文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 导数中证明不等式技巧:构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!

导数中证明不等式技巧:构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!

导数中的不等式证明

导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题,由于不等式证明的灵活性,多样性,该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段

命题角度1 构造函数

命题角度2 放缩法

命题角度3 切线法

命题角度4 二元或多元不等式的证明思路

命题角度5 函数凹凸性的应用

命题角度1 构造函数

【典例1】(赣州市2018届高三摸底考试)已知函数()ln 11,()x x ae f x g x bx x e x

=-=+-,若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ,且在点A 处的切线互相垂直.

(1)求,a b 的值;

(2)证明:当1x ≥时,()2()f x g x x +≥

. 【解析】(1)1a b ==-;

(2)1()x e g x x e x =-++,()2ln 1()10x x e f x g x x x x e x

+≥?---+≥, 令()()()2()1h x f x g x x x =+-

≥,则 ()ln 11x x e h x x x e x =-

--+, ()2221ln 1ln 11x x x e x e h x x e x x e

-'=-+++=++, 因为1x ≥,所以()2ln 10x

x e h x x e '=++>, 所以()h x 在[)1.+∞单调递增,()()10h x h ≥=,即ln 110x x e x x e x -

--+≥, 所以当1x ≥时,()2()f x g x x

+≥. 【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,应用导数研究其单调性,借助于所构造函数的单调性加以证明.

命题角度2 放缩法

【典例2】(石家庄市2018届高三下学期4月一模考试)已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >,在

(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.

(1)求,a b ;

(2)若0m ≤,证明:2()f x mx x ≥+.

【解析】(1)1a =,1b =;

(2)由(1)可知()(1)(1)x f x x e =+-,()(0)0,10f f =-=,

由0m ≤,可得2x mx x ≥+,

令()()()11x g x x e x =+--,则()()22x g x x e '=+-,

当2x ≤-时,()()2220x g x x e '=+-<-<,

当2x >-时,设()()()22x h x g x x e '==+-,则()()30x h x x e '=+>,

故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增,

又(0)0g '=,所以当(),0x ∈-∞时,()0g x '<,当()0,x ∈+∞时,()0g x '>,

所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增,

故()(0)0g x g ≥=,即()()211x x e x mx x +-≥≥+.

故2()f x mx x ≥+.

【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数,可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量,对参数适当放缩达到证明的目标.

【典例3】(成都市2018届高中毕业班二诊理科)已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.

(1)当0x >时,若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围;

(2)当*n N ∈时,证明:22231ln 2ln ln 2421

n n n n n n +<+++<++ 【解析】(1)[)1,-+∞;

(2)设数列{}{},n n a b 的前n 项的和分别为,241

n n n n S T n n ==++,则 由于()()111,2,n n

n S n a S S n -=??=?-≥??,解得()()112n a n n =++; 同理,()

11n b n n =+,