组合数学
第八讲 组合数学
组合数学是中学数学竞赛的“重头戏”，具有形式多样，内容广泛的特点.本讲主要围绕组合计数，组合恒等式及组合最值展开
例1．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？
解：易见，第k 号点能被染红的充要条件是
?j ∈N *?{0}，使得a 0?2j ≡k (mod800)，1≤k ≤800 ①
这里a 0是最初染的点的号码，为求最大值，不妨令a 0=1.即2j ≡k (mod25×52). 当j=0,1,2,3,4时，k 分别为1,2,4,8,16，又由于2模25的阶20)2(25=δ，因此，当j ≥5时
2j+20-2j =2j (220-1)≡0(mod 800),
而对?k<20,k ∈N *，及j ≥5,j ∈N *，由于25+(2k -1)，所以
2j+k -2j =2j (2k -1)不为800的倍数. 所以，共存在5+20=25个k ，满足①式。
注：本题解法不止一种，但利用些同余理论，可使解法简洁许多.
例2．集合X 的覆盖是指X 的一族互不相同的非空子集A 1、A 2、…、A k ，它们的并集A 1∪A 2∪…∪A k =X ，现有集合X={1,2,…,n}，若不考虑A 1, A 2,…, A k 的顺序，试求X 的覆盖有多少个？
解：首先，X 的非空子集共有2n -1个，它们共组成了n
2
1
2--1个非空子集族.其次，
这些子集族中，不合某一元素i 的非空子集组成的非空子集族有(
)
n 121
21---个；不含两
个元素的子集组成的族有(
)
n 2
2
1
21---个；依次类推，则由容斥原理，X 的覆盖共有
()() --+
--
------)12
()12
()12
(1
22
1
21
1
221n n n n n
=())12
()
1(1
20
1---=-∑n n j
n
j j 个.
注：有些组合计数问题直接计数较难，但从反面考虑简洁明了.
例3．已知集合X={1,2,…,n}，映射f ：X →X ，满足对所有的x ∈X ，均有f(f(x))=x ，求这样的映射f 的个数.
解：设n 元中有j 个对x 、y 满足f(x)=y 且f(y)=x ，其余的满足f(x)=x ，则 当j=0时，仅一种映射，即恒等映射.
当j>0时，每次取两个作为一对，共取j 对有n n 2n 2j 2222--+?????? ???
???????
种取法.
则不考虑j 对的顺序，有
n n 2n
2j 2n 1!(2j 1)!!
2222j j --+????
????=?- ? ?
? ?????????
. 因此，映射f 的个数为n 2j 1n 1(2j 1)!!2j ??
????
=??
+?- ???
∑ .
注：这些计数问题，以多次在国际竞赛中出现，但对于一般地情况(f (n)(x)=x)下的映射计数，尚无较好的结论.
例1．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？
解：易见，第k 号点能被染红的充要条件是
?j ∈N *?{0}，使得a 0?2j ≡k (mod800)，1≤k ≤800 ①
这里a 0是最初染的点的号码，为求最大值，不妨令a 0=1.即2j ≡k (mod25×52). 当j=0,1,2,3,4时，k 分别为1,2,4,8,16，又由于2模25的阶20)2(25=δ，因此，当j ≥5时
2j+20-2j =2j (220-1)≡0(mod 800),
而对?k<20,k ∈N *，及j ≥5,j ∈N *，由于25+(2k -1)，所以
2j+k -2j =2j (2k -1)不为800的倍数. 所以，共存在5+20=25个k ，满足①式。
注：本题解法不止一种，但利用些同余理论，可使解法简洁许多.
例4．S 为{1,2,…,n}的一些子集族，且S 中任意两个集合互不包含，求证：S 的
元素个数的最大值为n n 2??
??? ? ???????
(Sperner 定理)
解：考虑n 个元素1,2,…,n 的全排列，显然为n!种，另一方面，全排列中前k 个元素恰好组成S 中的某个集S i 的，有k!(n -k)!个，由于S 中任意子集互不包含，所以，这种“头”在S 中的全排列互不同.
设S 中有f k 个A i ，满足|A i |=k (k=1,2,…,n)，则
n
k k 1f k!(n k)!n!=?-≤∑,又然知n k ?? ???
在n k 2??
=????时最大，因此 当S 是由{1,2,…,n}中全部n 2??
????
元子集组成时，等号成立.
注：Sperner 定理是1928年发现，证明的方法不止一种.
例5．设M={ 1,2,3,…,2m n} (m,n ∈N *)是连续2m n 个正整数组成的集合，求最小的正整数k ，使得M 的任何k 元子集中都存在m+1个数，a 1,a 2,…a m+1，满足a i |a i+1 (i=1,2,…,m).
解：记A={1,2,…,n}，任何一个以i 为首项(1≤i ≤n)，2为公比的等比数列与A 的交集记为A.
一方面，由于M 中的2m n -n 个元的子集{n+1,n+2,…,2m n}中，若存在满足要求的m+1个数：n+1≤a 12m n ，矛盾，故不存在满足要求的m+1个数，因此所求的k ≥2m n -n+1.
另一方面，若k=2m n -n+1时，可证明M 中的任何k 元子集T 中，此有m+1个数a 1,a 2,…a m+1满足a i |a i+1 (i ≤1≤m).
反证：假设这样的m+1个数不存在，考虑2i+1为首项n 1i 2-??
≤ ???
，2为公比的等
比数列，它与集合M 的交的元素个数为|A 2i+1|+m ，由假设知，它至少有|A 2i+1|个元素不在T 中，再注意到当i ≠j 时，A 2i+1?A 2j+1=φ，可知M 中至少有
2i n-11i 2
|A +1|≤≤
∑
个元素不在
T 中，
注意到
2i 1
n 11i 2
A A +-≤≤
= 所以 2i n 1
1i 2
|M \S|A +1|A |n -≤≤
≥==，
从而 |T|≤|M|-n ≤2m n -n ，这与|T|=2m n -n+1矛盾.故假设不成立.
综上所述满足要求的最小正整数值k 为2m n -n+1. 注：这种先确定单边界限再证明最值是经常采用的.
例6．计算n
2k 1n k k =??
???
∑.
解：n
n n 2
2k 1k 1k 1n n 1n 1n k k n k k k 1k 1k ===--??????=?= ? ? ?--??????
∑∑∑，作指标变换，令l =k -1，则10
1
-→n n
l
k ，因此，
()()()11
1
111
1
)1(--=-=---=∑∑∑+==n l
n l n l n l
n k n
k l k k ,
=
()()∑∑-=--=+1
111n l n l
n l
n k k l ,
=
()1
11
2
--=+∑n n l
n
k l .
再次用n n 1n k k 1k -????
= ? ?-????
，所以
()()∑∑-=------=+?-?
=+1
1
21
1
1
1
2
1
2
n l n n l n n l
n l l
n l l
,
=()1
1
121
2
)
1(--=--+-∑n n l n l n ,
=()1
1
1
21
2
)1(--=--+-∑
n n l n l n .
作指标变换，令l -1=S ，则，20
1
1
--→n n s l 所以
()1
1
1
21
2
)1(--=--+-∑
n n l n l n =()1
20
22
)1(--=-+-∑
n n s n s
n
n 2
n 1
(n 1)22--=-+
.
所以
n
2n 2
n 1
n
2
k 1n k n(n 1)2n 2n(n 1)2
k ---=??=-+?=+ ???∑.
注：用利基本的组合恒等式及指标变换，是证明组合恒等式的重要方法之一.
例7．证明：q
k 0n m m n k q k q =+??????= ??? ?-??????
∑ (范德蒙公式)
证明：n m ,k k ????
???????? ? ?????????
因为的母函数分别为 (1+x)n 和(1+x)m
而q
k 0n m k q k =???? ???-????
∑是这两个母函数(1+x)m (1+x)n =(1+x)m+n 中x q
项的系数，又由于(1+x)m+n 中x q 的系数为m n q +??
???
，因此命题成立.
注：构造母函数法，是证明组合问题重要方法之一，但如何找到母函数，是需要长时间的体验的.
例8．设m ≤n ，证明：n
k m mn k m n k (1)(1)k m =????
-=-δ ???????∑，其中???=≠=n
m n m mn ,1,0δ.
证明：当m=n 时，上面和式仅有一项，所以n
k m k m n k (1)(1)k m =????
-=- ???????
∑.
当m n n k k k m k m n k n n m (1)(1)k m m k m ==-????????-=- ??? ??? -????????∑∑， n k n n m k m m k m ?-????????? = ? ??? ???-?????????? n k k m n n m (1)m k m =-???? =- ? ?-????∑. 作指标变换：令l =k -m ，则m n n m l k -→0 . 所以，原式= ()()m n l m n l l m n m --=+∑-0 )1(, = ()( )m n l m n l l n m m --=∑--0 )1() 1(=0. n k k 0n (1)0k =????-= ? ????? ∑ 注：我们把mn δ称为克朗耐克尔δ，在许多组合恒等证明中，基本的组合恒等式，往往是有力的武器. 例9．证明：1 2n 1 k 1k 02n 1 (1)k n 1---=??-= ?+?? ∑. 证明 易证： 2n 2111 n 2n 12n 12n 1k k k 1+?=+ +++?????? ? ? ?+?????? . 因此，由于 ()1 221 1)1(1222-=-∑-++n k n k k n n =()() ][)1(1121 1221 1 -++-=-+-∑n k n k n k k , =()()()()()()1 2121 121221 1231 1221 1 22 1 121[][][-+-++-+-+-+-+++++-+n n n n n n n n n =1 22+-n n , 所以， 1 2n 1 k 1k 02n 1 (1)k n 1---=??-= ?+?? ∑. 注：此题关键是要找到恒等式 2n 2111 n 2n 12n 12n 1k k k 1+?=+ +++?????? ? ? ?+?????? ，这种裂项的想法需要对组合数相当有“感觉”，也.是重要方法之一. 例10．设{a n }是一个给定的数列，若 b k =()l k l k l l a ∑=-0)1(，k=0,1,2,…, a n =()k n k k k k b ∑=-0 )1(，n=0,1,2,…, 则称{a n }与{b k }为一对组合互逆公式，试证明之. 证明：考虑()k n k k k k b ∑=-0)1(，由于 ()k n k k k k b ∑=-0 )1(=()()l k l k l l n k k k k a ∑∑==--0 0)1(()1(, =()()l k l n k k k k l l k a ∑∑==+-00 )1( , 记()()l k l n k l k kl a x +-=)1(，则由于 ∑∑∑∑=====n l n l k kl k k k l kl x x 000, 所以 ()k n k k k k b ∑=-0 )1(=()()l k l n k k k k l l k a ∑∑==+-00)1(, = ()()k l n k n l k k l k l l a ∑∑==--)1()1(0 , = n n l l l l k l l a a a ==-?-∑∑==0 ln ln 0 )1()1(δδ. 因此，命题成立. 注：利用交换求和及克朗耐克尔δ，证明了组合变换的互逆公式，在许多组合恒等证明中，十分有用. 例11．在平面上有n(≥3)个点，设其中任意两点的距离的最大值为d ，我们称距离为d 的两点间的线段为该点集的直径，证明：直径的数目至多有n 条. 证明：[引理]：平面上n(n ≥3)个点所组成的点集S 中，或者存一点至多能引出一条直径，或者任一点至多能引出两条直径. [引理的证明]：若每一点都至少能引出两条直径，又有一点A 能引出三条直径AB 、AC 、AD ，则不妨设AD 在AB 与AC 之间，且必须∠BAC ≤60o ，因此⊙A(d)、⊙B(d)、 · ⊙C(d)的公共部分覆盖了整个点集S ，显然与D 能引出两条直径，矛盾!引理得证(如图).下用归纳法证明原体： 显然，当n=3时，命题成立， 假设命题对k 个点成立，则当n=k+1时， 如有一点A 至多能引出一条直径，去掉A 点后， 至多还有k 条直径，故S 最多有k+1条直径，否则任一点至多能 引出两条直径，故S 最多有2(k 1) k 12 +=+条直径，从而命题成立. 注：组合几何在研究点集的组合性质时，对一般的图形也可定义直径、半径等.本问题还可推广至三维空间. 例12．已知：两个非负整数组成的不同集合},,,{1n a a a a 和},,,{21n b b b .求证：集合}1{n j i a a j i ≤<≤+与集合}1{n j i b b j i ≤<≤+相同的充要条件是n 是2的幂次，这里允许集合内，相同的元素重复出现. 证明：必要性： 构造母函数n a a a x x x x f +++= 21)(，n b b b x x x x g +++= 21)(. 所以 ∑≤<≤+=-n j i a a j i x x f x f 1222 )()(，∑≤<≤+=-n j i b b j i x x g x g 1222 )()( 所以 )()()()(2222x g x g x f x f -=-，即)()()()(2222x g x f x g x f -=-. 因为 0)1()1(=-g f ，所以)()(1x g x f x --. 所以 存在*∈N h ，使得 0)(),()()()1(≠-=-x P x g x f x P x h ， 所以 )()1()()(2222x P x x f x f h -=-， 所以 )()1()()1)](()([22x P x x P x x g x f h h -=-+， A · C · B ·D 所以 ) () ()1()()(2x P x P x x g x f h +=+. 令x=1,则h n 22=，所以，12-=h n ，即n 为2的幂次. 充分性：直接构造如下 },,,{1n a a a a 中取 ()1 2+k l 个l 2，其中 ]2 1 [,,1,0+=k l ，},,,{2 1 n b b b 中取()11 2++k l 个 12+l ,其中]2 [,,1,0k l =，则这两个集合满足要求. 注：运用母函数处理集合问题，是常见的方法，尤其注意这种集合中出现在指数上而不是系数上的母函数方法. 练习题 1. 空间n 条直线，最多能把空间分成多少块空间区域？ 2. 证明：2 n k 0n 2n k n =?????? = ? ? ????? ??∑. 3. 证明：n k k 0n 1 11 (1)1k 2 k n =????-++ +=- ???????∑. 4. 证明：在边长为1的等边三角形内有五个点，则这五个点中一定有距离小于 1 2 的两点. 浅谈如何优化小学数学课堂教学 云县茶房乡茶房完小教师肖聪贤 小学数学课堂教学是数学教学最基本的组织形式，是实现小学数学教学目的的主要途径，是在数学教师指导下使学生自觉、积极地掌握系统的数学基础知识和基本技能，发展能力，养成良好的学习习惯，形成科学的世界观和提高觉悟的活动。课堂教学的好坏直接关系到学校教育教学与人才培养的质量。同时，课堂教学的成败也是衡量一名教师教学水平高低的客观依据。尤其在当前对人才的需求以及广大教师在数学教学改革第一线所遇到的：“想改，但不知怎样改，渴求具体改革措施和方法”的实际状况，研究小学数学课堂教学最优化的任务，很现实地摆在了我们面前。如何精心设计小学数学课堂教学结构？怎样提高数学课堂教学的效益？现将在数学课堂教学最优化探 讨中的主要体会分述如下： 一、优化导入 好的新课引入不仅是新、旧知识的纽带，承上启下的桥梁，更应能引发学生学习的兴趣，启迪学生的想像力，激励学生探索新知的欲望，让学生积极思考问题，培养学生的创新思维能力，让学生学到更多的知识，为将来的发展打好坚实的基础．在新课程标准的实施过程中，就如何进行新课的引入，总结了以下几点体会，供同行们参考．（一）从学生生活经验导入新课，让学生在具体的情境中开始学习。 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动”；大量的实践也证明：当学习的材料来自于现实生活时，学生的学习兴趣会倍加高涨；当数学和学生的现实生活密切结合时，数学才是活的、富有生命力的。因此，新课导入应该关注学生的生活经验，“选择学生身边的、感兴趣的事物，提出有关的数学问题”，努力为学生创设一个“生活化”情境，让学生在生动具体的现实情景中开始数学学习，体验和理解数学。 （二）设置活动情景，激发学生学习兴趣，让学生在愉悦的体验下开始学习。 心理学的研究表明：学生的学习不仅仅是认知的参与，更需要情感的投入；只有激发起学生良好情感体验的学习，才是真正意义上的自主学习。陶行知先生说：“应创设教学中良好的师生关系，教师要以自己真诚的情感与学生交往，教师最重要的两个品质是‘亲切和热心’，教学中要使学生尽可能少地感受到威胁，因为在自由、轻松气氛下，学生才能最有效地学习，才最有利于创造力的发展。 因此，新课导入应该关注学生的情感体验，努力营造一个平等、民主、和谐、宽松、自由、安全的开课氛围，使学生在愉悦的情感体验下开始数学学习。 （三）巧用旧知，设置悬念，让学生在“启”、“发”氛围中学习。 组 合 教学目标： 1、理解组合的概念，正确区分排列、组合问题； 2、掌握组合数的计算公式； 3、通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力； 教学内容：组合的概念及组合数的计算方法 教学重点：组合的概念、组合数 教学难点：解组合的应用题 教学方法：排列与组合结合法 教学过程设计 一、知识回顾 1、排列的概念 一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2、排列数概念 一般地，从n 个不同的元素中每次取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，称为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数，记作m n A 。 3、排列数计算公式：(1)(2)(1)()m n A n n n n m m n =---+≤ !n n A n = ()! ! m n n A n m = - 二、学习新课 课题引入：通过上节课研究排列的问题出发，对比引出另一种与排列不同的计数方法，即组合。 【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任班委，共有多少种不同的方法？该问题与原问题有何区别？) 解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为2 3A ，对应的排列为： 甲 乙 乙 甲 甲 丙 丙 甲 丙 乙 乙 丙 变化后的问题对应的可能情况为： 甲 乙 甲 丙 丙 乙 分析：与排列不同的是，这个问题是从3个不同的元素中取出2个，而取出的这两个元素是一个组合，没有顺序。这就是本节课研究的另外一个计数问题，组合问题（引出组合的概念） 组合 一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 分析：对比排列和组合的定义，同样是从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，而排列是把取出的m 个元素按照一定的顺序排成一列，也就是说排列与元素的顺序有关，而组合单单是把取出的m 个元素并成一组，与元素的顺序无关。 组合数 同样地类似于排列，我们研究从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为m n C 。 【问题2】从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的排列？（若改为从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的组合？） 解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为2 3A ，对应的排列为： ab ba ac ca bc cb 变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为2 3C ，对应的组合为： ab ac bc 总结：通过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若果与顺序无关，则是组合问题。 通过例题讲解区分排列与组合问题。 【例1】判断下面问题是排列问题，还是组合问题？ (1) 从6个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？ (2) 从6个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 解：(1)选出的2个风景点，不必明确游览顺序，这是一个组合问题，对应的组合数为2 6C （先 组合数学 第一章 排列和组合 1.1 计数的基本原则 相等原则：设A 、B 是两个有限集，如果存在由A 到B 上一个一一对应映射（即双射），则 |A|=|B|. 加法原则：设A 是有限集，),,...2,1(k i A A i =? 如果 k i i A A 1 == 且 =j i A A φ（1≤i ＜j ≤k ），则 ∑== k i i A A 1 . ★ 定理1.1 已知做一件事要经过两个步骤，完成第一个步骤的方法有m 种，完成第一个步骤之后，完成第二个步骤的方法有n 种，则做这件事情的方法共有mn 种. ★ 定理1.2（乘法原则）：已知做一件事情要依次经过k 个步骤，且在已完成前面i-1（1≤i ≤k ）个步骤的情况下，完成第i 个步骤有i n 种方法，则做这件事情的方法共有 ∏==??????k i i k n n n n 1 21 种. 1.2 排列 n 元集的r-排列 ? 定义1.1 设A 是n 元集，如果序列r a a a ???21中的r 个元 r a a a ,,,21???都属于A 且 彼此互异，则称序列r a a a ???21是n 元集A 的一个r-排列，并称k a （1≤k ≤r ）是该r-排列的第k 个元，或称k a 在该r-排列中排在第k 位. ? 定义1.2 n 元集A={n a a a ,,,21???}的n-排列称为n 元集A 的一个全排列，亦称为由 n a a a ,,,21???作成的一个全排列. 定理1.3 设n ，r （n ≥r ）是正整数，以P(n,r)表示n 元集的r-排列的个数，则 )! (! )1()1(),(r n n r n n n r n P -= +-???-= 推论1.1 n 元集的全排列的个数为n ！ n 元集的r-可重复排列 ? 定义1.3 设A 为n 元集，如果序列r a a a ???21的元素都属于A ，则称序列r a a a ???21是n 元集A 的一个r-可重复排列. ★ 定理1.4 n 元集的r-可重复排列的个数为r n . 多重集的排列 ? 定义1.4 由k k a n a n a n 个个个,,,2211???组成的集合M 记为 },,,{2211k k a n a n a n M ??????=，M 称为多重集，也称M 是一个n-多重集，其中k n n n n +???++=21. ? 定义1.5 设},,,{2211k k a n a n a n M ??????=，π是集合},,,{21k a a a A ???=的一个n-可重复排列且π中有k k a n a n a n 个个个,,,2211???，则称π是多重集M 的一个全排列，此时也称π是由k k a n a n a n 个个个,,,2211???作成的全排列。 ★ 定理1.5 多重集},,,{2211k k a n a n a n M ??????=的全排列的个数为 ! !!)! (2121k k n n n n n n ???+???++ ? 定义1.6 设},,,{2211k k a n a n a n M ??????=和},,,{2211k k a s a s a s A ??????=都是多重 数学广角 《课题一排列组合》教学设计 教学内容： 《义务教育课程标准实验教科书·数学（二年级上册）》第99页的的内容---排列、组合。 教材分析： 课标中指出数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本节课我试图在渗透数学思想方法方面探索和研究，通过学生日常生活中简单的事例呈现出来，并运用操作、演示等直观手段解决问题。在向学生渗透这些数学思想和方法的同时，初步培养学生有顺序地、全面地思考解决问题的意识。教学目标： 1使学生通过观察、猜测实验等活动，找出最简单的事物排列数和组合数。 2培养学生初步的观察能力、分析能力及推理能力 3初步培养学生有序的全面思考问题的意识。 情感态度与价值观：通过解决生活中的一些实际问题，感受数学与生活的密切联系培养学生积极思维的品质。 教学重点：有序排列的思想和方法 过程与方法：通过实践活动，经历找排列数与组合数的过程，体验排 列与组合的思想方法。 课时：1课时 教学设计 情景导入 师：同学们喜欢去广场吗？为什么？ 走进新课 师：今天我们也要到一个有意思的地方，哪呢？课件（数学广角）对，那里没有好吃的，好玩的，但是那里有趣的数学问题等待我们开动我们聪明的小脑袋瓜儿解决他们，想去吗？ 在去之前，我们先打扮一下自己，穿上漂亮的衣服，老师这有四件衣服（课件）你喜欢那套衣服，同学们有这么多的选择。那到底能搭配多少套呢？拿出手中的学具摆摆看。 学生分组讨论 汇报交流 同学们表现的真不错，你喜欢那一套，我们就在心理穿上你喜欢的衣服去数学广角了。 展开活动 1、开启大门 数学广角的大门是由1和2 这两个数字摆成的两位数，这道 门的密码可能是那些数？ 生；12、21。 师：这两个数字有什么不同？ 组合数学课后标准答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。 任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。 数学课堂教学方法 充分关注学生课堂表现，调动学生的学习积极性，体现学生的主体地位 在教学过程中，教师要随时了解学生对所讲内容的掌握情况。如在讲完一个概念后，让学生复述;讲完一个例题后，将解答擦掉，请中等水平学生上台板演。有时，对于基础差的学生，可以对他们多提问，让他们有较多的锻炼机会。同时教师根据学生的表现，及时进行鼓励，培养他们的自信心，让他们能热爱数学，学习数学。 学生是学习的主体，教师要围绕学生展开教学，在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。根据课堂教学内容的要求，教师要精选例题，关键是讲解例题的时候，要能让学生也参与进来。教师应腾出十来分钟时间或更多的时间，让学生做做练习或思考教师提出的问题，或解答学生的提问，以进一步强化本堂课的教学内容。若课堂内容相对轻松，也可以指导学生进行预习，提出适当的要求，为下一次课做准备。 恰当使用多媒体教学 计算机辅助教学是中学数学教育现代化的一个重要标志。采用现代化的教学手段是时代的需要，更是历史赋予我们的重任。它以图文并茂、声象俱佳、动静皆宜的表现形式，展示了数学的本质及内涵，良好的改善了认知环境，大大增强了学生对抽象事物与过程的理解和感受，从而将数学课堂教学引入了一个全新的境界，所以被广泛的应用。可是一旦为其不可，缺其不行，那也会将其引入一个误区――教学过程自动生成，教师起不到应有的示范作用。 因为没有了教师的板书示范，学生往往在书写过程中丢三落四，师生间不能针对问题进行有效的沟通，阻碍学生的思维，使教学的亲和力下降，教学效果大打折扣。因此教师在使用计算机辅助教学时，必须合理恰当。要有必要的板书示范，制作课件也切忌哗众取宠。应把解决数学问题放在首位，让数学自身魅力放出光芒。不仅于此，还要充分认识到计算机是辅助教学，而不是教学的主宰，我们应根据内容精心制作合适的多媒体课件，使之更加贴近学生的认知结构，进而达到最佳的教学效果。 3 激发学生数学学习兴趣 创设问题情境，引发积极思维 前苏联教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于教授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦。”因此，教师应精心设计问题情境， 《简单的排列组合》教学案例分析 【教学背景】 在日常生活中，有很多需要用排列组合来解决的知识。如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等。在数学学习中经常要用到推理，如加法和乘法的一些运算定律的推导过程，能被2、5、3整除的数的推导等。这节课安排生动有趣额活动，让学生通过这些活动进行学习。例1给出了一副学生用数学卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，先用2个卡片摆，学生通过操作感受摆的方法以后，再用3个卡片摆；然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复、不遗漏。 【教材分析】 “数学广角”是新编实验教材新增设的内容，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，这部分内容重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地全面思考问题的意识。 【教学目标】 ．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的 排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 【教学重点】经历探索简单事物排列与组合规律的过程【教学难点】初步理解简单事物排列与组合的不同 【教学准备】多媒体、数字卡片。 【教学方法】观察法、动手操作法、合作探究法等。 【课前预习】 预习数学书99页，思考以下问题： 、用1、2两个数字能摆出哪些两位数？ 2、用1、2、3这3个数字能摆出哪些两位数？可以动手写一写。 3、想一想：你是怎么摆的，先摆什么，再摆什么？有什么好方法才会不遗漏，不重复。 【教学准备】PPT 【教学过程】 …… 一、以游戏形式引入新课 师：同学们，今天老师带大家去数学广角做游戏。在门 组合数学论文 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。 广义的组合数学就是离散数学，离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。 组合数学中有几个著名的问题： 地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？这是图论的问题。 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？ 这是线性规划的问题。 中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。 货郎问题：一个货郎要去若干城镇卖货，然后会到出发地，给定各个城镇之间的旅行时间，应怎么样计划他的路线，使他可以去每个城镇而且所用的时间最短。这个问题至今都没有有效的算法。 这几个问题将组合数学研究的问题具体表现出来，同时也可以看出他在我们生活中有着很重要的地位。 组合数学中主要可以分成以下几个部分：排列组合与容斥原理、二项式定理、递推关系与生成函数、polya定理。下面我将以这四个部分分别介绍组合数学的各方面问题。 1、排列组合与容斥原理： 排列组合里面的4个重要的基本原理：加法原理、乘法原理、减法原理、除法原理 前面两个最为基本，后面两个是根据前两个派生出来的。乘法原理有的时候的应用很巧妙，可以作为一种打开思路的办法。 数学课堂教学的特点 淇县实验学校张红芳 初中八年级的数学教学就有一定的难度，怎样能高效的上好数学课了？教师们应该掌握课堂教学的特点。数学课堂应有以下几方面的特点： 1）为学生创设宽松和谐的学习环境好的课应当有宽松和谐的学习气氛，使学生能在探索和学习过程中产生丰富的情感体验。上“板着面孔”的课，学生可能会掌握有关的知识技能，但他们不会对学习数学产生兴趣，也不会有积极主动地参与热情。宽松和谐的环境并不意味着只有通过游戏或生动的情境才能实现，教师生动的语言，和蔼的态度，富有启发性和创造性的问题，有探索性的活动等都可以为学生创造和谐的环境。如“大数目的认识”，让学生说出生活中的大数目，提供一万人、几万人的情境，让学生亲自数一数一万粒大米有多少。这样一些活动，都为学生提供了和谐的气氛。 2）关注学生的学习过程，让学生有体验数学的机会新课程的一个重要理念就是为学生提供“做”数学的机会，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学。数学学习，特别是新概念、新方法的学习，应当为学生提供具体的情境，让学生在实际的操作、整理、分析和探索中去体会数学。如认识圆时，给学生不同的工具，让学生选择几种，通过交流体会合作画出一个圆来。在画的过程中，学生既体会到圆的特征，也体验了“做”数学的乐趣。 3）为学生创设了思考的空间和时间好的课堂教学应当是富于思考的，学生应当有更多思考的余地。学习归根结底是学生自己的事，教师是一个组织者和引导者。学习的效果最终取决于学生是否真正参与但学习活动中，是否积极主动地思考。而教师的责任更多的是为学生提供思考的机会，为学生留有思考的时间与空间。最简单的一个指标是教师提问以后是否给学生一定的思考时间，至少用几秒钟让学生思考，而不是急于下结论，判定学生会不会，特别是那些需要深入理解和需要一定的创造性才能解决的问题，更要让学生有一定的思考时间。 4）一堂好课应该注重学生有效学习，关注课堂效率有效学习一定是有价值的学习，对学生有用的学习，是针对学生普遍需要解决的问题及进行的学习。例如有老师在上复习课时，一共出了八道题，一道一道讲，刚讲完第六道题的时候，下课了。我们发现在学生中间，这些题只有两三个同学不会，但老师还要从头到尾全班讲，这种现象很普遍，所谓复习课几乎都是这样进行的，没有提出一个有效学习的针对性问题，集体浪费时间，只是为了完成所谓的教学任务、教学计划。可想而知，这样的课堂教学的有效性有没有。有效率的课是学生积极参与课堂，而不是去“迎合”老师的问题，学生敢于提出自己的问题，能提出有深度的问题。所以，一堂好课也是解决了学生问题的课。评课时，最终是要观察学生能不能提出问题，解决问题。一是解决他提出的问题，而是解决他在此过程中带出别的问题。问题解决了，就是好课，是有内容的课，有效率的课，也就是充实的课，是关注学生发展的课。有效率的课应当关注学生的差异，尊重不同学生在知识、能力、兴趣等方面的需要。应当有针对性地设计不同层次的问题、不同类型和不同水平的题目，使学生都有机会参与教学活动，都能在学习过程中有所收获。 5）运用灵活的方法，适应学生的事迹和内容的要求。教学方法的选择和运用应根据不同年龄和不同发展水平学生的需要，同时也要符合不同的学习内容。探索与发现的方法是值得提倡的，但并不是所有的内容都应当用这样的方法. 评价课堂教学，应该看着堂课是否有新意，是否符合学生实际，是否体现以学生为主体，是否以学生发展为本，是否有让新思想、新观念、新信息、新内容进入课堂。 《组合数学》课程教学大纲 课程英文名Combinatorics 执笔人：晁福刚编写日期：2010.7.9 一、课程基本信息 1. 课程编号：07010132 2. 课程性质/类别：限选课/专业基础课 3. 学时/学分：48学时/ 2学分 4. 适用专业：数学与应用数学信息与计算科学专业 二、课程教学目标及学生应达到的能力 组合数学主要研究一组离散对象满足一定条件的安排的存在性，以及这种安排的构造、枚举计数及优化等问题，这是整个离散数学的一个重要组成部分。 《组合数学》课程的教学目标是通过本课程的学习，使学生初步掌握组合数学的基本原理和思想方法。了解和掌握并会应用鸽巢原理、排列与组合、容斥原理、递推关系、生成函数等组合数学基本知识。 三、课程教学内容与基本要求 （一）鸽巢原理（8学时） 1．主要内容： 鸽巢原理的简单形式，鸽巢原理的加强形式，Ramsey问题与Ramsey数，Ramsey 数的推广。 2．基本要求 1．了解鸽巢原理的简单形式和加强形式，会用鸽巢原理解决简单的问题。 2．了解Ramsey问题的历史由来，会求简单的Ramsey数，Schur数。 3．自学内容：无 4．课外实践：无 （二）基本计数问题（10学时） 1．主要内容： 加法原则与乘法原则，排列与组合，多重集合的排列与组合，二项式系数，集合的分划与第二类Stirling数，正整数的分拆，分配问题。 2．基本要求 1．了解加法原则和乘法原则，会求简单的排列组合问题。 2．掌握多重集合的排列和组合技巧。 3．会证明组合恒等式。 4．了解集合的分划与第二类Stirling数，知道两类数之间的关系。 5．知道正整数分拆问题的递推关系及研究进展。 6．知道一些简单的分配问题的解法。 3．自学内容： 排列组合 组合数学简介 卡特兰数 Catalan，Eugene，Charles，卡特兰（1814～1894）比利时数学家，生于布鲁日（Brugge），早年在巴黎综合工科学校就读。1856年任列日（Liege）大学数学教授，并被选为比利时布鲁塞尔科学院院士。 卡特兰一生共发表200多种数学各领域的论著。在微分几何中，他证明了下述所谓的卡特兰定理：当一个直纹曲线是平面和一般的螺旋面时，他只能是实的极小曲面。他还和雅可比（Jacobi，C·G·J）同时解决了多重积分的变量替换问题，建立了有关的公式。 1842年，他提出了一种猜想：方程xz－yt＝1没有大于1的正整数解，除非平凡情形32－23＝1。这一问题至今尚未解决。 （mathoe注：即除了8、9这两个连续正整数都是正整数的方幂外，没有其他。1962年我国数学家柯召以极其精湛的方法证明了不存在三个连续正整数，它们都是正整数的方幂，以及方程x2－yn＝1，n＞1，xy≠0无正整数解。并且还证明了如果卡特兰猜想不成立，其最小的反例也得大于1016。） 此外，卡特兰还在函数论、伯努利数和其他领域也做出了一定的贡献。 卡特兰通过解决凸n边形的剖分得到了数列Cn。 凸n＋2边形用其n－1条对角线把此凸n＋2边形分割为互不重叠的三角形，这种分法的总数为Cn。 为纪念卡特兰，人们使用“卡特兰数”来命名这一数列。 据说有几十种看上去毫不相干的组合计数问题的最终表达式都是卡特兰数的形式。 卡特兰数在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等都会有其不同侧面的介绍。 前几个卡特兰数：规定C0＝1，而 C1＝1，C2＝2，C3＝5，C4＝14，C5＝42， C6＝132，C7＝429，C8＝1430，C9＝4862，C10＝16796， C11＝58786，C12＝208012，C13＝742900，C14＝2674440，C15＝9694845。 递推公式 圆周上有标号为1，2，3，4，……，2n的共计2n个点，这2n个点配对可连成n条弦，且这些弦两两不相交的方式数为卡特兰数Cn。 2003年浙江省小学数学夏令营竞赛考了这个题：圆周上10个点可以连成既不相交，也没有公共端点的5条线段，不同的连法共有_____种。 答：方法的种数是卡特兰数C5＝42，此题被收录进单墫主编的知识出版社出版的《华数奥赛强化训练》小学六年级册的“计数问题”专题。 共六种类型，第1类有5种连法，第2类有2种连法，第3类有10种连法，第4类有10种连法，第5类有10种连法，第6类有5种连法。共有42种连法。 排列组合习题精选 一、纯排列与组合问题： 1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？ 2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ） A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m 个车站，为了适应客运需要新增加n 个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 （ ） A.12个 B.13个 C.14个 D.15个 答案：1、2936C = 2、2972A = 3、选 B. 设男生n 人，则有2138390n n C C A -=。4、22 58m n m A A +-= 选C. 二、相邻问题： 1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？ 2. 有8本不同的书， 其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( ) A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案：1.24 2448 A A=(2) 选 B 325 3251440 A A A= 三、不相邻问题： 1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？ 2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？ 3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（） A.2880 B.1152 C.48 D.144 4.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？ 5.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？ 6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？ 7. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？ 8. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是（） A.28种 B.84种 C.180种 D.360种 浅谈如何提高小学数学课堂教学的有效性 教学有效性，始终是课堂教学的生命线。在小学数学课改实施过程中，我们的课堂教学也发生了翻天覆地的变化：以往的“填鸭式”变成了“自主探索”，学生的个性得到了张扬，教学气氛活跃。然而，我们不难看出，华丽的“外衣”、热闹的“学习活动”掩饰不了形似神离的痕迹，放任而浮躁，也折射出一个令人深思的问题——随着课程改革的不断深入，如何创造宽松、和谐且便于学生思考、乐于探究的优质课堂教学就显得尤为重要，但打造高效的小学数学课堂更是关键。怎样才能实现课堂的高效呢? 一、准确解读，创造性地使用教材 数学是一门系统性、逻辑性都很强的学科，各部分知识之间的纵横联系十分紧密。教师解读教材要做到“瞻前顾后”，既要关注学生已有的知识基础和生活经验，也应关注相关知识的后续学习任务及要求。同时，解读教材要做到“入木三分”，如果没有对教材的深入解读，也就不可能有对教材的正确解读、准确把握，留下的只是对教材的“背离”和“误读”。因此，唯有以审慎的态度解读教材，并从教材“出发”，对其进行合理的加工、重组、改造，才能真正做到超越教材，实现科学、有效、创造性地使用教材，使课堂教学更有效率。比如，教学三年级初步认识平均数“比一比”时，学生在操作中通过“移多补少”理解平均数的统计意义后，依托“平均分”的基础，借鉴“移多补少”法求平均数的经验，学生不难想到用“先合后分”的方法来直接求平均数。接着拓展情景，深化对平均数本质的理解，设计以下教学环节，结合统计图观察，虚线表示的平均数6和最多的比怎样？和最少的比呢？使学生明白平均数一定会在最多与最少之间，接着让学生观察：比平均数6个多的有谁？比平均数6少的有谁？从中你有什么发现？通过讨论使学生明白多的和与少的和肯定一样多，要不就拉不平。紧接着，教师抛出问题，如果佳佳投中的不是9个，而是5个，那平均数会怎样？如果佳佳投中的比9个还要多，是13个，那平均数又是多少呢？这样三次拓展情景，使学生对一组数据的平均数介于原始数据的最大值与最小值之间、数据中每一个数与平均数之差的总和为0及平均数易受一组数据中每个数据的影响等特性有一个初步的认识，帮助学生从不同侧面丰富了这一统计量意义的构建，深化了学生对平均数内涵的理解和把握，对学生而言，通过这三个环节的教学，平均数的概念变得丰富、饱满而灵动。当然，创造性使用教材要建立在对教材的整体知识体系的把握上，并充分了解学生，理解新课程的理念。只有恰当地、科学地、灵活地处理教材，真正地为学生的全面发展设计课堂教学，才会真正实现教学的有效性。 二、创设情境，让学生的学习过程充满活力 苏霍姆林斯基指出：“教师在教学中如果无法使学生产生高昂情绪和智力振奋的内心状态，而只是不动情感的脑力劳动，就会带来疲倦。”教学情境对学生而言具有较强的吸引力，容易激发他们的好奇心和求知欲，进而促使其思维处于异常活跃的状况，更重要的是要在情境中产生数学问题，让学生在情境中发现数学问题，让学生在理解情境的情节与内容的基础上通过联想与识别，在自主学习与合作探究中找到解决问题的方法。因此，教师应营造轻松愉快的教学情境，引导学生涉境体味，使学生乐此不疲地致力于学习。 《简单的排列组合》教学反思 本节课的知识是排列和组合简单的知识，但对学生来说，教师又不能直接讲解排列组合，如何讲解比较深奥的知识，这是应该正视的问题。在处理教材时，没有直接呈现排列组合原理，而是从排列组合的基本思考方法入手——科学枚举法。因为学生只有恰当的分类，将事情的各种情况能够一一列举出来，就能够保证计数时不重复不遗漏——这是本节课的重点和难点所在。所以本节课没有要求学生解决比较复杂的计数问题，也不要求发现加法原理与乘法原理，而是要求学生通过科学枚举法，感受计数方法。在教学中，为了突破重点，从多方面想办法：一是让学生认识到排列与组合学习是生活中的必须；二是让学生通过摆、画、列表等活动，学习“不重复、不遗漏”的计数的方法。本课教学后我进行了认真反思，觉得有以下可取之处和不足之处。 一、创设情境，激发学生探究的兴趣。 创设形象生动、亲近学生生活实际的教学情景，将有效地激发学生学习的兴趣。本节课通过创设“衣服的穿法、早餐搭配、数字游戏”等与学生的实际生活相似的情境，唤起了学生“独立思考、合作探究”解决问题、注意让小组合作学习从形式走向实质。 在合作探究中，保证了合作学习的时间，并深入小组中恰当地给予指导。合作探究后，教师还能够及时、正确的评价。教师从实际的学习效果出发，考虑如何组织合作学习，有利于调动广大学生参与学习的全过程，防止合作学习走过场。 二、让学生在丰富多彩的教学活动中感悟新知。 通过组织学生参与“连一连，写一写，画一画”等教学活动，充分调动了学生的多种感官协调合作，感悟了新知，发展了数感，体验了成功，获取了数学活动经验，真正体现了学生在课堂教学中的主体作用。2、注意让小组合作学习从形式走向实质。 三、利用自主探究的学习方式。 本节课设计时，注意精选合作的时机与形式，在教学关键点、重难点时，适应地组织了同桌或四人小组的合作探究。在学生合作探究前，提出了明确的要求。 目录 摘要 (1) 1.组合数学概述 (1) 2.组合数学在生活中的应用 (1) 3.组合数学与计算机软件 (1) 3.1 信息时代的组合数学 (2) 3.2 组合数学在计算机软件的应用 (2) 3.3组合数学与计算机软件的关系 (2) 3.4组合数学在国外软件业的发展状况 (2) 4 Ramsey 数在计算机科学中的应用 (3) 4.1Ramsey 定理和Ramsey 数 (3) 4.2信息检索 (3) 参考文献 (5) 组合数学在计算机中的应用 摘要：介绍了组合数学的概念、起源与研究的主要内容,分析了组合数学的特点以及其在生活中的应用,阐述了组合数学与计算机软件的联系,并着重通过两个例子说明了Ramsey 数在计算机科学的信息检索中的重要应用。 关键词：组合数学;组合算法;Ramsey 数;信息检索; 1：组合数学概述 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。 2：组合数学在生活中的应用 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。 当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是组合数学的问题。 组合数学在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。 3：组合数学与计算机软件 随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。 离线考核 《组合数学》 满分100分 一、计算题（每小题10分，共60分。） 1、求()7 521...x x x +++的展开式中53 432 1x x x x 的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？ 在多项式()7 521...x x x +++的展开式中的项53 432 1x x x x 的系数是 1 ,3,1,0,27 C = ! 1!3!1!0!2! 7=420. 因为在它的展开式中不同项（合并同类项后）的个数等于从5个不同元素中有重复地取出7个元素的方法 数，所以不同项的个数为7 571330C +-=。 2、求从1至1000的整数中能被14或21整除的整数的个数。 解：设所求为N ，令}1000,,2,1{Λ=S ，以A ，B 分别表示S 中能被14和能被21整除的整数所成之集， 则 95 234771 3141000211000141000 =-+=?? ? ????+??????+??????=-+==B A B A B A N I Y 3、一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得： （1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子？ （5分） （2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子？（5分） 解：记7个来宾为1A ，2A ，…，7A ，则7个来宾取帽子的方法可看成是由1A ，2A ，…，7A 作成的全排列：如果i A （1≤i ≤7）拿了j A 的帽子，则把i A 排在第j 位，于是 （1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ，即等于1854。 （2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于由1A ，2A ，…，7A 作成的至少有一个元保位的全排列数，为 318618545040!77=-=-D 4、在平面上,对任意自然数n ,连接原点O 与点(,3),n P n n +用)(n f 表示线段n OP 上除端点外的整点个数,试求(1)(2)(2004).f f f +++L 解 线段n OP 的方程为 3 ,0n y x x n n += ≤≤. 如果n 与3+n 互素,则不定方程(3)0n x ny +-=不存在适合0x n ≤≤的整数解,即;0)(=n f 如果n 与 3+n 不互素,则n 与3+n 只能有公因数3,即可以设k n 3=.则通过解不定方程,有整数点 初中数学课堂教学模式 课堂教学模式是在一定教学思想指导下所建立的比较典型的、稳定的教学程序或框架。它是人们在长期教学实践中不断总结、改良教学而逐步形成的，它源于教学实践，又反过来指导教学实践，是影响教学的重要因素。它具有完整性、针对性、简约性和可操作性等特点，能较全面、客观地反映某一类教学活动情况，便于教师从整体上把握。 改革课堂教学，提高课堂教学效率，是基础教育课程改革的关键内容。课堂改革的核心是什么？就是把课堂还给学生。洋思也好，杜郎口也好，东庐也好所有成功的课堂都是“以人为本”“以学为主”的课堂。为此，在结合我区实际，借鉴外地的成功经验的基础上，构建了初中数学各课型课堂教学模式，供广大教师进行实验研究。 一、基本思路 1．数学教学模式的选择，是决定学生在课堂教学中能否很好地学会学习，获取知识、形成能力的关键因素。《数学课程标准》提出数学教育要以有利于学生全面发展为中心，倡导有意义的学习方式为基本点。在此理念下，数学教学应是数学活动的过程。教师要重视知识的发生和发展，给学生留有充分的时间与空间，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，激发数学学习兴趣，培养运用数学的意识与能力。把教学的重点放在过程和情感性目标上，指导学生在动手实践、自主探索和合作交流上下工夫，鼓励学生在课堂上发现问题，提出问题和解决问题，促进学生全面、持续、和谐地发展。 2。数学课堂的教学模式是开放性的。优秀的数学教师，不仅要学习和掌握各种类型的教学模式，还要在实践中不断加以创新，才能针对当前课程及教学内容选用恰当模式，形成自己独特的教学风格，并因材制宜地调控和综合运用最优组合模式，从而达到最佳教学效果。作为一名数学教师，要针对不同课型选择不同教学模式。主要抓好三点：（1）课堂的空间管理，教学环境要适应课程改革的需要，有利于教师关注全体学生。（2）课堂的时间管理，要求教师从以学科为中心转向以学生为中心。教师应从完成课时任务为中心转向设计合作教学环境为中心，要重视课堂的二次设计，根据课堂实际及时调整教学策略，课堂活动形式要服务于学生的发展。（3）课堂的行为管理，注重学生良好行为习惯的培养和思维品质的培养，防止课堂上出现“活”而无序、“活”而无效的现象。 3。在教材使用中，教师要从大处着眼，小处着手，先从整体上把握重、难点，再从每个知识点每个课时上做文章。不但要研究教法，还要研究学法，不但要遵循课本内容，还要在此基础上挖掘教材，整合教材，使课堂教学设计更适合自己的学生。 二、数学课堂教学基本操作流程 数学课堂教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。因此，数学课堂教学必须从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在老师的指导下生动活泼地、主动地富有个性地学习。 在初中阶段，数学课堂教学总体上都要围绕“问题情境——建立模型——解释或应用”这一基本的小学数学课堂教学是数学教学最基本的组织形式
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