高三数学导学案
班级 姓名________ 使用时间______年______月______日 编号 27 课 题
平面向量的数量积
编制人
审核人
教 学 互 动 导 案
目标 导学
学 习 目 标
识记
[来
理解
[来源:学,
应用[来源:学*
理解平面向量数量积的概念及其几何意义
√
掌握平面向量数量积的坐标运算,掌握数量积与两个向量的夹角之间
的关系
√
会用坐标表示平面向量的平行与垂直
√
重(难)点 平面向量数量积的灵活应用
一、基础知识,自主学习(见《步步高》)
二、题型分类,深度剖析
题型一 平面向量数量积的基本运算
1.已知a =(x,1),b =(-2,4),若(a +b )⊥b ,则x 等于( ) A .8 B .10 C .11 D .12
2.已知向量a ,b 满足|a |=1,a·b =-1,则a ·(2a -b )等于( ) A .4 B .3 C .2 D .0
3.在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB →·AC →=________.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a·b =x 1x 2+y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义求解.
题型二 平面向量的模
例1 (1)如图,已知在平行四边形ABCD 中,E ,M 分别为DC 的两个三等分点,F ,N 分别为BC 的两个三等分点,且AE →·
AF →=25,AM →·AN →=43,则|AC →|2+|BD →|2等于( ) A .45 B .60 C .90 D .180
(2)(2017·浙江)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,则|a +b |+|a -b |的最小值是________,最大值是________.
跟踪训练1 (1)(2014·浙江)设θ为两个非零向量a ,b 的夹角,已知对任意实数t ,|b +t a |的最小值为1,则( ) A .若θ确定,则|a |唯一确定 B .若θ确定,则|b |唯一确定 C .若|a |确定,则θ唯一确定 D .若|b |确定,则θ唯一确定
(2)已知向量a ,b 满足|a -b |=|a +3b |=2,则|a |的取值范围是________.
题型三 平面向量的夹角
例2 (1)若向量a ,b 满足|a |=4,|b |=1,且(a +8b )⊥a ,则向量a ,b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π
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(2)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是________.
思维升华 求平面向量的夹角的方法
(1)定义法:cos θ=a·b
|a||b |,θ的取值范围为[0,π]. (2)解三角形法:把两向量的夹角放到三角形中.
跟踪训练2 (1)(2011·浙江)若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为1
2,则α与β的夹角θ的取值范围是________.