一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布
本讲研究一元二次方程根的分布问题。研究“一元二次方程根的分布”与“方程系数满足的条件”这两者之间的关系。重点探究，如何由根的分布得到系数应满足的条件。
对一元二次方程根的分布，主要考查下列两类问题： 第一类问题：方程的根与确定的实数k 的大小关系问题。
（1）方程一根比k 大，另一根比k 小；（2）方程两根都比k 大；（3）方程两根都比k 小。 第二类问题：在给定区间（或范围）内方程解的个数问题。
（1）方程在区间()m n ，内有两个不同的实根；（2）方程在区间()m n ，内恰有一个实根（含两根相等）；（3）方程在区间()m n ，与()n p ，内各有一个实根。
处理一元二次方程根的分布问题，常见的方法有三种： （1）韦达定理法。利用一元二次方程根与系数的关系式。
（2）图像法。借助于函数图象与方程根之间的关系，并利用下列基本结论：
对于二次函数c bx ax x f ++=2)(，若0)()( 数0x ，使得0)(0=x f ，即方程0)(=x f 在m 与n 之间必有一个实根0x （在区间()m n ，内有解）。 （3）解不等式法。利用求根公式求出方程的两个根后再解不等组。 例1 已知关于x 的方程230x ax -+=。当a 取值时： （1）方程两根一根比1-大，另一根比1-小？ （2）方程两根都比1-大？ （3）方程两根都比1-小？ 方法一（图像法）：设2()3f x x ax =-+ （1）方程两根一根比1-大，另一根比1-小(1)130f a ?-=++<。 解得，4a <-。 因此，当4a <-时，方程两根一根比1-大，另一根比1-小。 （2）方程两根都比1-大2120 12(1)130 a a f a ?=-≥? ??>-??-=++>??△ 。解得24 a a a a ?≤-≥?>-??>-?。 所以，a ≥ 因此，当a ≥1-大。 （3）方程两根都比1-小2120 12(1)130 a a f a ?=-≥? ??<-??-=++>??△ 。解得24 a a a a ?≤-≥?<-??>-?。 所以，4a -<≤- 因此，当4a -<≤-1-小。 方法二（韦达定理法）：设1x ，2x 为方程230x ax -+=的两根，则12x x a +=，123x x =。 （1）方程两根一根比1-大，另一根比1-小212120 (1)(1)0 a x x ?=->??++ 所以，121212(1)(1)()1310 a a x x x x x x a ?<->??++=+++=++ 解得，4a <-。 因此，当4a <-时，方程两根一根比1-大，另一根比1-小。 （2）方程两根都比1-大2121 2120 (1)(1)0(1)(1)0 a x x x x ?=-≥? ?++>??+++>?△。 所以，1212121212(1)(1)()1310(1)(1)()220 a a x x x x x x a x x x x a ?≤-≥? ++=+++=++>??+++=++=+>?。 解得，a ≥ 因此，当a ≥1-大。 （3）方程两根都比1-小2121 2120 (1)(1)0(1)(1)0 a x x x x ?=-≥? ?++>??+++ 所以，1212121212(1)(1)()1310(1)(1)()220 a a x x x x x x a x x x x a ?≤-≥? ++=+++=++>??+++=++=+ 解得，4a -<≤- 因此，当4a -<≤-1-小。 【归纳整理】第一类问题的解法可以归纳如下： 其中c bx ax x f ++=2)(（这里约定0a >），请同学们作出其相应的图象。 例2 已知关于x 的方程230x ax -+=。当a 取值时： （1）方程在区间(12)-，内有两个不同的实根； （2 ）方程在区间(12)-，内有且仅有一个实根（含方程两根相等） ； （3）方程在区间(12) -，和(24)，内各有一个实根。 【解答】设2()3f x x ax =-+ （1）方程在区间(11)-，内有两个不同的实根?2120 12 2 (1)40(2)720a a f a f a ?=->? ?-<?=->??△。 解得，7 2 a << 。 因此，当7 2 a << 时，方程在区间(11)-， 内有两个不同的实根。 （2）方程在区间(1 2)-，内有且仅有一个实根（含方程两根相等）?2120122 a a ?=-=? ?-< )(72)0f f a a -=+-<或(1)012122f a -=???-+-< 12222 f a =?? ?-+<，a 不存在，7 2 a =。 因此，当a =或4a <-或7 2 a ≥时，方程在区间(11)-， 内有且仅有一个实根（含方程两根相等）。 注：对后两种情形，也可以求出a 的值后，代入求方程的另一根，再判断是否符合要求。 （3）方程在区间(12)-， 和(24)，内各有一个实根?(1)40 (2)720(4)1940f a f a f a -=+>?? =-? 。 解得， 71924a <<。因此，当719 24 a <<时，方程在区间(12)-，和(24)，内各有一个实根。 【归纳整理】第二类问题的解法可以归纳如下： 其中c bx ax x f ++=2)(（这里约定0a >），请同学们作出其相应的图象。 对于在区间()m n ， 内没有实根的情形，可以采用补集的方法。 【说明】 1．从理论上看，解不等式法总是可以解决一元二次方程根的分布问题的，但往往计算比较麻烦。 2．由根的分布得到系数满足的关系式时，应注意其等价性。 3．当区间包含端点时，一般单独予以考虑。 【练习巩固】 1．方程02)13(722=--++-k k x k x 有两个实根α、β，且10<<α，21<<β，那么k 的取值范围是（ ）