复数教案

5.1数系的扩充和复数的概念

教学目标：

1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i

2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律

3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用

教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立

导学设计

复习回顾：

你能概括出对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程吗？

______ _________ __________ _________ _________

一、创设情景、提出问题

问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

问题2，就可以解决方程220x -= 在有理数集中无解的问题，怎么解决210x +=在实数集中无解的问题呢？

问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？

二、自主探究、合作学习

1.复数的概念：

⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：

①＿＿＿＿＿＿＿＿＿

②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．

⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．

(4)对于复数a+bi(a,b ∈R),

当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;

当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;

当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;

当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;

2.讨论

⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?

⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?

⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？

3.练一练：

1.下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？

2+7, 0.618, 2i/7 , 0, )3

i

1(-

5i+8, 3-9i2

2、判断下列命题是否正确：

（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数

（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数

（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数

三、提升拓展、归纳总结

例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

解：

归纳总结：

确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：

练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是

a+bi=c+di _______________________

由此容易出：a+bi=0 _______________________

例2：已知i

-

=

2(-

-,其中，x,y∈R，求x与y．

+

y

y

i

x)

3(

)1

四、反馈训练、巩固落实

（1）若x,y 为实数，且i yi x y x 42)(22+=+++，

求x 与y .

（2）若(2x 2-3x-2)+(x 2

-5x+6)i=0，求x 的值.

（2005年湖南卷）复数234z i i i i =+++ 的值是（ ）

A. -1

B. 0

C. 1

D. i

解析： n ∈Z *

i 4n =1 i 4n+1=i

i 4n+2=-1 i 4n+3=-i

作业布置：课本57页A 组1，2题

五、学习感悟

复数教学设计(省优质课)

§5.1 数系的扩充与复数的引入 江西省永新县任弼时中学 文辉 【教学目标】 （1） 了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念，了解复数的代数法表示， 理解虚数单位，理解复数相等的充要条件. （2） 了解复数的几何意义，理解复数模的概念，了解复数与复平面内的点的 对应关系. （3） 体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用，感受人类理 性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。 （4） 通过复数与复平面内的点的对应关系，体会二维空间中数与形之间的内 在联系. 【教学重难点】 重点：引进虚数单位i 的必要性，对i 的规定，复数的有关概念. 难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数的概念的理解. 教学方法：1.启发式教学法. 2.激励---探索---讨论---发现. 教具准备：多媒体，投影仪. 教学过程 Ⅰ.课题导入 ㈠引导学生回顾数的变化发展过程 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N . 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和零)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环小数﹜. 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以﹛实数﹜=﹛小数﹜. ㈡设置问题情境，探究实践 问题①：请类比引进2，就可以解决方程02x 2=-在有理数集中无解的问题，怎么解决方程01x 2=+在实数集中无解的问题？

初中英语名词单复数教案

名词单复数教案 名词可分为可数名词和不可数名词 可数名词：可以用来计数的名词，有单数和复数形式，如：desk-desks, apple-apples等 不可数名词：不可以直接用来计数的名词，没有复数形式，只有单数形式，如：some bread， a little milk等 一、可数名词 1. 可数名词复数的规则变化 1）一般名词变复数在其后面加s,如map→maps (地图) 2）以s，x，sh，ch等结尾的词加es，如bus→buses（公共汽车），watch→watches（手 表）,box→boxes,dish→dishes（盘子） 3）A.以辅音字母＋y结尾的词，变y为i，再加es，如baby→babies（婴儿） B.以元音字母＋y结尾的词，直接加s，如monkey→monkeys（猴），holiday→holidays（假期），storey→storeys（楼层）； 注意：以y结尾的专有名词变复数时，直接加s，如：two Marys, the Henrys 4）以o 结尾的名词变复数时： A. 表示无生命的加s, 如photo→photos(照片)，piano→pianos（钢琴）， r adio→radios（收音机）， zoo→zoos（动物园） B. 表示有生命的加es，如hero→heroes(英雄)，potato→potatoes（土豆），tomato→tomatoes（西 红柿）巧记:英雄爱吃土豆炖西红柿。 特殊：zero→zeros / zeroes。 5）以f或fe结尾的名词变复数时： A. 变f，fe 为v，再加es，如half→halves（一半），knife→knives（刀子），wife→wives（妻 子），life→lives （生命）巧记：小偷(thief)的妻子(wife)用刀子(knife)和树叶(leaf)把狼(wolf)劈成两半(half)。 B. 加s的名词有：belief→beliefs（信念），roof→roofs （屋顶） 特殊：如handkerchief→handkerchiefs / handkerchieves。 Practice: 1. They come from different ______ A. country B. countries C. a country D. countrys 2. How many ______ do you see in the picture? A. tomatos B. tomatoes C. tomato D. the tomato 3. There are some ______ in these _______. A.knifes…pencil-boxes B.knives…pencils-box C.knives…pencil-box D.knives…pencils-boxes 4. _______ are good for our health.

最新数系的扩充和复数的概念教案

§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?

复数教学设计

推理与证明、算法初步、复数 【教材分析】 算法初步是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修3）第一章的内容，推理与证明是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）第二章的内容，复数是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修2-2）第三章的内容。其中合情推理、演绎推理、程序框图、复数的相关概念及计算相对简单，故复习的时候将这三章放在一起。【学情分析】 在目前小班化形势下，学生已经分组并要求进行捆绑评价。知识方面学生已经学习完了高中所有课程，对推理、算法初步、复数掌握较好，在本阶段需重点复习数学归纳法。【教学环境分析】 根据本节内容程序框图比较多的特点，选择多媒体教室环境，程序框图用多媒体展示很大程度上提高课堂效率。 【教学目标】 知识目标：了解合情推理与演绎推理的含义，并能运用它们进行一些简单推理；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环．能力目标：培养类比推理和转化能力思想。 情感目标：体验数学中的美感，体验自主学习的成就感，提高学习探究的兴趣。 【教学重点】复数、程序框图、数学归纳法 【教学难点】数学归纳法 【教学过程】 1、教师布置并批改导学案（导学案附在后面）。 学生完成并上交导学案（完成1-4,8-28题），准备展示用的白板。 2、课堂教学过程。 一、导入新课： 教师活动： 1、评价导学案完成情况。为优秀小组、优秀个人进行加分和鼓励。 2、幻灯片展示合情推理与演绎推理的概念，复数的概念以及四则运算法则。 二、新课讲解 （一）合情推理与演绎推理

1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…则a 10＋b 10等于 ( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 2．(2015·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … … 则第30行从左到右第3个数是________ 3．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋ 1 AC 2 ，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明： (1)数列???? ?? S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 学生活动：四个小组成员用小白板展示并讲解1-4题。 教师活动：引导学生归纳鹤庆推理与演绎推理的区别。 【设计意图】区分合情推理与演绎推理：（1）合情推理的过程概括为 从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→ 归纳、类比―→提出猜想 （2）演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． （二）数学归纳法 （1）用数学归纳法证明等式

复数概念教学设计1终稿

§3.1.1 数系的扩充与复数的概念 学生情况分析： 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。 一、教学目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 3.了解复数的代数表示法及其几何意义。 4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 二、教学重难点 重点: 理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用．

三、教具 多媒体 四、教学过程 （一）引入 1.前面我们学习的数系扩充：N Z Q R 思考：如何解决方程210x +=在实数集中无解的问题？ （二）新知导学 探究1复数的引入 引导1: 为了解决方程210x +=在实数集中无解的问题，我们设想我们 引入一个新数i ，并规定：（1）=2i -1 ； （2）实数可以与i 进行加法和乘法运算： 实数a 与数i 相加记为： a i + ；实数b 与数i 相乘记为：bi ；实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加，结果记为：bi a +； （3）实数与i 进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 引导2:复数的有关概念： （1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位 , 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．． 字母 C 表示。 （2）复数的代数形式：

复数的四则运算教学设计

《复数的四则运算》教学设计 吕叔湘中学 黄国才 【教学目的】1、初步理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 2、会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 3、了解复数中共轭复数的概念 【教学重点】：会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 【教学难点】：理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 【教学过程】： 一、 问题情景： 问题1： 由初中学习我们可以知道： （2+3x ）+(1-4x)=3-x 猜想： （2+3i ）+(1-4i)= ？ 二、 建构数学 1、复数减法的运算法则 问题 2：用字母表示数，你可以表示复数的运算法则和运算律吗？ (1)运算法则:设复数z 1=a+bi,z 2=c+di,（a,b,c,d ∈R ）那么： z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 显然，两个复数的和仍是一个复数，复数的加法法则类似于多项式的合并同类项法则。 (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有： z 1+z 2=z 2+z 1, (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 2、复数减法的运算法则 定义：把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数x+yi （x,y ∈R ），叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作：x+yi ＝(a+bi )－(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义，有c+x=a ， d+y=b 由此，x=a －c ， y=b －d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a －c) + (b －d)i 显然，两个复数的差仍然是一个复数 由此可见： 两个复数相加(减)就是把实部与实部，

复数 教案(绝对经典)

复 数 复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小． 【复习指导】 1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义． 2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础。 基础梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模 向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2，实际上就是指复平面上的点Z 到原点O 的距离；|z 1－z 2|的几何意义是复平面上的点Z 1、Z 2两点间的距离． (2)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )?Z (a ，b )?OZ → . 3．复数的四则运算 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2 ＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．

复数的几何意义优秀教学设计

复数的几何意义 【教学重点】 理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 【教学难点】 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 【教学过程】 一、复习准备： 1．说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。 14,72,83,6,,20,7,0,03,3 i i i i i i i +-+---2．复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？ (4)(3)z x y i =++-,x y 3．若，试求的值，（呢？） (4)(3)2x y i i ++-=-,x y (4)(3)2x y i ++-≥二、讲授新课： 1．复数的几何意义： （1）讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？（分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到a 有序实数对或点的坐标）结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。 （2）复平面：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。x y 复数与复平面内的点一一对应。 例1：在复平面内描出复数分别对应的点。 14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是而不是） b bi 观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？ （3）实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。 思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数。z a bi =+Z u u r O Z 2．应用 例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。 练习：在复平面内画出所对应的向量。 23,42,13,4,30i i i i i +--+--小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。

复数教案

第一课时 3.1.1 数系的扩充与复数的概念 教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。 教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。 教学难点：复数及其相关概念的理解 教学过程：一、复习准备： 1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切 2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与?的关系）： （1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x += 3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。 讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？ 实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？ 二、讲授新课：1. 教学复数的概念： ①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。 出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。 23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+-- 规定：a bi c di a c +=+?=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。 ②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？ ③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。 ④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ??≠≠??≠??≠=?? 实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？ 2.出示例题2：62P （引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论） 练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根， 试求：,,a b k 的值。（讨论3(4)k i +-中，k 取何值时是实数？） 小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。 三、巩固练习：1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

高中数学教案复数

复数 [重点]：复数的概念、复数的运算、复数的一些应用三部分。 复数的概念：复数的代数形式，复数的模，辐角，共轭复数，规定了复数的加，减，乘，除运算，利用复数的相等求平方根，一元二次方程求根，复数的几何意义：点，向量与解析几何的联系。 [难点]：一元二次方程根的讨论。 [例题讲解]： 例1．m为何实数时，复数Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零。 解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i (1)当m=1或m=2时，Z是实数。(2)当m≠1且m≠2时，Z是虚数。 (3)当即当时，Z是纯虚数。 (4)当即m=2时，Z是零。 例2．已知：，求实数x。 解： 即或x≥8。 例3．计算： 解：原式= 例4．求的平方根。

解：设的平方根为x+yi (x,y∈R)， 则 由复数相等的定义得(1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25 x2+y2=5 (舍去负值) (3) (1)+(3)，x2=3, x=, (3)-(1), y2=2, 。 ∵，∴或 ∴的平方根为。 例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。 解：|Z-(-2+2i)|=1，几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1的圆。 |Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离；， ∴, 。 例6．说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。 解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a， 几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0)，F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F1F2|=3。 (1)当2a>3即时，Z的轨迹是以F1，F2为焦点，2a为长轴的椭圆。 (2)当2a=3即时，Z的轨迹是线段F1，F2。(3)当2a<3即时，Z的轨迹不存在。 例7．已知a∈R，方程x2+2x+a=0的两根为a、b，求|a|+|b|。 解：∵ a∈R，∴方程为实系数一元二次方程，可以用Δ来判定方程有无实根。 (1)当Δ=4-4a≥0，即a≤1时，方程的根a、b为实数根。由韦达定理 又∵|a|+|b|≥0， ∴ ①当0≤a≤1时，|a|+|b|=2, ②当a<0时，|a|+|b|=。 (2)当Δ=4-4a<0，即a>1时，方程的根a、b为虚根。

高中数学复数教案

高中数学复数教案 教学目标：（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。（2）正确对复数进行分类， 掌握数集之间的从属关系；（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和 复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。（4）培养学生数形结合的数 学思想，训练学生条理的逻辑思维能力． 教学重点难点：复数的概念，复数相等的充要条件．用复平面内的点表示复数Ｍ． 以及复数的运算法则 教学过程：一、复习提问： 1．复数的定义。 2．虚数单位。 二、讲授新课 1．复数的实部和虚部： 复数z=a+bi中中的a与b分别叫做复数的实部和虚部 2．复数相等 如果两个复数的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。 3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数 复平面的定义:立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面． 复数可用点来表示．其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上． 4．复数的几何意义： 复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的． 5．共轭复数 (1)复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）

（2）a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．（3复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称． 6.复数的四则运算：加减乘除的运算法则。 小结： 1．在理解复数的有关概念时应注意： （1）明确什么是复数的实部与虚部； （2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求； （3）弄清复平面与复数的几何意义； （4）两个复数不全是实数就不能比较大小。 2．复数集与复平面上的点注意事项： （1）复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。 （2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。 （3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。 （4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应： 3复数的四则运算的规律和方法。

复数的有关概念教案

复数的有关概念教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高二数学选修2-2教案 课题： 5.2复数的有关概念 【教学目标】 1.进一步学习复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件. 2.理解复数的几何意义和复数的模，并应用其解决相关问题. 【教学重点】 理解复数相等的充要条件，复数的几何意义和复数的模 【教学难点】 应用复数的几何意义和模解决相关问题 【教法学法】 引导探究、练习法、讨论法 【授课课型】 新授课 【授课课时】 1课时 【教具学具】 三角板 【教学过程设计】 一、导入：复习回顾 1．定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作复数，其中i 叫作虚数单位，满足i 2＝－1. 2．表示：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫作复数的代数形式，a 与b 分别叫作复数z 的实部与虚部． 3．分类：复数：a ＋b i(a ，b ∈R ) ??? 实数(b ＝0) 虚数(b ≠0)? ???? 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0) 二、知识梳理 1、复数相等的充要条件 设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d . 2、复平面 当直角坐标平面用来表示复数时，我们称之为复平面，x 轴为实轴，y 轴为虚轴。实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除了原点外，都表示纯虚数． 3、复数的几何意义 ①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应有序实数对（a,b ）

②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应向量=(,)OZ a b → 4、复数的模 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模22|z a b = +（复数不能比较大小，但模可以比较大 小） 三、题型讲解 题型一：复数模的计算 例1：在复平面内表示下列复数，并分别求出它们的模 （1）-2+3i (2)132i (3) 3-4i (4)-1-3i 变式训练1: 若|log 3m ＋4i|＝5，则实数m ＝________. 解析：由log 23m ＋16＝25， ∴log 23m ＝9，∴log 3m ＝3或－3， ∴m ＝27或127 . 变式训练2．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z . 解析：因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)． 则|z －1|＝|b i －1|＝1＋b 2. 又|－1＋i|＝2， 由已知|z －1|＝|－1＋i|，得1＋b 2＝2， 解得b ＝±1，所以z ＝±i. (2)已知复数z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i ，对于任意x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立，则实数a 的取值范围是________． (2)因为|z 1|>|z 2|，所以x 4＋x 2＋1>(x 2＋a )2， 所以(1－2a )x 2＋(1－a 2)>0对x ∈R 恒成立． 当1－2a ＝0，即a ＝12 时，不等式成立； 当1－2a ≠0，即a ≠12 时，需 ????? 1－2a >0，(1－2a )(1－a 2)＞0，

可数名词变复数的规则教案及专项练习

可数名词变复数的规则教案 教学目标：1.能够理解可数名词的含义。 2.能够理解可数名词变复数的规则。 3.能够准确运用可数名词变复数的规则。 教学重难点：1.能够理解可数名词变复数的规则。 2.能够准确运用可数名词变复数的规则。 学情分析：学生能够分辨出单词的词性是否属于名词，但对于可数名词和不可数名词的区分，概念上还是有些模糊。特别是对于可数名词复数形式的理解及运用还存在一定问题。 教学步骤： 一.开课导入： 1.Aguessinggame:What’sinthepencilcase? Howmany_________inthepencilcase? 2.点题： 二．新授课：（通过PPT呈现） 1.什么是名词？名词的分类有哪些？ 2.什么是可数名词？它有哪两种形式？ 3.自主学习微课-----可数名词变复数的规则 4.组内交流你所记得的可数名词变复数的规则，比比谁记的多？ 5.对子间互相考一考：一人说单词，一人说出对应的复数形式，看谁说对的个数多？ 三．巩固操练：名词可数变复数专项练习

名词可数变复数专项练习 一．写出下列名词复数 leaf______box_______knife_______fox______bus______dish___ __ruler______glass_____pencil________boy______zoo______ma n______sheep_______key______story______bamboo______family ______day_____fish_____goose____ Chinese_______deer_______foot______child_______tooth_____ __hero_______boss_____monkey______ 二．用所给的单词的复数的正确形式填空： 1>Ihavetwo______(pencil-box). 2>Therearethree______(chair)intheclassroom. 3>These_______(tomato)arered. 4>______(hero)aregreat. 5>Mybrotherlooksaftertwo______(baby) 6>Therearesome______(deer)eatingthegrass. 7>Myfatherlikestoeat_______(potato). 8>Chinese______(people)liketoeatnoodles. 9>Ihavealotof______(toy)inmybedroom. 10>Ihelpmymotherwash______(dish)inthekitchen. 三．选出正确形式 1．Icanseethree________inthezoo. Amonkeys BmonkeysCmonkey

名词变复数教案

名词变复数教案 年级六年级授课教师赵新存教学目标：正确进行可数名词的复数变形 教学重难点：掌握名词复数的变形 教学方法：问答法、讲授法 教学用具：多媒体，课件 教学过程： Step1.Warming-up: 1．T:How are you today? S :略 Step2.Lead-in: 一般来说，可数名词有单数、复数之分，表示“一个”时用单数，表示“多个”时用复数。其变化方式分为规则变化和不规则变化。 一．名词变复数规则变化： 1、绝大多数的可数名词在词尾加上s ； eg：book→books；desk→desks；pen→pens；car→cars 2.、以s、x、ch、sh结尾的单词，在该词末尾加上-es； eg：bus→buses; box→boxes; watch→watch ches; dish→dishes 3、以辅音字母+y结尾的名词，要把y变为i，再加-es； eg：fly→flies; b ab y→b abies; 元音字母加y结尾的单词直接加s； eg：toy→toys；boy→boys； 4、以-f或-fe结尾的名词，要将-f或-fe变为-v，再加es； eg：knife→knives；leaf→leaves； 5、以-o结尾的名词，初级阶段只有三个单词要加-es，其余都加-s；eg：tomato→tomatoes西红柿; potato→potatoes土豆; hero→heroes

英雄; Negro—Negroes 口诀：“黑人英雄喜欢吃土豆和西红柿” 其余eg：zoo→zoos; pian o→pianos； 二．名词变复数不规则变化： 1.单词内部发生变化：口诀“oo常常变ee，男人女人a变e” eg：foot→feet脚；tooth→teeth牙齿；man→men男人；woman→women 女人； 2.单复数相同：“羊鱼小鹿无变化，单数复数是一家” eg：sheep→sheep绵羊；fish→fish鱼；deer→deer鹿； 3.不规则变化：child→children孩子；mouse→mice老鼠；German→Germans德国人； 4“某国人”的复数有三种类型：口诀“中日不变，英法变，其它S 加后边” （1）Chinese, Japanese单数复数同形，不需加s； （2）Englishman, Frenchman, Dutchman（荷兰人）复数要把man 变为men； （3）其他各国人以–an, -ian收尾的均直接加s。如：Americans, Australians. Step3:Practise: 写出下列名词的复数形式 1、orange 2、class 3、text 4、monkey 5、piano 6、child 7、shelf 8、bed 9、country 10、family 11、toy 12、foot 13、Japanese 14、radio 15、photo 16、army 17、tomato 18、fox 19、woman 20、knife 22、sheep Step4:summary

3.1.1数系的扩充和复数的概念教案

第3章数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 【教学目标】 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数有理数无理数实数2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程012x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程012x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数． 解决这一问题，其本质就是解决一个 什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－ 1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数 i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12i ；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a 这样，数的范围又扩充了，出现了形如),(R b a bi a 的数，我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C ． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯 虚数与零的条件可以确定实数m 的值． . 1,010 131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数； 时，即）当（为实数； 时，，即）当解（z m m m z m m z m m 6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部 分别对应相等．也就是 由此容易得出： 6 cos 6sin ,,0,2,7212i i i i ）纯虚数 ）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z

复数的概念教案

17.1复数的概念教案 课题：复数的概念 授课类型：新授课 教学目标： 1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i 2. 3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念 教学重点：复数的有关概念. 教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念. 教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾. 课时安排：1课时 教学过程： 一、 创设情境、导入新课 1. 复习回顾:数系的扩充 数 集 2.问题情境：在实数集中方程x 2+1=0有解吗? 很明显此方程无实数解. 思考：负数能否开平方? 为了解决负数开平方问题，我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： 21 x =-210x +=?

(1) 21i =- (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立. 这样就会出现许多新数, 如 等. 形如 的数，我们把它们叫做复数 二、讲解新课： 1.虚数单位i : (1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2.复数与复数集的概念： 形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形 4. 复数的分类： 对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0. 2323、、、i i i i ++

复数教案(绝对经典)

复数 复数的基本概念、 复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点， 并且一般在前三题 的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小． 【复习指导】 1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义． 2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考 题较容易，所以重在练基础。 基础梳理 1．复数的有关概念 （1）复数的概念 形如 a ＋bi （a ，b ∈R ）的数叫作复数，其中 a ，b 分别是它的实部和虚部．若 b ＝0，则 a ＋ bi 为实数，若 b ≠0，则 a ＋bi 为虚数，若 a ＝0且b ≠0，则 a ＋bi 为纯虚数． （2）复数相等： a ＋bi ＝ c ＋di? a ＝c 且 b ＝ d （a ，b ，c ，d ∈R ）． （3）共轭复数： a ＋bi 与 c ＋di 共轭 ? a ＝c ，b ＝－d （a ，b ，c ，d ∈R ）． （4）复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面． x 轴叫作实轴， y 轴叫作虚 轴．实轴上 的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． （5）复数的模 向量O → Z 的模 r 叫作复数 z ＝a ＋bi 的模，记作 __|z|__或|a ＋bi|，即 |z|＝|a ＋bi|＝ a 2＋ b 2. 2．复数的几何意义 （1）复数 z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）的模|z|＝ a 2＋b 2，实际上就是指复平面上的点 Z 到原点 O 的距离； |z 1 － z 2| 的几何意义是复平面上的点 Z 1、Z 2 两点间的距离． （2）复数 z 、复平面上的点 Z 及向量 O →Z 相互联系，即 z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）? Z （a ，b ）? O →Z. 3．复数的四则运算 设 z 1＝a ＋bi ， z 2＝c ＋ di （a ，b ，c ，d ∈R ），则 （1） 加法： z 1＋z 2＝（a ＋bi ）＋（c ＋di ）＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ； （2）减法： z 1－z 2＝（a ＋bi ）－（c ＋di ）＝（a －c ）＋（b －d ）i ； （3） 乘法： z 1·z 2＝（a ＋bi ） （·c ＋di ） ＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ； （4） 除法： z 1 a ＋bi a ＋bi c － di ac ＋bd ＋ bc －ad i z ＝ ＝ ＝ 2 2 （c ＋di ≠0）． z 2 c ＋di c ＋ di c －di c ＋d

复数教学设计

§ 数系的扩充与复数的引入 江西省永新县任弼时中学 文辉 【教学目标】 （1） 了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念，了解复数的代数法表示， 理解虚数单位，理解复数相等的充要条件. （2） 了解复数的几何意义，理解复数模的概念，了解复数与复平面内的点的 对应关系. （3） 体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用，感受人类理 性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。 （4） 通过复数与复平面内的点的对应关系，体会二维空间中数与形之间的内 在联系. 【教学重难点】 重点：引进虚数单位i 的必要性，对i 的规定，复数的有关概念. 难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数的概念的理解. 教学方法：1.启发式教学法. 2.激励---探索---讨论---发现. 教具准备：多媒体，投影仪. 教学过程 Ⅰ.课题导入 ㈠引导学生回顾数的变化发展过程 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N . 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和零)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环小数﹜. 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以﹛实数﹜=﹛小数﹜. ㈡设置问题情境，探究实践 问题①：请类比引进2，就可以解决方程02x 2=-在有理数集中无解的问题，怎么解决方程01x 2=+在实数集中无解的问题？