关于庞加莱猜想的再思考

关于庞加莱猜想的再思考

周秉根

（安徽师范大学国土资源与旅游学院，安徽芜湖，241002）

摘要：庞加莱猜想混淆了三维体与四维球的概念，三维体因有截面不具有拓扑性质，点（0维）、线（一维）和面（二维）及n≥4的有相同伦形的n维紧流形必与S n同胚，唯独三维体庞加莱猜想不成立。

关键词：庞加莱猜想；单连通；同胚；三维体

庞加莱猜想是拓扑学中著名的猜想之一。球面是数学中最简单而重要的紧流形。二维球面S2是单连通的紧曲面，且单连通的紧曲面必和S2同胚。那么n维球面S n（n≥3）的拓扑特征又是什么呢？1904年庞加莱提出如下猜想，单连通的三维紧流形必与S3同胚。高维的广义庞加莱猜想的提法是：n≥4时，与S n 有相同伦形的n维紧流形必与S n同胚。[1]

笔者在《统一相对论》中认识到，物体在n维空间运动的轨迹是点、线、面、体、圆（立体为圆球）、椭圆（立体为椭球）、扁椭圆（立体扁椭球），……扁扁椭圆（扁扁椭球），……线，点。[2]现根据拓扑的性质来看物体沿n维空间运动轨迹的性质。

点，物体不动时为一个点，点放大为圆球，圆球面与圆心同胚，为单连通紧曲面。

线，物体沿一维空间运动时为线。线为一维空间运动的轨迹，理论上线很细，没有截面，线可以无限延长，由于地球是一个球体，所以地球上的线理论上都可以头尾相接，成一个圆圈。动态中物体所有的线（如子弹的流线），因受地球和其它物体的引力，故子弹流线为一曲线，所以地球环境中（包括宇宙）没有无限延长笔直的直线，所以线也是单连通的，圆圈曲线与线同胚，符合拓扑性质。

面，物体沿二维空间运动时为面。面由二维空间长度所决定，但它的面积是由对边相等的四边形所决定，四边形面通过变形可变成圆面，所以二维球面是单连通的紧曲面，且单连通的紧曲面必和S2同胚。故单连通的四边形紧曲面与二维球面是同胚的。

体，物体沿三维空间运动时为体。体包括长方体、正方体、三角形体、圆柱体、圆锥体等，体有截面，不能单连通，形不成单连通的紧曲面。体内的内切圆和体外的外接圆，都增加一维维数，是四维空间而不是三维空间，也就是说三维体形不成三维球面，形成的球面实际上是四维球面。因为体是固定的，这可由三

角形的稳定性所决定。体有截面，截面隔开体面，没有相同的伦形，不能形成单连通紧曲面，不符合拓扑性质。所以说庞加莱猜想对三维体不成立，也就是讲单连通的三维紧流形（三维体形不成单连通的三维紧流形）必与S3同胚是不成立的，换句话说庞加莱猜想在三维空间上是错误的。

圆，物体沿四维空间运动轨迹为一个圆（立体为圆球）。圆球是三维体沿另一维空间旋转而形成的，所以四维球面与单连通的四维紧流形同胚。

椭圆，物体沿五维空间运动轨迹为一椭圆（立体为椭球）。椭球是圆球受另一维空间的作用而形成的，所以五维椭球面与单连通的五维紧流形同胚。

扁椭圆，扁扁椭圆同样道理，即与S n有相同伦形的n维紧流形必与S n同胚。当扁扁……扁椭圆回归到一条线和一个点时的时候，与前述的点、线同理，也具有拓扑性质。

综上所述，从0→∞区间，庞加莱猜想除三维体以外，都是正确的，因为它们都可以变形为圆或球，唯独三维体对庞加莱猜想不成立。因为体有截面形不成单连通紧流形，所谓三维球面实际上是四维球面，三维只有“体面”而无“球面”。根据流体的性质，流体只能在n≥4空间中运动，流体在点、线、面、体中都不能流动，三维体可以约束流体，但不能流动，要流动需要落差，有落差就是四维空间。根据流体的这一性质，可以研究流体在n≥4维空间中的不同运动特性，为流体的开发利用提供理论基础。

参考文献：

[1] 谷超豪主编，数学词典，上海辞书出版社，1993，260；

[2] 周秉根著，统一相对论，亚太国际出版有限公司，1999，1。

作者简介：周秉根，教授，硕士生导师，从事地理、旅游、文化、数论、哲学和相对论研究。联系地址：安徽省芜湖市，安徽师范大学（中校区）宿舍路西21栋一单元702室

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