数学理卷·2014届江西省师大附中、临川一中高三上学期1月联考(2014.01)

江西师大附中、临川一中高三联考数学(理)试卷

命题人:欧阳晔 审题人:熊黎明 2014.1.23

一、选择题(本大题共10小题，每个小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的)

1．已知集合}11{<+=x x A ,},2)2

1(|{R y y x B x ∈-==,则=B C A R ( ) A ．)1,2(-- B ．]1,2(--

C.)0,1(-

D.)0,1[-

2．复数i

i

z +-=

21在复平面上对应的点的坐标为( ) A ．)3,1(- B ．)5

3

,51(-

C ．)3,3(-

D ．)5

3

,53(-

3．下列命题中正确的是( )

A ．若01,:2<++∈?x x R x p ,则01,:2<++∈??x x R x p

B ．若q p ∨为真命题,则q p ∧也为真命题

C ．“函数)(x f 为奇函数”是“0)0(=f ”的充分不必要条件

D ．命题“若0232=+-x x ,则1=x ”的否命题为真命题

4．已知变量y x ,满足约束条件??

???≥-≤+-≤-+010120

5x y x y x ,则12-+=y x z 的最大值( )

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

5．若直线01:1=-+ay x l 与0324:2=+-y x l 垂直,则二项式52)1(x

ax -展开式中x 的系数为( ) A ．40-

B ．10-

C ．10

D ．40

6．已知函数3

cos

)(x

x f π=,根据下列框图,输出S 的值为(

)

A ．670

B ．2

1

670

C ．671

D ．672

7．已知点P (3,4)和圆C :(x -2)2+y 2=4,A ,B 是圆C 上两个动点,且|AB |=32,则)(OB OA OP +? (O 为坐标原点)的取值范围是( ) A ．[3,9] B ．[1,11]

C ．[6,18]

D ．[2,22]

8．把函数])2,0[(sin )(π∈=x x x f 的图像向左平移3

π

后,得到)(x g 的图像,则)(x f 与)(x g 的图像所围成的图形的面积为( )

A ．4

B ．22

C ．32

D ．2

9．已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, P ,Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点. ①存在P ,Q 两点,使BP ⊥DQ ;

②存在P ,Q 两点,使BP ,DQ 与直线B 1C 都成450的角; ③若|PQ |=1,则四面体BDPQ 的体积一定是定值; ④若|PQ |=1,则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值. 以上命题为真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．已知椭圆)0(1:

112

122

121>>=+b a b y a x C 与双曲线)0,0(1:

222

2

22

2

22>>=-

b a b y a x C 有相同的焦

点F 1,F 2,点P 是两曲线的一个公共点,21,e e 又分别是两曲线的离心率,若PF 1⊥PF 2,则22214e e +的最小值为( )

A ．

2

5

B ．4

C ．

2

9

D ．9 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡上)

11．在等差数列}{n a 中,3321=++a a a ,87201918=++a a a ,则该数列前20项的和为____. 12．把甲、乙、丙、丁、戊5人分配去参加三项不同的活动,其中活动一和活动二各要2人,

活动三要1人,且甲,乙两人不能参加同一活动,则一共有_____种不同分配方法. 13．已知正三棱锥P -ABC 中,E ,F 分别是AC ,PC 的中点,若EF ⊥BF ,AB =2,则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为_________. 14．已知下列等式：

22222

2

2

2

2

222222211

135171357949

135********

=-+=-+-+=-+-+-+=

观察上式的规律,写出第n 个等式________________________________________. 15．对于函数)(x f y =的定义域为D ,如果存在区间D n m ?],[同时满足下列条件:

①)(x f 在[m ,n ]是单调的;②当定义域为[m ,n ]时, )(x f 的值域也是[m ,n ],则称区间[m ,n ]是

该函数的“H 区间”.若函数?

??≤-->-=)0()

0(ln )(x a x x x x a x f 存在“H 区间”,则正数a 的取值范围是

____________.

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(12分)已知?ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 若向量)12

cos 2,(cos 2-=C

B m 与向量),2(c b a -=共线.

(1)求角C 的大小;

(2)若32,32==?ABC S c ,求a ,b 的值.

17．(12分)某商家推出一款简单电子游戏,弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上(如图),用S 表示这三个球为顶点的三角形的面积.规定:当三球共线时,S =0;当S 最大时,中一等奖,当S 最小时,中二等奖,其

余情况不中奖,一次游戏只能弹射一次. (1)求甲一次游戏中能中奖的概率;

(2)设这个正六边形的面积是6,求一次游戏中随机变量S 的分布列及期望值.

18．(12分)已知平行四边形ABCD (图1)中, AB =4,BC =5,对角线AC =3,将三角形?ACD 沿AC 折起至?P AC 位置(图2),使二面角P AC B --为600,G ,H 分别是P A ,PC 的中点.

(1)求证:PC ⊥平面BGH ;

(2)求平面P AB 与平面BGH 夹角的余弦值.

19．(12分)已知正项数列{a n }中,a 1=1,且log 3a n ,log 3a n +1是方程x 2-(2n -1)x +b n =0 的两个实根.

(1)求a 2,b 1; (2)求数列{a n }的通项公式;

(3)若n n b c =,n A 是}{n c 前n 项和, 2

1

2-=n B n ,当+∈N n 时,试比较n A 与n B 的大小.

20．(13分)已知抛物线C:)0(22>=p py x ,定点M (0,5),直线2

:p

y l =

与y 轴交于点F ,O 为原点,若以OM 为直径的圆恰好过l 与抛物线C 的交点. (1)求抛物线C 的方程;

(2)过点M 作直线交抛物线C 于A ,B 两点,连AF ,BF 延长交抛物线分别于B A '',,求证: 抛物线C 分别过B A '',两点的切线的交点Q 在一条定直线上运动.

21．(14分)已知函数)(ln 4)(2R a ax x x x f ∈-+=.

(1)当6=a 时,求函数)(x f 的单调区间;

(2)若函数)(x f 有两个极值点21,x x ,且]1,0(1∈x ,求证:2ln 43)()(21-≥-x f x f ; (3)设2

62ln 2)()(x ax x f x g ++=,对于任意)4,2(∈a 时,总存在]2,2

3

[∈x ,使)4()(2a k x g ->成立,求实数

k 的取值范围.

江西师大附中、临川一中2014届高三联考数学(理)答案

1~5.C B D B A 6~10 .C D D C C 11.300 12.24 13. π6

14.188)34()54(75312222222+-=-+--+-+-n n n n 15. ],2(]1,4

3

(2e e

16.解:(1)C b a B c C B cos )2(cos //),cos ,(cos -=∴=

C B A B C cos )sin sin 2(cos sin -=∴,

C A A cos sin 2sin =,21cos =

∴C 3

),0(ππ=∴∈C C (2)C ab b a c cos 2222-+= 1222=-+∴ab b a ①32sin 2

1

==?C ab S ABC

8=∴ab ②, 由①②得42{==b a 或{2

4

==b a 17.解:(1)甲中奖的概率为71

C 2337

=+=

P (2)S

35

48

352335122351813530=

?+?+?+?

=∴ES 18(1)证明:过C 作AB CE //且AB CE =,连BE ,PE

222BC AB AC =+ AB AC ⊥∴,

∴四边形ABEC 是矩形,CE AC ⊥AC PC ⊥

⊥∴AC 平面PEC ,060=∠∴PCE 4==CE PC

PCE ?∴是正三角形

AC BE // ⊥∴BE 平面PEC

PE BE ⊥∴22BE PE PB +=∴=5=BC ,

而H 是PC 的中点,PC BH ⊥∴,GH 是PAC ?的中位线,AC GH //∴,PC GH ⊥∴ H BH GH = ,⊥∴PC 平面BGH .

(2)以CE 的中点O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则)0,2,3(-A ,)0,2,3(B )32,0,0(P ,)0,2,0(-C ,

先求平面P AB 的法向量为)3,0,32(=n ,而平面BGH 的法向量为)32,2,0(--=PC , 设平面P AB 与平面BGH 的夹角为θ,则14

7

3,cos cos =><=PC n θ. 19解:(1)12log log 133-=++n a a n n ,1213-+=∴n n n a a 当1=n 时,321=a a ,3,121=∴=a a ,

133log log +?=n n n a a b ,0log log 23131=?=∴a a b

(2)93

3121

2121==-++++n n n n n n a a a a ,92=∴+n n a a ,

}{n a ∴的奇数项和偶数项分别是公比为9的等比数列.

22111239---=?=∴k k k a a ,)(3912122+--∈=?=N k a a k k k ,

)(3)

(3

)

(311

1

+---∈=?????=∴N n n n a n n n n 为偶数为奇数

(3) )()1(log log 133++∈-=?=N n n n a a b n n n n n c n )1(-=∴ 当1=n 时, 11c A ==0,1B =0,11B A =∴. 当2≥n 时,2

1

2)1(-<

-=n n n c n

1

21225232-=

-+++n n =n B 综上,当1=n 时,n n B A =,当2≥n 时, n n B A <.

或11,01,01B A B A =∴== 222

3

2,22B A B A <∴== 3343,623B A B A <∴=+=

猜测2≥n 时,n n B A <用数学归纳法证明

①当2=n 时,已证22B A <

②假设)2(≥=k k n 时,k k B A <成立

当1+=k n 时,)1(1++=+k k A A k k )1(212++-

1

)1(2122122-+=

++-

根据①②得当2≥n 时,n n B A <

综上,当1=n 时,n n B A =,当2≥n 时, n n B A <.

20解:(1) 直线l 与y 轴的交点F 为抛物线C 的焦点,又以OM 为直径的圆恰好过直线l 抛物线的交点,)2

5(22p

p p -=

∴,2=∴p 所以抛物线C 的方程为y x 42=

(2)由题意知直线AB 的斜率一定存在,设直线AB 的方程为5+=kx y ,

又设),(),,(2211y x B y x A ,),(00y x A '

A F A ',, 共线,0)1()1(1001=-+-∴y x y x ,0)4)((1010=+-x x x x

10x x ≠ 104x x -

=∴,)4,4(211x x A -',同理可求)4,4(22

2x x B -' x y 21

=

' ,∴过点A '的切线的斜率为12x -,切线方程为:21

142x x x y --=,

同理得过点B '的切线方程为:22

24

2x x x y --=,联立得:214x x y Q =

由20020445

2122

-=?=--???

?=+=x x kx x y

x kx y

51421-==

∴x x y Q ,即点Q 在定直线5

1

-=y 上运动. 21解:)0(4

224)(2>+-=-+=

'x x

ax x a x x x f (1)当6=a 时,x

x x x f )

23(2)(2+-=',

令100)(<'x x f 或2>x ,210)(<

)(x f ∴的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(.

(2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则0422=+-ax x 有两个不等的实根,

???

????

=

+=≥?≤?∴1221121212

)

(26)10(220x x x x a a x x x a x x )10(2ln 44ln 8)()(1121121≤<-+

-=-∴x x x x x f x f

设)10(2ln 44ln 8)(2

2≤<-+

-=x x x x x F

0)2(2828)(32

23<--=--='x x x x x x F ,)(x F ∴在]1,0(上递减,

2ln 43)1()(-=≥∴F x F ,即2ln 43)()(21-≥-x f x f .

(3)6ln 2)2ln(2)(2--++=ax x ax x g ,

2

)24(222

2)(2

+-+

=

-++=

'∴ax a a x ax a x ax a

x g

024,23,2322242

2>-+∴≥->-=-a a x x a a a a

,0)(>'∴x g ,)(x g 在]2,2

3[∈x 递增, 6ln 242)22ln(2)2()(max -+-+==a a g x g ,

)4(6ln 242)22ln(22a k a a ->-+-+∴在)4,2(∈a 上恒成立

令)4(6ln 242)22ln(2)(2a k a a a h ---+-+=, 则0)(>a h 在)4,2(∈a 上恒成立

1

)

1(22212)(+-+=+-+=

'a k ka a ka a a h ,又0)2(=h

当0≤k 时，0)(<'a h ,)(a h 在(2,4)递减,0)2()(=

当0>k 时,k

k

a a h -=?='10)(,

①3

1021<-k k

k 时,)(a h 在(2,k

k -1)递减,存在0)2()(=

②

3

1

21≥?≤-k k k 时, )(a h 在(2,4)递增,0)2()(=>h a h ,满足.

综上, 实数k 的取值范围为),3

1[ .