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定积分的几何应用例题与习题
、曲线 的极坐标方程
1 cos ,(0
), 求该曲线在 所对应的点处的切线 的 1
4 L
2
直角坐标方程，并求曲线
、切线 L 与x 轴所围图形的面积。
2、设直线 y ax 与抛物线 y x 2 所围成的面积为 S 1,它们与直线 x
1所围成的
面积为 S 2 ,并且 a 1
(1)试确定 a 的值，使 S 1 S 2达到最小，并求出最小值； （2）求该最小值所对应的平面图形绕
x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
、设 平面上有正方形
D ( x, y) 0 x
1,0 y
1 及直线 L : x y t (t 0)
3
xoy
x
若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下部分的面积 ,试求 S(t )dt (x 0)
4、 求由曲线 x sin ( 0) 与 轴所围图形绕 轴旋转所得旋转体的体积 y e x x x x
V x
5、求由曲线 x a cos 3
t 与直线 y=x 及 y 轴所围成的图形
y asin 3 t ( a
0, 4 t 2 )
绕 x 轴旋转所得立体的全表面积。 ( S=(
11 2
) a 2 )
5
40
6. 曲线 y
e x e x
与直线 x
0, x
t(t
0)及 y 0围成一曲边梯形，该曲边梯
2
形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为
V (t), 侧面积为 S(t)，在 x
t 处的底面积为 F (t )
求 S(t) 的值； 计算极限 S(t )
(1)
(2) lim
V (t) t F (t )
S(t ) 2, lim S(t )
1
V (t ) F (t)
t
7、求由摆线 x= a(t sin t) ,y=
的一拱 (0 t 2 ) 与横轴所围成的平面图形的面积， a(1 cost)
及该平面图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转而成的旋转体的体积。 （1）A 3 a 2 ,
(2)V x 5
2
a 3
, (3)V y 6
3
a 3
8、设平面图形 由 x 2 y 2
2 x 及 y 所确定，求图形 绕直线 x 2 旋转一周所得 A
x A
旋转体的体积。
2
V
2
2
3
设函数
可微，且
f '
( x)
g(x), g '
(x)
f (x), f (0)
0, g( x) 0.
9.
f (x), g( x)
求：
f ( x) 作出函数曲线 y 的图形； (3) 计算由曲线 y F ( x) 及直线
(1)F ( x ;(2)F( x g( x)
x 0, x b(b 0) 和 y 围成的面积 .
1
(1)
F ( x) 1 2 . e 2x
1
(2) 当 x 时， F '' ( x) 曲线上凸；当 时， F '' ( x) 曲线下 凹， 0 0, x 0 0,
所以 (0,0) 为拐点，且 y 为其水平渐近线 .
1 (3)
b b
2
S
0 (1 F (x))dx 0 e 2x
1 d x 2b ln
2 ln(2b 1).
10. 已知曲线 y a x,( a 0)与曲线 y ln x 在点 ( x 0 , y 0 )处有公共切线，求
（）常数 a 及切点 ( x 0 , y 0 ) ； 1 （2）两曲线与 x 轴围成的平面图形的面积；
（3）两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V x
（）
1 , 切点（
2 1
2
1
(3)V x
1 a
e
e ,1) (2) S
e
2
6
2
x
11. 对于指数曲线 y e 2
(1)试在原点与 x( x 0)之间找一点 x (0 x 1),使这点左右两边有阴影
部分的面积相等，并写出 的表达式。
（2）求 lim
?
x 0
x
x
xe 2 2e 2
2
lim
1
x
, 2
x(e
2
1)
x 0
12、抛物线 y ax 2 bx c 通过点 (0,0) ，且当 0 x 1时， y 0, 它和直线 x 1及 y 0所围
的
图形的面积是
4
，问这个图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为最小值时， a ， b 与 c 的
9
值应为多少 ?
a
5
, b
2, c
3
13、过点 P(1,0)作抛物线 y x 2 的切线，该切线与上述抛物线及 x 轴围成一平面图
形
（如图），求此图形绕
x 轴旋转所成旋转体的体积。
V
6
14. 设曲线 y ax 2 (a 0, x 0)与y 1 x 2 交于点 A ，过坐标原点 o 和点 A 的直线与曲线
y ax 2 围成一平面图形，问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积 是多少？
32 5
a 4, V
最
大
15、设曲线方程为 y
e x ( x 0)
1875
(1) 把曲线 y e x ，x 轴， y 轴和直线 x(
0) 所围成平面图形绕 x 轴旋转一周，
得一旋转体，求此旋转体体积
V ( ) ；并求满足 V ( a) 1 lim V ( ) 的 a ；
2
(2)
在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积 . （ 1） a
1
ln 2.
2
1
（ 2）（ 1， e 1 ），最大面积 S
22 e 1 2e 1 .
2
16. 求由曲线 y ln x 直线 x 1,x 3 及曲线上方任一直线围成面积的最小值
（ A min 2 2ln 2 3ln3)
17. 过点（ 1，5）作曲线 ： y x 3 的切线 L, (1) 求 L 的方程；
（ 2）求 与 L 所围平面图形 D 的面积；
（ 3）求图形 D 的 x 0的部分绕 x 轴旋转一周所得立体的体积。
y 3x 2; S
27
; V x 264
4 7
18. 求由 x 2
y 2
2x 与 y x 所围区域绕 x 2旋转一周所得旋转体的体积。
2
2
V
2
3
19. 求由曲线
y
（ x
) 和 轴所围成的平面图形绕直线 x 旋转
sin x 0
x
所生成的旋转体的体积。
解： V= 2 (
x)sin xdx 2
2
b
1
2
已知
满足
x dx
0 b), 求曲线 y 与直线 y bx 所围区域的面积的
20.
a, b
,( a
x ax a
2
最大值与最小值
（此题用多元函数条件极值做， S
2 ，
2
2 ， （ ，） 1）） 最大
2 2
3 S
最小
1 0 6