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湖州市初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编附答案解析

湖州市初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编附答案解析

一、选择题

湖州市初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编附答案解析

1.x

=-的根是.

x=-

【答案】1

【解析】

【分析】

将方程左右两边平方,将方程化为关于x的一元二次方程,求出方程的解得到x的值,将x的值代入原方程检验,即可得到原方程的解.

【详解】

左右两边平方得:2x+3=x2,即x2-2x-3=0,

因式分解得:(x-3)(x+1)=0,

解得:x=3或x=-1,

将x=3代入方程检验,不合题意,

则原方程的解为x=-1.

故答案为x=-1

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2.x

=的解为_____.

【答案】x=1

【解析】

分析:方程两边平方,将无理方程转化为整式方程,求出x的值,经检验即可得到无理方程的解.

详解:两边平方得:-x+2=x2,即(x-1)(x+2)=0,

解得:x=1或x=-2,

经检验x=-2是增根,无理方程的解为x=1,

故答案为x=1

点睛:此题考查了无理方程,利用了转化的思想,解无理方程注意要验根.

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3.如果关于x x

=有实数根2,那么k=________.

-

【答案】1

【解析】

【分析】

把x=2代入方程中进行求解即可得.

【详解】

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2-2k=4,

解得:k=-1,

经检验k=-1符合题意,所以k=-1,

故答案为-1.

【点睛】

本题考查了方程的解,熟练掌握方程解的定义是解题的关键.

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4.方程______.

x=

【答案】1

【解析】

【分析】

两边平方解答即可.

【详解】

原方程可化为:(x-1)2=1-x,

解得:x1=0,x2=1,

经检验,x=0不是原方程的解,

x=1是原方程的解

x=.

故答案为1

【点睛】

此题考查无理方程的解法,关键是把两边平方解答,要注意解答后一定要检验.

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5.0

=的解是_______________

【答案】x=2

【解析】

【分析】

由题意可知3-x=0或2-x=0,再结合二次根式有意义的条件即可求得答案.

【详解】

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=,

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=,

∴x=3或x=2,

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检验:当x=3时,2-x<0x=3舍去,

∴x=2,

故答案为x=2.

【点睛】

本题考查了解无理方程,熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

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6.0

=的根是________________.

【答案】x=2

【解析】

【分析】

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=的左边进行计算,然后两边同时平方可得

x 2-4=0;接下来,移项后利用直接开方法解这个一元二次方程得到方程的根,然后代入原方程中检验即可确定方程的根

【详解】

0=,

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0=,

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0,

240x -=

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x 2=4,

x=±2

当x=-2时

0=的根是x=2

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【点睛】

此题考查无理方程,掌握无理方程的求解方法是关键;

7.0=实数根的个数有___________个。

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【答案】2

【解析】

【分析】

利用移项两边平方转化为一元二次方程求解即可.

【详解】

0=

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=-两边平方,得:2

1(1)x x x -=- ()

2(1)10x x --=

(1)(1)(1)0x x x -+-=

11x ∴=,21x =- 经检验:把11x =,21x =-代入方程,都是原方程的解。

实数根的个数有2个.

故答案为:2

【点睛】

本题考查了无理方程的求解,选择合适的办法把无理方程转化为一元二次方程是解题的关键.

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8.4=y = 换元后,整理得关于y 的整式方程是____________________.

【答案】y2-4y+4=0

【分析】

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y

=,则原方程可化为关于y的一元二次方程即可.【详解】

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解:y

=,

则原方程可化为,

4

4

y

y

+=即y2-4y+4=0,故答案为:y2-4y+4=0.

【点睛】

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本题考查了无理方程,解无理方程最常用的方法是换元法,

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.

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9.2的根是.

【答案】x=5

3

【解析】

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2

=,∴3x﹣1=4,∴x=5

3

,经检验x=

5

3

是原方程组的解,故答案为

x=5

3

考点:无理方程.

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10.方程x=_____.

【答案】x=1

【解析】

【分析】

先把方程两边同时平方转化为有理方程,然后解得有理方程的解,最后要进行检验,本题得以解决.

【详解】

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x=

x2=4﹣3x,

解得,x=1或x=﹣4,

检验:当x=﹣4不是原方程的根,

故原无理方程的解是x=1,

故答案为:x=1

本题考查无理方程,解题的关键是明确无理方程的解法,注意解方程最后要检验.

11.3=的解是______.

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【答案】4x =

【解析】

【分析】

把两边平方,化为整式方程求解,然后检验即可.

【详解】

3=,

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∴2x+1=9,

∴2x=8,

∴x=4,

经检验x=4是原方程的解.

故答案为:x=4.

【点睛】

本题考查了无理方程的解法,解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时,一般步骤是:①移项,使方程左边只保留含有根号的二次根式,其余各项均移到方程的右边;②两边同时平方,得到一个整式方程;③解整式方程;④验根.

12.0=的解是________;

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【答案】4x =

【解析】

【分析】

0=得30x -=或40x -=,解出x 的值并检验即可.

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【详解】

0=

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∴30x -=或40x -=

123,4x x ==

经检验,3x =为原方程的增根,应舍去

所以,原方程的根是4x =.

故答案为:4x =.

【点睛】

本题考查了无理方程,解题的关键是掌握解法,并注意检验.

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13.若关于x 0k =在实数范围内有解,则k 的取值范围是__________.

【答案】k ≥

【解析】

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【分析】 先将方程变形为22460x x k ++-=,再根据一元二次方程根的判别式列出不等式即可解答.

【详解】

0k =可变形为:22460x x k ++-=

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则2164(6)0k ?=--≥,解得:k ≥k ≤

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0k =≥

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∴k ≤

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∴k ≥

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故答案为:k ≥

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【点睛】 本题考查了无理方程的解,解题的关键是对原方程进行变形,转化为一元二次方程.

14.-x 的值相等,那么x=__________.

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【答案】-5

【解析】

【分析】

两边平方得到2

30()x x +=-,求出方程的解,把此方程的解代入原方程检验即可得出答案.

【详解】

x =-,

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两边平方得:230()x x +=-,

即2300x x --=, (6)(5)0x x -+=,

(6)0x -=或(5)0x +=,

解得125,6x x =-= ,

检验:当5x =-5x ==-,

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当6x =6x =≠-,

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所以x =-5,

故答案为:-5.

【点睛】

本题考查无理方程,解一元二次方程.能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键.需注意:因为一个数的算术平方根是非负的,所以一元二次方程的解中可能有不符合

无理方程的解,结果一定要检验.

15.如图,ABC ?中,AB AC =, 点D 在线段BC 的延长线上, 连接AD ,CD=1,BC=12,∠DAB=30°, 则 AC =__________.

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【答案】439

【解析】

【分析】

过点B 作BE ⊥AD 于点E ,AH ⊥BC 于H .设AB=AC=x .根据AE+DE=AD ,分别利用勾股定理求出AE ,DE ,AD ,构建方程即可解决问题.

【详解】

解:过点B 作BE ⊥AD 于点E ,AH ⊥BC 于H .设AB=AC=x .

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在Rt △ABE 中,

∵∠BAE=30°,AB=x ,

∴BE=12AB=12x ,33, ∵AB=AC ,AH ⊥BC ,

∴CH=BH=6,

在Rt △AHB 中,AH 2=x 2-62,

在Rt △DBE 中,22221134BD BE x -=-

, 在Rt △ADH 中,2222267AH DH x +-+

∵AE+DE=AD ,

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∴2x += 整理得:x 4-13×51x-(12×13)2=0,

解得x 2=13×48或13×3(舍去),

∵x >0,

∴,

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经检验:是无理方程的解,

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故答案为.

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【点睛】

本题考查勾股定理,解直角三角形,无理方程等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考填空题中的压轴题.

16.关于x 1k =+无实数根,则k 的取值范围是___________.

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【答案】k <-1

【解析】

【分析】

根据二次根式的非负性即可知,当10+

【详解】

解:若关于x 1k =+无实数根,则10+

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∴k <-1,

故答案为:k <-1

【点睛】

本题考查了无理方程,解题的关键是熟知二次根式的非负性得到当10+

17.如果关于x x =的一个根为3,那么a =_______

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【答案】3

【解析】

【分析】

把3x =代入原方程即可得到答案.

【详解】

解:把3x =3=,

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两边平方得:69a +=,

所以:3a =,经检验:3a =符合题意,

故答案为:3.

【点睛】

本题考查方程的解的含义以及解无理方程,掌握方程的解及解无理方程的方法是关键.

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18.0=的根是__________________. 【答案】x=2 【解析】

【分析】

先根据二次根式有意义的条件求出x 的取值范围,再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可.

【详解】

∵x+1≥0,x-2≥0,

∴x ≥2.

0=,

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∴x+1=0或x-2=0,

∴x 1=-1(舍去),x 2=2.

故答案为:x=2.

【点睛】

本题考查了无理方程的解法,根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范围是本题的易错点.

19.3x m =

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+有一个根是x=3,那么m=__________________. 【答案】2

【解析】

【分析】

3x m =

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+有一个根是x=3,代入后即可求解关于m 的无理方程. 【详解】

3

x m =

+有一个根是x=3,

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1m =+,

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两边平方得:15-3m=1+2m+m2,

解得:m=-7或2,

当m=-7时,1+m=-6<0,不合题意,舍去,

故答案为:2.

【点睛】

本题考查了无理方程,解题的关键是熟练掌握用平方法解无理方程.

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20.20

x=化为有理方程_______

【答案】3x2+1=0

【解析】

【分析】

先移项,然后方程两边平方即可去根号,转化为有理方程.

【详解】

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=

2x

两边平方得:x2-1=4x2,即3x2+1=0.

故答案是:3x2+1=0.

【点睛】

本题考查了无理方程的解法,利用平方法是转化为整式方程的基本方法.