3.3一元二次不等式(组)与简单线性规划问题
3． 3．1二元一次不等式（组）与平面区域．
【教学目标】
1． 了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。 2． 理解二元一次不等式的几何意义
3． 会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合 【教学重难点】
教学重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义；
2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法
教学难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法
【教学过程】
一、 设置情境，引入新课
一家银行信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么信贷部如何分配资金呢？
问题1.那么信贷部如何分配资金呢？ 问题2.用什么不等式模型来刻画它们呢？ 二、合作探究，得出概念
（1）设用于企业资金贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金y 元，由于资金总数为25000000元，得到
25000000≤+y x ①
由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，所以
()()30000%10%12≥+y x 即30000001012≥+y x 。 ②
最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值，于是0,0≥≥y x ③
将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：????
???≥≥≥+≤+0
0300000101225000000y x y x y x
二元一次不等式组：
二元一次不等式（组）的解集的意义： （2）二元一次不等式（组）的几何意义 研究：二元一次不等式6<-y x 表示的图形 ①边界的概念
②二元一次不等式（组）的几何意义，画法要求 ③判定方法（1）特殊点法（2）公式法
三、 典型例题
例题1画出不等式2x +y －6＜0表示的平面区域。 解：先画直线2x +y －6＝0（画成虚线）。 取原点（0，0），代入2x +y －6，∵2×0+0－6＝－6＜0，
∴原点在2x +y －6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y －6＜0表示的区域如图：
例题2 用平面区域表示不等式组??
?
??≤≥+≥+-3005x y x y x 的解集
解：
不等式x －y+5≥0表示直线x －y+5＝0上及右下方的点的集合，
x +y ≥0表示直线x+y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合。不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：
例题3：要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？
答案:：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则
且x ，y 都是整数．
例题4
产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）
A产品39 4
B产品104 5
制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，列出满足生产条件的关系式，并画出平面区域。
答案：设生产A、B两种产品各为x、y吨，利润为z万元，则
平面区域如图（阴影部分）
四、反馈测评
1．不等式0
6
2>
+
-y
x表示的区域在直线
6
2=
+
-y
x的（）
A 右上方
B 右下方
C 左上方
D 左下方
2．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（）
Ａ．
10
220
x y
x y
+-
?
?
-+
?
≥
≥
Ｂ．
10
220
x y
x y
+-
?
?
-+
?
≤
≤
Ｃ．
10
220
x y
x y
+-
?
?
-+
?
≥
≤
Ｄ．
10
22
x y
x y
+-
?
?
-+
?
≤
≥0
3 画出二元一次不等式组
?
?
?
?
?
?
?
≥
≥
-
≥
+
≤
+
6
3
2
12
3
2
y
x
y
x
y
x
所表
示的平面区域
4 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序。桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min 着色，9min上漆。如果一个工人每天和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中划出相应的平面区域。
答案：1.(1)D；(2)Ａ；
五课堂小结
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生实际背景
2理解二元一次不等式（组）的意义，掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法
六作业
课本P93 习题3.3 A组1、2题
x
y
1
1-
2-O
3．3．1二元一次不等式（组）与平面区域
课前预习学案
一、预习目标
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。 2理解二元一次不等式的几何意义
3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合
二、预习内容
1.阅读课本引例，回答下列问题
①设用于企业资金贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金y 元，如何用这两个变量表示引例中的三个数字条件 ②有限制条件吗？y x ,
③二元一次不等式，二元一次不等式组 ④二元一次不等式（组）的解集及几何意义
2．思考：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，那么在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？
3.通过研究二元一次不等式6<-y x 表示的图形，你能得到什么结论？ 三、总结结论和提出疑惑
一、 学习目标
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。 2理解二元一次不等式的几何意义
3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合
二、学习重难点
学习重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义；
2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法
学习难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法
三、学习过程
（一）自主学习
大家预习课本P82页，并回答以下几个问题： 问题1.那么信贷部如何分配资金呢？
问题2 .用什么不等式模型来刻画它们呢？
(二) 合作探究，得出概念
二元一次不等式（组）的几何意义 研究：二元一次不等式6<-y x 表示的图形
通过探究上述问题，你能回答下面的问题吗？
① 边界的概念
② 二元一次不等式（组）的几何意义，画法的要求？ ③ 判定方法（1）特殊点法：一般选择哪一个点 （2）公式法 三、典型例题
例1、画出下列不等式表示的区域 (1) 0)1)((≤---y x y x ；
解析：原不等式可化为?
?
?≥--≥-??
?≤--≤-010
010y x y x y x y x 或 例2某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得
到了下面的数据表格（以班级为单位）：
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
分析：设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，根据题意可列出：
变式训练. 画出下列不等式表示的区域 (1) 0)1)((≤---y x y x ；
（2）（1）1+>x y ； （2）．y x >； （3）．y x > 答案：
反馈测评（1）画出不等式表示的平面区域
①y x >；②y x >
③??
?
??≥≤+-≤-1255334x y x y x 四、课堂小结
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义
3会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合 课后练习与提高 （1）不等式
表示的区域在直线
的 .
（2）画出不等式组表示的平面区域.
（3）用平面区域表示不等式组的解集
（4）某厂使用两种零件A ，B 装配两种产品X ，Y. 该厂月生产能力X 最多2500个，Y 最多1200个. A 最多为14000个，B 最多为12000个. 组装X 需要4个A ，2个B ，组装Y 需要6个A ，8个B. 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
（5）某工厂用A ，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件并耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件并耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，工厂每天工作不超过8h. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
学校：二中 学科：数学 编写人：郝福强 一审：丁良之 二审：马英济
3．3．2简单的线性规划问题
【教学目标】
4． 了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基
本概念。
5． 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 【教学重难点】
教学重点： 用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
【教学过程】 一 复习提问
1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？
2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
二 设置情境，引入新课
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：
2841641200
x y x y x y +≤??≤??
≤??≥?≥?? ……………………………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种
生产安排利润最大？ （4）尝试解答：
设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：
当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？
把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3
z
的直
线。当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如
（1，2）），就能确定一条直线（28
33
y x =-+），这说明，
截距3
z
可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，
直线233
z
y x =-+与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截
距3z 最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线233
z
y x =-+与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时
截距3z
最大。
（5）获得结果：
由上图可以看出，当实现233
z
y x =-+金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点
M （4，2）时，截距3z 的值最大，最大值为14
3
，这时2x+3y=14.所以，每天生产
甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。
2、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条
件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解
3、变换条件，加深理解 探究：课本第100页的探究活动
（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利
2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。 （2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
三、典型分析
例题1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？
分析:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
解：设每天食用，那么，总成本为食物食物z ykg A xkg B ,
????
??
?≥≥≥+≥+≥+0
,006.007.014.006.014.007.0075.0105.005.10y x y x y x y x （1），目标函数为y x z 2128+= 二元一次不等式组（1）等价于????
???≥≥≥+≥+≥+0
,0671461475
77y x y x y x y x （2）
做出二元一次不等式组（2）所表示的平面区域，即可行域
考虑考虑z=28x+21y,将它变形为2134z x y +-= ,这是斜率为3
4
- 、随z 变化的一族平行直线. 是直线在y 轴上的截距，当
21
z
取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y 取得最小值. 由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距
21
z
最小，即z 最小. 解方程组 ??
?=+=+6
714577y x y x 得点M(71 , 74 )，因此，当71=x , 74
=y 时，z=28x+21y 取
最小值，最小值为16.
由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.
例题2：在上一节例题3中，各截这两种钢板多少张可得所需A 、B 、C 三种规格成品，
且使所用钢板张数最少？
解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则
且x ，y 都是整数．
做出不等式组表示的平面区域，即可行域，由图可知，当直线z x y -=经过可行域上的点M 时，即z 最小。解方程组?
??=+=+15227
3y x y x
得M 的坐标为539,518==
y x 。由于5
39,518=
=y x 都不是整数，此问题中最优解()y x ,中横纵坐标都必须是整数，所以点??
?
??539,5
18不是最优解。经过可行域内整点且使截
距z 最小的直线是12+-=x y ，经过的整点是B ()(),84C 9,3和它们是最优解。所以Z min
=12
答：略 五、反馈测评
求满足约束条件的最大值，使y x y x z ,2+=??
?
??-≥≤+≤11y y x x y
2．求满足约束条件的最大值和最小值，使y x y x z ,53+=??
?
??≤-+≤≤+3511535y x x y y x
五 课堂小结
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。 2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 六 作业
课本P93 习题3.3 A 组 3、4题
学校：二中 学科：数学 编写人：郝福强 一审：王梦炬 二审：马英济
3．3．2二元一次不等式（组）与平面区域
课前预习学案
一、预习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。 2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 二、预习内容
1.阅读课本引例，回答下列问题 线性规划的有关概念：
①线性约束条件 ②线性目标函数： ③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解
2．.通过研究引例及例题5、6，你能总结出求线性规划问题的最值或最优解的步骤吗？那些问题较难解决？
课内探究学案
一、 学习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。 2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 二、学习重难点
学习重点：教学重点： 用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
三、学习过程 （一）自主学习
大家预习课本P87页，并回答以下几个问题：
问题1. ①线性约束条件 ②线性目标函数： ③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
(二) 合作探究，得出解决线性规划问题的一般步骤 （三）典型例题
例1、①求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件??
?
??-≥≤+≤.1,1,y y x x y
解析：注意可行域的准确画出
②求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、
y 满足约束条件??
?
??≥-+≤≤+.35,1,
1535y x x y y x
解析：注意可行域的准确性
不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x +5y =t
示的公共区域内的点时，以经过点（
-2，-1所对应的t 最小，以经过点（8
17
,89）的直线所对应的t 最大.
所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11.
z m ax =3×8
9+5×
8
17
=14 例2. 有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的
现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞
机？
答案：解：设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则
3001502000250100150000x y x y x y +??+?
?
?
??≥ ，
≥ ，
≥，≥．
即6340523000x y x y x y +??+?????≥，≥，≥，≥． 目标函数为z x y =+．
作出可行域，如图所示．
作出在一组平行直线x y t +=（t 为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线
63400x y +-=和0y =的交点2003A ??
???
，，直线方程为：20
3
x y +=
． 由于
203不是整数，而最优解()x y ，中x y ，必须都是整数，所以，可行域内点2003??
???
，
不是最优解．
经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是
(70)，，
即为最优解．则至少要安排7艘轮船和0架飞机．
变式训练. 1、求y x z -=的最大值、最小值，使x 、y 满足条件??
?
??≥≥≤+002
y x y x
2、设y x z +=2，式中变量x 、y 满足 ??
?
??≥≤+-≤-1255334x y x y x
反馈测评 给出下面的线性规划问题：求35z x y =+的最大值和最小值，使x ，y 满足约
束条件5315153x y y x x y +??
+??-?
≤，≤，≤．要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一
个不等式，那么新的约束条件是 ．
答案：30153x y y x x y --??
+??-?
≤，≤，≤．
五、课堂小结
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。 2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 四 课后练习与提高
某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？
解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．
A 型车
B 型车 限量
车辆数 x y
10 运物吨数 24x 30y 180
费用
320x
504y
z
由表可知x y 10
24301800804
x y x y x y +??+?
?
???≤≥≤≤≤≤，且320504z x y =+． 作出线性区域，如图所示，可知当直线320504z x y =+过(7.50)A ，时，z 最小，但(7.50)A ，不是整点，继续向上平移直线320504z x y =+可知，(52)，是最优解．这时
min 320550422608z =?+?= （元），即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．
若只用A 型车，成本费为83202560?=（元），只用B 型车，成本费为180
504302430
?=（元）．
初中数学 一元二次不等式解法
2.3.2 一元二次不等式解法 二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知 当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0； 当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0； 当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0． 这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程 x2－x－6＝0 的解就是 x1＝－2，x2＝3； 同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式 x2－x－6＞0 的解是 x＜－2，或x＞3； 一元二次不等式 x2－x－6＜0 的解是
－2＜x＜3． 上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集． 那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解． 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知 不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c ＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b 2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x≠－b 2a； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
一元二次不等式及其解法教学设计
一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范.
如何解一元二次不等式
如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 例2 解下列分式不等式： （1） 2 2 123+-≤-x x （2） 1 2 731 422<+-+-x x x x 例3 解不等式242+<-x x 例4 解不等式 04125 622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x x x x x <-+-+2 2232 2． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ． 例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ． 例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02 >++c bx ax 的解集是 {})0(><<αβαx x ．求不等式 02>++a bx cx 的解集． 例11 若不等式 1 12 2+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31 (∞+-∞，，Y ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．
例1解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 ,0321 =-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 第三节 不等式组与简单的线性规划第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 一、选择题 1. (2009山东卷理)设x ，y 满足约束条件?? ? ??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x 若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12， 则23a b +的最小值为 ( A.625 B.3 8 C. 3 11 D. 4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而 23a b +=2323131325()()26666 a b b a a b a b ++ =++≥+=,故选A. 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求 23a b +的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 2.（2009安徽卷理）若不等式组0 34 34x x y x y ≥??+≥? ?+≤? 所表示的平面区域被直线43 y kx =+ 分为面积 相等的两部分，则k 的值是A. 73 B. 37 C. 43 D. 3 4 答案 B ∴S △ABC = 144(4)12 3 3- ?= ，设y kx =与34x y +=的 交点为D ，则由122 3 B C D S S A B C ?=?= 知12 D x = ，∴52 D y = ∴ 5147,2 2 3 3 k k =? + = 选A 。 3.（2009安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A.2 3 B.32 C.3 4 D.4 3 解析 由340340 x y x y +-=?? +-=?可得(1,1)C ，故S 阴 = 142 3 c AB x ??= ，选C 。 答案 C 4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 答案 D 解析 ?? ≤+1832y x 目标函数y x z 35+= 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x ＝3，y ＝5时可获得最大利润为27万元，故选D 5.（2009宁夏海南卷理）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥?? -≥-=+??-≤? 则 A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值 C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B 解析 画出可行域可知，当z x y =+过点（2，0）时，min 2z =，但无最大值。选B. 3． 3．1二元一次不等式（组）与平面区域． 【教学目标】 1． 了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。 2． 理解二元一次不等式的几何意义 3． 会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合 【教学重难点】 教学重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义； 2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法 教学难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。 2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法 【教学过程】 一、 设置情境，引入新课 一家银行信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么信贷部如何分配资金呢？ 问题1.那么信贷部如何分配资金呢？ 问题2.用什么不等式模型来刻画它们呢？ 二、合作探究，得出概念 （1）设用于企业资金贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金y 元，由于资金总数为25000000元，得到 25000000≤+y x ① 由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，所以 ()()30000%10%12≥+y x 即30000001012≥+y x 。 ② 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值，于是0,0≥≥y x ③ 将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：???? ???≥≥≥+≤+0 0300000101225000000y x y x y x 二元一次不等式组： 二元一次不等式（组）的解集的意义： （2）二元一次不等式（组）的几何意义 研究：二元一次不等式6<-y x 表示的图形 ①边界的概念 ②二元一次不等式（组）的几何意义，画法要求 ③判定方法（1）特殊点法（2）公式法 三、 典型例题 例题1画出不等式2x +y －6＜0表示的平面区域。 解：先画直线2x +y －6＝0（画成虚线）。 取原点（0，0），代入2x +y －6，∵2×0+0－6＝－6＜0， 第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1 ?考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值 (或取值范围). 2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围. 【复习指导】 1 .掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域). 2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法 (图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合. KAOJIiZIZHUDAOXUE —B— 01 考基自主导学 基础梳理 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线I: ax+ by+ c= 0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线I上的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ c= 0; ②直线I 一侧的平面区域内的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ c>0; ③直线I另一侧的平面区域内的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ cv0. 所以，只需在直线I的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(X0, y°),从ax0 + by。 + c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域. (2)由于对直线Ax+ By + C = 0同一侧的所有点(x, y),把它的坐标(x, y)代入Ax + By+ C所得到实数的符号都相同亠所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (X0, y0),由AX0+ By°+ C的符号即可判断 Ax+ By+ C>0表示直线 Ax+ By+ C =0哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 ——助< 谭_ ----- 一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时,.……经常采用“直线定界，.特殊点定域…”的方法.?…. (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线;...若不等式含有等号, .把直线画成实线：.…. (2)特殊点定域，即在直线Ax土 By 士.C亍.0.的某一侧取一个.特殊点…(X., y o)作为测试点代入不等式检验,…若满足不等式，.则表示的就是包括该点的这一侧，……否则就表示直线的另一侧:…特别地，当….C^0时，.常把原点作为测试点;…当….一C. 0 .时，常选点.(1,0)或者(0,1)作为测试点，.… 一个步骤 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：.…… (1)在平面直角坐标.系内作出可行域;…一… (2)考虑目标函数的几何意义，.将目标函数进行变形; . (3)确定最优解：.在可行域内平行移动冃标函数变形后的直线，从而确定最优解；. ⑷求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值, .... 两个防范 ⑴画出平面区域,..避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化一. .. (2)求二元一次函数.-z. ax 土 b.y(ab.于.0).的最值，将函数..z. ax 土 by转化为直线的斜.. 截式：y三二bx 土b，通过求直线的截距b的最值间接求出…乙的最值 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =， 4—简单的线性规划、基本不等式 知识块一：求目标函数的最值 归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 1．设x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0， 3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8. 2．若x ，y 满足???? ? y ≤1，x －y －1≤0， x ＋y －1≥0， 则z ＝3x ＋y 的最小值为 ________. 解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1. 答案：1 角度二：求非线性目标的最值 3．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组???? ? 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0， 3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－1 3 D ．－12 解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－1 3 . 4．设实数x ，y 满足不等式组???? ? x ＋y ≤2y －x ≤2， y ≥1，则x 2＋y 2的取值围是( ) A ．[1,2] B ．[1,4] C ．[2，2] D ．[2,4] 解析：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值围是[1,4]． 角度三：求线性规划中的参数 5．若x ，y 满足???? ? x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0， y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.1 2 D ．－12 解析：选D 作出线性约束条件???? ? x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0， y ≥0 的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域 为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值． 当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意． 当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ????－2 k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ????－2k ，0时，有最小值，即－????－2k ＝－4?k ＝－1 2 .故选D. 第2讲 一元二次不等式及其解法 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝________. 解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(?R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3] 2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞) 3．(2013·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 一元二次不等式的解法（一） 学习目标： 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。 3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式。比如： . 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 （ （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ，计算判别式?; ①0>?时，求出两根21x x 、，且21x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0=?时，求根a b x x 221-==； ③0--x x ； （3）0652 >--x x （4）0442 >+-x x ； （5）0542 >-+-x x ； （6）23262x x x -++<- 举一反三： 【变式1】解下列不等式 （1）02322 >--x x ； （2）02232 >+--x x （3）01442 ≤+-x x ； （4）0322 >-+-x x . （5）()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式：（1）6662<--≤-x x （2）18342 <-≤x x 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ，求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三： 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ，则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 举一反三： 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集，求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数，求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集，求m 的取值范围. 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 课堂巩固 1.若222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则目标函数z x y =-的取值范围是 A ．[1,1]- B ．[2,0]- C ．[0,2] D ．[2,2]- 2.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 3.已知D 是由不等式组2030 x y x y -≥?? +≥?，所确定的平面区域，则圆 22 4x y +=在区域D 内的弧长为 [ ] A 4π B 2 π C 34π D 32π 4.设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥?? -≥??-≤? 则z x y =+ （A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值 5.不等式组222232320 x x x x x x ?-->--? ?+- 1 ,01(),03 x x x x ?0）的最大值为12，则2a ＋3b 的 最小值为 A ． 256 B ．83 C ．11 3 D ．4 3.已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组43250 22010x y x y x +-≤?? -+≤??-≥? ，则cos POQ ∠的最小值 为 A ． 1 2 B ．22 C ．32 D ．1 4.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边 界)内，目标函数ay x z -=2取得最大值的最优解有无 数个，则a 为 A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6 二、填空题 5.设220 240330x y x y x y +-≤??-+≤??-+≥? ，则目标函数22 z x y =+取得最大值时，x y += 6.若函数()f x = 则方程1()3f x =-的解集为 . 7.已知函数2 lg ,(0)()1,(0) x x f x x x ->?=?-≤?则不等式()0f x >的解集为______________。 8.在极坐标系中，由三条直线0=θ ，3 π θ= ，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________. 三、解答题 9.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两 个项目。根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%。投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题 第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式？ 【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？ 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的 横坐标。 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表： 【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。 一元二次方程练习题 1. 解下列方程：（1）2(1) 9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 2. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21) 180y -=； （2）21(31)644x +=； （3）26(2) 1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 3. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2．（2）223x x -+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 4. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 5. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 7. 用适当的方法解方程（1）23(1) 12x +=； （2）2410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2310y y ++=． （5） ()9322=-x ； （6）162=-x x ； 一元二次不等式 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 0(0)ax bx c a ++=>之间判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 一、解下列一元二次不等式： 1、0652>++x x 2、0652≤--x x 3、01272<++x x 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==； 一元二次不等式解法一、知识梳理 1．“三个二次”的关系 2.常用结论 (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 口诀：大于取两边，小于取中间． 二、例题讲解 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝3 2 ， ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)． 命题点2 含参不等式 例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1， ①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1 解得x <1 a 或x >1. 若a >0，原不等式等价于(x －1 a )(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1 a )(x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1 a 一元二次不等式及其解法 【知识归纳】 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零， 左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图像与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表： 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1不等式组与简单的线性规划
3.3一元二次不等式(组)与简单线性规划问题
七篇不等式讲二元一次不等式(组)与简单线性规划问题
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
4—简单的线性规划、基本不等式
2015高考数学一轮题组训练：7-2一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解法
二元一次不等式组与简单线性规划问题
2019-2020年高中数学 一元二次不等式组解法教案 新人教A版必修1
解一元二次方程及一元二次不等式练习题--
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一元二次不等式解法
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