第二章 圆锥曲线教案 曲线的交点 教案

第二章圆锥曲线教案曲线的交点教案

教学目标

1．领会研究曲线间位置关系的方法及学会弦长的求法；

2．初步学会解析法，培养学生一般解题能力，渗透分类讨论的思想；

3．培养学生严谨的科学态度和积极探索的精神．

教学重点与难点

研究曲线与直线位置关系的解析方法为教学重点；

弦长公式的推导为教学难点．

教学过程

一、复习并引入新课

师：设直线l1和l2的方程分别是：A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，怎样通过方程来研究l1与l2的位置关系呢？

生：从直线方程求出斜率；若斜率相等，则无交点；若斜率不相等则有交点．

师：好！是一个好办法．但是，有局限性吗？

生：有．当直线斜率不存在时，此方法不能用．

师：可以改进吗？

生：可以．如一条斜率存在，一条不存在，则相交；如都不存在，则平行．

师：非常好．但似乎有两个小缺点，一是方法不统一；二是当判断出直线有交点时，还要再去求交点．那交点又怎样求呢？

生：……(若学生答：“可解方程组”，则老师要顺水推舟，自然引出对“充要性”的谈话．)

师：现在请大家考虑一下，直线上点的坐标与直线方程之间有怎样的关系？

生：直线上点的坐标是方程的解；以方程的解为坐标的点在直线上．

师：那两条直线的交点与两条直线的方程之间有什么关系？

师：请大家更深一步地思考：方程组有唯一解是两直线有交点的什么条件？请说明理由．生：(略．)

二、新课

(一)直线与曲线的交点

师：求两直线交点的方法能否推广到两曲线呢？大家讨论讨论．

生：(回答略．主要从“曲线方程”的定义入手．)

师：非常好，大家讨论得很热烈．根据大家的讨论，我想可以把大家的想法归结为3条，1．由曲线方程定义出发解释：两曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解；

2．方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点；

3．求曲线交点的代数法(或解析法)就是求它们的方程组成的方程组的实数解．下面看看具体问题：

解(略．)

(此例学生做．教师巡视，发现问题及时解决．)

师：此题是求直线与抛物线的交点，其中直线y=3x-2是以“斜截式”表示的．请问直线经过哪个特殊点？

生：经过点(0，-2)．

师：好！大家对直线方程的掌握还不错，现在我把问题引申出来．

生：从刚才例1可知，直线斜率为3时有两个交点．

师：反应很快嘛！但是，我们是讨论所有经过(0，-2)点的直线．

生：那就把经过点(0，-2)的直线方程表示出来，联立方程组，讨论方程组的实数解．师：怎样表示过点(0，-2)的直线？

生：表示为“y=kx-2”，这是斜截式．

情况．(演示电脑动画)

师：看过演示后，大家是否受到启发？说说自己的想法．

生1：直线与抛物线的交点个数可以是一个、两个或没有(即0个)．

生2：图2-13，2-15，2-17都有一个交点．但是总感觉图2-15与图2-13，2-17还有些不一样．

师：怎么不一样？我们再看看在这个运动过程中，点的运动特点．

(再演示一遍)

师：图2-15的一个交点与图2-13，2-17究竟有什么不一样呢？

生：图2-13，2-17是两个交点重合为一个，图2-15是因为直线与抛物线的对称轴重合．

师：好！交点个数的问题从图上是看出来了．那刚才大家指出的方法该如何修正呢？

生：把过(0，-2)的直线表示为“y=kx-2”忽略了斜率不存在的情况．应分类讨论：1°当斜率存在时，设直线为y=kx-2，联立方程组，解之．2°当斜率不存在时，直线与x轴垂直，记为x=0．

师：现在就请大家动手算一算，在什么条件下，过(0，-2)的直线与

有唯一解(0，0)．即此时只有一个交点．

解之得：k＞2或k＜-2时，有两个交点；k=±2时，有1个交点；-2＜k＜2时，无交点．

例2 已知某圆的方程是x2+y2=2，当b为何值时，直线y=x+b与圆相切，相交，相离？

启发提问：

师：用解析法解这题应解决什么问题？

生：判定由两个方程构成的方程组解的个数．

师：两直线相交，相切，相离用代数语言怎样说？

生：方程组有两个不同解，有两个相同解，没有解．

师：那么你打算怎样做？

生：方程组由一个一次，一个二次方程构成，消元后成为一个一元二次方程，想用判别式！

师：设想很好．但到底行不行，请动手．

(解略．学生在解题过程中教师巡视，并及时纠正错误．)

的解的个数及直线与圆的位置关系三者间建立了怎样的关系？

生：(答略)

(演示：电脑动画——直线与圆的位置关系)

师：现在请大家把例1，例2在解法上的相同之处总结一下．

生：例1，例2都是把直线方程与曲线方程联立成方程组，通过消元变成一元二次方程，再通过解方程或根的判别式来解决问题．

师：这两题在结果上有什么相同与不同吗？

生：相同之处：直线与抛物线，圆的交点，个数都是两个，一个，0个；

不同之处：直线与抛物线交点为1个时，有可能是切点，即两个重合为一个；也有可能就只有一个交点(当直线与对称轴平行时)．

(二)弦长公式的推导

师：通过刚才的两个例题，大家基本掌握了求交点及交点个数的方法．现在我们来看看另一个与交点密切联系的问题——弦长问题．

(从“圆的弦”引入介绍一下“曲线的弦”)

师：请问，怎样求线段长？

师：不求出交点是否可以求出弦长？

所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16，

(通过比较发现后一方法简捷，然后让大家动手做②③．)

在解②③时，会有以下式子出现：

②(y1-y2)2=(x1-x2)2×32；

③(y1-y2)2＝(x1-x2)2×k2．

总结①②③，并引导学生得出结论：

师：若消元时消掉x，得到的是关于y的一元二次方程，求出的是(y1-y2)2．那么弦长公式又会是什么样？

师：为什么？能否证明？

(证略．)

三、小结

通过本节课我们看到，求曲线交点的问题，交点个数(或两曲线的位置关系)问题，以及求弦长的问题，都是通过研究方程组的解来解决问题．这就是解析几何的基本指导思想．四、布置作业：

2．求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的直线的方程．

设计思想

在解析几何中，求“曲线交点”的问题，并非解析几何的重要问题．但是，有很多问题要通过“求交点”才能解决；也就是说，“求交点”是解决问题的一种工具．更重要地，“求交点”的问题中蕴含了解析几何的基本思想——通过研究方程或方程组的解的问题来解决几何问题．因此，本节课的“教学目标”和“教学重点”就定在了“研究曲线与直线位置关系的解决方法”这一点上．并且在教学过程中突出了“直线(曲线)方程——方程组——方程的解——曲线的交点”这样一个转化过程来突出解析几何的基本思想．

在完成这一目标的过程中，注意了能力的培养．首先再说明的是，由于还未系统学习“圆锥曲线”，因此，在设计例题和选择曲线的过程中受到很多限制．但是，本节课的主要任务并不能因为曲线类型的限制而受到制约，所以，我们选择了在学习二次函数时见过的抛物线y=ax2+bx+c和同学们都非常熟悉的图．例1设计为求交点的题目，没有什么特别的地方，主要是让学生熟悉求交点的方法．但是在解题后把问题引申为：“过定点的直线与抛物线的交点”问题，以及例2的“平行直线系与图的交点问题”就把“求交点”的问题放在了“运动变化”的图形中．这样一来，就把“求交点”的问题提高了一个高度：一方面，再一次强调了解析几何的基本思想；另一方面，通过直线的运动变化，首先说明的是“直线与曲线位置关系”在变化，同时，“解的个数”也在变化，从而体现了“数形之间”的联系，也就是数形结合思想的体现．通过自制软件的演示增强了直观性；同时，通过演示“过定点的直线系与抛物线的交点”，还让学生发现自己在处理这一问题时的漏洞，从而需“分类讨论”．从而培养了学生的能力．

至于“求弦长的公式”则是“求交点”问题的应用，主要是说明“求交点”是一种工具．为了让学生自己总结出求弦长公式，特意设计了3

x2)2=(y1-y2)2；第2条，k=3，从而(y1-y2)2=(x1-x2)2×32；第3条，很自

并进一步提问，“若先求出(y1-y2)2，弦长公式会是什么样？”学生很容

同时，“求交点”的问题作为一种工具，还反映出解析几何中的一种技巧——设而不求，这在“弦长公式”中就是一种体现；而在以后解决有关“曲线的弦的中点轨迹问题”时，就常设出交点而不求．“曲线交点”这一课，重要在于它蕴含着解析几何的基本思想．本教案的设计力图体现这一思想，并通过学生的主动参与来体现教学过程中学生的主体作用，培养学生的能力．

圆锥曲线教案

直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 题型归纳： 题型1向量与圆锥曲线相结合的问题 1.设12F F ，分别是双曲线2 2 19y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF ?=，则12PF PF += 2.设P 为双曲线2 2 112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为 题型2变量取值范围问题 3、设 1F ,2F 分别是椭圆14 22 =+y x 的左右焦点。1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最值； （2）设过定点()2,0M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A,B,且AOB ∠为锐角（O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的范围 题型3圆锥曲线中的最值问题 4、设P 是椭圆()2 2211x y a a +=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上一个动点，求PQ 的最大值. 5、已知椭圆C:22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y=kx+m （0km ≠）与椭圆C 交于A 、B 两点，若线段AB 中点在直线x+2y=0上，求?FAB 的面积的最大值。 … 题型4定值问题 6.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 题型5 存在性问题 7.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23e =，A 、B 是椭圆上关于,x y 轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于(1,0)P ，点 F 是椭圆的右焦点．Ⅰ）设AB 的中点为00(,)C x y ，求0x 的值； （Ⅲ）过P 的直线交椭圆于,C D 两点，在x 轴上是否存在定点E ，使得CED ∠总被x 轴平分，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 题型6对称性问题 8.已知双曲线2 213y x -=上存在关于直线:4l y kx =+的对称点，求实数k 的取值范围.

高中数学选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程公开课教学设计

§2.2.1 椭圆及其标准方程 ■一、教学背景—————————————————————————————— 1.1 学生特征分析 学生的知识储备：必修二学习了直线方程，圆的方程，初步体会了方程与几何对象的对应关系，并能运用代数方程解决一些简单的几何问题。 学生的方法储备：由于必修二直线方程和圆的方程的学习和本章第一节曲线与方程的学习，学生应基本理解运用坐标法将几何问题代数化的想法，但还缺少实际运用，对方法的认识不够深刻。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于将学科课程与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。 1.3 学习内容分析 从知识上来讲：椭圆是本章中学到的第一个圆锥曲线，也是三种圆锥曲线中最重要的一个。对上一节来言，是运用坐标法研究曲线几何性质的一次实际运用，也是进一步研究椭圆几何性质的基础。 从方法上来讲：为后续双曲线和抛物线的学习奠定了理论基础，起示范的作用。 因此无论内容上还是方法上，本节都起着承上启下的作用。 ■二、设计思想———————————————————————————————— 学生已经学习了直线和圆的方程，并且学习了曲线与方程的关系，初步理解求曲线方程的想法。 本节课椭圆无论在定义的发现还是方程的推导上都是很好的教学素材。因此在定义的发现环节，精心设计学生活动，有教师的展示，有学生的动手实验，注重概念的生成过程。 在方程的推导阶段，注重数学思想方法的渗透，类比的思想，数形结合的思想。不断强调几何关系和代数表示之间的关系，为学生充分领会解析几何的思想方法提供指导。 在例题的选取上，注重层次感，让不同层次的学生都能学到不同层次的数学。讲练结合，讲在关键处，讲在练之后，让学生经历挫折，调整，成功的过程。 在问题的设计方面，充分考虑不同层次的学生情况，充分体现学生的分组讨论，团结合作。在学生的分组上，考虑4人小组，每组依据层次编为1—4号，不同小组同号码段学生层次接近，营造即有合作又有竞争的课堂教学氛围。 ■三、三维目标———————————————————————————————— （一）知识与技能 1. 掌握椭圆的定义和标准方程； 2. 会求简单的椭圆方程； （二）过程与方法 1.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到 一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。 2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。 3.在数学思想方法的不断渗透过程中，学生能自觉利用数学思想方法分析和解决问题。 （三）情感、态度与价值观

圆锥曲线教学设计

圆锥曲线 一、教学内容分析 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力;通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。 3.借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.

五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程 教学难点: 巧用圆锥曲线定义解题 六、教学过程设计 【设计思路】 (一)开门见山，提出问题 一上课，我就直截了当地给出—— 例题1:(1) 已知A(-2，0)，B(2，0)动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是( )。 (A)椭圆(B)双曲线(C)线段(D)不存在 (2)已知动点M(x，y)满足(x1)2(y2)2|3x4y|，则点M的轨迹是( )。 (A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)两条相交直线 【设计意图】

圆锥曲线解题技巧教案整理后1

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝ 1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ， C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 --- ） ； （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2y x +的最小值是 ___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口 向上时22(0)x py p =>，开口向下时2 2(0)x py p =->。 如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 4 5

2.3.1双曲线及其标准方程公开课教学设计

§2.3.1双曲线及其标准方程 海南华侨中学王芳文 1．教学背景 1.1 学生特征分析 我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。 知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。 1.3 学习内容分析 1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 2、例题分析： 温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。 探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；

数学教案：圆锥曲线

高三数学概念、方法、题型、易误点总结（八） 八、圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．10 21=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （2）方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____ （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其 商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是__ ___ 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数）， 焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0， 且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2y x +的最小值是___ （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号） 。 如（1）双曲线的离心率等于2 5 ，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______ （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ， 则C 的方程为_______

圆锥曲线优秀教案

与圆锥曲线有关的几种典型题 一、教案目标 (一)知识教案点 使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问题等． (二)能力训练点 通过对圆锥曲线有关的几种典型题的教案，培养学生综合运用圆锥曲线知识的能力． (三)学科渗透点 通过与圆锥曲线有关的几种典型题的教案，使学生掌握一些相关学科中的类似问题的处理方法． 二、教材分析 1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题． (解决办法：先介绍基础知识，再讲解应用．) 2．难点：双圆锥曲线的相交问题． (解决办法：要提醒学生注意，除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．) 3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题． (解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．) 三、活动设计 演板、讲解、练习、分析、提问． 四、教案过程 (一)引入

与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解，今天来讲一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”． (二)与圆锥曲线有关的几种典型题 1．圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： (2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角α． 分析一：由弦长公式易解． 由学生演板完成．解答为： ∵抛物线方程为x2=-4y，∴焦点为(0，-1)． 设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． ∴ k=±1．

《双曲线的简单几何性质》省优质课比赛一等奖教案

双曲线的简单几何性质 在人教版《普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-1）》中，针对双曲线的简单几何性质第一课时内容，笔者从教材分析、学生分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面设计这一节课的教学. 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，利用双曲线的标准方程研究其几何性质.它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个重要的考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质. （二）教学重点与难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，双曲线有特殊的性质，而学生对双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地导出了双曲线的简单几何性质.这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受.因此，我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点.根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的难点. 教学重点:双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法. 解决办法： 1.欣赏优美的几何画板图形，以激发学生强烈的学习兴趣； 2.利用“几何画板”进行数学问题的探索以培养学生的创新能力. 教学难点:双曲线渐近线概念与性质. 解决办法：本节课我先选择由教师借助“几何画板”，利用描点法画出较为准确的图形，由学生先观察它的直观性质，然后再从方程出发给予证明. 二、学情分析与学法指导 学情分析：由于刚学习了椭圆有关问题，学生已经熟悉了图形——方程——性质的研究过程，学生已基本具有由方程研究曲线性质的能力.

第二章圆锥曲线与方程教案

第二章圆锥曲线与方程 一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。 二、学习目标： （1）、圆锥曲线： ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图： 四、课时分配 本章教学时间约需9课时，具体分配如下： 2.1 曲线与方程约1课时 2.2 椭圆约2课时 2.3 双曲线约2课时 2.4 抛物线约2课时 直线与圆锥曲线的位置关系约1课时 小结约1课时 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课） 一、教学目标 知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。 过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。 情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义

观。 二、教学重点与难点 重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 (一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是： 1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

高中数学《椭圆及其标准方程》公开课优秀教学设计

《椭圆及其标准方程》教学设计说明 一、教学内容解析 本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识.解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科. 从知识上讲，本节是在必修课程《数学2》中直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上.在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路.因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程。 二、教学目标设置 1.课程目标 （1）了解圆锥曲线与二次方程的关系； （2）掌握圆锥曲线的基本几何性质； （3）感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （4）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想. 2.单元目标 （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质； （3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质； （4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题； （5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 3.本节课教学目标 （1）通过用细绳画椭圆的实验，能用自己的语言叙述椭圆的定义，会用定义判定点的轨

【优秀教案】高中数学第二册上 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质

课题：8．4双曲线的简单几何性质 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2．掌握标准方程中c b ,的几何意义 a, 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程 教学难点：渐近线几何意义的证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利 它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思 想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学 利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点 本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥 曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来 以1=±b y a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-22 22b y a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的 教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律

直线与圆锥曲线的位置关系一教学设计

北京市北纬路中学徐学军 《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计 一、教材分析及学生情况分析 本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。所以是承上启下的一节课。这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。 数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。 学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标： 知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系； ②会进行位置关系的判断，计算弦长。 过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法， 学会解决相关的问题。 情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。 三、教学重点、难点、关键 本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥

全国高中数学 优秀教案 圆锥曲线起始课教学设计 (3)

圆锥曲线起始课教学设计 一、教学内容解析 ●指定课题说明 ?课题：圆锥曲线起始课 ?课型：概念课 ?说明：体现数学史融入数学教学的思想，借助信息技术、实物模型等，通过丰富的 实例，使学生了解圆锥曲线的背景和应用。经历从具体情境中抽象椭圆本质特征的 过程，建立椭圆的概念、标准方程。 ●《上海市中小学数学课程标准》 以生活中的实例引出椭圆的概念，再抽象为动点的轨迹。根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，重点讨论焦点在x轴上的标准方程。 ●《全国高中数学课程标准》 了解圆锥曲线的实际背景；了解圆锥曲线在刻画现实世界和实际问题中的作用和应用；经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；体会数形结合的思想；掌握椭圆的定义、标准方程。 根据指定课题要求，并参考《上海市中小学数学课程标准》、《全国高中数学课程标准》以及上海市二期课改教材，本节课的教学内容主要设定为：了解圆锥曲线的历史、背景和应用，从生活实例或具体情境出发形成椭圆（以及焦点、焦距）的概念并建立椭圆的标准方程。 在上海市二期课改教材中，椭圆的第一课时课题并非“圆锥曲线起始课”而是“椭圆的标准方程”，从椭圆规画椭圆的过程中归纳椭圆的定义，并重点研究椭圆的标准方程。由于指定课题说明中对于椭圆概念的形成过程和数学史的融入有更具体的要求，相比上海教材更符合圆锥曲线的历史发展顺序和学生的认知顺序，更有利于学生掌握椭圆的概念，因此考虑将上海教材第一课时“椭圆的标准方程”的教学内容稍作调整，将焦点在y轴上的标准方程以及椭圆标准方程的简单应用移至后续课时完成。 二、学生学情分析 本节课为借班上课，授课班级是浦东洋泾中学高二（12）班学生。据了解，该校为市示范性高中，而本次授课班级是高二四个物理班之一。但由于借班上课，与学生只有不到半个小时的交流，对班级学生的具体情况仍比较模糊，需要为学生水平的低限做好准备，在难点处多预设一些铺垫，以作备用。

人教版高中数学《圆锥曲线和方程》全部教案

椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程． (二)能力训练点 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力． (三)学科渗透点 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力． 二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．) 2．难点：椭圆的标准方程的推导． (解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．) 三、活动设计 提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答． 四、教学过程 (一)椭圆概念的引入 前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答： 问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识． 提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形． 问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？ 一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如： “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．” 教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神． 比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图： 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆． 教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等…… 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义： 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

公开课椭圆的标准方程教案教学设计

椭圆的标准方程 一、教材分析 1、地位及作用 圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。 推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。 2、教学内容与教材处理 椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。 3、教学目标 根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下： 1.知识目标 ①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程， ②能根据已知条件求椭圆的标准方程， ③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。 2.能力目标 ①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力， ②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力， ③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。 3.情感目标 ①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶， ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 4、重点难点 基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为： ①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法， ②难点：椭圆的标准方程的推导。 二、教法设计 在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。 三、学法设计 １

高中圆锥曲线教案设计

第二章圆锥曲线与方程 2.1曲线与方程 2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程 学生探究过程： (一)复习引入 大家知道，平面解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

黄振东椭圆的定义与标准方程(公开课)教案

2.1.1椭圆与标准方程（第一课时） 城关中学黄振东 一、教材分析 圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。 第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。 第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。 第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。 二、学生情况分析 1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。 2.在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。 三、教学目标 1.通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生更好的理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，会根据条件求椭圆的标准方程。

2.通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。 3.鼓励学生大胆猜想、论证，激发学生的学习热情，使他们获得成功的体验。 四、教学重点和难点 1.重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。 2.难点：椭圆标准方程的推导。 五、教法与学法 1．教法 为了使学生更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学。 2．学法 在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间。让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识。 3．教学准备 (1)学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。 (2)教师准备：用PPT制作的课件。 六、教学过程设计 （一）创设情境，复习引入 由嫦娥二号绕月飞行的运动轨迹及现实生活中的多幅椭圆的图片引入。（嫦娥二号绕月飞行、行星运行、国家大剧院、鸟巢、亚运场馆沙特馆、油罐车等） （二）动手实验，归纳概念 问：自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢? 引导：先回忆如何画圆 （学生利用手中的细线画圆，教师再用几何画板画圆） 画圆容易那如果要画椭圆该怎么画呢？（先介绍课前数学实验中的方法用几何画板作椭圆） 让学生回忆起要画一个圆只要一定点和一定长就可以。现在若把一点变成两点，到定点的距离等于定长变成到两定点的距离之和等于定长。再把笔紧贴细线画图，得到的图形是什么呢？ （学生利用手中细线配合同桌共同完成，得到椭圆。我将在黑板上用借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时，激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，为后面的学习做好准备。

高中数学公开课椭圆及其标准方程说课稿

高中数学公开课《椭圆及其标准方程》 说课稿 各位专家、评委,大家好！ 我说课的内容是“椭圆及其标准方程”第一课时.下面我将分教材分析和过程设计两部分对本节课的教学进行阐述与说明. 一、教材分析 我着重从教学内容、教材的地位和作用、教学目标的设计、教材重难点的确定这四个方面加以分析. （一）教学内容 本节课是人教版高中数学（实验修订本?必修）第二册（上册）第八章“圆锥曲线方程”第一节“椭圆及其标准方程”的第一课时.其主要内容是研究椭圆的定义、标准方程及其初步应用. （二）教材的地位及作用 “椭圆及其标准方程”是在学生已学过坐标平面上圆的方程的基础上，运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例.从知识上讲，它是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲

线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容. （三）教学目标 从知识与技能、数学思考和解决问题、情感态度三个维度确定本节课相应的教学目标. 1. 知识技能目标: （1）掌握椭圆的定义及其标准方程，会根据条件写出椭圆的标准方程; （2）通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法. 2. 数学思考与解决问题: （1）通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义; （2）引导学生寻求椭圆标准方程的研究途径，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.

圆锥曲线 教学案

§2.1圆锥曲线 教学目标 1.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程， 掌握它们的定义，并能用数学符号或自然语言的描述。 2．通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义。能用数学符号或自然语言 描述双曲线的定义。 教学重点、难点 重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义。 难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义 教具 多媒体课件、实物投影仪 内容分析 本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭 圆、双曲线和抛物线的概念。这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从 整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。根据问题的难易度及学生的认知水平， 要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义。这是建立在 学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数 学素养。 学法指导 教学中向学生展示平面截圆锥面得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理 解。对用Dandelin双球发现椭圆的特性（由此形成椭圆的定义），可直接给出 放进双球后的图形，再引导学生发现"到两切点距离之和为定值"的特性，这一内 容让学生感知、认同即可，不必对探究、推理过程作过多研究。 教学过程设计 1．问题情境 我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条 相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位 置，观察截得的图形的变化情况。 提出问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？ 2．学生活动 (1)古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），又分别与圆锥面的侧面相切（两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2）．过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球 外一点作球的切线长相等，所以 MF1 = MP，MF2 = MQ， （2）如图，两个球都与圆锥面相切，切点轨迹分别是 ⊙O1和⊙O2；同时两球分别与截面切于点F1 、F2． 设M是截线上任意一点，则MF1、MF2是由点M向两个