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高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题

椭圆

1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程：

12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2

+ny 2

=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程

3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法

,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0

, y 0

则x ＝x 0, y ＝ 2

得x 0＝x ， y 0＝2y.

∵x 02

＋y 02

＝4, 得x 2

＋(2y)2

＝4,

即.14

=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆.

4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2

，∴|x|≤a ，|y|≤b ．椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．

5.椭圆的对称性

椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

6.顶点只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的

长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长．

|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．

在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2

．

a A 1y

O F 1F 2

x B 2

B 1

A 2c b y O F 1F 2x M

c c

F 2

F 1

O y M c c

y x

O P '

）的离心率为（轴分成三等份，则椭圆若椭圆的连个焦点把长 .1

无法确定 D. 3

2 C. 31 B. 61 A.

7),0()0,()0,()0(1 .21122

22=-->>=+e b

AB F b B a A c F b a b

y a x ，则椭圆的离心率的距离为到直线如果是两个顶点，

、，的左焦点为椭圆

.1612)2,1( .32

2的标准方程有相同的离心率的椭圆，且与椭圆求经过点=+y x M

越小，因此椭圆越扁；

，从而越接近时，越接近当221)1(c a b a c e -=

因此椭圆越接近于圆；

，越接近，从而越接近时，越接近当a b c e 00)2(

. 0)3(222a y x c b a =+==为圆，方程成为，两焦点重合，图形变时，当且仅当

)2(; )1(12045 .2221212

21点坐标求求，

为左右焦点，，上的点，为椭圆已知P S PF PF F F y x P F PF ?⊥=+

O x

椭圆典型例题

例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2

c b a +=可求出m 的值．

解：方程变形为

1262

2=+m

y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ．又2=c ，所以2

262=-m ，5=m 适合．故5=m ．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数a 和b （或2

a 和2

b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b

y a x ．

由椭圆过点()03，P ，知

1092

2=+b

a ．又

b a 3=，代入得12=b ，92

=a ，故椭圆的方程为19

=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b

x a y ．

由椭圆过点()03，P ，知

1092

2=+b

a ．又

b a 3=，联立解得812=a ，92

=b ，故椭圆的方程为

812

2=+x y ．

例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．

（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．

解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，

由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，

8=c ，有6=b ，

故其方程为

()0136

1002

2≠=+y y x ．（2）设()y x A ，，()y x G ''，，则

()0136

1002

2≠'='+'y y x ． ① 由题意有???

????='='33

y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除

去x 轴上两点）．

例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3

2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=

PF ，3

22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．

从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF

Rt ?中，2

s i n 12

21==

∠PF PF F PF ，可求出6

21π

∠F PF ，3

526

cos

21=

?=π

PF c ，从而3102

22=-=c a b ．

∴所求椭圆方程为

1103522=+y x 或15

1032

2=+y x ．例5 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭

圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2

?求面积．

解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 2

1F F 2

221PF PF +=12PF -·2

24cos c PF =α．①

由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2

得 α

cos 122

21+=?b PF PF

．故αsin 212121PF PF S PF F ?=?αα

sin cos 12212+=b 2tan 2αb =．

例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动

圆圆心P 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，

即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，

即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为7342

=-=b 的椭圆的方程：

162

2=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

例7 已知椭圆12

=+y x （1）求过点??

? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

=?OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则

??????

?=+=+=+=+④

，③，②，①，y y y x x x y x y x 2222222

1212

2222121

①－②得

()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．

由题意知21

x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有

()()022*******=-+++x x y y y y x x ，

将③④代入得022

1=--+x x y y y x ．⑤

（1）将21=

x ，21=y 代入⑤，得2

12121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662

-y y ，04

6436>??-=?符合题意，0342=-+y x 为所求．

（2）将

1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．

（椭圆内部分）（3）将2

2121--=

--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得：

()

2212

221=+++y y x x ， ⑦，将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122

22124y y y y y -=+， ⑨

将⑧⑨代入⑦得：

()

2244

242122

12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -

=代入⑩式得： 221242212212=??

??--+-x x y x x x ，即 12

=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例8 已知椭圆142

2=+y x 及直线m x y +=．

（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为

2，求直线的方程．

解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()142

2=++m x x ，

即01252

=-++m mx x ．()()

020*********

≥+-=-??-=?m m m ，解得

25≤

≤-

m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，

由（1）得5221m x x -=+，5

1221-=m x x ．根据弦长公式得：5102514521122

=-?

-??? ??-?+m m ．解得0=m ．方程为x y =．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?；解决弦长问题，一般应用弦长公式．

用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例9 以椭圆

122

2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所

作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

解：如图所示，椭圆13

122

2=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ．点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为

032=-+y x ．

解方程组?

??=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．

所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，

∴()

363532

=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为

136

452

2=+y x ．例10 已知方程

1352

2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围．解：由??

??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明：本题易出现如下错解：由?

??<-<-,03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示

椭圆．

例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范

围．

分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．

解：方程可化为

1cos 1sin 122=+α

αy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1

cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)4

,2(ππα∈．

说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1

>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α

sin 12

=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目

中的条件πα<≤0．

例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程

分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

可设其方程为12

2=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，

直接可求出方程．

解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得

?????=?+-?=-?+?,

11)32(,1)2()3(222

2n m n m 即???=+=+,112,

143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为15

152

2=+y x ．

例13 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3

π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．

分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212

x x x x k x x k AB -++=

-+=求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因

为焦点在x 轴上，

所以椭圆方程为

362

2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132

=?++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以

37221-

=+x x ，

83621?=

x x ，

=k ，从而

48]4))[(1(1212212212=

-++=-+=x x x x k x x k AB ．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为19

362

2=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．

在

1F AF ?中，

s 22112

212122π

F F AF F F AF AF -+=，

即

362336)12(22???-?+=-m m m ；

所以346-=

m ．同理在2

1F BF ?中，用余弦定理得3

+=n ，所以1348=+=n m AB ．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程0836372132

=?++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．

再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．

例14 椭圆19

252

2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．

解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定

义

得

221==+a MF MF ，所以

82101012=-=-=MF MF ，

又因为ON 为21F MF ?的中位线，所以

2==

MF ON ，故答案为A ．

说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．

例15 已知椭圆13

2=+

y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)

弦AB 的中点M 在l 上．

利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．

解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于

),(00y x M 点．

∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41

．由方程组???????

=++-=,134,41

2y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。∴13821n x x =

+．于是13

42210n

x x x =+=，

124100n

n x y =+-=，

即点M 的坐标为)1312,134(

n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n n +?=13

44．解得m n 4

-=． ②

将式②代入式①得04816926132

=-++m mx x ③

∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(22>-?-=?m m ．解得

213132<

m ． (法2)同解法1得出m n 413-

=，∴m m x -=-=)4

(1340， m m m m x y 34

)(414134100-=--?-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --．

∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部，∴

)3(4)(2

2<-+-m m ．解得13

213132<<-

m ． (法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．

∵A ，B 在椭圆上，∴1342121=+y x ，13

222=+y

x ．两式相减得

0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，

即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x ．∴

)(43210

0212

1x x y x x x y y ≠-=--．

又∵直线l AB ⊥，∴1-=?l AB k k ，∴14430

-=?-

y x ，即003x y = ①。又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②。由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0>?，建立参数方程．

(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，满足12

020<+b

a x ，将0x ，0y 利用参数表

示，建立参数不等式．

例17 在面积为1的PMN ?中，2

tan =

M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．

解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．

则

????

?==+-=-.1,21,2cy c

x y

c x y

∴??????

?===233

435c c y c x 且即

25(

P ∴

???

?=-=+,43,134********b a b a 得?????==.

41522b a ∴所求椭圆方程为13

1542

2=+y x 例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆

362

2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．

高中数学-选修2-1-椭圆题型大全-(1)

椭圆题 1、命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 2、已知1 F 、2 F 是两个定点，且4 2 1=F F ,若动点P 满足4 2 1 =+PF PF 则动点P 的轨迹是（） A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、线段 3、已知1 F 、 2 F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长1 F P 到Q ,使得2 PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是 ( ) A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、点 4、已知1 F 、2 F 是平面α内的定点，并且) 0(22 1>=c c F F ，M 是α 内的动点，且a MF MF 221 =+,判断动点M 的轨迹. 5、椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1 F 的距离为2，N 为1 MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是。 6、若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围. 7、轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A 、充分而不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件

8、已知方程 11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是 . 9、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 10、方程2 31y x -= 所表示的曲线是 . 11、如果方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。 12、已知椭圆0 6322 =-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 13、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 14、根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点) 2,3(),1,6( 21 --P P ,求椭圆方程. 15、以)0,2(1 -F 和)0,2(2 F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为。 16、如果椭圆：k y x =+22 4上两点间的最大距离为8，则k 的值为。 17、已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆 36 94:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C

高中数学命题知识点考点典型例题

高二数学选修1－1知识点第一章：命题与逻辑结构知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性：

例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是偶数 C．真命题的个数一定是奇数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数答案（找作业答案--->>上魔方格）一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性， ∴真命题的若有事成对出现的，四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 7、若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）．若p q

高中数学椭圆经典例题(学生+老师)

（教师版）椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．（2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或．

例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得．故．例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。对椭圆定义的几点说明：（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：

高中数学椭圆大题之向量综合

高中数学椭圆大题之向量综合题型一：单一共线型例1、已知B A 、是椭圆1222=+y x 上的两点，并且点)0,2(-N 满足NB NA λ=，当?? ? ???∈31,51λ时，求直线AB 斜率的取值范围. 例2、已知定点)0,2(M ，若过M 的直线l （斜率不为零）与椭圆13 22 =+y x 交于不同的两点F E 、（E 在点F M 、之间），记OMF OME S S ??= λ，求λ的取值范围.

练1、椭圆12322 22=+c y c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ，过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B A 、两点，且B F A F 21//，B F A F 212=，求直线AB 的斜率. 练2、设)0,(1c F -，)0,(2c F 分别为椭圆13 22 =+y x 的左右焦点，B A 、在椭圆上，若F F 215=，求点A 的坐标.

题型二、点在曲线上例1、已知椭圆2 2 2 33b y x =+，斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，M 为椭圆上任一点，且 OB OA OM μλ+=，证明22μλ+为定值. 练1、椭圆C:12 32 2=+y x ,过右焦点F 的直线l 与C 交于A,B 两点，C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有 +=成立？若存在，求出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在，说明理由.

练2、设动点P 满足OM 2+=，其中M,N 是椭圆C:12 42 2=+y x 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为2 1 - ，求P 的轨迹.

椭圆知识点总结附例题

圆锥曲线与方程椭圆知识点一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 222c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ，即a c 称为椭圆的离心率，记作e （10<

高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题

椭圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ．椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M

椭圆知识点及经典例题

椭圆知识点及经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中 222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中 222b a c -=； 3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数??? ? ??==b y a x 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和 222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ， )0,(c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质

（1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把 y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率： ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。 ②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<