河南省中招考试数学试卷及答案

2014年河南省中招考试数学试卷及答案解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.下列各数中，最小的数是（）

(A). 0 (B).1

3

(C).-

1

3

(D).-3

答案：D

解析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数，其绝对

值大的反而小）比较即可．解：∵﹣3＜-1

3

＜0＜

1

3

，

∴最小的数是﹣3，故选A．

2. 据统计，2013年河南省旅游业总收入达到亿元.若将亿用科学计数法表示为×10n，则n等于（）

#

（A) 10 （B) 11 (C).12 (D).13

答案：B

解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n的值．亿=×1011，故选B.

3.如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM =350，则∠CON的度数为（）

(A) .350 (B). 450 (C) .550（D). 650

答案：C

解析：根据角的平分线的性质及直角的性质，即可求解．

∠CON=900-350=550, 故选C.

》

4.下列各式计算正确的是（）

（A）a +2a =3a2（B）（-a3)2=a6

(C）a3·a2=a6（D）（a＋b）2=a2 + b2

答案：B

解析：根据同底数幂的乘法；幂的乘方；完全平方公式；同类项加法即可求得；（-a3)2=a6计算正确，故选B

5.下列说法中，正确的是（）

（A）“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件

（B）某种彩票中奖概率为10％是指买十张一定有一张中奖

>

（C）神州飞船发射前需要对零部件进行抽样检查

（D）了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查

答案：D

解析：根据统计学知识；

（A）“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，（A）错误。

（B）某种彩票中奖概率为10％是指买十张一定有一张中奖是随机事件，（B）错误。

（C）神州飞船发射前需要对零部件进行抽样检查要全面检查。

（D ）了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查，（D ）正确。 ，

故选B

6:将两个长方体如图放置，到所构成的几何体的左视图可能是（ ） 答案：C

解析：根据三视图可知，C 正确。

7.如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,AB ⊥AC.若AB =4,AC =6,则BD 的长是（ ） (A)8 (B) 9 (C)10 （D ）11 答案：C

解析：根据平行四边形的性质勾股定理可得，Rt △ABO,OA=12AC=1

2

×6=3,AB=4,∴OB=5,又BD=2OA=2×5=10.故C 正确。 :

8.如图，在Rt △ABC 中，∠C=900

，AC=1cm ，BC=2cm ，点P 从A 出发，以1cm/s 的速沿折线AC CB BA 运动，最终回到A 点。设点P 的运动时间为x （s ），线段AP 的长度为y （cm ），则能反映y 与x 之间函数关系的图像大致是 （ ） 答案：A

解析：根据函数判断，当P 点在AC 上时y=x ，当P 点在BC 上时

y=

()2

2221x 1AC PC +=+-=2x 2x+2-，当P 点在AB 上时y=5-x,故选A.

二、填空题（每小题3分，共21分） 9.计算：3272--= . 答案：1

解析：原式＝3－2=1 10.不等式组3x 60

42x 0+≥??

-?

＞的所有整数解的和是 .

|

答案：－2

解析：不等式组的解集是：－2≤x ＜2，满足条件的整数是－2，－1，0，1.它们的和为－2. 11.在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B 、C 为圆心，以大于

1

2

BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M 、N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD. 若CD=AC ，∠B=250

，则∠ACB

的度数为 . 答案：1050

.

解析：由①的作图可知CD=BD,则∠DCB=∠B=250,∴∠ADC=500

,又∵CD=AC ，∴

∠A=∠ADC=500,∴∠ACD=800,∴∠ACB==800+250=1050.

12.已知抛物线y=ax 2

+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点．若点A 的坐标为（-2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB 的长为 . 答案：8.

解析：根据点A 到对称轴x=2的距离是4，又点A 、点B 关于x=2对称，∴AB=8.

!

13.一个不进明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，到第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是 . 答案：

13

. 解析：画树形图

共12种可能，第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的有4种，P （一红一白）=

41=123

14.如图，在菱形ABCD 中,AB =1,∠DAB=600

,把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转300

得到菱形AB /C /D /

，其中点C 的运动能路径为/CC ，则图中阴影部分的面积为 . 答案：

3

342

+-π. 解析：由旋转可知，阴影部分面积=扇形ACC /

面积－2个三角形D /

FC 的面积。 作辅助线如图， ：

在Rt △AD /

E 中，∠D /

AE=300

，AD /

=1,∴D /

E=

1

2

,AE=32,

在Rt △BD /

E 中，BE=1－

32,D /B 2=(1－32)2+(12

)2

=2－3, 可证∠D /FB=∠CFC /=900

,△D /

BF 是等腰直角三角形，∴D /F 2

=

23

2

-, ∴D /

F=

4234

-=312-,CF=1-312-=332-,

在Rt △CBH 中，∠CBH=600

,BC=1, ∴BH=

12,CH=32∴AH=32

,∴AC 2

=3,

S △D/FC =

12× D /

F ×CF=12

×332-=2334-,

S 扇形ACC/=

30360π×AC 2=30360π×3=4

π

…

S 阴影= S 扇形ACC/-2×S △D/FC =

4

π

-2×233-

=

4π+3

2

－3 15.如图，矩形ABCD 中，AD=5,AB=7.点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D /

落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为 .

D /

C /

B /

第14题

H E F C

B

A

答案：

53或52

解析：过D /

作FH ⊥AB 交AB 于F,交CD 于H;

如图1，由翻折，△EDA ≌△ED /A,∴ED=ED /,AD=AD /

=5,

设AF=x ，则BF=7-x ，在Rt △BD /

F 中， ∵PB 是∠ABC 的平分线， /

∴∠ABD /

=450

, 则D /

F=BF=7-x ，

在Rt △AD /F 中，AD /2=AF 2+D /F 2,即52=（7-x ）2+x 2

，

解得x=4或x=3，即D /

F=BF=3或4. 当x=4时，如图1，设DE=y ，

在Rt △D /HE 中，EH=4-y ，ED /=y ，HD /

=2, 即（4-y ）2

+22

=y 2

，解得y=

52，即DE=52

当x=3时，如图2，设DE=y ，

在Rt △D /HE 中，EH=3-y ，ED /=y ，HD /

=1, ]

即（3-y ）2

+12

=y 2

，解得y=

53，即DE=53

三、解答题（本大题共8个，满分75分） 16.(8分）先化简，再求值：

22

2x 1x 12x x x ??

-+÷+ ?-??

，其中

-1

解：原式=()()()2x 1x 12x x 1x x 1x

+-++÷

-…………………4分 =

()2

x 1x

x x 1++

=

1

x

1

+…………………………………………………………………6分 当

-1时，原式

8分

)

17.（9分）如图,CD 是⊙O 的直径，且CD=2cm ，点P 为CD 的延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，

切点分别为点A 、B.

（1）连接AC,若∠APO ＝300

，试证明△ACP 是等腰三角形；

证明：（1）连接OA ，∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA ⊥PA. ……………………………1分

在Rt △AOP 中，∠AOP=900－∠APO=900-300=600

. ∴∠ACP=

12∠AOP=12

×600=300

.…………4分 ∴∠ACP=∠APO, ∴AC=AP.

∴△ACP 是等腰三角形. ……………………5分

图1

F

A

C

图

2

F

D A

:

（2）填空：

①当DP= 1 cm 时，四边形AOBD 是菱形；…………7分

②当

-1 cm 时，四边形AOBP 是正方形．…………9分 （2）提示：①、若四边形AOBD 是菱形，

则AO=AD=1,Rt △OAP, 当点D 是OP 的中点时， 即OD=PD=1时，四边形AOBD 是菱形 ②若四边形AOBP 是正方形， [

则∠AOB=∠APB=900

，

即PA=R=1,可证△PAD ≌△PCA, PA 2

=PD(PD+2),即1= PD(PD+2)，

∴PD 2

+2PD-1=0,解得

或-1（舍去）

18.（9分）某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 请根据以上信息解答下列问题：

(1)课外体育锻炼情况扇形统

计图中，“经常参加”所对应的圆心角

的度数

为

； (2）请补全条形统计

图； ?

(3）该校共有1200名男生，请估什全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数； (4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200×27

300

=108”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由． 解：（l ）144: …………………………………………………………………………2分 提示：360×（1-45%-15%）=144. （2）（“篮球”选项的频数为40.正确补全条形统计图）：………………………4分 提示：经常参加人数：300×（1-45%-15%）=120，篮球：=40. 补全条形统计图如图所示。

（3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为 #

图1

P

图2

P

1200×

40

300

=160（人）：………………………………………………………7分

（4）这种说法不正确．理由如下：

小明得到的108人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于108人。………9分 （注：只要解释合理即可）

19.（9分）在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为300

．位于军舰A 正

上方1000米的反潜直升机B 侧得潜艇C 的俯角为680

.试根据以

上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。参考数据:sin680

≈,cos680

≈,,tan680

≈

≈

解：过点C 作CD ⊥AB,交BA 的延长线于点D.则AD 即为

潜艇C 的下

潜深度．

根据题意得 ∠ACD=300，∠BCD=680

． 设AD=x.则BD ＝BA 十AD=1000＋x. -

在Rt △ACD 中，

CD=

x

tan tan 30AD ACD =∠……………4分

在Rt △BCD 中，BD=CD ·tan688

∴

·tan688

…………………………………………………7分

∴

1000

3081.7 2.51

≈≈?- ∴潜艇C 离开海平面的下潜深度约为308米。……………………9分 20.（9分）如图，在直角梯形OABC 中，BC 曲线y=k

x

（x ＞0）经过点D,交BC 于点E. （1）求双曲线的解析式； -

（2）求四边形ODBE 的面积。 解：（1）过点B 、D 作x 轴的的垂线，垂足分别为点M 、N. ∵A 、B （2，6），∴OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3． ∵DN ∥BM,∴△AND ∽△ABM. ∴

1

3

DN AN AD BM AM AB === ∴DN =2,AN=1, ∴ON=4

∴点D 的坐标为(4,2)．…………………………3分 又∵ 双曲线y=

k

x

(x ＞0)经过点D ， {

∴k=2×4=8

∴双曲线的解析式为y=

8

x

．………………………5分

（2）∵点E 在BC 上，∴点E 的纵坐标为6.

海平面

又∵点E在双曲线y=8

x

上，

∴点E的坐标为(4

3

,6),∴CE=

4

3

………………………………7分

∴S四边形ODBE=S梯形OABC-S△OCE-S△AOD

=1

2

×(BC+OA)×OC-

1

2

×OC×CE-

1

2

×OA×DN

=1

2

×(2+5)×6-

1

2

×6×

4

3

-

1

2

×5×2

'

=12

∴四边形ODBE的面积为12. …………………………………………9分

21.(10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．

（1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；

（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。设购进A掀电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元。

①求y与x的关系式；

②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大

（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台。若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案。

;

解：（1）设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，

则有

10a20b4000

20a10b=3500

+=

?

?

+

?

解得

a=100

b=150

?

?

?

即每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元. ……4分（2)①根据题意得y＝100x＋150(100－x)，即y＝－50x＋15000……………………5分

②根据题意得100－x≤2x，解得x≥331

3

，

∵y＝－50x+15000，－50＜0，∴y随x的增大而减小.

∵x为正整数，∴当x=34最小时，y取最大值，此时100－x=66.

即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大………7分`

（3）根据题意得y＝（100+m）x＋150(100－x)，即y＝（m－50）x＋15000.

331

3

≤x≤70.

①当0＜m＜50时，m－50＜0，y随x的增大而减小．

∴当x =34时，y取得最大值．

即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润；…………8分②当m=50时，m－50=0，y＝15000．

即商店购进A型电脑数最满足331

3

≤x≤70的整数时，均获得最大利润；…9分

③当50＜m＜100时，m－50＞0，y随x的增大而增大．！

∴x=70时，y取得最大值．

即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．……………10分

22.（10分）（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

填空：（1）∠AEB的度数为 60 ；

（2）线段AD、BE之间的数量关系是 AD=BE 。

解:（1）①60；②AD=BE. …………………………………………2分

提示：（1）①可证△CDA≌△CEB,

】

∴∠CEB=∠CDA=1200，

又∠CED=600，

∴∠AEB=1200-600=600.

②可证△CDA≌△CEB,

∴AD=BE

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

解：（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE. …………………………4分

%

（注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）

理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,

∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE

∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………………6分

∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．……………………………7分

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.

]

∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8分

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=2。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

(3)31

-

或

31

+

………………………………………………………10分

【提示】PD =1，∠BPD=900,

∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点．第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/，

可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,

"

CD=2,∴BD=2,BP=3,

∴AM=1

2

PP/=

1

2

(PB-BP/)=

31

-

第二种情况如图②，

AM 1

2

PP/=

1

2

(PB+BP/)=

31

2

+

可得

23. (11分）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x 轴交于A(-1,0),B(5,0）两点，直线y=

－3

4

x+3与y轴交于点C，，与x轴交于点D.

点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P 的横坐标为m。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE =5EF,求m的值；

（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：(1)∵抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A (-1,0) , B(5,0)两点，

∴

2

2

0=1b+c

0=55b+c

?---

?

-+

?

（）

∴

b=4

c=5

?

?

?

∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5．………3分（2）点P横坐标为m，

则P(m,－m2＋4m＋5）,E(m,－3

4

m+3)，F(m,0),

∵点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧，∴ 0＜m ＜5.

PE=-m2＋4m＋5－(-3

4

m＋3)= -m2＋

19

4

m＋2……4分

分两种情况讨论：

①当点E在点F上方时，EF=－3

4

m＋3.

∵PE=5EF，∴-m2＋19

4

m＋2=5(-

3

4

m＋3)

即2m2－17m＋26=0，解得m1=2，m2=13

2

（舍去）……………6分

②当点E在点F下方时，EF=3

4

m－3.

∵PE=5EF，∴-m2＋19

4

m＋2=5(

3

4

m－3)，

即m2－m－17=0，解得m3=169

+

，m4=

169

-

（舍去），

∴m的值为2或169

2

+

……………………………………………8分

E

F

A B

D

C

O

P

y

X

(3),点P 的坐标为P 1(-12，11

4

),P 2(4，5), P 3，-3).………11分 【提示】∵E 和E /

关于直线PC 对称，∴∠E /

CP=∠ECP;

又∵PE ∥y 轴，∴∠EPC=∠E /

CP=∠PCE, ∴PE=EC,

又∵CE ＝CE /，∴．四边形PECE /

为菱形． 过点E 作EM ⊥y 轴于点M,∴△CME ∽△COD ，∴CE=

5

m 4

. ∵PE=CE,∴-m 2

＋194m ＋2=54m 或-m 2

＋194m ＋2=-54

m ，

解得m 1=-

1

2

，m 2=4， m 3，m 4（舍去）

可求得点P 的坐标为P 1(-12，11

4

),P 2(4，5), P 3，。