信号与系统作业作业答案
信号与系统作业作业答
案
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-
第二章 作业答案
2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下，试求此系统的零输入响应。
（1）)()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+''
2)0(=-y ，1)0(-='-y
解：
根据微分方程，可知特征方程为：
0)2)(1(0232=++?=++λλλλ
所以，其特征根为： 1,221-=-=λλ 所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e C e C t y t
t zi
又因为 ??
?=-=????-=--='=+=--31
12)0(2)0(2
12121C C C C y C C y 所以，03)(2≥-=--t e e t y t
t zi
（2）)(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+''
1)0()0(=='--y y 。
解：
根据微分方程，可知特征方程为：
0)3)(2(0652=++?=++λλλλ
所以，其特征根为： 3,221-=-=λλ 所以，零输入响应可设为：0)(3221≥+=--t e C e C t y t
t zi
又因为 ???-==???
?=--='=+=--3
4
132)0(1)0(21
2121C C C C y C C y 所以，034)(32≥-=--t e e t y t
t zi
2–2 某LTI 连续系统的微分方程为
)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+''
已知1)0(=-y ，2)0(='-y ，试求：
（1） 系统的零输入响应)(t y zi ；
（2） 输入)()(t t e ε=时，系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。
解：
（1）根据微分方程，可知特征方程为：
0)2)(1(0232=++?=++λλλλ
所以，其特征根为： 1,221-=-=λλ 所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e C e C t y t t zi
又因为 ???=-=???
?=--='=+=--43
22)0(1)0(2
12121C C C C y C C y
所以，034)(2≥-=--t e e t y t
t zi
（2） 可设零状态响应为：0)(221>++=--t p e C e C t y t x t x zs
其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。
因为)()(t t e ε= 所以，p 为常数，根据系统方程可知，23=p 。
于是，零状态响应可设为为：023)(221>++=--t e C e C t y t x t x zs
将上式代入原方程中，比较方程两边的系数，可得到
?????-==
2
2121C C 所以，02322
1
)(2>+-=--t e e t y t t zs
全响应为 )()()(t y t y t y zs zi +=
0)
23221
()34()(22>+-+-=----t e e e e t y t t t t zs
0)
232
5
2()(2>+-=--t e e t y t t zs
2–3 试求下列各LTI 系统的冲激响应和阶跃响应。 （1）)(2)()(3)(4)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 解：
根据 在激励信号为)(t δ的条件下，求解系统的零状态响应可得
()
)(2
1)(3t e e t h t t
ε?+=
-- 因为，单位阶跃响应?-
?=t
d h t g 0)()(ττ
所以，()
?
-?+=--t
d e e t g 032
1)(τττ
0),1(6
1
)1(216
12
16030>-+-=
--=-----
-
t e e e e t t t t ττ
0,6
121326>--=
--t e e t
t
（2）)(2)(2)()(2)(3)("t e t e t e t y t y t y +'+''=+'+ 解：
可先求系统 )()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+ 的冲激励响应)(0t h ，
则，原系统的冲激响应为)(2)(2)()(0'
0"0
t h t h t h t h ++=。 因为)()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+的特征根为：1,221-=-=λλ 所以，可设冲激响应为：)()()(2210t e C e C t h t t ε?+=-- 将)(0t h 代入系统方程，并确定待定系数后，可得：
)()()(20t e e t h t t ε?-=--
因为，)(2)(2)()(0'
0"0
t h t h t h t h ++= 又因为，)()2()(2'0t e e t h t t ε?-=--，)()4()()(2"
t e e t t h t t εδ?--=-- 所以，
[]
)()(2)()2(2)()4()()(222t e e t e e t e e t t h t t t t t t εεεδ?-?+?-?+?--=------
)()2()(2t e e t t t εδ?--=--
因为，单位阶跃响应?-
?=t
d h t g 0)()(ττ
所以，[]?-
?--=--t t t d t e e t t g 02)()(2)()(τεδ
())(
2
12t
e
e t
tε?
-
+
=-
-
2–4 各信号的波形如题2–4图所示，试计算下列卷积，并画出其波形。
（1）)(
)
(
2
1
t
f
t
f*（2）)(
)(
3
1
t
f
t
f*
（3）)(
)
(
2
4
t
f
t
f*（4）)(
)(
3
4
t
f
t
f*
题2–4 图
解：
根据)
(
)
(
)
(
t
t
f
t
t
t
f-
=
-
*δ，可方便地得到此题的卷积结果。
（1）
（2）
）
（3
（4
h和各激励信号)(t e的波图所示，试求此系统对激励信号的零状态响应。
形如题2–5
题2–5图
解：
因为，)(
)
(
)
(t
h
t
e
t
y
zs
*
=
所以，[][])2
(
)
(
)2
(
)
(
)
(-
-
*
-
-
=t
t
t
t
t
y
zs
ε
ε
ε
ε
)2
(
)2
(
)2
(
)(
)(
)2
(
)(
)(-
*
-
+
-
*
-
*
-
-
*
=t
t
t
t
t
t
t
tε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
)4
(
)4
(
)2
(
)2
(2
)(-
-
+
-
-
-
=t
t
t
t
t
tε
ε
ε
2–6 题2–6图所示系统是由几个子系统组合而成的，各子系统的冲激响应分别为
)(
)(
1
t
t
hε
=，)1
(
)(
2
-
=t
t
hδ，)1
(
)(
3
-
=t
t
hε
试求总系统的冲激响应)(t
h并画出其波形。
题2–6图
解：根据系统框图，可得：
[])(
)(
)(
)(
)(
1
3
2
1
t
h
t
h
t
h
t
h
t
h*
*
+
=
[])(
)1
(
)1
(
)(t
t
t
tε
ε
δ
ε*
-
*
-
-
=
[])(
)2
(
)(t
t
tε
ε
ε*
-
-
=
)2
(
)2
(
)(-
?
-
-
=t
t
t
tε
ε
此系统的单位冲激响应的波形为：
2–7 题2–7图所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为
)1()(1-=t t h δ，)3()1()(2---=t t t h εε
试求总系统的冲激响应)(t
h 并画出其波形。
题2–7图
解：根据系统框图，可得：
[])()()()()()(2111t h t h t h t h t t h **++=δ
[][])3()1()1()1()1()(---*-*-+-+=t t t t t t εεδδδδ [][])3()1()2()1()(---*-+-+=t t t t t εεδδδ
[][][])5()3()4()2()3()1(---+---+---=t t t t t t εεεεεε )5()4()2()1(-----+-=t t t t εεεε
此系统的单位冲激响应的波形为：