不等式及其应用
不等式的性质及其在中学中的应用
罗芳
摘要：中学数学学科的一个重要的内容便是不等式，它是比较大小的必备知识，
不等式还在其它学科中占有举足轻重的作用，比如物理中加速度大小的比较，化学反应中反应速率大小比较等等。在高考数学中不等式的知识也几乎可以渗透到高考的各个考点中，比如集合运算，比较大小，不等式的证明以及函数的最值问题等等。本文将从不等式的性质入手对结合高考中重点考查的不等式的数学思想的类型对其进行了归纳，体会不等式在中学考试中的应用。
关键词：不等式； 不等式的性质；均值不等式；应用
引言：现实世间和时常生活中，既有相等关系又存在着大量的不等关系，
当天平两端的砝码重量不同时，天平就会倾斜，这就是不等关系。2003年美国
发动伊拉克战争，其军事实力对比就是不等关系，有的不等关系可以用数学关
系式表示，这种不等关系就是不等式.研究不等式的性质和应用是一种很重要的
数学思想。 一、不等式的相关概念
作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大
小关系的有序集合上研究。由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字
母表示的数都是实数。
1、不等式：用不等号“≠<>≤≥,,,,”连接起来的式子称为不等式。
2、不等式的解：使不等式成立的未知数的值。
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体。
4、解不等式：求不等式的解集的过程。
二、不等式的基本性质
双向性：
1、对称性：a b b a
2、可加性：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向
不变.用符号语言表示为：b a >, c 为整式c b c a ±>±?。
单向性：
3、.,c a c b b a >?>>传递性：
4、d b c a d c b a +>+????>>可加性：
5、可乘性
（1）、等式的两边乘（或除以）同一个正数不等号的方向不变.用符号语言表示)(0c
b c a bc ac c b a >?>????>>或为： （2）、不等式的两边乘（或除以）同一个负数不等号的方向改变.用符号语
言表bc ac c b a 0示为：)0(c
b c a c b a 或 （3）、
bd ac d c b a >>>00 6、)1(0*>∈>?>>n N b b a b a n n 且可乘方行：
7、)1(0*>∈>?>>n N n b a b a n n 且可开方性：
需要指出的是：
(1)、利用性质3时，要正确处理带等号的情况：由于b a >，b a c b ≥≥或,b>c
均可得出c a >; 而有了c b b a ≥≥,，可能有c a >,也可能有c a =,且仅当b a =且
b=c 时，才会有c a =。
(2)、性质2以及5（3）可以推广到两个以上同向不等式。
(3)、性质6和性质7中的指数 n 可以推广到任意正数的情形。
以上是中学中所学的不等式的基本性质，它是解、证不等式的理论依据.要
深入理解不等式的基本性质，特别是要注意有的性质的逆命题是成立的，而有些
性质的逆命题是不成立的，即有些不等式性质成立的条件是充分必要的，有些不
等式性质成立的条件是充分不必要的。
如b a >就是a b <的充要条件，而对于传递性，由b a >且b>c 可得c a >；
反过来，由c a >，b>c 不能得到b a >;同时，由c a >，b a >，也不能得到b>c ；
因此，b a >，b>c 是c a >成立的充分不必要条件。
不等式的基本性质是学习的重点 .运用不等式的基本性质解决不等式问题
时， 应注意不等式成立的条件 ，否则会出现错误 。我们由不等式的这些基本
性质可得出下面的重要的结论，它在我们的解题中有很大的作用。
三、几个重要的不等式
1、)(02R a a ∈≥
2、若 a ，b ∈R ，则ab b a 222≥+( 当且仅当b a =时取等号)
3、若a ， b ∈R ， 且0,0>>b a ， ab b a ≥+2
则
( 当且仅当b a =时取等号) ；
4、;0b a b a >?>- b a b a =?=-0；b a b a
特别地有:
(1)、若a ，b ∈R ， 且 0>a ， b >0 ， .2
211222b a b a ab b
a +≤+≤≤+则 (2)、若 R c
b a ∈,,，ca b
c ab c b a ++≥++222则 .
不等式的基本性质贯穿于不等式的证明、 求解和实际应用中.运用不等式
的基本性质解决不等式问题 ，应注意性质成立的条件。以上所得出的不等式的
基本性质和重要的结论就是我们不等式证明的主要依据和公式。我们要熟练到
掌握和应用它们。
不等式是高中数学的重要内容，是分析解决数学问题的工具，因此它是高
考命题的重点和热点之一。在近几年的高考试题中不仅考查不等式的基础知识
而且重点考查不等式的变形、运算、推理能力。命题多在不等式与函数、方程，
数列、三角函数 、解析几何的交汇处设计。既体现不等式作为数学工具的的辅
助作用，又为以选拔为主要目标的高考试题增加不少区分度。我们在学习这部
分内容的过程中，要特别注意。
从历年高考题来看，基本上有一道不等式的选择题和填空题。与不等式有
关的综合通常作为压轴题出现，不等式的性质是厉年高考重点考查的内容。不
等式的性质与函数单调性合的小题以及比较大小、确定与不等式有关的条件与
结论之间的充要关系.常出现在选择题中。均值不等式在不等式证明以及最值、
范围问题中有着广泛的应用，是每年高考命题的热点内容，由于不等式的考查
范围广，导致我们很多同学在解决有关问题时往往力不从心，不等式与各个数
学分支都有密切的关系。下面就不等式的热点进行剖析,来谈谈不等式的性质在
中学学习中的应用。
四、不等式在中学中的应用
1、比较数的大小
一般情况下当我们遇到要比较数的大小时，我们常用作差法，或者作商法
比较两个数的大小.其理论依据是：
?????=-?=<-?<>-?>000b a b a b a b a b a b a 作差法： ????
?????=?>=
><>?
>>1)0(1)0(1)0(b
a b b a b a b b a b a b b a 作商法：
在这个过程中，不等式取到了很大的作用. 例:已知0 解：因为)1(y x xy x -=- ，并且0 xy x < 因为)01(2<-=-y xy xy xy ， 所以xy xy <2 因为0)1)(1(2<-+=-y y x xy x ， 所以2xy x < 综上有xy xy x <<2 2、“三角”不等式的应用： b a b a b a +≤±≤+不等式，我们很形象地称它为“三角不等式”，由 .;; b a b a b a b a b a b a b a b a +≤--≥-+≤+-≥+此我们得到： 上面四个不等式取等号的充要条件分别是： ，0≤ab ，0≥ab ，0≥ab 。0≤ab 利用三角不等式解题，常会带来好多方便，下面我们举例说说它的妙用。 例1：求函数x x y 1+=的值域。 解：因为211≥+=+=x x x x y 22≥-≤y y 或所以 . (][)∞+?-∞-+=，，的值域为即函数221x x y 3、均值不等式ab b a 222≥+(当且仅当b a =时取等号)ab b a ≥+2 和 (当且 仅当b a =时取等号)的应用。 应用这两个不等式时要注意成立的条件，这两个公式的完整叙述是这样叙 述的： 若a ，b ∈R ，则ab b a 222≥+ ( 当且 仅 当 a=b 时取等号) ； 若a ， b ∈R, 且0>a ，b>0， ab b a ≥+2则 (当且仅当b a =时取等号) . 2 b a +其中称b a ,的算术平均数，称ab b a ,的几何平均数。 两个不等式ab b a 222≥+ ab b a ≥+2 和成立的条件是不同的，前者成立的条件是a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充分必要条件， 而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立 的充分不必要条件，如0=a ,b=0仍然能使成立ab b a ≥+2 。 两个不等式中等号成立的条件都是b a =,而b a =是不等式中等号成立的充分必 要条件。 均值不等式在求最值及参数的取值范围等方面有着广泛的应用，对于给定 的函数式或多项式在一定的条件下求最值，一般要通过各种变形或转化，然后 运用均值不等式解决.但要注意均值不等式成立的条件，即“一正，二定，三相 等”下面结合例题来分析： 例2: 1 12+++=x x ax y 求函数（1->x 且0>a ）的最小值 分析：因分母的次数低于分子的次数，可用多项式除法将函数式变形后再 运用均值不等式求最值。 1 )1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 解： 11212121 )1(==-+≥+-++ +=a a a x a x a 时等号成立即当01 )1(=+= +x x a x a 1min =∴y . 这个例题我们看到了均值不等式的妙用，一般地，分式函数求最值，如果 在的形式，且可表示成)() ()()(x g B x g A x mg y x f y ++==定义域内恒正或恒负， A>0,m>0则可运用均值不等式来求最值。 均值不等式是不等式这章中的一个重要内容，是高考要考查的一个重要知 识点．而均值不等式的应用又灵活多变，主要有： 2 2,2??? ??+≤≥+b a ab ab b a 变式一： .21,2)1()(0;210-≤+≥-+-<≥+>x x x x x x x x 则时，时，变式二： 变式三：n 元均值不等)0(21321>≥++++i n n n a a a a n a a a a 式 当且仅时当n a a a ==21取等号。 若灵活运用这些不等式，解决形如“ 和 ” 大于等于“积”的n 元不等式 的证明，可使问题巧妙获证其思路自然 、流畅 ，可培养学生观察问题的深刻 性和思维的灵活性，优化解题过程。 元n 均值不等式对含有n 个元素的不等式 ，且含有和与积的不等式十分有 效 ，通过直接运用，或变形 、或联想 ，构造均值不等式 ，并结合添、拆项 ， 重新编组等技巧 ，可简捷获证 。 例3 :的求) 1(252)(2-+-=x x x x f 值域。 ?? ????-+-=-+-=-+-=12)1(21)1(24)1()1(252)(22x x x x x x x x f 解： 当x > l 时，1-x > 0 ， 222.2 1)(=≥x f . 当且仅当时12,1 2)1(+=-=-x x x 取等号， 当x < l 时，1-x < 0 ， 2)22.(2 1)(-=-≤x f ， 当且仅时当12,1 2)1(+-=-=-x x x 取等号。 (][)∞+?-∞-，，的值域为综上，22)(x f 上题巧用了均值不等式的变式，使我们解题得心应手。 五、 一些简单不等式的应用 1、 下面则都是正数，并且若,,,,m b m a b a b a m b a ++< <我们举例来说说它的应用： 对于该不等式我们可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质， 则浓度增加，即 b 个单位的溶液中含有a 个单位的溶质，其浓度小于再加入m 个单位溶质后的浓度。那：b 克糖水中含有a 克糖 ( b >a >0 ) ,若再添 加 m 克 糖 ( m>0 ) ，则糖水就变甜了．下面举例说明其应用： 例1: .21 2112112112132<-++-+-+-n 求证： 证明: 各分式的分子和分母都加1，由性质知 n n 2 22222221211211211213232++++<-++-+-+- = )21212121(232n ++++= 2 11)211(22--=n )211(2n -=<2 2、恒不等式性质的应用： 恒成立问题是高中数学中的一个热点，而不等式更是高考的重点，有人说 “不等式恒成立问题”是高考的兴奋点，这不无道理.但此类问题解法灵活、综合 性强，部分学生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题 呢?实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”，求不等式恒成立问题 就会迎刃而解.本文试对这类问题作一些归纳和总结： 的记)(x f 最大值的为)(),(max x f x f 最小值),(min x f 为则有下述两个重要性质： 1、),()(max x f a x f a ≥?≥恒成立),()(max x f a x f a >?>恒成立或 2、),()(min x f a x f a ≤?≤恒成立).()(min x f a x f a 灵活运用上述性质解题有时特别奏效 ．现在我们举有关题为例 ，谈谈恒 不等式性质的应用。 恒成立且 ：设例c a n c b b a N n c b a -≥-+-∈>>11,2，则n 的最大值为（ ） （A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5 恒成立，解：在题设条件下，c b c a b a c a n --+--≤ min )(c b c a b a c a n --+--≤根据性质知 422)()()()(=+=--+-+--+-=--+--c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a )(时取等号c b b a -=-∴n 4≤ 故选（C ） 上例就巧用了不等式恒成立时取等号的条件，恒成立问题，涉及到一次函 数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想 方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面 起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程 中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型； ④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象等等，我们要具 体问题具体分析，灵活使用方法，使解题正确无误，又节约时间。 六、不等式在实际生活中的应用 1、进货方案设计型 例、某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货 量不少于洗衣机的进货量的一半，电视机与洗衣机的进价和售价如下表： 计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元。 （1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它 费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最 多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价） 解：（1）设商店购进电视机x 台，则购进洗衣机（100－x ）台，根据题意， 得 3 1393133≤≤x 解不等式组，得 即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案。 （2）设商店销售完毕后获利为y 元，根据题意，得 y ＝（2000－1800）x ＋(1600－1500)(100－x)＝100x ＋10000． ∵ 100＞0 ∴ 当x 最大时，y 的值最大。 即 当x ＝39时，商店获利最多为13900元 点评：本题是一道开放性的问题，不仅需要列一元一次不等式解决问题，而且要找出佳解决方案。 2、租赁方案设计型： 例：某市“全国文明村”王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨。 （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？ 解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得4x + 2（8－x）≥20，且x + 2（8－x）≥12， 解此不等式组，得x≥2，且x≤4，即2≤x≤4。 ∵x x可取的值为2，3，4。 因此安排甲、乙两种货车有三种方案： （2）方案一所需运费300×2 + 240×6 = 2040元； 方案二所需运费300×3 + 240×5 = 2100元； 方案三所需运费300×4 + 240×4 = 2160元。 所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元。 点评：本题要列出不等式组，并要根据实际问题设计合理方案，注意方案最优化的选择。 3、购物方案设计型： 例：某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生。 （1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少共需花费多少元？ （2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？ 解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班为56×10×0.8＝448（元）；乙班为54×10×0.8＝432（元）；所以两班分别购买门票共需花费880元。 当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共（56＋54）×10×0.7＝770（元）． 故两班一起前往该博物馆参观，购买门票花费最少共需花费770元。 （2）当多于30人且不足100人时，设有x 人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜。 根据题意,?????>?<<10 7.0100108.010030:x x 得 解这个不等式组,1005.87< 所以，当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜。 4:生活娱乐问题型 例：小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为69千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地。小宝的体重可能是（ ） Ａ．千克 Ｂ．20.1千克 Ｃ．千克 Ｄ．千克 解:设小宝的体重是千克x ，则妈妈的体重是x 2千克. 根据题意,???>++<+, 7262722:x x x x 得 解这个不等式组,2422< 由此可以得出小宝的体重.题中选项只有A 答案符合，故选A. 本题较为新颖，只需列出不等式组即可获解。 七、总结： 不等式是高考中的重点和热点，我们要熟练地掌握和应用不等式的性质. 1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，不仅要正确理解而且要熟练应用、变式应用。 2、高考中对解不等式的要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的概念、性质有密切的关系，但就其解题思想和方法而言，可归纳为“不等式的性质是基础，等价变形是灵魂”也就是说所有的不等式最终都要等价变形为一元一次和一元二次不等式解之.在整个解不等式的过程中，注意不等式性质的应用，做到“思维与运算”并行。总的来说在解不等式的过程中，反复体现了一个重要思想——化归思想。 3、应用不等式的有关理论解决实际问题是高考的重点、热点。要注意以下几个方面（1）过事理关、读懂题意；（2）过文理关，即把文字语言译成数学符 号语言，用代数式表示数学关系；（3）过数理关，由实际问题向数学问题转化，构造相应的数学模型，即设变量时把最大值（或最小值）的变量定问函数，建立函数关系式，抽象为求函数的最值问题，在定义域内求最值，然后正确写出答案。 参考文献: [1] 冯峰. 《新导航》,光明日报出版社, 2007年第三版; [2] 人民教育出版社，《数学》，2006年11月第2版； [3] 刘拥华，《数理化研究》枣阳市高级中学； [4] 罗平安，《语数外高考数学》。 一元一次不等式（组） 一、知识导航图 一元一次不等式(组)的应用 一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式(组)解集的含义一元一次不等式(组)的概念 不等式的性质 一元一次不等式和一元一次不等式组 二、课标要求 三、知识梳理 1.判断不等式是否成立 判断不等式是否成立,关键是分析判定不等号的变化,变化的依据是不等式的性质,特别注意的是,不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,要改变不等号方向;反之,若不等式的不等号方向发生改变,则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数.因此,在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的围时, 要认真观察不等式的形式与不等号方向. 2.解一元一次不等式(组) 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同,应注意的是,不等式两边所乘以(或除以)的数的正负,并根据不同情况灵活运用其性质,不等式组解集的确定方法:若a (4)00a b ? 的解集是空集,即“大大小小取不了”. 一元一次不等式(组)常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系，解决综合性问题。 3.求不等式(组)的特殊解 不等式(组)的解往往是有无数多个,但其特殊解在某些围是有限的,如整数解、非负整数解,要求这些特殊解,首先是确定不等式(组)的解集, 然后再找到相应的答案.注意应用数形结合思想. 4.列不等式(组)解应用题 注意分析题目中的不等量关系,考查的热点是与实际生活密切相联的不等式(组)应用题. 四、题型例析 1．判断不等式是否成立例1 2．在数轴上表示不等式的解集例2 3．求字母的取值围例3 4．解不等式组例4 5．列不等式(组)解应用题例5 一元一次不等式(组) 【课前热身】 【知识点】 1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或 c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b ??>? 的解集是x b >，即“大大取大”； x a x b >?? 一元一次不等式应用题压轴题精选 一．解答题（共25小题） 1．“元旦”期间，某学校由4位教师和若干位学生组成的旅游团，到某风景区旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按7折优惠；乙旅行社的收费标准是：5人以上（含5人）可购团体票，游团体票按原价的8折优惠．这两家旅行社的全票价均为每人300元． （1）若有10位学生参加该旅游团，问选择哪家旅行社更省钱？ （2）设参加该旅游团的学生为x人，问人数在什么范围内时，选择乙旅行社更省钱？ 3．某城市的一种出租车起步价为10元（即行驶5千米以内都需付款10元车费），达到或超过5千米后，每增加1千米加价1.2元（不足1千米按1千米计算），现某人乘这种出租车有甲地到乙地，支付车费17.2元．求甲、乙两地的路程． 4．在车站开始检票时，有a（a＞0）各旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10min便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在5min内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问至少要同时开放几个检票口？ 5．某工程队要招聘甲、乙两种工人150人，甲、乙两种工种的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付工资最少？ 6．商场购进菜种商品100件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后将售价下降10%，降价后每件仍可以获利18元，又售出全部商品的25% 均值不等式的四种变形及其应用 定理：如果,a b R ∈，那么22 2a b ab +≥（当且仅当a b =取等号）。 这个定理至少有四种变式。 例如 一 第一种变式为2 2 2 2()()a b a b +≥+ 它是怎样用定理“如果,a b R ∈，那么22 2a b ab +≥（当且仅当a b =取等号），”推导 出来的呢？只要在么222a b ab +≥的两边同时加上22 a b +可推出为2 2 2 2()() a b a b +≥+它可以用中文数学语言叙述成“两个非负数的平方和的2倍不小于这两个非负数的和的平方。”什么时候用这一均值不等式的变式呢？凡带有根号形式的不等式证明题可用此第一种变式。 例1设0,0a b >>，1a b +=≤ 证明：2 2(2121)22(1)8a b a b ≤+++=?++= ≤ 例2设x,y 均为正数,10=- y x 且,求证:x-2y 200 ≤（1987年列宁格勒数学奥林匹克试题）.证明：用均值不等式的变形公式（)(2)2 2 2 b a b a +≤+ y y y x y x y x 2200)100(2)10(10102+=+≤+=?+=?=- 移项得x-2y 200≤. 例3 若a,b,c + ∈R 且a+b+c=1,求证:21141414≤++++ +c b a . 证明:用三元均值不等式的变形公式)(3)(2 2 2 2 c b a c b a ++≤++ .21)141414(3)141414(2=+++++≤+++++c b a c b a 两边开方得出21141414≤++++ +c b a 例4 若a,b,c,d +∈R 且a+b+c+d=1求证:2414141414≤++++++ +d c b a 证明: 用四个变量均值不等式的变形公式)(4)(2 2 2 2 2 d c b a d c b a +++≤+++ 32]4)(4[4)14141414(2=++++≤+++++++d c b a d c b a . 两边开方得出所要证的结果. 生活中的一元一次不等式应用 山东张海生 一元一次不等式的在生活的应用十分广泛,涉及到社会生活和生产的方方面面, 为了更好的运用所学知识解决实际问题使学有所用，下面就以例题的形式一块和同学们欣赏一下，这也是培养我们实际能力的好机会． 一.学校决策问题 学校为购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价、质量和服务承诺都相同，且都表示对学生优惠：甲公司表示每个计算器按九折出售；乙公司表示购买１００个以上，按八折收费．请你为学校分析，应选择哪家公司较好． 解：设在学校集体购买的计算器为ｎ个， ①显然，当ｎ≤１００时，选择甲公司较好； ②当ｎ＞１００时，设每个计算器的价格为ｘ元， 那么，学校付给甲公司为：０．９ｘｎ元；付给乙公司为：１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ元 当０．９ｘｎ＜１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＜２００； 当０．９ｘｎ＝１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＝２００； 当０．９ｘｎ＞１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＞２００． 所以，当学校购买的计算器在200个以内时，选择甲公司较好；当购买200个计算器时，两个公司都一样；当购买计算器在200个以上时，选择乙公司较好． 二、工程预算问题 爆破时导火索燃烧的速度是每秒钟0.9cm，点导火索的人需要跑到120m以外才安全，如果他跑的速度是每秒6m，那么这个导火索的长度应大于多少cm？ 解：设导火索的长度应大于xcm． x＞18 答：导火索的长度应大于18cm． 四、生活娱乐问题 小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的脚仍然着地.后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果小宝和妈妈的脚着地.猜猜小宝的体重约有多少千克？（精确到1千克） 解:设小宝的体重是x千克，则妈妈的体重是2x千克. 由题意得,由此可以得出小宝的体重. 五、能源节约问题 水是人类宝贵的资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平．为节约用水，保护环境，学校于本学期初便制定了详细的用水计划．如果实际每天比计划多用一吨水，那么本学期的用水总量将会超过２３００吨；如果实际每天比计划节约一吨水，那么本学期的用水总量将会不足２１００吨．如果本学期在校时间按１１０天（２２周）计算，那么学校计划每天用水量应控制在什么范围？（结果保留４个有效数字） 解：设学校计划每天用水ｘ吨，依题意，得： １１０（ｘ＋１）＞２３００１１０（ｘ－１）＜２１００， 解这个不等式组，得２１９１１＜ｘ＜２２１１１， 所以１９．９１＜ｘ＜２０．０９． 答：学校计划每天用水量应控制在１９．９１吨至２０．０９吨之间． 六、企业预算问题 某市某童装企业今年五月份工人每人平均加工童装１５０套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的６０％．为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份进行工资改革，改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资２００元；另一部分每加工１套童装奖励若干元．⑴为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准４５０元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工１套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？ ⑵根据经营情况，企业决定每加工１套童装奖励５元．工人小张争取六月份工资不少于１２００元，问小张六月份至少加工多少套童装？ 解：⑴设企业每套童装至少奖励ｘ元，由题意，得：２００＋６０％?１５０ｘ≥４５０，解得：ｘ≥２７９≈２．７８． 因此，该企业每套至少应奖励２．７８元． ⑵设小张在六月份至少加工ｙ套，由题意，得：２００＋５ｙ≥１２００，解得ｙ≥２００． 答：小张在六月份至少加工２００套． 七、工程人力开发问题 不等式（组）的实际应用 1.某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示 该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元。 (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套? (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍。若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套? 解答： (1)设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，{1.51.2660.150.29， 解得：{2030， 答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；(2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，1.5(20?a)+1.2(30+1.5a)?69， 解得：a?10， 答：A种设备购进数量至多减少10套。 2.2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受。星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方。已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨。 (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨? (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案? 解答： (1)设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨， {23315670， 解得{85. 即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨； (2)由题意可得， 设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x辆、y 辆， 2085y?148y?2， 解得{182或{173或{164， 不等式应用练习题 1、某商店第一天以每件10元的价格购进某商品15件,第二天又以12元的价格购进同种商品35件,然后以相同的价格卖出,如果销售这些商品时,至少要获得10%的利润,这种商品每件的售价应不低于多少元？ 3、甲乙两家超市以相同的价格出售同样的商品.为吸引顾客各自推出不同的优惠方案.甲超市累计购买商品超出500元之后.超出部分按原价八五折优惠.在乙超市累计购买商品超出300元之后.超出部分按原价九折优惠. （1）是用含x的代数式分别表示,顾客在两家超市购物所付的费用. （2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠,并说明你的理由. 4、按国家有关规定，个人发表文章、出版图书获得的稿费的纳税计算方法是：(1)稿费不高于4000元的不纳税； 国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的不拿税；（2）稿费高于800元而低于4000元的应缴纳超过800元那部分稿费的14％的税；（3）稿费等于或高于4000元的应缴纳全部稿费的11％的税。王老师获得一笔稿费，并交纳个人所得税不超过420元，问他这笔稿费最多是多少元？ 5、今秋，某市白玉村水果喜获丰收，果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货 车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？ 6、某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． （1）该校初三年级共有多少人参加春游？ （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案？ 7、某射击运动员在一次训练中，打靶10次的成绩为89环，已知前6次射击的成绩为50环，则他第七次射击时，击中的环数至少是______环． 8、某县出租车计费规则：2公里以3元,超过两公里部分另按每公里1.2元收费（不足1公里按1公里收费）,立同学从家出发坐出租车到新华书店购书,下车时付费9元,那么立家离书店最多有几公里? 9、甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊买了两条鱼,平均每条b元,后来他又以每条a+b/2元的价格把鱼全部地卖给了乙,结果发现赔钱,你知道为什么吗? 2021人教版新教材配套提升训练 提升训练2.7 均值不等式及其应用 一、选择题 1．已知x ＞0，函数9 y x x =+的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2．已知1(0,)4 x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ． 14 B ． 16 C ． 18 D ． 110 3．()2 301x x y x x ++=>+的最小值是( ) A ．23 B ．231- C ．231+ D ．232- 4．已知a ，b 都为正实数，21a b ，则ab 的最大值是( ) A ． 29 B ． 18 C ． 14 D ． 12 5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ． C ．2 D ．4 6．若0,0,31x y x y >>+=，则11 3x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．12 x x C ．4 D ．23 7．若正数,m n 满足21m n +=，则11 m n +的最小值为 A ．322+ B ．32+ C ．222+ D ．3 8．若两个正实数x ，y 满足21 1x y +=，则2x+y 的最小值为（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 9．若正实数 满足 ，则（ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．有最小值 D ． 有最大值 10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（ ） A ． B ． C ． D ． 11．若正数a ，b 满足111a b +=，则1911 a b +--的最小值为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 12．设，，均为正实数，则三个数，， ( ) A ．都大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2 二、填空题 13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________． 14．若a b >，则()8 2a b a b -+-的最小值为______． 15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________. 16．若，且 ，则 的最小值为_______． 三、解答题 17．已知正实数a ，b 满足 ，求 的最小值. 18．设,x y 都是正数，且12 3x y +=，求2x y +的最小值． 19．已知 ，求证： . 20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 21．已知 ， ． （1）求的最小值； 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 第十讲不等式组应用题 一．选择题 1. 如图⑴所示，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体 A的质量m(g)的取值范围． 在数轴上：可表示为图⑵中的（） 2. 设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、 ▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为 A.■、●、▲。 B.■、▲、●。 C.▲、●、■。 D.▲、■、●。 3. 已知不等式组 x+8<4x-1 x>m ? ? ? 的解集为x＞3，则m的取值范围是（） A．m≥3 B．m=3 C. m＜3 D．m＜3 二．应用题： 应用题型一： 1. 某次“迎奥运”知识竞赛中共20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，选 手至少要答对（）道题，其得分才会不少于95分？ A．14 B．13 C．12 D．11 2. 一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中， 小明获得优秀(90分或 90分以上)则小明至少答对了______道题． 应用题型二： 例1：若干苹果分给几只猴子，若每只猴子分3个，则余8个；每只猴分5个，则最后一只猴分得的数不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果 练习： 1．若干学生分住宿舍，每间4人余20人；每间住8人有一间不空也不满，则宿舍有多少间？学生多少人？ 2．现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4 人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满珠住宿生人数和宿舍间数． 题型三： 例1．已知利民服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需A种布料0.6米，B种布料0.9米，做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，若设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？ 练习： ， 1.我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． 1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． 2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。 【学生分析】 从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。 从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。 重点：创设基本不等式使用的条件。 难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计： 问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？ 问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？ 问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 几个重要不等式及其应用 一、几个重要不等式 以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。 1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式 设12,,,n a a a L 是非负实数，则12n a a a n +++≥L 2、柯西（Cauchy ）不等式 设,(1,2,)i i a b R i n ∈=L ，则2 22111.n n n i i i i i i i a b a b ===?????? ≥ ??? ??????? ∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使 ,1,2,,.i i b a i n λ==L 变形（Ⅰ）：设+ ∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===??? ??≥n i i n i i n i i i b a b a 1 2 112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==L 变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===??? ??≥n i i i n i i n i i i b a a b a 1 2 11。等号成立当且仅当n b b b ===Λ21 3．排序不等式 设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121?≤?≤≤≤?≤≤是n ,,2,1?的一个排列，则 n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ΛΛΛ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当 n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21。（用调整法证明）. 4．琴生（Jensen ）不等式 若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈Λ* ()n N ∈有 ()()()12121 ( ).n n x x x f f x f x f x n n +++≤+++??? ?L L 等号当且仅当n x x x ===Λ21时取得。（用归纳法证明） 二、进一步的结论 运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到 的效果。 1. 幂均值不等式 设0>>βα，),,2,1(n i R a i Λ=∈+ ，则 均值不等式总结及应用 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若 * ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则 2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=” ） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则 2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 说明： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” （3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 【解题技巧】 技巧一：凑项 例 已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 一元一次不等式应用题集锦 1、把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克18元的乙种糖果若干千克混合， 要使总价不超过400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙种糖果最多是多少？最少是多少？ 2、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8 人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。 3、某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果 每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本. 设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖,请解答下列问题: (1)用含x的代数式表示m; (2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数. 4、(2001荆门市)有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜 每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则应该如何安排人员？ 5、(2001陕西)出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或 超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少? 6、(2002重庆市)韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为 中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，则A队有出租车（） A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 7、(2001荆州)在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司 先派一个人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下: 那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?(严禁超载) 实用文档 §6.7不等式的综合应用（二） 【复习目标】 1． 理解掌握不等式在函数，三角，数列，解析几何，方程等内容中的应用； 2． 函数性质，三角式，直线与圆锥曲线，数列的通项及部分和的变化等内容常与不等式的证明或解不等式有密切的关系，要熟悉这方面问题的类型和思考方法； 3． 培养学生对数形结合，特殊与一般，分类讨论等思想的领悟和应用能力。 【课前预习】 1. 数列{}n a 的通项公式290n n a n =+，则数列{}n a 的最大项为 （ ） A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D.第9项和第10项 2. 函数224 sin sin y x x =+的最小值为 。 3. 0a >且1a ≠，3log (1)a P a =+，2log (1)a Q a =+，则P 、Q 的大小关系是 （ ） A ．P>Q B ．p 实用文档 例2 设集合A={}2(,)20,x y x mx y +-+=B={}(,)10且02x y x y x -+=≤≤ 如果A B φ≠，求实数m 的取值范围。 例3 在等比数列{}n a 中，其首项10a >，公比1q >-，且1q ≠，前n 项和为n S ；在数列{}n b 中，12n n n b a ka ++=-，前n 项和为n T . （1） 求证：0n S >； （2） 若n n T k S >?对一切正整数n 成立，求证： 12k ≤-. 【巩固练习】 1. 若实数m,n,x,y 满足2222 ,()m n a x y b a b +=+=≠，则mx ny +的最大值 。 2. 已知不等式20ax bx c -+>的解集为1(,2)2-，对于a,b,c 有下列结论：①a>0 ；②一元一次不等式应用题(超经典)
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一元一次不等式应用题
基本不等式及其应用
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
几个重要不等式及其应用
均值不等式的总结与应用
应用题-一元一次不等式的应用
10,不等式的应用(二)
+><，则使前 n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 5. 设点（x,y ）在椭圆22 194x y +=上移动，则x+y 的最大值为 。 【典型例题】 例1 若关于x 的方程 9(4)340x x a +++=有解，求a 的取值范围。