东北三省三校2016届高三第一次高考模拟考试 数学(理)

哈尔滨师大附中 2016年高三第一次联合模拟考试

理科数学试卷

东北师大附中 辽宁省实验中学

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．若集合[2,3]A =，2{|56}B x x x =-+，则A B =

A ．{2,3}

B ．?

C ．2

D ．[2,3] 2．若复数z 满足zi = 1 + i ，则z 的共轭复数是 A ．-1 - i B ．1 + i C ．-1 + i D ．1 - i

3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结

果是

A ．1100

B ．100

C ．10

D ．1

4．已知向量a ，b 满足(1,3)+=-a b ，(3,7)-=a b ，?=a b

A ．-12

B ．-20

C ．12

D ．20

5．若函数22,0

()24,0x x x f x x +≤?=?->?

，则((1))f f 的值为

A ．-10

B ．10

C ．-2

D ．2

6．设,a b R ∈，若:p a b <，11

:0q b a

<<，则p 是q 的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则cos(2)2

π

α+的值等于

A ．45-

B ．45

C ．35-

D ．35

8．数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为

A ．3334

129643

3C C C A A B ．3334

12963C C C

C ．3333

12964

4

4C C C A D ．333312964C C C

9

A ．-96.8

B ．96.8

C ．-104.4

D ．104.4

10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A ．

73

B ．

17 C ．13

D

11．双曲线C ：22

221(0,

0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1

(,0)F c -，2(,0)

F c ，M ，N 两点在双曲线

C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||FQ QN =

，则双曲线C 的离心率为

A B ．2 C D

12．已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象为一条连续不断的曲线，(1)(1)f x f x +=-，(1)f a =，且当0 < x < 1时，()f x 的导函数()f x '满足：()()f x f x '<，则()f x 在[2015,2016]上的最大值为

A ．a

B ．0

C ．-a

D ．2016

第II 卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第

22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．若实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥??

+≥??≤?，则2z x y =+的最大值是__________。

14．已知三棱锥P -ABC ，若P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P -ABC 的内

切球半径为__________。

15．已知圆22(1)4x y ++=与抛物线2(0)y mx m =≠的准线交于A 、B

两点，且||AB =m 的值为__________。

16．已知ΔABC 满足3

A π

=，()0AB AC BC +?= ，点M 在ΔABC 外，且MB = 2MC = 2，则MA 的取

值范围是__________。

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足132a =，且131n n a a +=-，1

2

n n b a =-。

（1）求证：数列{}n b 是等比数列；

（2）若不等式11

1n

n b m b ++≤-对*n N ?∈恒成立，求实数m 的取值范围。 18．（本小题满分12分）

在某批次的某种日光灯管中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下。根据寿命将灯管分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯管是优等品，寿命小于300天的灯管是次品，其余的灯管是正品。

（1）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；

（2）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X 的分布列和数学期望。 19．（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 中，∠ABC = 60°，AC 与BD 相交于点O ，

AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB = AE = 2。 （1）求证：BD ⊥平面ACFE ； （2）当直线FO 与平面BED 所成角的大小为45°时，求CF 的长度。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>

在C 上。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）直线l 经过点(1,0)P ，且与椭圆C 有两个交点A 、B ，是否存在直线l 0：x = x 0（其中x 0 > 2），

使得A 、B 到l 0的距离d A 、d B 满足||

||

A B d PA d PB =恒成立？若存在，求x 0的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分）

已知函数2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在x = 1处的切线方程为1y bx =+。 （1）求a ，b 的值；

（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值；

（3）证明：当x > 0时，(1)ln 10x e e x x x +---≥

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，EF 是⊙O 的直径，AB ∥EF ，点M 在EF 上，AM 、BM 分别交⊙O 于点C 、D 。设⊙O 的半径是r ，OM = m 。 （1）证明：22222()AM BM r m +=+；

（2）若r = 3m ，求AM BM

CM DM +

的值。 23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y = 8，圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ?

?=??=+?

（φ为参数）。

以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；

（2）射线OM ：θ = α（其中02

a π

<<

）与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：

2

π

θα=+

与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点N ，求

||||

||||

OP OQ OM ON ?的最大值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

已知函数()|3|f x m x =--，不等式()2f x >的解集为(2,4)。 （1）求实数m 的值；

（2）若关于x 的不等式||()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围。

2016年东北三省三校第一次高考模拟考试

理科数学参考答案

二、填空题

13．2 14 15．8 16．3 三、解答题

17．解：（1）证明：∵1131

33()222

n n n a a a +-

=-=- ……3分 121

11=-

=a b 31=∴+n

n b b ， 所以数列{}n b 是以1为首项，以3为公比的等比数列；….6分 （Ⅱ）解：由（1）知，13-=n n b ，由111n

n b m b ++≤-得13131n n m -+≤-，即()

143331n m +≤-，…9分 设()

14

3331=

+-n n

c ，所以数列{}n c 为减数列，()1max 1==n c c ， 1∴≥m …….12分

18解：（Ⅰ）平均数为

500.051500.12500.153500.34500.155500.26500.05370?+?+?+?+?+?+?=

………….4分 （Ⅱ）X 的所有取值为0,1,2,3,4． ……….5分

由题意，购买一个灯管，且这个灯管是优等品的概率为0.200.050.25+=，且1~4,4X B ?? ???

44

13()(0,1,2,3,4)44-??

??==?= ?

???

??

k

k

k P X k C k

所以04

4181

(0)C (1)4

256

P X ==?-=

， 134

1110827

(1)C (1)4425664P X ==??-==， 2224

115427

(2)C ()(1)44256128P X ==?-==， 3314

11123

(3)C ()(1)4425664P X ==?-==， 4404

111

(4)C ()(1)44256

P X ==?-=． 以随机变量X 的分布列为：

……………………….10分

所以X

的数学期望1

()4

14

E X =?

=．…….12分 19.（Ⅰ）证明： 四边形ABCD 是菱形，

BD AC ∴⊥.

⊥Q AE 平面ABCD ,BD ?平面ABCD BD AE ∴⊥. ?=Q AC AE A ,

BD ∴⊥平面ACFE (4)

分

（Ⅱ）解：如图以O 为原点，,OA OB 为,x y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系.则

(0,(1,0,2),(1,0,)(0)B D E F a a ->，(1,0,)

=-u u u

r OF a .…………6分

设平面EDB 的法向量为(,,)=r

n x y z ，

则有00

??=???=??r uu

u r r uu u r n OB n OE

，即

20

x z =+=??令1z =，(2,0,1)

=-r

n .…………8分

由题意o

||sin 45|cos ,|2||||?=<>===uu u r r

uu u r r uu u r r OF n OF n OF n 解得3a =或13-.

由0>a ，得3=a . …….12分

20. 解：

（Ⅰ）由题意得22222,

122 1.a b c c

a a b

??

?=+?

?=???

?+=??

解得 2.1,a b c ?=?=??

=?所以C 的方程为2214x y +=. …….4分

（Ⅱ）存在0x .当04x =时符合题意. 当直线l 斜率不存在时，0x 可以为任意值.

设直线l 的方程为(1)y k x =-,点A ,B 满足：22

(1),1.4

y k x x y =-??

?+=??

所以A x ,B x 满足2224(1)4x k x +-=,即2222

(41)8440k x k x k +-+-=. 所以222222

22

(8)4(41)(44)0,8,4144

.41A B A B k k k k x x k k x x k ?

??=-++>?

?

+=?+?

?-=?+?

………8分 不妨设1A x >>B x ，

因为||||A B d PB d PA ?-?

=00||1||||1|]A B B A x x x x x x -?---?-

00(1)()2]0A B A B x x x x x x =-+++=

从而2200228(1)8(1)

204141

x k k x k k +--

+=++.整理得0280x -=，即04x =. 综上，04=x 时符合题意.…….12分

21.解：（Ⅰ）'()2x f x e ax =-，由题设得，'(1)2f e a b =-=，(1)1f e a b =-=+， 解得，1,2a b e ==-． …….4分

（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）知，[]2

(),'()21210,0,1x

x

f x e x f x e x x x x x =-∴=-≥+-=-≥∈，

故()f x 在[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-．

法2：由（Ⅰ）知，2(),'()2,''()2x x x f x e x f x e x f x e =-∴=-=-，

'()f x ∴在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，

所以，'()'(ln 2)22ln 20f x f ≥=->，

所以，()f x 在

[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-． …….7分

（Ⅲ）因为(0)1f =，又由（Ⅱ）知，()f x 过点(1,1)e -，且()y f x =在1x =处的切线方程为

(2)1y e x =-+，故可猜测：当0,1x x >≠时，()f x 的图象恒在切线(2)1y e x =-+的上方．

下证：当0x >时，()(2)1f x e x ≥-+．

设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则'()2(2),''()2x x

g x e x e g x e =---=-，

由（Ⅱ）知，'()g x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 又'(0)30,'(1)0,0ln 21,'(ln 2)0g e g g =->=<<∴<， 所以，存在()00,1x ∈，使得'()0g x =，

所以，当()()00,1,x x ∈+∞ 时，'()0g x >；当0(,1)x x ∈，'()0g x <， 故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增．

又2

(0)(1)0,()(2)10x g g g x e x e x ==∴=----≥，当且仅当1x =时取等号．

故

(2)1

,0x e e x x x x

+--≥>． 由（Ⅱ）知，1x

e x ≥+，故ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥，当且仅当1x =时取等号．

所以，

(2)1

ln 1x e e x x x x

+--≥≥+． 即

(2)1

ln 1x e e x x x

+--≥+．所以，(2)1ln x e e x x x x +--≥+， 即

(1)ln 10x e e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立． …….12分

22. 解：（Ⅰ）作'AA EF ⊥交EF 于点'A ，作'BB EF ⊥交EF 于点'B .

因为''A M OA OM =-，''B M OB OM =+，

所以2222

''2'2A M B M OA OM +=+.

从而2

2

2

2

2

2

''''AM BM AA A M BB B M +=+++222

2('')AA OA OM =++.

故

22222()AM BM r m +=+ ……5分

（Ⅱ）因为EM r m =-，FM r m =+，

所以22

AM CM BM DM EM FM r m ?=?=?=-.

因为2222

AM BM AM BM AM BM CM DM AM CM BM DM EM FM ++=+=??? 所以2222

2()

AM BM r m CM DM r m ++=-. 又因为3=r m ，所以

5

2

+=AM BM CM DM ． …………….10分 23.解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ.

圆C 的普通方程分别是22

(2)4x y +-=，

所以圆C 的极坐标方程分别是θρsin 4=. …….5分

（Ⅱ）依题意得，点M P ,的极坐标分别为???==,

,sin 4αθαρ和???==.,

8sin αθαρ 所以αsin 4||=OP ，α

sin 8

||=

OM ，

从而2||4sin sin 8||2sin OP OM αα

α

==.

同理，

2sin ()

||2||2

OQ ON π

α+=. 所以||||||||OP OQ OM ON ?2

2

2sin ()sin sin (2)22216

π

ααα+=?=

， 故当4πα=时，||||

||||

OP OQ OM ON ?

的值最大，该最大值是161. …10分 24.解 ：（Ⅰ）由已知得32x m -<-，得51m x m -<<+，即3m = …… 5分

（Ⅱ）()x a f x -≥得33x x a -+-≥恒成立

33()3x x a x x a a -+-≥---=- （当且仅当(3)()0--≤x x a 时取到等号）

33∴-≥a 解得6a ≥或0a ≤

故a 的取值范围为 0a ≤或6a ≥ …… 10分