高考题数学猜题卷
陕西2009年高考临近：数学猜题卷
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第
I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：
1．（理科）复数4
11i ??
-- ???
的值是
（ ）
A ．4i
B ．－4i
C ．4
D ．－4
（文科）设全集U ={|x x 是不大于9的正整数}，A ={1，2，3 }，B =｛3，4，5，6｝则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A.｛1，2，3，4，5，6｝ B. ｛7，8｝
C.｛7，8，9｝
D. ｛1，2，4，5，6，7，8，9｝
2．满足方程2(3,1)(2,1)(8,6)0x x +-+--=
的实数x 为
（ ）
A ． 2-
B ． 3-
C ．３
D ．43
3．函数2sin sin 3y x x =-+的最大值是
（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形，若双曲线恰好
平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是
（ ）
A ．324+
B ．13-
C ．
2
1
3+ D ．13+
5．山坡水平面成30 角，坡面上有一条与山底坡脚的水平线成30 角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段
400米的路后，升高了100米，则此人升高了 （ ）
A ．50米
B ．100米
C ．200米
D ．3200米 6．图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：
情境ａ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度（将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻）；
情境ｂ：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏，并且被保
存得很好）；
情境ｃ：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度； 情境ｄ：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润； 其中情境ａ、ｂ、ｃ、ｄ分别对应的图象是 （ ）
A ．①、③、④、②
B ．①、③、②、④、
C ．②、③、④、①
D ．②、④、③、① 7．(理科)已知等比数列｛a n ｝的公比为q （q 为实数），前n 项和为S n ,且S 3、S 9、S 6成等差数列，则q 3等
于 （ ）
A ．1
B ．－
2
1
C ．－1或
2
1
D ．1或－
2
1 （文科）若数列{}n a 满足关系11
1n n
a a +=+
，且83421a =，则3a =
（ ）
A.
3
2
B.
53 C. 8
5 D.
13
8
8．已知2
2
π
π
θ-
<<
，且sin cos ,a θθ+=其中()0,1a ∈，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正
确的是
（ ）
A ．3-
B ．3 或
1
3
C ．1
3
-
D ．3-或13
-
9．李先生忘记了自己电脑的开机密码，但记得密码是由两个3，一个6，一个9组成的四位数，于是，他
用这四个数字随意排成一个四位数输入电脑尝试. 那么他打开电脑最多尝试的次数为 （ ）
A ．64
B ．18
C ．12
D ．6
10．若对(],1x ∈-∞-时，不等式()21212x
x m m ??
--< ???
恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ． ()2,3-
B ． ()3,3-
C ．()2,2-
D ．()3,4-
11．如果,x y R ∈，且
)
1y
x =，那么
（ ）
A ．x y =
B. x y >
C ．x y <
D. x y ≤
12．（理科）若实数,x y 满足0xy >，则11
22x y y x
+
++
的最小值是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D （文科）若实数,,x y z 满足322223
3,5,4,x y y z z x +=+=+=则xy yz zx ++的最小（ ）
A B C D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上.
13．点P 是抛物线
2
14
y x =上一个动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与点P 到直线1-=x 的距离和的最小值是
．
14．（理科）函数55()(1)(1)f x x x =++-的单调减区间为 ．
（文科）如果5(1)mx -的展开式中3x 的系数为80，那么实数m 的值应当是___________． 15．已知x ，y ∈R ，且1,
1,
y y x ≤???
≥-??则x+2y 的最大值是______．
16．下列四个命题：①圆4)1()2(22=+++y x 与直线02=-y x 相交，所得弦长为2；②直线kx y =与圆
1)sin ()cos (22=-+-θθy x 恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表
面积为108π；④若棱长为2的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为.2
3
π其中，正确命题的序号为 ．写出所有正确命的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10
分）已知向量55
2
),sin ,(cos ),sin ,(cos =
-==b a ββαα． （Ⅰ）求的值)cos(βα-； （Ⅱ）若2
02
π
αβπ
<
<<<-
，且αβsin ,13
5
sin 求-
=的值．
18．（本小题满分12分）（理科）有A ，B ，C ，D 四个城市，它们都有一个著名的旅游点，依此记为a ，
b ，
c ，d.把ABCD 和a ，b ，c ，
d 分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右两边的字母全部连接起来，构成“一一对应”，已知每连对一个得2分，连错得0分． （Ⅰ）求该爱好者得分的分布列； （Ⅱ）求该爱好者得分的数期望．
（文科）西安万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为5
1
，若中奖，则家具城返还顾客现金200元. 某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券.
（I ）求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率； （II ）求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．
19．（本小题满分12分）如图，已知△ABC 是正三角 形，EA 、CD
都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a ，DC=a ，F 是BE 的中点．求证：
（I ）FD ∥平面ABC ； （II ）AF ⊥平面EDB ．
20．（本小题满分12分）（理科）已知函数75
()1
x f x x +=
+，数列{}n a 满足：11220n n n n a a a a ++-+=且0n a ≠.数列{}n b 中,1(0)b f =且(1)n n b f a =- (I) 求证:数列1
{
}n
a 是等差数列； (II) 求数列{||}n
b 的前n 项和n T ；
(III) 是否存在自然数n ，使得（2）中的(480,510)n T ∈.若存在,求出所有的n ;若不存在,请说明理由. （文科）已知函数432()41f x x x ax =-+-在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上递减． （I ）求a 的值；
（II ）设2()1g x bx =-，若方程()()f x g x =的解集恰有3个元素，求b 的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知椭圆方程为22
128
x y +=，射线2(0)y x x =≤与椭圆的交点为,M 过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于B A 、两点（异于M ）．
（I ）求证: 直线AB 的斜率2AB k =； （II ）求△AMB 面积的最大值．
22．（本小题满分12分）（理科）定义在（0，+∞）上的函数)1,()(1>∈-=p Q p x px x f p
且. （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；
（Ⅱ）对于任意正实数a 、b ，设.:,111q
b p a ab q p q
p +≥
=+证明 （文科）已知数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，对于任意n ≥2，3S n －4，a n ，13
22
n S -- 总成等差数列．
（I ）求数列{}n a 通项公式a n ；
（II ）若数列{}n b 满足3n n b S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
参考答案
一、选择题
１．（理科）C ．4
424
1(1)(1(2)4i i i i
---=-=--=. （文科）C ．图中阴影部分所表示的集合为()U A B u e,∵{
1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,2,3,4,5,6}A B = ，(){7,8,9}U A B ∴= u e．
2． A ．注意(),a b 是向量的坐标表示，将2x =-代入知道，方程成立．
3．D. 将函数关系变形为2sin sin 3(sin 1)(sin 2)55y x x x x =-+=+-+≤．显然，当sin 1x =-时，
max 5.y =
4． D ．设F 2 (c , 0)，M (0 ,3c)，依照MF 2中点N (2c 3,2c )在双曲线上，得22
22b
4c 3a 4c -=1，即
)
a c (4c 3a 4c 22222--=1)1e (4e 34e 22
2--?=1．注意到e >1，解得e =3+1．
5． B ．如图，30,30ACD ADB ∠=∠= ，而
400AC =．在Rt ADB ?中，2200AD AB ==．
在Rt ADC ?中，24400AC AD AB ===， 所以 100AB =．
6．A ．依照实际体验，不难作出判断与正确的选择．
由题意知
7．(理科) B ．若q=1, 则S 3、S 9、S 6 不成等差数列,即 1.
q ≠()
936
2111111q q q q q q
---=+
---, 解得q 3=－2
1
.
（文科）A ．由873411,21a a =
=+得76
211
1,13a a ==+ 类似有651311,8a a =
=+54811,5a a ==+43
51
1,3a a ==+从而332a =．
8．C ．由题意知02
π
θ-
<<，从而tan 0θ<.此时有
cos sin sin 0cos sin ,a θθθθθ=->->?>-
即有 1tan 0.θ-<< 对照选择支．
9．C ．4个密码的位置里先选2个位置，用6和9排，有2
4A 种排法；再在剩余的2个位置里填上3就可以
了．显然总数是2
412A =．
D
10．A ．由已知不等式，得2
214x x m m +-<．设12x
t ??
= ???
，由于(],1x ∈-∞-，则2t ≥，于是有
222111(6424
x x
t t t +=+=+-≥．便得2
6m m -<，解得23m -<<． 11．A ．当x y =
时，等式
)
1y
x =显然成立．再取特殊值，可以否定B ，C ，D ．
12．（理科）C ．由２元均值不等式，得
1122x y y x +
++≥
=≥（文科） C ．解已知中关于322,,x y z 的三元一次方程，得3221,2,3x y z ===
，于是有四组解：1,x y z ===
1,x y z ===
1,x y z ==
1,x y z ===从
而，当1,x y z ===xy yz zx ++
二、填空题
13．2．由于x y 42=的准线是1-=x ，所以点p 到1-=x 的距离等于P 到焦点F 的距离，故点P 到点
)1,0(-A 的距离与P 到x =1-的距离之和的最小值是2=FA ．
14．（理科）(),0-∞．对函数求导数，得 /442()5(1)5(1)20(1)f x x x x x =+--=+．
由/2()20(1)0,f x x x =+<得0x <．
（文科）2．因为555155()(1)(1)r r r r r r
r r T C mx m C x ---+=?-=-???，所以由35=-r ，得 2=r ．由33580m C ?=，得2m =．
15．利用线性规划求最值. 可行域为三角形，其顶点为 ()()()0,1,1,0,2,1，当x+2y 过()2,1 时最大，其最
大值为4．
16．②④．直线恒过定点()0,0始终在圆上，即直线与圆恒有公共点；或由圆心)sin ,(cos θθ 到0=-y kx 的
距离
1
11
|
sin cos |2
22
++≤
+-k k k k θθ=1=r ，故直线与圆恒有公共点，②正确；棱长为a 的正四面体的外接球
半径R =
∴=?=∴,23
246,46R a V 球=
π2
3， 所以④正确．
三、解答题
17
．（Ⅰ）1=
1=，
)s i n s i n c o s (c o s 222
2
βαβα+-+=+?-=- )cos(211βα--+=．
545522
=???
?
??= ， 5
3
)cos(54)cos(22=-=
--∴βαβα得 （Ⅱ）0,
02
2
π
π
βααπ-
<<<<
∴<< ．
由 53)cos(=
-βα， 得54)sin(=-βα． 由 135sin -=β 得13
12
sin =β
[]ββαββαββααs i n )c o s (c o s )s i n ()(s i n s i n -+-=+-=∴ 65
33
135(53131254=
-?+?=
18．（理科）（I ）设答对题的个数为y ，得分为ξ,y=0，1，2，4；所以ξ=0，2，4，8．
24
9
9)0(4
4==
=A P ξ， 31
2481)2(4
424==?==A C P ξ， 41
2461)4(4
4
2
4==?==A C P ξ， 241
1)8(4
4
==
=A P ξ， 则ξ
（II ）E ξ=0×
249+2×31+4×4
1
+8×241=2． 答：该人得分的期望为2分．
（文科）（I ）家具城恰好返还给该顾客现金200元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖．
125
48
)54(51(213
=
?=C p ．
（II ）设家具城至少返还给该顾客现金200元为事件A ，这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事件
1A ，这位顾客有且只有两张中奖为事件2A ，这位顾客有且只有三张中奖为事件 3A ，则
123A A A A =++，1A 、2A 、3A 是互斥事件． 123()()()()P A P A P A P A =++
3
33223213)51()54(51()54()51(c c c +?+?=
12511251212548++= 125
61=
．
19．(I)取AB 的中点M ，连FM 、MC ．
∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点， ∴ FM ∥EA, FM=
1
2
EA ． ∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ，
∴ CD ∥EA ， ∴ CD ∥FM ．
又 DC=a ，∴ FM=DC ，∴四边形FMCD 是平行四边形．
∴ FD ∥MC ，FD ∥平面ABC ． （II ）因为M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形， 所以CM ⊥AB ．
又因为CM ⊥AE,所以CM ⊥面EAB, CM ⊥AF, FD ⊥AF ． 因为F 是BE 的中点，EA=AB ，所以AF ⊥EB ． 20．（理科）（I ） 由11220n n n n a a a a ++-+=得
11112
n n a a +-=, 所以,数列1
{
}n
a 是等差数列. (II)而1(0)5
b f ==,所以
117(1)5
511
a a -+=-+,
11725a a -=,所以11a =,
11
1(1)2
n n a =+-, 所以 21n a n =
+. 72
7(1)6n n n
a b n n a -=
=-+=-. 当6n ≤时,(11)(56)22
n n n n T n -=
+-=, 当7n ≥时,261160
15(16)22
n n n n T n --+=++-=. 所以，2(11)
,6;2
1160,7.2
n n n n T n n n -?≤??=?-+?≥??
（III ）不存在这样的自然数．
如果存在必定7n >,而在7n >时n T 是递增的,而36n =时,480n T =, 37n =时, 511n T =,所以不存在这样的自然数.
（文科）（I ）求导数，得32'()4122f x x x ax =-+．
由题设可知1x =是'()0f x =的根，4a =．
（II ）由22
()()(44)0f x g x x x x b =?-+-=有三个相异实根，故方程2440x x b -+-=有两个相
异实根， 所以，164(4)0,
40,
b b ?=-->??
-≠?04b b ?>≠且．
故b 的取值范围是(0,4)(4,)+∞ ． 21．（I ）∵ 斜率 k 存在，不妨设k ＞0，求出 M （1-， 2-）；
直线 MA 方程为)1(2+=+x k y ，
直线 MB 方程 )1(2+-=+x k y ．
分别与椭圆方程联立，可解出22444A k k x k --=+，2244
4
B k k x k +-=+，
∴
2)
2(=-++=--B
A B A B A B A x x x x k x x y y ，
∴ 2=AB k ．
（II ）设直线AB 方程为m x y +=2，与24
2
2
=+y x 联立，消去y ，得 mx x 482+0)8(2=-+m ．
由?> 得-4＜ m ＜4，且 m ≠0，点
到 AB 的距离为5
||m d =
．
222m -162
5
28-m -)2m (5AB ==．
设△MAB 的面积为S ，所以
4)2
16
(161)16(161||41222222=≤-==
?m m d AB S ． 当22±=m 时，得2max =S ． 22．（理科）（Ⅰ）.1)(11
-='-p
x
x f
,011
<-p
∴由)(x f '=0，得x=1．
当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化如下表：
又)(),1()(,1)1(x f f x f p f 即所以≤-=的最大值为p －1. （Ⅱ）由（Ⅰ）得.011≤+--p x px p
设,01
11,01,≤+-?-≤+--?=p b a p b
a p
b a b a p b a x q p p
q q p p q q p 即则
∴,,11,1111q b p a ab q b a p b
a q p
b a p b a
q p q
p
q q p q
p q p q p +≤+?≤=-≤?--即所以
将.,111q
b p a ab q p q p +≤=+得代入 （文科）（I ）∵n ≥2时，3S n －4，a n ，2－
13
2
n S -总成等差数列， ∴1323422n n n a S S -=-+-13333
()222222
n n n n n S S S a S -=-+-=+-，
即 34n n S a =+， ∴ 1134n n S a ++=+．
两式相减，得 113n n n a a a ++=-，
2
1
1-=+n n a a ． ∴a 2，a 3，…a n ，…成等比数列．
∵a 1=2 当n =2时，a 2= 1-，
∴a 1，a 2，a 3，…a n ，…成等比数列，
∴a n =21
1()2
n --．
（II ）由（I ）得 34n n n b S a ==+， ∴
12n n T b b b =+++
12(4)(4)(4)n a a a =++++++
4n S n =+．
∵
14214
()3323n n n a S -+=
=-+， ∴ 1214
()4
323
n n T n -=-++．