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线性代数第一章习题答案

习题 1-1

1．计算下列二阶行列式：（1）

x x 1

1；（2）α

ααsin cos cos sin -．

解（1）

()

111

-=-=

x x x x ．

（2）

1)cos (sin sin cos cos sin 2

2=--=-ααα

αα．

2．计算下列三阶行列式：

（1）121223

112

--；（2）00000d

c b a ；（3）2

c b a

；（4）c

b a b

a a c

b a b

a a c

b a

++++++232．

解（1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-??-??--??-??-+-??+??=．（2）原式00000000000=??-??-??-??+??+??=d c b a c a d b ．（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=．（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++=

3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-．

3．证明下列等式： =333231

23222113

1211a a a a a a a a a 33

232211a a a a a 33

232112

a a a a a -32

222113

a a a a a +．

证明 33

232221

131211

a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=

)()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---=

232211

a a a a a =33

232112

a a a a a -32

222113

a a a a a +．

4．用行列式解下列方程组：

（1）???=+=+643534y x y x ；（2）?????-=-+=++-=+-1

2361

32321

321321x x x x x x x x x ．

解（1）74

34==

D ，24

351==

D ，96

542==

D ，

所以 7

21=

D x ，7

92=

D y ．（2）23213111

132

-=--=D ，232

11116

131

1-=----=D ，

462

161

1122-=---=D ，691

611

3-=---=D ；所以 111==

D x ，222==

D x ，333==

D x ．

习题 1-2

1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）4321；（2）2314；（3）1243；（4）3142；

（5）)2(42)12(31n n -；（6）2)22()2()12(31 --n n n ．解（1）是标准排列，其逆序数为0；

（2）逆序有（4 1），（4 3），（4 2），（3 2），所以逆序数为4．（3）逆序有（3 2），（3 1），（4 2），（4 1）,（2 1），所以逆序数为5．（4）逆序有（2 1），（4 1），（4 3），所以逆序数为3．（5）逆序有

（3 2） 1个（5 2），（5 4） 2个（7 2），（7 4），（7 6） 3个 …………………

（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个

所以逆序数为 2

)

1(21-=

+++n n n ．

（6）逆序有

（3 2） 1个（5 2），（5 4） 2个 …………………

（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个（4 2） 1个（6 2），（6 4） 2个 …………………

（)2(n 2），（)2(n 4），（)2(n 6），…，（)2(n )22(-n ） )1(-n 个

所以逆序数为 )1(12)1()1(21-=+++-+-+++n n n n ．

2．写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项．

解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p a a a a τ

-，其中τ为4321p p p p 的逆序数．由

于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++，所以44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.

3．在5阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号．（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号．

（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号．（4) 因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．

4．若n 阶行列式)det(ij a =D 中元素ij a ),,2,1,(n j i =均为整数，则D 必为整数．这一结论对吗？为什么？

解这一结论正确，因整数经乘法运算后仍为整数，而D 为元素的乘法的代数和，因此结果仍为整数．

5．证明：若n 阶行列式中有n n -2个以上的元素为零，则该行列式值为零．

证明因n 阶行列式中有2n 个元素，而有n n -2个以上元素为零，故不为零的元素的个数小于n ．从而，在行列式展开式中的n 个元素的乘积项中至少有一个元素为零，所以乘积为零，代数和也为零，故该行列式的值为零．

6．用行列式定义计算下列行列式：

（1）

000

1100000100100；（2）0

111010100111；

（3）

n 0

000010

0200

01000

-；（4）0

,22111,111

n n n n a a a a a a --．

解（1）在展开式43214321)1(p p p p a a a a ∑-τ

中，不为0的项取自于

113=a ，122=a ，134=a ，141=a ，

而4)3241(=τ，所以行列式值为11111)1(4

=???-．

（2）在展开式43214321)1(p p p p a a a a ∑-τ

中，取14344

==a a p ，则3

3p a 取为

????

?====113433233

3a a a a p p ，则?????====11

22224222a a a a p p ，11p a 取为111=a ，除此之外的项均为0．即行列式 4334221143322411)1()1(a a a a a a a a D τ

-+-=，

而 2)1423(=τ，1)1243(=τ，所以 0)1()1(2

=-+-=D ．

（3）在展开式n np p p a a a 2121)1(∑-τ

中，不为0的项取为

11,1=-n a ，22,2=-n a ，…，11,1-=-n a n ，n a nn =，

4 而 2

)

1)(2()1)2)(1((--=

--n n n n n τ，

所以 !)

1(2

)

1)(2(n D n n ---=．

（4）在展开式n np p p a a a 2121)1(∑-τ

中，不为0的项取n a 11,2-n a …1n a nn a ．而

)

1()1)2)(1((-=

--n n n n n τ，

所以 11,212

)

1()

1(n n n n n a a a D ---=．

习题 1-3

1．设033

232221

1211

≠==a a a a a a a a a a D ，据此计算下列行列式：（1）13

1211232221

333231a a a a a a a a a ；（2）33

232221

131211a ka a a ka a a ka a ；（3）3332

131211

232221

444333222a a a a a a a a a ；（4）32

333122222321

12121311253225322532a a a a a a a a a a a a ------．解（1）a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a -=-?33

232221

12113

11312

11232221

333231

；（2）ka a a a a a a a a a k k k r a ka a a ka a a ka a =≠÷33

23222113

1211233

232221

131211

)

0(，当0=k 时，结论仍成立．

（3）33

3231232221

1312112

133

31131211

232221

444222333444333222a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a -? a a a a a a a a a a r r r 24)24(4

2333

232221

1211

321-=-÷÷÷．（4）32

2223211213113

232

3331

22222321

12121311

2322322322

5253225322532a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a a a a ----

------

a a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a c c c 121212)

2(3

233

232221

12113

232

222321

121311321=?-÷÷÷． 2．用行列式性质计算下列行列式：

（1）1

210

21；（2）333

222111321321321a a a a a a a a a +++++++++；（3）ef cf bf

de cd bd

ac ab ---；（4）y

x y x x y x y y x y

+++；（5）2

7104546333412

------；（6）

232112131412

-．

解（1）011

2100001

1210

321

21=--r r r ．（2）021

12112113213213213211

213333222

111

=+++--+++++++++a a a c c c c a a a a a a a a a ．（3）0

2001321c

e e c b adf

r r r r e c b

e c b e c b adf

de cd bd

ae ac ab

-++---=--- abcdef e c e

c b

adf r r 420

02032=--?．

（4）y

x y

x x y x y x y x y y x c c c y

x x y x y y x y x 2222223

21++++++++++

y y

y x y x y y x r r r r ---++--0

(21

223 2

)22()()22(y

y x x y x y x +--+=

)(2))((23

y x y x xy y x +-=--+=．

（5）由于行列式中的第一列和第三列元素对应成比例，所以

894

7104546333

412=------．

（6）

000

232112131412

232112131

412

214=----r r r ． 3．把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：

6 （1）

3351

110243152113------；（2）

7825513315271391-------．

解：

（1）211

1102431533513

351110243152

11341-------?------r r

111016055100191824033513251

41312---------+r r r r r r 111016

01918240112033

23------?÷r r r

2000320011203

3515

33200

760011203351

581243432

423-----?+------+r r r r r r r r

402)2(215=?-???-=．

（2）

0210017251307139121078

55133152713911

224413------++---------r r r r r r r

312240

21001725130

7139117324-=-----++r r r ．

4．用行列式性质证明下列等式：

（1）y

x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz

ay bx

az bz ay by

ax )(3

+=+++++++++；（2）3

222

1113

3332222

21111

1c b a c b a c b a c c b kb a c c b kb a c c b kb a =++++++；（3）

3()

2()

1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2

222222222222=++++++++++++d d d d

c c c c b b b b a a a a

．

证明（1）bz

ay by

ax z

by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开

列按第左边

1bz

ay by

ax x

by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++

bz ay y z

by ax x y bx az z x ab bz ay x z

by ax z y bx az y x a

+++++++2

2分开

列

分别再按第

bz ay y x

by ax x z bx az z y

b bz ay x x

by ax z z

bx az y y

ab ++++++++2

z y z y x y x z x ab y y z

x x y z z x

b a z x z y z y x

y x b a y x z

x z y z

y x a 2

3+++分开

列

分别再按第

y x z x z y

b y

x x z z

z y

ab z x x y z z x y y

ab y

x z z

z y y

b a 32

++++

y x z x z y

b y x z x z y

y x a 3

0000+++++=

=-+=y x z

x z y z

y x

b y x

x z y

y x a 3

3)1(右边．（2）左边

=-+++-33

1221

112

133

3122211113

2c b a c b a c b a kc c c b kb a c b kb a c b kb a c c 右边．（3）左边

29644129644129644122

222

141312++++++++++++---d d d d

c c c c

b b b b a a a a

c c c c c c 062

2621262126212322

2221

312=++++--d d

c c b b a a c c c c ．

5．计算下列n 阶行列式：

（1）0

)

1(3

032110211301

1321--------------n n n n n n n n

；

8 （2）1

12112

21121

112111

1-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a

；

（3）a b b

b a b b

b a b

b b b a

；（4）

000000

00011

2211

-----n n a a a a a a ；

（5）x

a a a a a a a x

a a a a a a a a n n n n

n n n n n n n n -+-+-+-+-------11

123211322113

211132

．

解（1）

)1(32

32110211301

1321--------------n n n n n n n n

210002)

1(2300

2)1(2620

321,,3,21

n n

n n n n n n n n n i r r i =----=+

．

（2）1

21121

11211

1-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a

∏-=--=

=-1

2112110

0000001

,,3,2n i i

n n i b

b b b a a a n

i r r

．

（3）a

b a b b

b b a b

b b b a

b b

n a b b a b b

n a b a b n a b b b b

n a c c n

i i

)1()1(0)1()1(2

1-+--+-+-++

∑

= n

i r r i ,,21 =-b

a b a b a b b b b n a ----+

000000)1(

)

(])1([1

b a b n a n --+=-．（4）

111

000000

00011

2211

-----n n a a a a a a

n a a a n i c c n i i 1

0000000000001

,,2,1121

1-----=+-+

∏-=--=1

)

1(n i i n a n ．

（5）x

a a a a a a a x

a a a a a a a a n n n n

n n n n n n n n -+-+-+-+-------11

123211322113

211132

10 x

a x

a x a x a a a a a a n i r r n n n n i ----=----122113211

00000000

0000

,,3,2

)())((1211x a x a x a a n ---=- ．

6．解下列方程：

（1）

091

5132322132112

=--x

x ；

（2）

0)1(1

1)2(11111211111111111

=------x

n x

n x x

．

解

（1）因

34122

5132

001032

5132322132

x r r r r x

x ------

21)4)(1(2

x x --=0)4)(1(32

=--=x x

所以解为 1±=x ，2±=x ．

（2）因左边

n i r r i ,,3,21

=-x

n x

n x x ------)2(0

0)3(00000100

0000

11111

0])2[()1(=----=x n x x ，

所以解为 2,,2,1,0-=n x ．

习题 1-4

1．求行列式3

102

-=D 中元素3和4的余子式和代数余子式．解 3的余子式84

0213==

M ，3的代数余子式8)

1(133

113=-=+M A ．

4的余子式51

3132

-==

，4的代数余子式5)

1(32

332=-=+M

A ．

2．已知2

00432133

31232221131211==

a a a a a a a a a D ，求33

3231

232221

131211a a a a a a a a a ．解：因为2

1)1(10

004321

232221131211

133

232221131211=-?==

+a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ，

所以 2

133

232221

131211=a a a a a a a a a ．

3．已知四阶行列式D 的第3行元素依次为1,1,2,2-，它们的余子式依次为4,3,2,5，求行列式D ．解将行列式D 按第三行元素降阶展开，有

3434333332323131A a A a A a A a D +++= 4)

1()1(3)

1(12)

1(25)

1(24

3?-?-+?-?+?-?+?-?=++++13=

4．设四阶行列式的第二行元素依次为0,1,,2x ，其余子式分别为y ,2,6,2-，第三行的各元素的代数余子式分别为5,1,6,3，求此行列式．

解因03424332332223121=+++A a A a A a A a ，即05011632=?+?++?x ，所以 6

=x ．

从而 2424232322222121A a A a A a A a D +++=

y x ?-?+-?-?+?-?+?-?=++++4

1(0)2()

1(16)

1(2)

1(2

97262-=--=+-=x ．

5．按第三行展开并计算下列行列式：

（1）

011321014321

---；（2）0

00000052

42413231

2524232221

1514131211a a a a a a a a a a a a a a a a ．解：（1）原式501211431)1()1(502

2104

32)

1(33

3--?-+--?=++ 0

101321

)1(05

2014

)1()1(4

3++-?+--?-+ 24181218-=-+-=．

12 （2）原式=0

000)

1(0

000)

1(51

4125242321151413112

32352

4225242322151413121

331a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-?+-?

353433000A A A ?+?+?+

252423

14134123252423

151413

4231a a a a a a a a a a a a a a a a += 0=． 6．证明下列各等式：

（1）3

)(1

22b a b b a a

ab a

-=+；

（2）

22221111d c

d c b a d c b a ))()()()()()((d c b a d c d b c b d a c a b a +++------=；

（3）n n n n n n n

a x a x

a x a x a a a a x x x ++++=+-------11

000010

0001

．

证明（1）左边0

2222

312a b a b a a

b a ab a

c c c c ------a

b a

b a ab 22)1(2

3-----=+

)

)((a b a a b a b +--==-=3

)(b a 右边．

（2）方法一

左边4

222222

20001

c a

b a

a d a c a

b a a d a

c a b a ---------=

)

()()(4

,3,22

1a d d a c c a b b a

c a

b a d a

c a b i c c i ---------=-

)

()

(111

)

)()((2

a d d a c c a

b b a

d a c a b a d a c a b ++++++---=

)

)()((1

312a d a c a b c c c c -----)

()()

(001

a b b a d d a b b a c c a b b b

d b

c a b +-++-++--+

)

)()()()((b d b c a d a c a b -----=)

()()

()(1

b d a b bd d

b c a b bc c ++++++++

=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-．

方法二

记

D d

d c b a d c b a =4

22221111

，

构造矩阵4

3333322222111111x

x d c b a x d c b a x d c b a

D =，则1D 是范德蒙德行列式，

其结果为))()()()()()()()()((1d x c x b x a x c d b d a d b c a c a b D ----------=，其中3x 的系数为))()()()()()((d c b a c d b d a d b c a c a b +++-------．

由行列式的降阶展开法则知，55445335225151A x A x A x xA A D +-+-=，其中3x 的系数

D A =-45，所以有))()()()()()((d c b a c d b d a d b c a c a b D +++------=，即

22221111d

d c b a d c b a ))()()()()()((d c b a d c d b c b d a c a b a +++------=．

（3）用数学归纳法证明当2=n 时，212

21a x a x a x a x D ++=+-=

，命题成立．

假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122

111-----++++=n n n n n a x a x a x

D 列展开按第则1n D

0010001

)

1(1

1----+=+-x

x a xD D n n n n

右边=+=-n n a xD 1

所以，对于n 阶行列式命题成立.

7．计算下列各行列式：

14 （1）

214314321111；（2）a

e d c b a 010*******

00010

；（3）

4412211111x

x x --；（4）

n a a a a a 0

000000000000

10001321

-．

解（1）原式

1211211

1213

121200014,3,21------=------=-i c c i 1

0401211

2------r r 161

114=----=．

（2）依次按第二行、第三行、第四行降阶展开，有

d c b a 0100000100000102

e a a

e a -==．

（3）由范德蒙德行列式的结果知，

4412211

111x

x x --)4)(1(12)12)(22)(12)(2)(2)(1(2

--=-----+--=x x x x x ．

（4）依次按第1,,3,2-n 行降阶展开，有

n a a a a a 0

00000000000010001321

-)1(1

1113211

32-==--n n n

n a a a a a a a a a a ．

8．计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）：

(1)x

y x x y x y x n 0

0000000000

000

D ；

(2)n

n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=11113

2132

321

D ；

(3))det(ij n a =D ，其中||j i a ij -=；

(4)n n a a a +++=

11111112

D ，其中021≠n a a a ；

(5)1

()

1()()1(1

n a a a n a a a

n a a a n n n n n

n ------=

---+D ；

（提示：利用范德蒙德行列式的结果．）

(6)n

n d c d c b a b a

112=

D ，其中未写出的元素都是０．

解（1）按第１列降阶展开，有

y y x y y x

y x x y x x D n n

0000

0000)1(0

00000

+-+=n

n n

y x 1

)1(+-+=．

（2）n

n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=1111D 3

2132

321

16 1

010100111,2321

---+=-n i a a a a n

i r r ∑=+

i i

c 2

010*********

n n

i i

a a a a

∑=+

i i

1．

（3）j

i a ij -=

401233101222101

13210)det(

--------=

=n n n n n n n n a D ij n

,,2,11

-=-+n i r r i i 04321111111111111111

11111

--------------n n n n

i c c i ,3,21=+1

022210022100021

00001---------------n n n n n

2)1()

1(----=n n n ．（4）n

n n

i n

a a a a a a a n i c c D +----=--11001001001

,,2,1121

a a a r a a r n n i i

n n 0

1001

00100121

--=∑

（其中∑

-=++=1

1n i i

n n a a a X ）

)11()11(1

211

121∑

∑

=-=-+

=++=n

i i

n n i i

n n n a a a a a a a a a a ．

（5）对第1+n 行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第１行，共需交换n 次．再把新的第1+n 行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第２行，共需交换1-n 次．依次类推，经

)

1(1)1(+=

++-+n n n n 次行交换，得

n n n n n n n a a a n a a a

a a a D )

()1()

()

1(1111

)

1(1112

)

1(1-------=---++

此行列式为范德蒙德行列式

∏≥>≥++++-

-+--=1

)

1(1)]1()1[()

1(j i n n n n j a i a D

∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-

-?-=-

--=1

)1(2

)

1(1

)1()][()

1()

1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i

∏≥>≥+-

1)(j i n j i ．

（6）n

n d c d c b a b a D

112=

n n n n n

d d c d c b a b a a 00

----

展开

按第一行0

)

1(11

n n n n n

n c d c d c b a b a b ----+-+

2222---n n n n n n D c b D d a 展开

都按最后一行

，

18 由此得递推公式

222)--=n n n n n n D c b d a D ，

所以 ∏=-=

i i i i

n D c b d

a D 2

22)(，

而 11111

112c b d a d c b a D -==

，

所以 ∏=-=n

i i i i

n c b d

a D 1

2)(．

习题 1-5

1．用克拉默法则解下列方程组：（1）??

???

?=+-+-=+-=--=+-+06745229638

5243214

3242

14321x

x x x x x x x x x x x x x ；（2）?????

??-=-++-=--+-=---=+++4

3263242313243214

3214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x ；

（3）???

???

-=--

-=+++-=+-+=+

+2532011232425

4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ．

解（1）276

741

212060311512

=-----=

D ， 816

7402125603915181=------=

D ，

1086701215060911582

2-=-----=

D ， 276

2520693118123-=---=

D 270

741

5120903185124=-----=

D ，

由克拉默法则知，方程组的解为

311==D D x ，422-==D D x ，133-==D D x ，144==D

x ．

（2）1531

113221133211-=------=

D ， 1531

113621143

2111=---------=

D ，

15313411162214332112=--------=

D ， 01

1632241331113=-------=

D ，

1534

6132411312114-=------=

D ；

由克拉默法则知，方程组的解为

111-==D D x ，122-==D D x ，033==D D x ，144==D

x ．

（3）1425

21121341211111=----=

D ，14251

211210412211151=------=

284512211203412111512=-----=

D ， 4265

232

11013422115113=----=D ， 1422

132

0213212151114-=-----=

D ，由克拉默法则知，方程组的解为

111==D D x ，222==D D x ，333==D D x ，144-==D

x ．

2．设曲线3

32210x a x a x a a y +++=通过四点),4,2(),3,1(),3,3()3,4(-，求系数3210,,,a a a a ．

解由于曲线过四点，所以有

???????-=+++=+++=+++=+++36416432793484233210

321032103210

a a a a a a a a a a a a a a a a

而

126416412793184211111==

D ，366416432793384241113

1=-=

D ，1864

2793184411131

2-=-=

D ，

2464

27331842113113=-=

D ，63

393144213111

4-=-=

D ，

20 所以

310==

D a ，2

321-

D a ，232==

D a ，2

143-

D a ．

3．证明：对任意实数k ，线性方程组???=-+-=+-0

)1(20

)1(2121x k x kx x k 只有零解．

证明因系数行列式

012)1(1

≠+=+-=---=

k k k k k D ，

所以线性方程组只有零解．

4．问λ取何值时，齐次线性方程组??

??=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(312

1321x x x x x x x λλλ有非零解？解系数行列式

)210(4)4)(6)(5(40

062225λλλλλ

λλ-----=---=

)8)(2)(5()82410)(5(2

---=-+--=λλλλλλ，

当0=D 时，即8,2,5===λλλ时，齐次线性方程组有非零解．

5．问μλ,取何值时，齐次线性方程组???

??=++=++=++0

200321

321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？

解系数行列式

μλμμ

μλ-==1

13D ，当0=D 时，即10==λμ或时，齐次线性方程组有非零解．

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设）（则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ；（B)―12 ；（C ）12 ；（D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4，则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分) 1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式 2a ab b b =___________。（2）二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。（3）二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。（4）三阶行列式x y z z x y y z x =___________。（5）三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题（1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。（2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。（5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

线性代数1-5章习题教学文稿

线性代数1-5章习题

线性代数习题集皖西学院金数学院编制

第一章行列式一、判断题 1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( 1 ) 2. 213 210 124121012342 =-.( 2 ) 3. 134 34 121.42 042 =- ( 1) 4. 1 23213 1 232 131 2 3 213.a a a b b b b b b a a a c c c c c c =( 1 ) 5. 1 23123 1 231 231 2 3 1 2 3 .a a a a a a b b b b b b c c c c c c ---------=---( 1 ) 6. n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 为1n -阶行列式. ( 1 ) 7. 312 143 245328836256 =.( 2 ) 8. 11 12 13 2122 23313233a a a a a a a a a 122r r + 11 1213 21112212 231331 32 33 222+++a a a a a a a a a a a a ( 2 ) 9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( 1 ) 10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. (1 ) 二、选择题 1．若12532453r s a a a a a 是5阶行列式中带正号的一项，则,r s 的值为（ B ）． A.1,1r s == B.1,4r s == C.4,1r s == D.4,4r s ==

昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第一学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2．设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性相关． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关，则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择

1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη，则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）

线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，第一章行列式一.概念复习 1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn

线性代数习题参考答案

第一章行列式 §1 行列式的概念 1．填空 (1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。 (2) i = ，j = 时，排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。 (4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a 的项的符号为，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为。 2．用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。 3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为（） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则（） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与（） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似（D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系是。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为。

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1

7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1

(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解

第一章行列式 4.计算下列各行列式：（1）???? ????? ???71 10 025********* 4；（2）????????????-26 52321121314 1 2；（3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100 110011001---21ar r +d c b a ab 1 001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+

2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分

线性代数习题[第一章]行列式

习题1—1 全排列及行列式的定义 1．计算三阶行列式123 4 56789 。 2．写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3．利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D

⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 10000 200 0010Λ ΛΛΛΛΛΛn n D n -= 4．利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。

习题1—2 行列式的性质 1．计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

2．在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛ2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij Λ=-=，证明：当n 是奇数时，D=0. 3．计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n Λ ΛΛΛΛ= ⑵n n a a a D +++= 11 1 11111121 Λ ΛΛΛΛ()120n a a a ≠L

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （密） … … … … … … … … … … … … （封） … … … …… … … … … … … … （线） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版课后习题答案详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解逆序数为 2 ) 1(-n n :

线性代数详细答案

第一章行列式习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。综上所述，我们有)3(Q 是数域。（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。（反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。所以有0=a 或0=b 。如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）（A ）任意r 个列向量线性无关

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4．=0001001001001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 00 323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23500101111 0403--= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是 .

袁晖坪线性代数教材习题答案提示

第一章行列式和Cramer 法则第一章知识清单 1.行列式定义： () ()() 121211********* 21 212 1,n n n n n i i i j j j n i j i j i j i j n n nn a a a a a a a a a a a a ττ? +=-∑ 说明1）()()()12 1 , n n n k i k k i i i t k t i τ=== =∑∑ ()k k k t i i i ：在左边比打的数的个数. 说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成 2.计算方法基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：10 n i k jk k D i j a A i j ==?=? ≠?∑ 常用方法：利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。 3.行列式性质（5条）行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。 4.克莱姆法则

?????? ?=++=++=++n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222212111212111 .n A x b =即：解：12,, , T n D D D x D D D ?? = ??? ，.n D A = 推论：0.n n A x o A =?=有非零解基本作业建议 A 组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B 组：一（1），（6）；二（3），（4）一（A ）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否; (2): () ()() 24531452131ττ+-. 一（A ）5： ()( ) ()()() () ()()23412143123412342132341411,a a a a a a a a ττ--. 一（A ）6(5)：32 1 42 2 222222223234 21 21 21 21 21212121 044444444222269696969 6 6 6 6 ,,i r r r r r r i a b c d a b c d a b c d a b c d D a b c d a b c d ---=++++++++=== ==== =++++++++ 一（A ）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法： 1 1123,,,n i i i c r r i n D D =-=∑=========提公因式方法一：上三角式； 1 23,,,i r r i n D -=====方法二：箭形行列式 12312 3 1231231 2 3 10 n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a D a a a b ------=== --加边方法三： 1231,2,311000100010001 n i r r i n a a a a b b b b +=------===== -- ()123 2312323 1 23231 2 3 2 3 000 n n n n n n n n a a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c D ------=-=拆解方法四：略. 一（A ）7（3，5，6，7）同类型，见课件和课本例题1.9：。