 1、归纳推理地概念：由某类事物地部分对象具有某些特征，推出该类事物地全部对象都具有这些特征地推理，或者由个别事实概括出一般结论地推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般地推理.讨论：(i)归纳推理有何作用？ (ii)归纳推理地结果是否正确？ 2. 练习： (1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ （2）已知，考察下列式子： 111()1i a a ?≥；1212 11()()()4 ii a a a a ++≥；123123 111 ()()( )9iii a a a a a a ++++≥. 可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立地类似不等式为. (3). 观察等式：222 1342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样地结论？ 三、例题讲解 例1.已知数列{}n a 地第1项a 1=1，且),3,2,1(11 =+= +n a a a n n n ，试归纳出这个数列地通项公式. 例2:汉诺塔问题 有三根针和套在一根针上地若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大地金属片不能放在较小地金属片上面. 试推测:把n 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 1 2 3

合情推理

合情推理 （上饶市秦峰中学朱校华2014·11·03原创）美国有一位数学家、数学教育家叫波利亚，他撰了一本论著叫《数学与猜想》，在这本书的序言中，其中有这样一段话说得特别好，他说：“作为以后要想把数学作为自己终身职业的人，应该学习演绎推理，因为这是该学科的一大特点，当然他还要学习合情推理，因为这是使得他的研究工作能够得以进行的一种推理形式；如果你不是把数学作为自己终身职业的人，同样也要学习演绎推理，因为学习了演绎推理，你就获得了一种标准，这个标准就可以用来衡量日常生活中，我们碰到的一些事情；更应该要学习合情推理，因为在你的日常生活当中，方方面面都要用到合情推理.”波利亚很辩证地说清了演绎推理和合情推理这两种推理形式，对于一个无论是以后做数学研究的人，还是不做数学研究的人，它的重要性都阐释得很充分.说明合情推理对于我们每个人来说都是很重要的！必须要掌握！ 事实上，推理不光是数学的一种基本思维方式，也是人们学习和生活当中，具备并经常使用的一种思维方式，推理主要包括演绎推理和合情推理。 演绎推理是从已知的事实出发，按照一些已确定的规则，然后进行逻辑的推理、证明和计算的一个过程。换句话说，演绎推理是从一般到特殊的一种思维形式，常常是由普通性的前提推出特殊性的结论的一种推理，主要有三段论、假言推理和选言推理三种样式。在几何的证明当中，实际上都是这样一种推理的形式。下面就三种形式分别举三个例子来悟悟：①正方形一定是长方形，这个图形是正方形，所以它一定是长方形；②如果一个图形是长方形，那么它的四个内角均是直角，这个图形四个内角不是直角，所以它不是长

方形；③一个三角形，或者是锐角三角形，或者是直角三角形，或者是钝角三角形，这个三角形不是锐角三角形和钝角三角形，所以它一定是直角三角形。 来推断，以获得一些可能性结论的一种思维方式。和演绎推理对比不一样的地方在于：合情推理往往是从特殊到一般的一种推理，所以合情推理得到的结论，可能不一定是对的，通常可称之为猜想或推测，是一个可许性结论。但是合情推理在数学整个发展过程当中，包括在学生学习数学和今后的社会实践和生活当中，却是特别重要的。有两个常用思维可用来支持这个合情推理的重要性。第一个就是抽象思维，抽象的过程，是从特殊到一般的过程，很多重要概念的形成，实际上是抽象的过程，这样一个过程对于概念的认识和理解，是非常重要的；第二个就是统计思维，最基本的推理方式是归纳，当然这里面还有其他直觉的、经验的成份，包括特殊化和一般化。事实上，数学概念的形成，定理的得到，是经历了归纳、类比的过程，最后才能形成所得到的一些认知. 在人的成长过程中，不专门从事数学工作，可能很少有机会接触严格的演绎推理，但是合情推理却要经常被使用到。我们日常生活中的许多现象，其实往往都是由合情推理得来的。比如，有一句谚语叫“红云变黑云，必有大雨淋；天色亮一亮，河水涨一丈！”你说怎么用演绎的方法去证明呢，它就是由合情推理产生的，但是它却能够给我们提供生活指导与帮助。因此，平常数学学习要注重大胆地去猜想、大胆地去归纳、大胆地去验证。通过动手动脑感悟到的东西，一定要先写出来；再利用演绎的方法从逻辑上去证明；另外，合情推理和演绎推理能力的培养，许多领域里面也都会有所体现。下面给出两例予以悟之！ 第一例：有关含“绝对值式”计算的系列题： a a ⑴计算＝？，（显然字母a≠0，下同；答案：±1，说明“1个式子，有2个答案”！）

高斯奥数一年级上册含答案第1讲 简单的比较

第一讲简单的比较前续知识点：一年级第一讲；XX模块第X讲 后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲 把画风换一下．

【提示】数一数，比一比！ 警察叔叔抓到了2个小偷．小偷偷到的金币越多，受到的惩罚就越重．这2个小偷中，哪个小偷受的惩罚比较重？ 一一对应是数学中的重要思想，通过找到两个部分中一对一的物体，从而得到两个部分的数量关系． A B 例题1 宙斯神庙被罗马指挥官苏拉破坏到只剩下几根柱子，如图1．图2是雅典人修复后的宙斯神庙．请问修复后柱子的数量和原来一样多吗？ 图1 图2 练习1

【提示】比较图1和图2，把相同的东西用线划一划！ 动物园A和动物园B 都有许多只动物，根据下图，哪个动物园的动物数量比较多？ 动物园A 动物园B 例题2 丁丁和星星整理房间，图1是丁丁整理出来的东西，图2 是星星整理出来的东西，谁整理出来的东西比较多？ 图1 图2 练习2

【提示】左边有的图形右边也有吗？ 蛋蛋买了两块四彩蛋糕，哪块蛋糕比较大呢？ 例题4 2个“”能拼成一个“”．如果都拼成“”，那么哪个图的“”数量比较多？ 图1 图2 A B 例题3 丁丁买了两块七彩巧克力，哪块巧克力比较大呢？ A 练习3

【提示】你能找到一一对应的关系吗？ 4个“ ”能拼成一个“ ，如果全拼成“ ”，那么哪个图的“ ”数量比较多． 一一对应的思想能使复杂的问题变简单，我们比较多个数相加的大小时，不仅可以把两边的数加起来求和进行比较，也可以用一一对应的方法进行比较． 【提示】你能找到相同人数的帐篷吗？ 例题5 赤壁之战中，曹操的军队虽然人数较多，但是输给了人数 较少的刘备．你知道下面两个战营中，哪个是刘备的战营吗？ 9人 8人 7人 6人 4人 5人 3人 3人 1人 2人 5人 2人 4人 9人 8人 战营1 战营2 图1 图2 练习4

合情推理和演绎推理训练

合情推理和演绎推理训练

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推理与证明 ★知识网络★ 第１讲 合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ １.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理． 从结构上说,推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由 已知推出的判断,叫结论. ２、合情推理： 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情 推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: （1）归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由 个别到一般的推理 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理： 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是 由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般 原理；（2)小前提--－所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判 断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别推 理 推 证合情演绎归类直接间接 数学综 分 反

与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题１:观察：715211+<; 5.516.5211+<； 33193211-++<;…. 对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与 抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真 命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一,答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论）进行推理 问题3:定义[ｘ]为不超过ｘ的最大整数，则[-2.１］= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]＝-3 ★热点考点题型探析★ 考点１ 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 ［例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(１）结构的一致性，(２)观察角的“共性” [解析]猜想:23)60(sin sin )60(sin 02202= +++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2 3)cos (sin 2322=+αα＝右边 【名师指引】(1）先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周 期性） ［例2 ] (0９深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组 蜂

合情推理──归纳推理

《合情推理─归纳推理》的评课 朱辉华 师：我们知道，“推理”活动对于人们认知客观世界和改造客观世界而言，具有非常重要的意义。所以我们有必要对“推理”的数学意义进行较深入的学习和加强。虽然，以古希腊为代表的西方数学在“推理”方面具有明显的特点与优势，但中国古代也产生了大量的、擅长“推理”的“专家”。现在请大家观看一段视频，并且在观看的同时思考一个问题：即里面所涉及的主要人物是怎样对面临的问题进行推理的？ 下面的视频是三国演义中有关“草船借箭”的视频，主要演示当晚江中两军对峙的若干场景以及曹操面对“敌军忽至”的应对策略，时间为1分20秒。 师：视频中显示的主人公是谁呀？ 生：曹操！ 师：那“草船借箭”真正的主人公是谁？ 生：诸葛亮！ 师：俗话说的好：三个臭皮匠，顶个诸葛亮，下面我们来分析一下他怎么敢在周瑜面前夸下海口，保证能借到“箭”呢？有什么理由？ 生：因为曹操性格是多疑的，他怀疑有埋伏，…… 老师和学生一起进一步分析，得到： ?????? ?? (1)今夜恰有大雾(2)曹操生性多疑草船借箭必将成功(3)弓弩利于远战(4)北军不擅水战 师：由上可见，诸葛亮显然是一个善于利用推理的“专家”。象这种利用几个已知的判断来确定一个新的判断，这就是我们前面所讲的“推理”。 教师下面介绍了“推理”的概念。并利用如下的“思考1”让学生学习了“推理”与“合情推理”的分类，引出了本节课的主题───归纳推理。 思考1：试根据以下前提进行猜想。 ①由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电 ②由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°。 ③地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征。 ④因为所有人都会死，而苏格拉底是人。 师：我们通过“思考1”的前面两个小题与屏幕上的两种推理（注：这里略去）能不能总结出“归纳推理”的某些特征。 生：很好！我们可以借此得到归纳推理的概念。即由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。这里面哪些是关键词？ 生：部分对象，全部对象，个别事实，一般结论。 师：很不错！事实上归纳推理即为由部分到整体，由个别到一般的推理。这种推理在生活及学习中极为常见。大家能不能分组讨论一下，得到一些例子？ 学生积极参与了讨论，也得到了一些生活以及学科上的例子，如市场的菜涨价问题、用样本去估计总体以及化学中酸与碱反应问题等等。

第六讲 逻辑推理

第六讲逻辑推理 本讲重点学习条件型逻辑推理问题，进一步巩固推理方法，列表法等，另外学习简单真假判断问题。 做题步骤： 1、找线索，分析，记录 2、检验 类型一比较型 （即有比较关系的，如比较体重轻重，年龄大小，名次先后等）记录方法：请＞或＜来帮忙 例请根据下列条件分析四个运动员的年龄顺序 （1）小A比小B年轻 （2）小C比他的两个对手年龄都大 （3）小A比小D年龄大 （4）小B比小C年龄大 分析：请“＞”或“＜” 来帮忙

由（1）小A比小B年轻—— B＞A B＞A＞D （3）小A比小D年龄大——A ＞D 再由（4）小B比小C年龄大—— B＞C B＞C＞A＞D （2）小C比他的两个对手年龄都大 即小B最大，其次是小C，再次是小A，小D最小 类型二“是非”型（是这个，就不是那个） 记录方法：列表法 注：一一对应时一行只有一个√，一列也只有一个√ 例刘玉、马明、王建三个男孩各有一个妹妹分别是小雅、小花、丽丽，六个人在一起打球，举行男女混合双打，事先规定，兄妹二人不许搭伴： 第一盘：刘玉和丽丽对王建和小雅 第二盘：王建和小花对刘玉和马明的妹妹 问：丽丽、小雅和小花各是谁的妹妹？ 分析：关键根据第二盘要看出小花不是马明的妹妹

画出表格（数字表示填表顺序） 类型三真假型 推理方法: 找出矛盾；再假设分析。 怎么找矛盾：两人吵起来了！（一个说“是”，一个说“不是”）完全对立的两个人一定一人说真话，一人说假话 例根据下面这段对话，判断有几个人说谎，有几个人说真话？李：我没有说谎。 张：李确实在说谎。 王：李和张都说谎。 解析：找出矛盾对立的两人，即李和张。他们中一定一个人说真话，一个人说假话。王却说他俩都说谎，那么王说的一定是假话。故本题中有1个人说真话，2个人说假话。

3 第3讲 合情推理与演绎推理

第3讲 合情推理与演绎推理 1．推理 (1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程． (2)分类：推理? ? ???合情推理 演绎推理 2．合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些 特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式： 三段论???? ?①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2 D ．a n ＝3n － 1

第45讲 合情推理与演绎推理

第45讲合情推理与演绎推理 1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理． 3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异． 知识梳理 1．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出一般结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察，分析，比较，联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为 合情推理． 2．演绎推理 (1)从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 热身练习 1．(2015·陕西卷)观察下列等式：

1－12＝12 ， 1－12＋13－14＝13＋14 ， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …… 据此规律，第n 个等式为 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n . 等式左边是一个和式，先观察其通项： 等式的左边的通项为 12n －1－12n ， 前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－1 2n ； 右边的每个式子的第一项为1 n ＋1 ， 共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 n ＋n . 所以第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n . 2 类比得：b 1·b 2·b 3·b 4·b 5＝b 53. 3．如图(1)有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则由图(2)有体积关系：V P －A ′B ′C ′ V P －ABC ＝ P A ′·PB ′·PC ′ P A ·PB ·PC . 平面上的面积可类比到空间上的体积． V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝1 3·S △P A ′B ′·h ′13·S △P AB ·h ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .

第5讲--逻辑推理

第五讲逻辑推理 【教学目标】 1.掌握逻辑推理的解题思路与基本方法； 2.能够解决较复杂的逻辑推理问题。 【学习方法】 逻辑推理问题是一类很少进行计算的数学问题，它主要运用严密的逻辑推理来 解决问题。所谓逻辑推理，就是依据逻辑规律，从已知的结论为出发点，推出新的结论的过程。在解决这类问题时，必须依据事情的逻辑关系进行合情的推理，最后作出正确的判断。逻辑推理题的特点是条件繁杂交错，必须仔细分析，选择突破口，并且借助于图表，步步深入，这样才能使问题得到较快的解决。 【例1】甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。此外：⑴数学博士夸 跳高冠军跳得高；⑵跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；⑶短跑健将请 小画家画贺年卡；⑷数学博士和小画家很要好；⑸乙向大作家借过书；⑹丙 下象棋常赢乙和小画家。你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗？ 【分析】由⑵知，甲不是跳高冠军和大作家；由⑸知，乙不是大作家；由⑹知，丙、乙都不是小画家。由此可得到下表：

因为甲是小画家，所以由⑶、⑷知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家。因为丙是大作家，所以由⑵知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军。 因为乙是跳高冠军，所以由⑴知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表： 所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。 需要注意的是：①第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；②每行每列只能有一个“√”，如果出现了一个“√”，它所在的行和列的其余格中都应画“×”。 [例题2] 小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工 人？谁是农民？谁是教师？ [分析] 由题目条件可以知道：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

合情推理与演绎推理的意义

合情推理与演绎推理的意义 （1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 （2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。 圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。 例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。

[笔试解题指导]演绎推理题型分类及规律总结

演绎推理题型分类及规律总结 （陈远跃/整理） 所谓推理，是指由一个或几个已知的判断推导出另外一个新的判断的思维形式。一切推理都必须由前提和结论两部分组成。一般来说，作为推理依据的已知判断称为前提，所推导出的新的判断则称为结论。推理大体分为直接推理和间接推理。 只有一个前提的推理叫直接推理。例如：有的高三学生是共产党员，所以有的共产党员是高三学生。 一般有两个或两个以上前提的推理就是间接推理。例如：贪赃枉法的人必会受到惩罚，你们一贯贪赃枉法，所以今天你们终于受到法律的制裁和人民的惩罚。 一般说，间接推理又可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理等三种形式。 1、演绎推理及其分类 所谓演绎推理，是指从一般性的前提得出了特殊性的结论的推理。例如：贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的，你们一贯贪赃枉法，所以，你们今天是必定要受到法律的制裁、人民的惩罚的。这里，“贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的”是一般性前提，“你们一贯贪赃枉法”是特殊性前提。根据这两个前提推出”你们今天是必定要受到法律的制裁和人民的惩罚的”这个特殊性的结论。 演绎推理可分为三段论、假言推理和选言推理。

1、三段论 (1)所谓三段论是推理中最普通的一种形式。它由三个简单判断组成，其中两个是前提，一个是结论。例如：不法分子都害怕法律的制裁（大前提）；杀人犯是不法分子（小前提）；所以杀人犯害怕法律的制裁（结论）。 (2)三段论的推理一般有三个特点： ①有三个判断； ②每个判断都有两个概念，整个推理共有三个不同的概念，每个概念都出现两次； ③在前提中都有一个概念起媒介的作用。 在逻辑学中，阐述三段论时，概念和判断都有一定的名称。即，在作结论的判断中的谓项称为大项（P）；作主项的称为小项（S）；在结论中不出现，在前提中起媒介作用的称为中项（M）。一般，包含大项的判断称为大前提，包含小项的判断称为小前提。 (3)我们在运用三段论时，还要遵守三个原则： ①一个三段论必须（也只能）有三个概念，特别是中项必须是同一概念，否则就会产生错误（通常把这种错误说为“偷换概念”）。例如：茅盾著作不是几天可以读完的；《白杨礼赞》是茅盾著作；所以，《白杨礼赞》不是几天可以读完的。 这里，在大前提中的“茅盾著作”指所有茅盾著作构成的总体，而小前提中的“茅盾著作”则是茅盾许多著作中的一种具体的著作，两者含义不同，已经不是三个概念，而是变成了四个概念，致使推理