2017年河南省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅰ)
2017年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x |x ＜1}，B={x |3x ＜1}，则（ ） A ．A ∩B={x |x ＜0} B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x |x ＞1} D ．A ∩B=?
2．（5分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A ．14
B ．π8
C ．12
D ．π4
3．（5分）设有下面四个命题
p 1：若复数z 满足1
z
∈R ，则z ∈R ；
p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R ． 其中的真命题为（ ）
A ．p 1，p 3
B ．p 1，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
4．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
5．（5分）函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （1）=﹣1，则满足﹣1≤f （x ﹣2）≤1的x 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]
B ．[﹣1，1]
C ．[0，4]
D ．[1，3]
6．（5分）（1+1
x
2）（1+x ）6展开式中x 2的系数为（ ）
A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n ﹣2n ＞1000的最小偶数n ，那么在
和两个空白框中，可以分别填入（ ）
A ．A ＞1000和n=n +1
B ．A ＞1000和n=n +2
C ．A ≤1000和n=n +1
D ．A ≤1000和n=n +2
9．（5分）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x +
2π3
），则下面结论正确的是（ ）
A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
平移π
6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
平移π
6
个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左
平移π
12个单位长度，得到曲线C 2
10．（5分）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
11．（5分）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ） A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z
12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量a →
，b →
的夹角为60°，|a →
|=2，|b →
|=1，则|a →
+2b →
|= ． 14．（5分）设x ，y 满足约束条件 x +2y ≤12x +y ≥?1x ?y ≤0
，则z=3x ﹣2y 的最小值为 ．
15．（5分）已知双曲线C ：x 2
a 2﹣y 2
b
2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆
心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN=60°，
则C 的离心率为 ．
16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积
为a2
3sinA
．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，
μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得x=
1616
i=1
x i=9.97，s=11616i=1(x i?x)2=116(16i=1x i2?16x2)≈
0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)
用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，0.008≈0.09．
20．（12分）已知椭圆C：x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），
P3（﹣1，
3
2
），P4（1，
3
2
）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cosθ
y=sinθ，（θ为参数），
直线l的参数方程为x=a+4t
y=1?t，（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
2017年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x |x ＜1}，B={x |3x ＜1}，则（ ） A ．A ∩B={x |x ＜0} B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x |x ＞1} D ．A ∩B=?
【分析】先分别求出集合A 和B ，再求出A ∩B 和A ∪B ，由此能求出结果． 【解答】解：∵集合A={x |x ＜1}， B={x |3x ＜1}={x |x ＜0}，
∴A ∩B={x |x ＜0}，故A 正确，D 错误； A ∪B={x |x ＜1}，故B 和C 都错误． 故选：A ．
【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．
2．（5分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A ．14
B ．π
8
C ．1
2
D ．π
4
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S=π
2，
则对应概率P=π2
4=π
8
，
故选：B
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
3．（5分）设有下面四个命题
p 1：若复数z 满足1
z
∈R ，则z ∈R ；
p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R ． 其中的真命题为（ ）
A ．p 1，p 3
B ．p 1，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
【解答】解：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ，故命题p 1为真命题；
p 2：复数z=i 满足z 2=﹣1∈R ，则z ?R ，故命题p 2为假命题；
p 3：若复数z 1=i ，z 2=2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠z 2，故命题p 3为假命题； p 4：若复数z ∈R ，则z =z ∈R ，故命题p 4为真命题． 故选：B ．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．
4．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【分析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，
由此能求出{a n}的公差．
【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴a1+3d+a1+4d=24 6a1+6×52d=48
，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{a n}的公差为4．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]
【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．
6．（5分）（1+1
x2
）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35
【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．
【解答】解：（1+1
x2
）（1+x）6展开式中：
若（1+1
x2
）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：
若（1+1
x2
）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：
由（1+x）6通项公式可得C6r x r．
可知r=2时，可得展开式中x2的系数为C62=15．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为C64=15．
（1+1
x
）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．
故选C．
【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．
7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可
【解答】解：由三视图可画出直观图，
该立体图中只有两个相同的梯形的面，
S梯形=1
2
×2×（2+4）=6，
∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B
【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．
【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，
所以“”内不能输入“A＞1000”，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，
所以“”中n依次加2可保证其为偶数，
所以D 选项满足要求， 故选：D ．
【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．
9．（5分）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x +
2π3
），则下面结论正确的是（ ）
A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
平移π
6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左
平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
平移π
6
个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左
平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，得到函数
y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π
12
）
=cos （2x +π6）=sin （2x +2π
3）的图象，即曲线C 2，
故选：D ．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．
10．（5分）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，|AB |+|DE |最小，根据弦长公式计算即可．
方法二：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为 π
2
+θ，利用焦点弦的弦长公式
分别表示出|AB |，|DE |，整理求得答案
【解答】解：如图，l 1⊥l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点， 直线l 2与C 交于D 、E 两点， 要使|AB |+|DE |最小，
则A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1， 又直线l 2过点（1，0）， 则直线l 2的方程为y=x ﹣1，
联立方程组 y 2=4x y =x ?1，则y 2﹣4y ﹣4=0，
∴y 1+y 2=4，y 1y 2=﹣4， ∴|DE |= 1+
1
k
2?|y 1﹣y 2|= 2× 32=8， ∴|AB |+|DE |的最小值为2|DE |=16，
方法二：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为 π
2
+θ，
根据焦点弦长公式可得|AB |=2p sin 2θ=4
sin 2θ
|DE |=2p sin 2(π+θ)
=2p co s θ=4
co s θ ∴|AB |+|DE |=4sin 2θ+4co s 2θ=4sin 2θco s 2θ=16sin 22θ
，
∵0＜sin 22θ≤1，
∴当θ=45°时，|AB |+|DE |的最小，最小为16， 故选：A
【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．
11．（5分）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ） A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z 【分析】x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k ＞1．lgk ＞0．可得x=lgk lg 2
，y=
lgk
lg 3，z=lgk
lg 5
．可得3y=
lg 33，2x=lg 2，5z=lg 5
5
．根据 33= 96＞ 86= 2， 2= 3210
＞ 2510
= 55
．即可得出大小关系．
另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k ＞1．lgk ＞0．可得x=
lgk lg 2
，y=
lgk lg 3
，z=
lgk lg 5．2x 3y =2
3
×lg 3lg 2=lg 9
lg 8
＞1，可得2x ＞3y ，同理可得5z ＞2x ． 【解答】解：x 、y 、z 为正数， 令2x =3y =5z =k ＞1．lgk ＞0． 则x=
lgk
lg 2，y=
lgk
lg 3，z=
lgk
lg 5．
∴3y=lgk lg 33，2x=lg 2，5z=lgk lg 5
5．
∵ 33= 96＞ 86= 2， 2= 3210
＞ 2510
= 55
．
∴lg 33＞lg 2＞lg 55
＞0． ∴3y ＜2x ＜5z ．
另解：x 、y 、z 为正数， 令2x =3y =5z =k ＞1．lgk ＞0． 则x=
lgk
lg 2，y=lgk
lg 3，z=
lgk
lg 5．
∴2x 3y =23×lg 3lg 2=lg 9lg 8
＞1，可得2x ＞3y ， 5z 2x =52×lg 2lg 5=lg 25lg 52
＞1．可得5z ＞2x ． 综上可得：5z ＞2x ＞3y ．
解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D ．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110
【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n }的通项公式及前n 项和，可知当N 为
n (n +1)
2
时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n +1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码； 方法二：由题意求得数列的每一项，及前n 项和S n =2n +1﹣2﹣n ，及项数，由题意可知：2n +1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可，分别即可求得N 的值． 【解答】解：设该数列为{a n }，设b n =a (n?1)n 2
+1
+…+a n (n +1)2
=2n +1﹣1，（n ∈N +），
则 n i =1
b i
= n (n +1)
2
i =1
a i ，
由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =21﹣1+22﹣1+…+2n +1﹣1=2n +1﹣n ﹣2，
可知当N 为n (n +1)2
时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，
即为2n +1﹣n ﹣2，
容易得到N ＞100时，n ≥14， A 项，由
29×302
=435，440=435+5，可知S 440=T 29+b 5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A
项符合题意． B 项，仿上可知
25×262
=325，可知S 330=T 25+b 5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不
为2的整数幂，故B 项不符合题意．
C 项，仿上可知20×21
2
=210，可知S 220=T 20+b 10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，
显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意．
D 项，仿上可知14×15
2
=105，可知S 110=T 14+b 5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不
为2的整数幂，故D 项不符合题意．
故选A ．
方法二：由题意可知：2
︸第一项
，
20，21
第二项
，
20，21，22
第三项
，…
20，21，22，?，2n ?1
第n 项
，
根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n ﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n ，
总共的项数为N=1+2+3+…+n=(1+n )n
2
，
所有项数的和为S n ：21
﹣1+22
﹣1+23
﹣1+ (2)
﹣1=（21
+22
+23
+ (2)
）﹣n=
2(1?2n )
1?2
﹣n=2n +1﹣2﹣n ，
由题意可知：2n +1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可，
则①1+2+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=1，总共有(1+1)×1
2+2=3，不满足N ＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=5，总共有(1+5)×5
2
+3=18，不满足N ＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=13，总共有(1+13)×13
2
+4=95，不满足N ＞
100，
④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=29，总共有(1+29)×29
2
+5=440，满足N
＞100，
∴该款软件的激活码440． 故选A ．
【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量a →
，b →
的夹角为60°，|a →
|=2，|b →
|=1，则|a →
+2b →
|= 2 3 ． 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
【解答】解：【解法一】向量a →
，b →
的夹角为60°，且|a →
|=2，|b →
|=1， ∴(a →
+2b →)2=a →2
+4a →?b →
+4b →2
=22+4×2×1×cos60°+4×12 =12，
∴|a →
+2b →|=2 3．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形OC →=OA →+OB →
=a →
+2b →
； 在△OAC 中，由余弦定理得
|OC →
|= 22+22?2×2×2×cos 120°=2 3， 即|a →
+2b →
|=2 3． 故答案为：2 3．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．
14．（5分）设x，y满足约束条件x+2y≤1
2x+y≥?1
x?y≤0
，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由x，y满足约束条件x+2y≤1
2x+y≥?1
x?y≤0
作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A，
联立x+2y=1
2x+y=?1，解得A（﹣1，1）．
∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）已知双曲线C ：x 2
a 2﹣y 2
b
2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆
心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN=60°，
则C 的离心率为
2 3
3
．
【分析】利用已知条件，转化求解A 到渐近线的距离，推出a ，c 的关系，然后
求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C ：
x 2
a 2﹣y 2
b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A （a ，0）， 以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．
若∠MAN=60°，可得A 到渐近线bx +ay=0的距离为：bcos30°= 3
2
b ，
可得： a 2+b 2= 32
b ，即a
c = 3
2，可得离心率为：e=2 33．
故答案为：2 3
3
．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程
的应用，考查转化思想以及计算能力．
16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 4 15cm 3 ．
【分析】由题，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG=
3
6
BC ，设OG=x ，则BC=2 3x ，DG=5﹣x ，三棱锥的高h= 25?10x ，求出S △ABC =3 3x 2，
V=13S △ABC ×?= 3? 25x 4?10x 5，令f （x ）=25x 4﹣10x 5，x ∈（0，52
），f′（x ）
=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．
【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=
3
6 BC，
即OG的长度与BC的长度成正比，
设OG=x，则BC=23x，DG=5﹣x，
三棱锥的高h=DG2?OG2=25?10x+x2?x2=25?10x，S△ABC=12×32×(23x)2=33x2，
则V=1
3
S△ABC×?=3x2×25?10x=3?，
令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，5
2
），f′（x）=100x3﹣50x4，
令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，
则f（x）≤f（2）=80，
∴V≤3×80=415cm3，∴体积最大值为415cm3．
故答案为：415cm3．
【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积
为a2
3sinA
．
（1）求sinBsinC；
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5页， 23小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型 ( B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷 上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 已知集合A={x| x<1} ，B={ x| 3x 1}，则 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 其中的真命题为 绝密★启用 前 1． A．AI B {x|x 0} B．AUB R C．AUB {x|x 1} D．AI B 2． 3． A． 1 4 B． 设有下面四个命题 p1 ：若复数z 满 足1 R ，则 C． 1 2 D． R；p2 ：若复数z 满足z2 R ，则z R ； p3：若复数z1, z2满足z1z2 R，则z1 p4 ：若复数z R ，则
2018年高考全国二卷理科数学真题(解析版)
2018年高考全国二卷理科数学真题（解析 版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A
2017年高考全国卷一文科数学试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?
2018年全国高考ii卷理科数学试题及答案
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
人教版2017年高考数学真题导数专题
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x） =e x f（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
2018高考理科数学全国一卷试题及答案
2018高考理科数学全国一卷 一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后 农村的经济收入构成比例。得到如下 饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视图 上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上, 从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8
9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线 与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。 三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以 为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值
2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是
2018高考理科数学模拟试题
2018学年高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5页， 23小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型 ( B )填涂在答题卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 已知集合 A ={x | x <1} ， B ={ x | 3x 1}，则 A ．A B {x|x 0} B ． A B R 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极 图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方 形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 其中的真命题为 4．记S n 为等差数列 ｛a n ｝的前 n 项和．若 a 4 a 5 24，S 6 48，则｛a n ｝的公差为 5．函数 f(x)在( , )单调递减，且为奇函数．若 f(1) 1，则满足 1 f(x 2) 1的 x 的取值范 绝密★启用前 1． 2． C ． A B {x|x 1} D ． A B 3． A ． 1 4 B ． π 8 设有下面四个命题 C ． 1 2 D ． p 1 ：若复数 z 满足 1 R ，则 z R ； z p 2 ：若复数 z 满足 z 2 R ，则 z R ； p 3：若复数 z 1, z 2满足 z 1z 2 R ，则 z 1 z 2； p 4 ：若复数 z R ，则 z R . A ． p 1, p 3 B ． p 1,p 4 C ． p 2, p 3 D ． p 2,p 4 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D． （2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D） 【答案】A 【解析】由得，所以，故选A． （3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题， 即，均是真命题，故选B． （4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现， 当其经过直线与的交点时，最大为 ，故选C． （5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） （A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C． （6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第 二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D． （7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，故选B． （8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（） （A）（B）（C）（D） 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 全国卷 3） 理科数学 2． 1 i 2 i B ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右 可以是 1 4 ．若 sin ，则 cos 2 3 、选择题本： 题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分。 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 A x | x 1≥ 0 ， B 0 ，1，2 ，则 A B B ． C ． 1，2 D ． 0 ，1 ，2 方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯 视 图 D ． 边的小长 A． 7 B． 9 7 C． 9 8 D． 9 5． 的展开式中 4 x 的系数 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线x y 2 0 分别与x 轴，y轴交于A ， B 两点， 点 P 在圆 上，则△ABP 面积的取值范围 A ． B ． 4，8 C ． 2 ，3 2 D ． 2 2 ， 3 2 7．函数 4 2 2 y x x 的图像大致为 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员 中使用移动支付的人数， DX 2.4 ， P X 4 P X 6 ，则 p A ． 0.7 B ． 0.6 C ． 0.4 D ． 0.3 9． △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 △ABC 2 2 2 的面积为 a b c ，则 C π π π 4 π A ． B ． C ． D ． 2 3 4 6 10．设 A ，B ，C ， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 A ． 12 3 B ． 18 3 C ． 24 3 2 2 11．设 F 1 ，F 2 是双曲线 x y D ． 54 3 O 是坐标原点．过 F 2 作 C 的一条渐近线 垂线，垂足为 a b P ．若 PF 1 6 OP ，则 C 的离心 率为 A ． 5 B ．2 C ． 3 C ： 2 2 1（ a 0，b 0 ）的左，右焦点， 的 log 2 0.3 ，则 A ． a b ab 0 C ． a b 0 ab 12 ．设 a log 0.2 0.3 ， b B ． ab a b 0 D ab 0 a b 、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2017年高考数学空间几何高考真题 2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π 1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为． 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 . 2017北京 （19）（本小题13分） 已知函数f (x )=e x cos x ?x . （Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,2 π ]上的最大值和最小值. 2017江苏 20.（本小题满分16分） 已知函数() 3 2 1(0,)f x =x a x b x a b +++>∈ R 有极值，且导函数 ()f x ， 的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1） 求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2） 证明：b 2>3a ; （3） 若()f x ， ()f x ， 这两个函数的所有极值之和不小于7- 2 ，求a 的取值范围. 2017全国Ⅰ卷（理） 21.（12分） 已知函数()f x =a e 2x +（a ﹣2）e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2017全国Ⅱ卷（理） 21.（12分） 已知函数3 ()ln ,f x a x a x x x =--且()0f x ≥. （1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2 3 0e ()2 f x --<<. 2017全国Ⅲ卷（理） 21.（12分） 已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求a 的值； （2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2 111(1)(1)(1 )2 2 2 n m ++ 鬃?<，求m 的最小 值． 2017山东理科 （20）（本小题满分13分） 已知函数()2 2c o s f x x x =+，() ()c o s s in 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828 e =是自然对 数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程； （Ⅱ）令()()()( )h x g x a f x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出 极值. 2017天津 （20）（本小题满分14分） 设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数4 3 2 ()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间； （Ⅱ）设00[1,) (,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且 00[1,) (,2],p x x q ∈ 满 足04 1| |p x q A q -≥ . 2017浙江理科 20．（本题满分15分）已知函数f (x )=（x e x -（12 x ≥ ）. （Ⅰ）求f (x )的导函数； 2017年普通高等学校招生全国统一考试 课标II 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 2.设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1A B =得1B ∈，所以3m =，{}1,3B =，故选 C 。 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()712381 12 x -=-可得3x =，故选B 。 2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ） 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={ } 22 (,)1x y x y +=│ ，B ={} (,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ． 1 2 B ． 2 C ．2 D ．2 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5 的展开式中x 3 y 3 的系数为 A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80 5．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5 2y x =,且与椭圆22 1123 x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ． 22 1810 x y -= B ． 22 145x y -= C ．22 154x y -= D ．22 143 x y -= 6．设函数f (x )=cos(x + 3 π )，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83 π 对称 C ．f (x +π)的一个零点为x = 6π D ．f (x )在( 2 π ,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4 9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8 10．已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直 径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A 6 B 3 C ． 23 D ． 13 11．已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = 2018年福建高考数学试题（理） 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ） .23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i + 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ） .A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱 3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) .8A .10 B .12 C .14 D 4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ） 5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ） .18A .20 B .21 C .40D 6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ?的面积为12 ”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件 7.已知函数()???≤>+=0 ,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ） A.()x f 是偶函数 B. ()x f 是增函数 C.()x f 是周期函数 D.()x f 的值域为[)+∞-,1 8.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e 9.设Q P ,分别为()262 2=-+y x 和椭圆11022 =+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.26 10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮 2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1） 数学（文史类） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ??的最小偶数n ，那么在和两个空白框 中，可以分别填入 A ．A >1000和n =n +1 B ．A >1000和n =n +22017年全国高考理科数学试题及标准答案全国卷1
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