甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-1同步练习 2.4.1课时(新人教A版选修2-1)

第2章 2.4.1

一、选择题(每小题5分，共20分) 1．抛物线y ＝－14x 2

的准线方程为( )

A ．x ＝1

16

B ．x ＝1

C ．y ＝1

D ．y ＝2

解析： 抛物线的标准方程为x 2

＝－4y ， 准线方程为y ＝1. 答案： C

2．设抛物线y 2

＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8

D ．12

解析： 抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，

点P 到准线的距离为4＋2＝6，故点P 到该抛物线焦点的距离为6. 答案： B

3．抛物线y 2

＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a ? ????

a >p 2，则点M 的横坐标是( )

A ．a ＋p

2

B ．a －p

2

C ．a ＋p

D ．a －p

解析： 设抛物线上点M (x 0，y 0)，如图所示，

过M 作MN ⊥l 于N (l 是抛物线的准线x ＝－p

2

)，连MF .根据抛物线定义，

|MN |＝|MF |＝a ， ∴x 0＋p

2

＝a ，

∴x 0＝a －p

2，所以选B.

答案： B

4．以双曲线x 216－y 2

9＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )

A ．y 2

＝16x B ．y 2

＝－16x C ．y 2＝8x

D ．y 2

＝－8x

解析： 由双曲线方程x 216－y 2

9＝1，

可知其焦点在x 轴上，由a 2

＝16，得a ＝4， ∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)， ∴抛物线的焦点为F (4,0)．

设抛物线的标准方程为y 2

＝2px (p >0)， 则由p

2

＝4，得p ＝8，

故所求抛物线的标准方程为y 2

＝16x .故选A. 答案： A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2

＝4x 的焦点，则实数a ＝________. 解析： 由题意知抛物线的焦点为(1,0) 代入直线方程得a ×1－0＋1＝0，∴a ＝－1. 答案： －1

6．已知点P 在抛物线y 2

＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．

解析：

如图，过点Q 作QA 垂直准线l ，垂足为A ，则QA 与抛物线的交点即为P 点．

易求P ? ????14，－1. 答案： ? ??

??14，－1 三、解答题(每小题10分，共20分)

7．根据下列抛物线的方程，分别求出其焦点坐标和准线方程． (1)y 2

＝－4x ；(2)2y 2

－x ＝0. 解析：

8.在抛物线y ＝4

解析： 设点P (t,4t 2

)，距离为d ， 则d ＝|4t －4t 2

－5|17＝4t 2

－4t ＋517.

当t ＝1

2

时，d 取得最小值，

此时P ? ??

??12，1为所求的点．

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)如图所示，P 为圆M ：(x －3)2

＋y 2

＝1上的动点，Q 为抛物线y 2

＝x 上的动点，试求|PQ |的最小值．

解析： 如右图所示，连结PM ，QM ，QM 交圆M 于R ，设点Q 坐标为(x ，y )，

∵|PQ |＋|PM |≥|QR |＋|RM |， ∴|PQ |≥|QR |，

∴|PQ |min ＝|QR |min ＝|QM |min －1. ∵|QM |＝

x －

2

＋y 2

＝x 2

－5x ＋9 ＝

? ??

??x －522＋114

≥112， ∴当x ＝52时，|PQ |min ＝|QM |min －1＝11

2－1，

即|PQ |的最小值为11

2

－1.