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第18讲、19讲备选题

第18讲教学建议

想法:将19讲的例2调到第18讲例3,讲例3调到19讲例12,这样两课时是这样安排的, 第18课时主要是解决常见的空间中的线面平行与垂直的混合,而19课时主要是解决与平行与垂直有关的探索性问题。 18课时

一.课前热身:

T1:考察线面平行垂直的有关性质与判定。 给出以下四个命题:

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;

④如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 正确的有 ①②④

T2:由于现在对于有关长度与距离,角淡化所以将T2题换为下面四个正方体图形中,A 、B 为正方体的两个顶点,M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出AB ∥面MNP 的图形序号是_______.(写出所有符合要求的图形序号)

第18讲、19讲备选题

答案:(1)(3)

T3:考察线面平行垂直,以正四面体为载体。

3.在正四面体P-ABC 中,点D,E,F 分别是AB,BC,CA 的中点,则下面结论中正确的有 ①BC//平面PDF ; ②D F ⊥平面PAE;

③平面PDF ⊥平面ABC ; ④平面PAE ⊥平面ABC ①②④

T4:考察以判定与性质的命题的组合的正确性。

4.已知两条直线m,n,两个平面βα,,给出下列四个命题:其中正确命题的序号是 ①m ∥n,m ⊥αα⊥?n

②n m n m 平行,平行???βαβα, ③αα平行平行平行n m n m ?, ④βαβα⊥?⊥n m n m ,平行,平行

二.例题讲评

的中点。

是底面是正方形,侧棱中,底面:在四棱锥例PC E DC PD ABCD PD ABCD ABCD P ,1=⊥-

PA )证明(1∥;EDB 平面

PBC BDE 平面求证:平面⊥)2(

第18讲、19讲备选题

第18讲、19讲备选题

原例2作为课堂巩固,请学生板演。

对于冲刺强化训练可删去5,6题,讲第11题与冲刺19的第10题互换。

MNAD

PBC PEB BC PDC EN PA PB N M CD E BAD PDC 平面平面平面)(;平行平面)(中点,是中点,是的菱形,底面垂直,且底面为改为正三角形,但仍与变式:将三角形⊥⊥?

=∠)3(;21,,602的中点。

是线段点,所在的平面互相垂直,和矩形:如图已知正方形例EF M AF AB ACEF ABCD 1

22==

第19讲教学建议

想法:事先让学生课前去做,我想课前热身和例1和例3估计问题不大,因为只需找特殊的中点即可,平行四边形很容易构造,学生应该能掌握。

而第18讲的例3第3小问,点M 的确定就不是一眼可以看出,方法是在另外的平面内找到所证平面的垂线,然后在平面1DMC 找与垂线平行的直线,作平行线尽量要平移到同一个平面。

第18讲、19讲备选题

拓展与引申:如图是棱长为1的正方体ABCD-1111D C B A ;

(1) 线段B A 1上是否存在一点P 使得PAC B A 平面⊥1?若存在,确定P 点的位置;若不存

在,说明理由;

(2) Q 点在对角线D B 1上,使QD

Q

B QA

C B A 11,//求平面

BD A D B BB M AC DB BC DB D C B A ABCD 11111111//1

,,3平面)求证:(上一点。

是棱点中:如图,在直四棱柱例⊥==AC

MD ⊥求证:)2(D

D CC DMC M 1113平面的位置,使得平面)试确定点(⊥

第18讲、19讲备选题

备选题:

1. 如图,动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上.过点

P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于M N ,.设BP x =,MN y =,则函数

()y f x =的图象大致是

第18讲、19讲备选题

第18讲、19讲备选题

第18讲、19讲备选题

第18讲、19讲备选题

2. 设b a ,是两条直线,βα,是两个平面,则b a ⊥的一个充分条件是

(1)βαβα⊥⊥,//,b a (2)βαβα//,,⊥⊥b a (3)βαβα//,,⊥?b a (4)βαβα⊥?,//,b a

6.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ACB =90°,

M ,N 分别为A 1B ,B 1C 1的中点. (1)求证BC ∥平面MNB 1; (2)求证平面A 1CB ⊥平面ACC 1A 1.

A B

C D

M

N

P A 1

B 1

C 1

D 1 A

B

C M

N

A 1

B 1

C 1

F

E

B

D 1

A

M

C

B 1

C 1

A 1

D

答案:(1)因BC ∥B 1C 1, 且B 1C 1?平面MNB 1, BC ?平面MNB 1, 故BC ∥平面MNB 1.

(2)因BC ⊥AC ,且ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱, 故BC ⊥平面ACC 1A 1. 因BC ?平面A 1CB ,

故平面A 1CB ⊥平面ACC 1A 1.

讲评建议:必修2中的立几初步,必须控制难度,注重答题规范.

7.如图,已知长方体1111D C B A ABCD -底面ABCD 为正方形,E 为线段1AD 的中点,F 为线段1BD 的中点. (Ⅰ)求证:EF ∥平面ABCD ; (Ⅱ)设1M C C 为线段的中点,当1D D

AD

的比值为多少时,1,DF D MB ⊥平面并说明理由. (I )

E 为线段1AD 的中点,

F 为线段1BD 的中点,

∴ EF ∥AB ,

第18讲、19讲备选题

,,EF ABCD AB ABCD ??平面平面

∴EF ∥面ABCD .

(II

第18讲、19讲备选题

)当1D D

AD =1.DF D MB ⊥平面

1.

.A B C D A C B D D D A B C D

∴⊥⊥是正方形,平面

1.D D AC ∴⊥

11AC BB D D ∴⊥平面

.AC DF ∴⊥ 11,,F M BD CC 分别是中点, ∴FM ∥.AC

∴.DF FM ⊥

第18讲、19讲备选题

∵1,D D ∴1.D D BD =

∴矩形11D DBB 为正方形, ∵F 为1BD 的中点,

∴1.DF BD ⊥ ∵1,FM

BD F =

∴1.DF BD M ⊥平面

8.如图:在五面体ABCDEF 中,点O 是矩形ABCD 的对角线的交点,面CDE 是等边三角形,棱EF ∥BC 且EF =

2

1

BC . (Ⅰ)证明:FO ∥平面CDE ,;EO CD ⊥ (Ⅱ)设BC =3CD ,证明:EO ⊥平面CDF .

设CD 的中点为G ,连接OG 、EG ,

显然EF ∥OG 且EF =OG .

∴四边形FOGE 是平行四边形,

∴FO ∥EG ,∵EG ?平面ECD ,FO ?面ECD .

∴FO ∥平面CDE .

又CD ⊥OG ,CD ⊥EG ,,OG EG ?面,EOG ∴CD ⊥面,EOG OE ?面EOG , ∴.EO CD ⊥

(Ⅱ)EF =OG =

12BC

, O

F

E

D

C

B

A

第18讲、19讲备选题

G

O

F

E

D C

B

A

而△CDE 是正三角形∴EG

=

2

CD ,

第18讲、19讲备选题

∴平行四边形FOGE 是菱形, ∴EO ⊥FG ,

∵CD ⊥EO ,FG 与CD 相交,,CD FG ?面,CDF

∴EO ⊥平面CDF

9. 如图,四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面ABE ,AE =EB =BC =2,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE .(1)求证:AE ⊥BE ;(2)求三棱锥D -AEC 的体积;(3)设M 在线段AB 上,且满足AM =2MB ,试在线段CE 上确定一点N

第18讲、19讲备选题

1)证明: ABE AD 平面⊥,BC AD //

∴ABE BC 平面⊥,则BC AE ⊥ 又ACE BF 平面⊥,则BF AE ⊥

∴BCE AE 平面⊥ 又BCE BE 平面? ∴BE AE ⊥ (2)31=

=--ADC E AEC D V V ×22×3

4

2= (3)在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点,在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点,连MN ,则由比例关系易得CN =CE 3

1

MG ∥AE MG ?平面ADE , AE ?平面ADE , ∴MG ∥平面ADE 同理, GN ∥平面ADE

∴平面MGN ∥平面ADE 又MN ?平面MGN ∴MN ∥平面ADE ∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点

10.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.

(1)求证AE ⊥D 1F ; (2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1. (1)取AB 的中点G ,则易证得A 1G ∥D 1F .

又正方形A 1ABB 1中,E 、G 分别是相应边的中点, ∴A 1G ⊥AE , ∴D 1F ⊥AE .

(2)由正方体可知:A 1 D 1⊥面A 1ABB 1,∴A 1D 1⊥AE . 又由(1)已证:D 1F ⊥AE .

F

C

E

A 1

B 1 D

A

D 1

C 1

∵A 1D 1∩D 1F = D 1, ∴AE ⊥平面A 1FD 1 . 又AE ?平面AED ,

∴平面AED ⊥平面A 1FD 1 .

在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 中,AA 1=AD=a ,AB=2a ,E 、F 分别为C 1D 1、A 1D 1的中点.

(Ⅰ)求证:DE ⊥平面BCE ;(Ⅱ)求证:AF//平面BDE.

第18讲、19讲备选题

(I )证明:∵BC ⊥平面CDD 1C 1,DE ?平面CDD 1C 1,

∴DE ⊥BC ,

在△CDE 中,CD=2a ,CE=DE=2 有CD 2=CE 2+DE 2, ∴∠DEC=90° ∴DE ⊥EC , 又BC ∩EC=C , ∴DE ⊥平面BCE.

(II )证明:连EF 、A 1C 1,连AC 交BD 于O , ∵EF//

21A 1C 1,AO// 2

1

A 1C 1, ∴四边形AOEF 是平行四边形, ∴AF//OE

又∵OE ?平面BDE ,AF ?平面BDE ,

∴AF//平面BDE.

11.四棱锥P-ABCD 的底面是矩形,侧面PAD 是正三角形,且侧面PA D ⊥底面ABCD ,当AB

AD

的值等于多少时,能使PB ⊥AC?并给出证明。

第18讲、19讲备选题