假设检验习题及答案
第三章 假设检验
3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差
100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。
{}01001:1000, H :1000
X 950 100 n=25 10002.5
V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得：拒绝域：
本题中：0.950.950
u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为
010110
2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5
0.3419
H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512
0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t
H ααα-
⎧⎫-⎨⎬
⎩⎭
==<∴本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。
3.5确定某种溶液中的水分，它的10个测定值0.452%,0.035%,X S ==
2N(,),μσ设总体为正态分布试在水平5%检验假设：
0101() H :0.5% H :0.5%() H :0.04% H :0.0.4%
i ii μμσσ≥<≥<
{}0.95()0.452% S=0.035%-4.1143
(1)0.05 n=10 t (9) 1.833i t X n ασα==-==1-构造统计量：本文中未知，可用检验。取检验统计量为X 本题中，代入上式得： 0.452%-0.5%
拒绝域为：
V=t >t 本题中，0
1 4.1143H <=∴t 拒绝
{}2
2
2
002
2
2212210.95
2()nS S 0.035% n=10 0.04%100.035%7.65630.04% V=(1)(1)(9)16.919
ii n n αα
μχσσχχχχ
χ
χ--=
==*==>--==2
构造统计量：未知，可选择统计量本题中，代入上式得：
（）
（）
否定域为：
本题中， 210(1)n H αχ-<-∴接受
3.9设总体116(,4),,
,X
N X X μ为样本，考虑如下检验问题：
{}
{}01123
:0 H :1
() =0.05 V ={2X -1.645}
V = 1.502X 2.125
V =2X 1.962X 1.96
(ii)
H i μμα==-≤≤≤≤-≥试证下述三个检验（否定域）犯第一类错误的概率同为或通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好？
解：
{}{}
{}
{
}
00.97512012()
0.05
0.05
:0
2*1.960.052 1.645
02 1.645 1.645( 1.645)1(1.645)
=1-0.95=0.05
V 1.502 2.i P x V H X U U H X V X X P X P X ααμσμσ-=∈=⎧⎫-⎪⎪=>==⎨⎬⎪⎪⎩⎭
=∴>==≤-⎧⎫⎪⎪-⎪⎪
≤-=≤-=Φ-=-Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭
=≤≤即，P U 这里P {
}
{}{
}{
}
{}
{}
203301110125 1.50 2.120(2.215)(1.50)0.980.930.05
2 1.962 1.962 1.96 1.96P(V H )=1-P 2 1.962(1(1.96))0.05ii :2 1.645X P V H V X X X X H V X σββ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪
=≤≤⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪⎩⎭
=Φ-Φ=-=⎫⎪⎪
=≤-≥=≥=≥⎬
⎪⎪⎭
<=-Φ=X ≥-或（）
犯第二类错误的概率 =P -V =P {}
1
μ=-
{
}
{
}
223310.3551(0.355)0.36
:1 1.502 2.12511 4.125:2 1.961
10.04 3.96V P X V P X σβμσβμσ⎧⎫⎪⎪+⎪⎪
≥=-Φ=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=-≤≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪
≤≤⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪⎩⎭ΦΦ=≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪
≤≤⎨⎬
⎪⎪
⎪⎩⎭
X =P X =1-P 3.50 =1-(4.125)+(3.50)
=1
X =P ⎪ΦΦ∴11 =(3.96)-(0.04)
=0.99996092-0.516=0.48396092V 出现第二类错误的概率最小，即V 最好。
3.10 一骰子投掷了120次，得到下列结果：
问这个骰子是否均匀？(0.05)α= 解：
2
2
i 1
22
i 1
1
:6
20
()()20i k
i i i k
i i i P n np np n np np χχχ====-=-++
+==
∑
∑0i 222
2
本题原假设为： H i=1,2,,6这里n=120,nP 本题采用的统计量为Pearson 统计量即， 代入数据为：
（23-20）（26-20）（15-20）
=4.8
22
10.95
21k-15k-1H ααχχχχ--<20（）=（）=11.071由于 （） 所以接受即认为这个是均匀的。
解：
{}{}{}{}02
2112
2222
2332
24H :()!
816
10
X n 01*6*
7*2
6060
6060
200.13530!212*0.2707
1!222*0.2707
2!23 1.5*0.23!
k e P x k k p e P P X e e P P X e e P P X e e P P X e λλλ
λλ-∧
∧
--------==
===*
+++++====
=================0检验问题为： 参数为已知的最大似然估计 {}{}{}{}{}422
5522
662278222
2
2
1030
224*0.0902
4!3
245* 0.0361
5!1524
6* 0.0120
6!45
7160
()(860*0.1353)(1660*0.2707)(160*0.0120)60*0.135360*0.270760*0k
i i i i
e P P X e e P P X e e P P X e P P X P X n np np χ------=================≥=-≤=----==++
+
∑.0120
0.6145
=
21210k-1k-1,H ααχχχχ--<∴2
0.95
2由于（）=（5）=11.071（）
接受即分布可以看作为泊松分布。
3.13从一批滚珠中随机抽取了50个，测得他们的直径为（单位：mm ）:
15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2 是否可认为这批滚珠直径服从正态分布？(0.05)α= 解：
2123(),H :()()
H 0.1833
(
)(-1.1163)0.1321
0.428214.815.078
p ()(-1.1163)(-0.6492)(-1.1163)0.1260
0.4282p X F x x F x p μ
σ
μσμσ-=Φ==Φ=Φ=-=Φ-Φ=Φ-Φ==Φ020设为滚球的直径，其分布函数为则检验问题为
在成立的条件下，参数，的最大似然估计为=15.078，14.6-15.078
15.115.078
()(-0.6492)(0.0514)(-0.6492)0.2624
0.4282--Φ=Φ-Φ=
4512340.952015.415.078
p ()(-0.6492)(0.7520)(0.0514)0.2535
0.4282
p 10.2260k-m-12k-m-1,p p p p H ααχχχχ-=Φ-Φ=Φ-Φ==----=<∴221-21-（）=（）=5.991（）=5.991
接受认为滚珠直径服从正态分布。
3-13表
3.15下列为某种药治疗感冒效果的3*3列联表。
试问疗效与年龄是否有关(0.05)α=？
解：
2X X X Y Y Y Y X ======13123设为年龄 儿童 成年 老年 为疗效 显著 一般 较差
2
2
21111112
11H Y (1)(1)
i j i j ij ij i j r s r s r s ij i j i j i j i j i j i j
r
s
ij i j i j
p p n n n n n p p n n n n n n n n n p p n n n n χχ⋅⋅∧
∧
⋅⋅⋅⋅∧∧
======⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅=*⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦===-=-∑∑∑∑∑∑∑∑
0ij 2
2
： p i=1,2,3 j=1,2,3 即X 与独立本题选择的统计量为
代入数据得： 221-0.95222
1-0.9503813.5862
((1)(1))(4)9.488((1)(1))(4)
,r s r s H ααχχχχχ--==>--=∴222222
222
5832284445=300(+++++
109*128100*12891*128109*117100*11791*117231814 +++-1)
109*55100*5591*55
=拒绝认为疗效与年龄有关。
3.16自动机床加工轴，从成品中抽取11根，并测得它们直径（单位：
mm ）如下：10.52 10.41 10.32 10.18 10.64 10.77 10.82 10.67 10.59 10.38 10.49
试检验这批零件的直径是否服从正态分布？(0.05,)W α=用检验 解： 为了便于计算，列表如下：这里n=11。表3-16
012
2
()
1
11
2()
1
5
k (12)()i=1
: H :()()()0.3821
10.5264
a ()[]
=0.560n
k k k i k k H W X
X X
X X W X X ==-≤≤≤⎧⎫⎪⎪
-⎡⎤⎨⎬
⎣⎦⎪⎪⎩⎭--==-∑∑∑∑(1)(2)(n)n []2k (n+1-k)(k)k=1总体服从正态分布总体不服从正态分布将观察值按非降次序排列成： X X X 本题采用的统计量为：
a X X W=
2
0.050.05
01*0.64+0.3315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1=0.61300.6130 W=0.9834
0.3821
W 0.85,W W H ==>∴所以
接受认为这批零件的直径服从正态分布。
3.18用两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结果如下：
甲（小时）：1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800 乙（小时）：1580 1600 1640 1640 1700
试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异(0.05)α=？ 解：将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一组的数据下边标有横线。
1212F ()(),:F ()F ()
x F x x x =0设两个总体的分布函数分别为与它们都是连续函数，但均为未知。我们要检验的原假设为： H
表3-18
这里1700两组都有，排在第8，第9位置上，它的秩取平均数（8+9)/2=8.5 这里
1220.050.05075,,12458.520.5
1322,4322
,n n T T H ααα=>==++++======∴2(1)(1)(2)(2)(1)取即 T=T 从附表查得 T T T T T , 3.21对20台电子设备进行3000小时寿命试验，共发生12次故障，故障时间为 340 430 560 920 1380 1520 1660 1770 2100 2320 2350 1650 试问在显著水平0.10α=下，故障事件是否服从指数分布？ 解： 012i i=1() 1416.67 0()():()(;)1,11 X (3404301650)=1416.671212 F (;)1x X i i i i F x F x e X e X d θ θθθθ∧ ∧ -∧ ∧ - ==-==++ +=-∑0原假设为：H x>0 求未知参数的极大似然估计值 按公式计算点的分布函数值，在列表计算值。 12,0.1012,0.10 0S 2.2108,0.109S 1.65 S S ,n n H α**** ===>∴由表可知给定显著水平，查附表得拒绝既不认为故障时间服从指数分布。 模考吧网提供最优质的模拟试题，最全的历年真题，最精准的预测押题！ 假设检验考试试题及答案解析 一、单选题（本大题9小题．每题1.0分，共9.0分。请从以下每一道考题下面备选答案中选择一个最佳答案，并在答题卡上将相应题号的相应字母所属的方框涂黑。） 第1题 假设检验中的显著性水平α是( )。 A 推断时犯第Ⅱ类错误的概率 B 推断时犯第Ⅰ和第Ⅱ类错误的概率 C 推断时犯第Ⅰ类错误的概率 D 推断时犯第Ⅲ类错误的概率 【正确答案】：C 【本题分数】：1.0分 【答案解析】 [解析] 显著性水平α是犯第Ⅰ类错误的概率，也就是原假设H 0为真，却拒绝H 0的概率。 第2题 当总体服从正态分布，但总体方差未知的情况下，H 0:μ=μ0，H 1:μ＜μ0则H 0的拒绝域为( )。 A t ≤t α(n-1) B t ≤-t α(n-1) C t ＞-t α(n-1) D t ≤ (n-1) 【正确答案】：B 【本题分数】：1.0分 第3题 从一批零件中抽出100个测量其直径，测得平均直径为5.2cm ，标准差为1.6cm ，想知道这批零件的直径是否服从标准直径5cm ，因此采用t 检验法，那么在显著性水平α下，接受域为( )。 模考吧网提供最优质的模拟试题，最全的历年真题，最精准的预测押题！ A |t|≥t α/2(99) B |t|＜t α/2(100) C |t|＜t α/2(99) D |t|≤t α/2(99) 【正确答案】：C 【本题分数】：1.0分 【答案解析】 [解析] 采用t 检验法进行双边检验时，因为 ，所以在显著性 水平α下，接受域为|t|≤t α/2(99)。 第4题 在假设检验中，若抽样单位数不变，显著性水平从0.01提高到0.1，则犯第二类错误的概率( )。 A 也将提高 B 不变 C 将会下降 D 可能提高，也可能不变 【正确答案】：C 【本题分数】：1.0分 【答案解析】 [解析] 原假设H 0非真时作出接受H 0的选择，这种错误称为第二类错误。在一定 样本容量下，减少α会引起 β增大，减少β会引起α的增大。 第5题 机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取两个样本，检验两台机床的加工精度是否相同，则提出假设 ( )。 【正确答案】：B 【本题分数】：1.0分 【答案解析】 第三章 假设检验 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差 100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得：拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为 010110 2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t H ααα- ⎧⎫-⎨⎬ ⎩⎭ ==<∴本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。 3.5确定某种溶液中的水分，它的10个测定值0.452%,0.035%,X S == 2N(,),μσ设总体为正态分布试在水平5%检验假设： 0101() H :0.5% H :0.5%() H :0.04% H :0.0.4% i ii μμσσ≥<≥< {}0.95()0.452% S=0.035%-4.1143 (1)0.05 n=10 t (9) 1.833i t X n ασα==-==1-构造统计量：本文中未知，可用检验。取检验统计量为X 本题中，代入上式得： 0.452%-0.5% 拒绝域为： V=t >t 本题中，0 1 4.1143H <=∴t 拒绝 {}2 2 2 002 2 2212210.95 2()nS S 0.035% n=10 0.04%100.035%7.65630.04% V=(1)(1)(9)16.919 ii n n αα μχσσχχχχ χ χ--= ==*==>--==2 构造统计量：未知，可选择统计量本题中，代入上式得： （） （） 否定域为： 本题中， 210(1)n H αχ-<-∴接受 3.9设总体116(,4),, ,X N X X μ为样本，考虑如下检验问题： 假设检验练习题 1. 简单回答下列问题： 1）假设检验的基本步骤？ 答：第一步建立假设(通常建立两个假设,原假设H0 不需证明的命题,一般是相等、无差别的结论,备择假设H1,与H0对立的命题,一般是不相等，有差别的结论) 有三类假设 第二步选择检验统计量给出拒绝域的形式。 根据原假设的参数检验统计量： 对于给定的显著水平样本空间可分为两部分：拒绝域W 非拒绝域A 拒绝域的形式由备择假设的形式决定 H1：W为双边 H1：W为单边 H1：W为单边 第三步：给出假设检验的显著水平 第四步给出零界值C，确定拒绝域W 有了显著水平按照统计量的分布可查表得到临界值，确定拒绝域。例如：对于=0.05有 的双边W为 的右单边W为 的右单边W为 第五步根据样本观测值，计算和判断 计算统计量Z 、t 、当检验统计量的值落在W时能拒绝，否则接受 (计算P值227页p值由统计软件直接得出时拒绝，否则接受 计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出统计量落入置信区间接受，否则接受) 2）假设检验的两类错误及其发生的概率？ 答：第一类错误：当为真时拒绝，发生的概率为 第二类错误：当为假时，接受发生的概率为 3）假设检验结果判定的3种方式？ 答：1.计算统计量Z 、t 、当检验统计量的值落在W时能拒绝，否则接受 2.计算P值227页p值由统计软件直接得出时拒绝，否则接受 3.计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出，落入置信区间接受，否则接受 4）在六西格玛A阶段常用的假设检验有那几种？应用的对象是什么？ 答：连续型（测量的数据）：单样本t检验-----比较目标均值 双样本t检验-----比较两个均值 方差分析-----比较两个以上均值 等方差检验-----比较多个方差 离散型（区分或数的数据）：卡方检验-----比较离散数 2．设某种产品的指标服从正态分布，它的标准差σ=150，今抽取一个容量为26 的样本，计算得平均值为1 637。问在5%的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ = 1600。 答：典型的Z检验 1. 提出原假设和备择假设 ：平均值等于1600 ：平均值不等于1600 2. 检验统计量为Z,拒绝域为双边 习题八 假设检验 一、填空题 1．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数2,μσ未知，则 检验假设0:0H μ=的t -t -检验使用统计量t X 2．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，2σ已知。要检验假设0μμ=应用 U 检验法，检验的统计量是 U =0H 成立时 该统计量服从N （0，1） 。 3．要使犯两类错误的概率同时减小，只有 增加样本容量 ; 4 ． 设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别来自正态总体2~(,)X X X N μσ和2~(,)Y Y Y N μσ，两总体相互独立。 （1）当X σ和Y σ已知时，检验假设0:X Y H μμ=所用的统计量为 X Y U =0H 成立时该统计量服从 N （0，1） 。 （2）若 X σ和Y σ未知，但X Y σσ= ，检验假设0:X Y H μμ=所用的统计量 为 T = ；当0H 成立时该统计量服从 (2)t m n +- 。 5．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，要检验假设 22 00:H σσ=，应用 2χ 检验法，检验的统计量是 2220(1)n S χσ-= ；当0H 成 立时，该统计量服从 2(1)n χ- 。 6．设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别来自正态总体2~(,)X X X N μσ和2~(,)Y Y Y N μσ，两总体相互独立。要检验假设220:X Y H σσ=，应用 F 检验法，检 验的统计量为 22X Y S F S = 。 7．设总体22~(,),,X N μσμσ 都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的 样本均值记为X ，样本标准差记为S （修正），在显著性水平α下，检验假设 01:80;:80;H H μμ=≠的拒绝域为 2||(1)T t n α≥- 在显著性水平α下，检验 假设22 220010:;:;H H σσσσ=≠的拒绝域为 2 22(1)n αχχ≥-或222(1)n αχχ≤- ; 8．设总体22~(,),,X N μσμσ都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为 X ，样本标准差记为S （修正），当2σ已知时，在显著性水平α下， 检验假设0010:;:H H μμμμ≥<的统计量为 X U = ，拒绝域为 {}U u α≤- 。 当2σ未知时，在显著性水平α下，检验假设0010:;:H H μμμμ≤> 一、单选题 1、在假设检验中，我们认为（）。 A.原假设是不容置疑的 B.拒绝域总是位于检验统计量分布的两边 C.小概率事件在一次抽样中实际上不会发生 D.检验统计量落入拒绝域是不可能的 正确答案：C 2、在假设检验中，显著性水平确定后（）。 A.双边检验的拒绝域小于单边检验的拒绝域 B.双边检验的拒绝域大于单边检验的拒绝域 C.双边检验的拒绝域与单边检验的拒绝域不可简单直接对比 D.双边检验的拒绝域等于单边检验的拒绝域 正确答案：C 3、单个正态总体均值的检验时若总体方差已知，（）。 A.设计的检验统计量服从卡方分布 B.设计的检验统计量服从F分布 C.设计的检验统计量服从标准正态分布 D.设计的检验统计量服从t分布 正确答案：C 4、总体成数的假设检验（）。 A.设计的检验统计量服从标准正态分布 B.设计的检验统计量服从卡方分布 C.设计的检验统计量近似服从卡方分布 D.设计的检验统计量近似服从标准正态分布 正确答案：D 5、两个正态总体均值之差的检验中，如果两个总体方差未知但相等，检验统计量t的自由度是（）。 A.两样本容量之和 B.两样本容量之和减2 C.两样本容量之积 D.两样本容量之和减1 正确答案：B 6、假设检验是检验（）的假设值是否成立。 A.总体均值 B.总体指标 C.样本方差 D.样本指标 正确答案：B 7、在大样本条件下，样本成数的抽样分布近似为（）。 A.均匀分布 B.卡方分布 C.二项分布 D.正态分布 正确答案：D 8、下列关于假设检验的说法，不正确的是（）。 A.作出“拒绝原假设”决策时可能会犯第一类错误 B.作出“不能拒绝原假设”决策时意味着原假设正确 C.作出“不能拒绝原假设”决策时可能会犯第二类错误 D.作出“接受原假设”决策时意味着没有充分的理由认为原假设是 错误的 1。假设某产品的重量服从正态分布,现在从一批产品中随机抽取16件,测得平均重量为820克，标准差为60克，试以显著性水平α=0.01与α=0.０5,分别检验这批产品的平均重量是否是800克。 解:假设检验为800:,800:0100≠=μμH H （产品重量应该使用双侧 检验）。采用t 分布的检验统计量n x t /0σμ-=。查出α=0。05和０。０１两个水平下的临界值（d ｆ＝n-1=15）为2．131和2。9４7。 667.116/60800820=-=t .因为t 〈2。1３1＜2．９47，所以在两个水平下都接受原假设。 2．某牌号彩电规定无故障时间为10 000小时，厂家采取改进措施，现在从新批量彩电中抽取10０台，测得平均无故障时间为10 １５0小时，标准差为50０小时,能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加(＝0．0１)？ 解:假设检验为10000:,10000:0100>=μμH H （使用寿命有无显著增加,应该使用右侧检验)。n=10０可近似采用正态分布的检验统计量n x z /0σμ-=.查出α＝０.01水平下的反查正态概率表得到临界值2。3２到２。3４之间(因为表中给出的是双侧检验的接受域临界值，因此本题的单侧检验显著性水平应先乘以2，再查到对应的临界值）。计算统计量值3100 /5001000010150=-=z 。因为z ＝3>２.34（>2．32）,所以拒绝原假设，无故障时间有显著增加。 ３。设某产品的指标服从正态分布,它的标准差σ已知为150,今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1６37。问在5％的显著水平下,能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600？ 解： 01:1600, :1600,H H μμ=≠标准差σ已知,拒绝域为2 Z z α>, 1 ?假设某产品的重量服从正态分布， 现在从一批产品中随机抽取 16件, 测得平均重量为 820克，标准差为60克，试以显著性水平 =0.01与 =0.05， 分别检验这批产品的平均重量是否是 800克。 解：假设检验为 H 。： ％ =800,比：％ =800 （产品重量应该使用双侧 820—800 平下的临界值(df= n-1=15)为2.131和2.947。 t 1.667 。因为 60/716 t <2.131<2.947，所以在两个水平下都接受原假设。 2 ?某牌号彩电规定无故障时间为 10 000小时，厂家采取改进措施，现在从 新批量彩电中抽取 100台，测得平均无故障时间为 10 150小时，标准差为 500小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加 （=0.01） ? =10000, H 1 >l 0 10000 (使用寿命有无显 Z = % 一」0。查出〉= 0.01 -/ . n 2.34之间（因为表中给出的是双侧检验的接受域临界值， 因此本题的单侧检 验显著性水平应先乘以2 ,再查到对应的临界值）。计算统计量值 10150 -10000 Z 3。因为z=3>2.34（>2.32），所以拒绝原假设，无故障 500/J100 时间有显著增加。 3.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差 b 已知为150,今抽了一 个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5 %的显著水平下，能否认 为这批 产品的指标的期望值 □为1600? 解：H 。：卩=1600,比：卜鬥600,标准差 b 已知，拒绝域为 2 检验）。采用t 分布的检验统计量 。查出〉=0.05和0.01两个水 解：假设检验为H 。：％ 著增加，应该使用右侧检验） 。n=100可近似采用正态分布的检验统计量 水平下的反查正态概率表得到临界值 2.32到 1．假设某产品的重量服从正态分布，现在从一批产品中随机抽取16件，测得平均重量为820克，标准差为60克，试以显著性水平α=0.01与α=0.05，分别检验这批产品的平均重量是否是800克。 解：假设检验为800:,800:0100≠=μμH H (产品重量应该使用双侧 检验)。采用t 分布的检验统计量n x t /0σμ-=。查出α＝0.05和0.01两个水平下的临界值(df=n-1=15)为2.131和2.947。334.116/60800 820=-=t 。因为t <2.131<2.947，所以在两个水平下都接受原假设。 2．某牌号彩电规定无故障时间为10 000小时，厂家采取改进措施，现在从新批量彩电中抽取100台，测得平均无故障时间为10 150小时，标准差为500小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加(α=0.01)？ 解：假设检验为10000:,10000:0100>=μμH H （使用寿命有无显著增加，应该使用右侧检验）。n=100可近似采用正态分布的检验统计量n x z /0σμ-=。查出α＝0.01水平下的反查正态概率表得到临界值2.32到2.34之间（因为表中给出的是双侧检验的接受域临界值，因此本题的单侧检验显著性水平应先乘以2，再查到对应的临界值）。计算统计量值3100 /5001000010150=-=z 。因为z=3>2.34(>2.32)，所以拒绝原假设，无故障时间有显著增加。 3.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600? 解: 01:1600, :1600,H H μμ=≠标准差 σ已知,当 第九章 假设检验 (练习及习题标准答案) 一、单项选择题 1.当总体服从正态分布，但总体方差未知小样本的情况下， 0100:;:μμμμ?≥H H ，则0H 的拒绝域为( ) A.)1(-≤n t t α B. )1(--≤n t t α C. )1(--?n t t α D. )1(/2--≤n t t α 2.在假设检验中，原假设 0H ，备选假设1H ，则称( )为犯第二类错误。 A.0H 为真，不拒绝1H B. 0H 为真，拒绝1H C. 0H 不真，不拒绝0H D. 0H 不真，拒绝0H 3.假设检验是对未知总体某个特征提出某种假设，而验证假设是否成立的资料是( )。 A.样本资料 B.总体全部资料 C.重点资料 D.典型资料 4.下列对总体特征值θ的假设，哪一种写法是正确的?( )。 A. 0100:;:θθθθ?≥H H B. 0100:;:θθθθ≤≥H H C.0100:;:θθθθ?≤H H D.0100:;:θθθθ≥=H H 5. 一家食品生产企业声称，它们生产的某种食品的合格率在95%以上。为检验这一说法是否属实，某食品安全检测部门打算抽取部分食品进行检验，该检验的原假设和备择假设为（ ） A. %95:%;95:10?≤ππH H B. %95:%;95:10≠=ππH H C. %95:%;95:10?≥ππH H D. %95:%;95:10≥?ππH H 6.对于非正态总体，使用统计量/x z s n μ-= 估计总体均值的条件是（ ） A ．小样本 B ．总体方差已知 C ．总体方差未知 D ．大样本 7.在假设检验中，原假设和备选假设（ ） A ．都有可能成立 B ．都有可能不成立 C ．只有一个成立而且必有一个成立 D ．原假设一定成立，备选假设不一定成立 8．一种零件的标准长度5cm ，要检验某天生产的零件是否符合标准要求，建立的原假设和备选假设就为（ ） A ． 0:5H μ=，1:5H μ≠ B ．0:5H μ≠，1:5H μ> 假设检验习题答案 Prepared on 22 November 2020 1．假设某产品的重量服从正态分布，现在从一批产品中随机抽取16件，测得平均重量为820克，标准差为60克，试以显着性水平=与=，分别检验这批产品的平均重量是否是800克。 解：假设检验为800:,800:0100≠=μμH H (产品重量应该使用双侧 检验)。采用t 分布的检验统计量n x t /0σμ-= 。查出α＝和两个水平下的临界值(df=n-1=15)为和。334.116/60800 820=-=t 。因为t <<，所以在两个水平下都接受原假设。 2．某牌号彩电规定无故障时间为10 000小时，厂家采取改进措施，现在从新批量彩电中抽取100台，测得平均无故障时间为10 150小时，标准差为500小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显着增加(= 解：假设检验为10000:,10000:0100>=μμH H （使用寿命有无显着增加，应该使用右侧检验）。n=100可近似采用正态分布的检验统计量n x z /0σμ-=。查出α＝水平下的反查正态概率表得到临界值到之间（因为表中给出的是双侧检验的接受域临界值，因此本题的单侧检验显着性水平应先乘以2，再查到对应的临界值）。计算统计量值3100 /5001000010150=-= z 。因为z=3>(>，所以拒绝原假设，无故障时间有显着增加。 3.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显着水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600 解: 01:1600, :1600,H H μμ=≠标准差σ已知,当 0.05,α=26,n =96.1579.02/1==-z z α, 由检验统计量 1.25 1.96Z ===<,接受0:1600H μ=, 即,以95%的把握认为这批产品的指标的期望值μ为1600. 4.某电器零件的平均电阻一直保持在Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显着影响(α= 解: 01: 2.64, : 2.64,H H μμ=≠已知标准差σ=, 当 0.05,α=96.1579.02/1==-z z α 100,n = 由检验统计量 3.33 1.96Z ===>,接受1: 2.64H μ≠, 即, 以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显着影响. 5．某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要检查机器工作情况。现抽得10罐，测得其重量为(单位：克):195，510，505，498，503，492，792，612，407，506.假定重量服从正态分布，试问以95％的显着性检验机器工作是否正常 解: 01:500 :500H vs H μμ=≠,总体标准差σ未知，10,n =经计算得到x =502, s =,取 2.2622)1(，0.052/1=-=-n t αα，由检验统计量 ，04246.0/9519.148500 502==-=-n s x t μ<,接受0:500 H μ= 即, 以95%的把握认为机器工作是正常的. 第八章 假设检验 1、 原假设与备选假设一定是对应的关系。（ ） 是 : 否: 2、 假设检验中犯1类错误的后果比犯2类错误的后果更为严重。（ ） 是 : 否: 3、 显著性水平越小，犯检验错误的可能性越小。（ ） 是 : 否: 4、 假设检验一般是针对错误的抽样推断做的。（ ） 是: 否: 5、对总体成数的检验一般采用Z 检验法为好。（ ） 是 : 否: 1、 下面有关小概率原则说法中正确的是（ ）。 小概率原则事件就是不可能事件 它是指当一个事件的概率不大于充分小的界限α（0<α<1）时， 可认为该事件为不可 能事件 基于”小概率原则”完全可以对某一事件发生与否作出正确判断 总体推断中可以不予考虑的事件 2、 假设检验中的1类错误也叫（ ）。 弃真错误 纳伪错误 假设错误 判断错误 3、如果是小样本数据的均值检验，应该采用（ ）。 t 检验 z 检验 秩符检验 以上都不对 4、如果检验总体方差的显著性，应采用哪种检验方法?（ ）。 t 检验 Z 检验 X2检验 以上都对 、 一个优良的统计量通常要符合（ ）标准。 无假性 一致性 有效性 完整性 随机性 2、 在统计检验假设中，通常要对原假设作出判断，就有可能会犯错误。这些错误分别是（ ）。 1类错误(α 类) 2类错误( β类) 功效错误 系统错误 代表性错误 3、 科学的抽样估计方法要具备的要素是（ ）。 合适的统计量 抽样方法 合理的误差范围 可接受的置信度 严格遵守随机原则 1、用一台自动包装机包装葡萄糖，按规格每袋净重0.5千克。长期积累的数据资料表明，每袋的实际净重服从正态分布，标准差为0.015千克。现在从成品中随机抽取9袋，结果其净重分别为0.479，0.5006，0.518，0.511，0.524，0.488，0.515，0.512。试根据抽样结果说明:(1)标准差有无变化?(2)袋糖的平均净重是否符合规格?(α=0.05) 2、环境保护条例规定，在排放的工业废水中，某有害物质含量不得超过0.5‰，现在取5份水样测定有害物质含量，得到如下数据:0.53‰，0.542‰，0.51‰，0.495‰，0.515‰。问抽验结果是否能说明含量超过规定界限?(取α=0.05) （一）判断题 1.（×） 2.（√） 3.（×） 4.（×） 5.（√） （二）单项选择题 1. ② 2. ① 3. ① 4. ③ 假设检验习题及答案 填空题 1.原假设与备择假设是一个__________，也就是说在假设检验中原假设与备择假设只有一个成立，且必有一个成立。（完备事件组） 2.我们在检验某项研究成功与否时，一般以研究目标作为__________，如在研究新管理方法是否对销售业绩（周销售量）产生影响时，设原周销售量为A 元，欲对新管理方法效果进行检验，备择假设为__________。 （备择假设H1：μ>A） 单选题 从统计量出发，对总体某些特性的“假设”作出拒绝或接受的判断的过程称为( ) A.参数估计 B.统计推断 C.区间估计 D.假设检验 答案：d 2.假设检验的概率依据是( )。 A.小概率原理 B.最大似然原理 C.大数定理 D.中心极限定理 答案：a 多选题 1.统计推断包括以下几个方面的内容( )。 A.通过构造统计量，运用样本信息，实施对总体参数的估计 B.从统计量出发，对总体某些特性的“假设”作出拒绝或接受的判断 C.相关分析 D.时间序列分析 E.回归分析 答案：a, b 2.假设检验的基本思想是( )。 A.先对总体的参数或分布函数的表达式做出某种假设，然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(条件)小概率事件。 B.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，这与小概率原理相违背，表明原来的假设有问题，应予以否定，即拒绝这个假设。 C.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，就没有理由否定这个假设，表明试验或抽样结果支持这个假设，这时称假设也实验结果是相容的，或者说可以接受原来的假设。 D.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，则不能否认这个假设。 E.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，则否定这个假设。 答案：a, b, c 3.假设检验的具体步骤包括( )。 A.根据实际问题的要求，提出原假设及备择假设; 假设检验练习题 1.简单回答下列问题: 1 ）假设检验的基本步骤？ 答:第一步建立假设（通常建立两个假设,原假设H0不需证明的命题,一般是相等、无差别的结论备择假设H1,与H0对立的命题,一般是不相等，有差别的结论） 有三类假设二二「二-：：：'-, 第二步选择检验统计量给出拒绝域的形式。 根据原假设的参数检验统计量： 对于给定的显著水平¥样本空间可分为两部分：拒绝域W 非拒绝域A 拒绝域的形式由备择假设的形式决定 H1：[ r I：匚W为双边 H1: \；汇片W为单边 H1: P：二疽W 为单边 第三步：给出假设检验的显著水平 第四步给出零界值C,确定拒绝域W 有了显著水平按照统计量的分布可查表得到临界值，确定拒绝域。例如：对于=0.05有——的双边"士川W为展| £ :豁 —的右单边「一W 为：—f五 的右单边一二■■ - W为. 第五步根据样本观测值，计算和判断 计算统计量Z、t 、.. 当检验统计量的值落在W内时能拒绝否则接受 计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出统计量落入置信区间接受［备.，否则接受［瞪） （计算P值227页p 值由统计软件直接得出f■叮疋时拒绝1姑：，否则接受 2 ）假设检验的两类错误及其发生的概率？ 答：第一类错误：当甌为真时拒绝1备;，发生的概率为g 第二类错误：当此为假时，接受1卷发生的概率为 3）假设检验结果判定的3种方式？ 答：1.计算统计量z、t 、当检验统计量的值落在w内时能拒绝［备.，否则接受 2.计算P值227页p 值由统计软件直接得出［:-；：时拒绝呱：，否则接受 3.计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出，卩落入置信区间接受［姑：，否则接受［瞪. 4 ）在六西格玛A阶段常用的假设检验有那几种？应用的对象是什么？ 答：连续型（测量的数据）：单样本t检验-----比较目标均值双样本t检验----- 比较两个均值方差分析----- 比较两个以上均 值 等方差检验-----比较多个方差 离散型（区分或数的数据）：卡方检验-----比较离散数 2.设某种产品的指标服从正态分布，它的标准差（T =150,今抽取一个容量为26 的样本，计算得平均值为1 637。问在5%勺显著水平下，能否认为这批产品的指 标的期望值卩=1600。 答:典型的Z佥验 1.提出原假设和备择假设 ［镣：平均值等于1600 呱：平均值不等于1600 2. 检验统计量为乙拒绝域为双边 假设检验习题答案 1．假设某产品的重量服从正态分布，现在从一批产品中随机抽取16件，测得平均重量为820克，标准差为60克，试以显著性水平=0.01与 =0.05，分别检验这批产品的平均重量是否是800克。 解：假设检验为H0:0800,H1:0800(产品重量应该使用双侧检验)。采 用t分布的检验统计量t某0。查出＝0.05和0.01两个水 /n8208001.667。因为 60/16平下的临界值(df=n-1=15)为2.131和2.947。tt<2.131<2.947，所以在两个水平下都接受原假设。 2．某牌号彩电规定无故障时间为10000小时，厂家采取改进措施， 现在从新批量彩电中抽取100台，测得平均无故障时间为10150小时，标 准差为500小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加(=0.01)？ 解：假设检验为H0:010000,H1:010000（使用寿命有无显著增加，应 该使用右侧检验）。n=100可近似采用正态分布的检验统计量 z某0。查出＝0.01水平下的反查正态概率表得到临界值2.32到 /n2.34之间（因为表中给出的是双侧检验的接受域临界值，因此本 题的单侧检验显著性水平应先乘以2，再查到对应的临界值）。计算统计 量值 z10150100003。因为z=3>2.34(>2.32)，所以拒绝原假设，无故障 500/100 时间有显著增加。 3.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽 了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600 解:H0:1600,H1:1600,标准差σ已知,拒绝域为Zz, 2取0.05,n26, zz0.025z0.9751.962,由检验统计量 Z某1/n613716001.2,接受5H0:11600.,950/266即,以95%的把握认 为这批产品的指标的期望值μ为1600. 4.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测 得100个零件的平均电阻为2.62Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持 在O.06Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05) 解:H0:2.64,H1:2.64,已知标准差σ=0.16,拒绝域为 Zz,取0.05,zz0.0251.96, 22n100,由检验统计量 接受H1:2.64, Z某2.622.643.331.96, /n0.06/100即,以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响. 5．某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每 隔一定时间需要检查机器工作情况。现抽得10罐，测得其重量为(单位：克):195，510，505，498，503，492，792，612，407，506.假定重量服 从正态分布，试问以95％的显著性检验机器工作是否正常 第8章 假设检验 一、填空题 1、 对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受假设 00:μμ=H ，那么在显著性水平0.01下，必然接受0H 。 2、在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为α，则犯第一类错误的概率是α。 3、设总体),(N ~ X 2σμ，样本n 21X ,X ,X ，2σ未知，则00:H μ=μ，01:H μ<μ的拒绝域为 )}1(/{0 --<-n t n S X αμ，其中显著性水平为α。 4、设n 21X ,X ,X 是来自正态总体),(N 2σμ的简单随机样本，其中2,σμ未知，记 ∑==n 1 i i X n 1X ，则假设0:H 0=μ的t 检验使用统计量=T Q n n X )1(- . 二、计算题 1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定标准重量为250克，标准差不超过3克时机器工作 为正常，每天定时检验机器情况，现抽取16罐，测得平均重量252=X 克，样本标准差4=S 克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机器工作是否正常？ 解：设重量),(~2σμN X 05.016==αn 4252==S X (1)检验假设250:0=μH 250:1≠μH ， 因为2σ未知，在0H 成立下，)15(~/250t n S X T -= 拒绝域为)}15(|{|025.0t T >，查表得1315.2)5(025.0=≠t 由样本值算得1315.22<=T ，故接受0H (2)检验假设9:20=σH 9:201>σH 因为μ未知，选统计量 202 2)1(σS n x -= 在0H 成立条件下，2x 服从)15(2x 分布， 拒绝域为)}15({205.02x x >，查表得996.24)15 (205.0=x ， 现算得966.24667.269 16152>=⨯=x ？拒绝0H ， 综合(1)和(2)得，以为机器工作不正常 2、一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25 件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差100=σ小时正态分布， 试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格. 解：设元件寿命),(~2σμN X ，2σ已知10002=σ，05.0,950,25===αX n 检验假设1000:0=μH 1000:1<μH 在2σ已知条件下，设统计量)1,0(~/1000N n X σμ-= 拒绝域为}{05.0μμ<，查表得645.195.005.0-=-=μμ 而645.15.2205025 /1001000950-<-=-=-=μ 拒绝假设0H 选择备择假设1H ，所以以为这批产品不合格. 3. 对 显 著 水 平 α， 检 验假 设 H 0 ; μ = μ0， H 1 ; μ ≠ μ0， 问当 μ0， μ， α一 定 时 ， 增大样本量 n 必 能 使 犯 第 二 类 错 误 概 率 β 减 少 对 吗 ？并 说 明 理 由 。 答 ： ( 1 ) 对 。 ( 2 ) 增 大 n ， 使 概 率 分 布 更 集 中 ， 使 H 1 的 拒 绝 域 与 H 0 的 接 受 域 均 变 小 ， 二 者 交 集 也 变 小 。 4、 甲 制 药 厂 进 行 有 关 麻 疹 疫 菌 效 果 的 研 究 ， 用 X 表 示 一 个 人 用 这 种 疫 菌 注 射 后 的 抗 体 强 度 。 假 定 X ~ N ( μ， σ2 ) 另 一 家 与 之 竞 争 的 乙 制 药 厂 生 产 的 同 种 疫 菌 的 平 均 抗 体 强 度 是 1.9 ， 若 甲 厂 为 证 实 其 产 菌 有 更 高 的 平 均 抗 体 问 ： ( 1 ) 如 何 提 出 零 假 设 和 配 择 假 设 ？ ( 2 ) 从 甲 厂 取 容 量 为 16 的 样 本 ， 测 得 x s ==2225026866672.,. 检 验 ( 1 ) 的 假 设 。 α = 0.05。 假设检验练习题--答案 假设检验练习题 1. 简单回答下列问题： 1）假设检验的基本步骤？ 答：第一步建立假设 (通常建立两个假设,原假设H0 不需证明的命题,一般是相等、无差别的结论,备择假设H1,与H0对立的命题,一般是不相等，有差别的结论) 有三类假设 第二步选择检验统计量给出拒绝域的形式。 根据原假设的参数检验统计量： 对于给定的显著水平样本空间可分为两部分：拒绝域W 非拒绝域A 拒绝域的形式由备择假设的形式决定 H1： W为双边 H1： W为单边 H1： W为单边 第三步：给出假设检验的显著水平 第四步给出零界值C，确定拒绝域W 有了显著水平按照统计量的分布可查表得到临界值，确定拒绝域。例如：对于=0.05有 答：1.计算统计量 Z 、 t 、当检验统计量的值落在W内时能拒绝，否则接受 2.计算P值 227页 p值由统计软件直接得出 时拒绝，否则接受 3.计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出，落入置信区间接受，否则接受 4）在六西格玛A阶段常用的假设检验有那几种？应用的对象是什么？ 答：连续型（测量的数据）：单样本t检验 -----比较目标均值 双样本t检验 -----比较两个均值 方差分析 -----比较两个以上均值 等方差检验 -----比较多个方差 离散型（区分或数的数据）：卡方检验 -----比较离散数 2．设某种产品的指标服从正态分布，它的标准差σ=150，今抽取一个容量为26 的样本，计算得平均值为1 637。问在5%的显著水平下，能否认为这批产品的指 标的期望值μ = 1600。 答：典型的Z检验 1. 提出原假设和备择假设 ：平均值等于1600 ：平均值不等于1600 2. 检验统计量为Z,拒绝域为双边 ~~N（0，1） 3. 4. 查表得 5. 计算统计量Z，有 1.26 =1.26<1.96 (Z未落入拒绝域) 不能拒绝,目前能认为这批产品的指标的期望值μ = 1600。 3．从正态总体N(μ ,1)中抽取100 个样品，计算得 = 5.32。试检验: X H0 : μ = 5是否成立(α = 0.05 )。 答：典型的Z检验 1. 提出原假设和备择假设假设检验考试试题及答案解析
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统计学：假设检验习题与答案
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08章 假设检验习题及答案
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