2017高考数学文科二轮复习对点练：第一部分 专题四 数列、推理与证明 第2讲 演练 精品
第一部分 专题四 第2讲
1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( A )
A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根
B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根
C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根
D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根
解析：因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，
因此，
要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 2．观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …
照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.
解析：左边为平方项的(－1)n －1倍的和，右边为(1＋2＋3＋…＋n )的(－1)n －1倍，可用数学归纳法证明成立．
3．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n (n ∈N *)个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝??
???n (n ＋1)22
. 解析：由题可知13＝(0＋1)2； 13＋23＝(1＋2)2； 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2； 13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2； …
∴13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋4＋…＋n )2＝??
??
??n (n ＋1)22
.
4．在计算“1×2＋2×2＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：
k(k＋1)＝1
3k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，
由此得
1×2＝1
3(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝1
3(2×3×4－1×2×3)，
…
n(n＋1)＝1
3n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，
相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝1
3n(n＋1)(n＋2)．
类比上述方法，请你计算“1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋
3)”，其结果为1
5n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·(n＋4)．
解析：先改写第k项：k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝
1
5k(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)－(k－1)k(k＋1)(k＋2)·(k＋3)]，
由此得1×2×3×4＝1
5(1×2×3×4×5－0×1×2×3×4)，
2×3×4×5＝1
5(2×3×4×5×6－1×2×3×4×5)，…，
n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝1
5n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)－
(n－1)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)]，
相加得1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)·
(n＋3)＝1
5n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．
5．(2016·山西质量检测)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝__n2__.
解析：因为1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，所以归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
6．(2016·山东青岛调研)对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →
|·OB →＝0.
将它类比到平面的情形是：
若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·
OC →＝0.
将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·
OD →＝0. 解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O
－BCD
·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0.
7．(高考改编)已知等差数列{a n }中，有
a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 30
30
，则
在等比数列{b n }解析：由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10
b 11b 12…b 20＝30
b 1b 2…b 30.
8．(2016·安徽安庆模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝a >2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．
(1)求证：对任意n ∈N *，a n >2；
(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；
(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n <2n ＋4
3. 解析：(1)用数学归纳法证明a n >2(n ∈N *)： ①当n ＝1时，a 1＝a >2，结论成立；
②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k >2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2>2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．
故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N *，都有a n >2成立． (2){a n }是单调递减的数列．
因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2