从帕斯卡归纳概率逻辑到非帕斯卡归纳概率逻辑的理论轨迹

从帕斯卡归纳概率逻辑到非帕斯卡归纳概率逻辑的理论轨迹

【摘要】本文在对归纳逻辑基本思想进行概述的基础上，通过阐释现代归纳逻辑的诸多问题如休漠问题、经验主义概率归纳逻辑、逻辑主义概率归纳逻辑、主观主义概率归纳逻辑、贝叶斯定理、无差别原则、相关变项法的发展，重点对帕斯卡概率归纳逻辑和非帕斯卡概率归纳逻辑的发展脉络进行简要论述，通过对其逻辑进程的探讨，展示出现代归纳逻辑的理论轨迹及其发展前景。

【关键词】归纳逻辑归纳概率逻辑帕斯卡概率归纳逻辑非帕斯卡概率归纳逻辑

一、概述

归纳逻辑是关于或然性推理的逻辑，或然性推理是这样一种推理：当其前提真时其结论很可能真但不必然真。现代归纳逻辑的显著特点就是对或然性推理加以系统化和定量化。本世纪二三十年代以后，随着数学概率论趋于成熟，概率归纳逻辑得以产生和发展，概率归纳逻辑是应用概率论来系统地研究和表述或然性推理的。本世纪七十年代前后，出现了一种非数学概率论的归纳逻辑理论，这种理论也被称为“非帕斯卡概率归纳逻辑。

凡属经典概率归纳逻辑的理论都满足数学概率论的三条公理即：（1）任何事件或命题的概率大于等于0，即P(A)≥0；（2）一个必然事件或命题的概率等于1；（3）对于任何两个互斥的事件或命题A和B，P(AUB)=P(A)+P(B)。任一事件或命题A的概率P(A)叫做“基本概率”。概率公理系统的逻辑功能就是在给定基本概率之后推导出有关的其他概率来。确定基本概率的原则属于归纳原则，它与概率公理系统一道构成一个扩充的系统，这个扩充的系统就是概率归纳逻辑系统。采取不同的确定基本概率的原则以及对概率给以不同的解释就导致不同的概率归纳逻辑系统，进而导致不同的概率归纳逻辑学派，其中主要包括经验主义，逻辑主义和主观主义（即贝叶斯主义）。

二、帕斯卡归纳概率逻辑

数学概率概念的起源可追溯到17世纪数学家Pascal，数学概率又可称Pascal 概率，相应地经典归纳概率又可称为Pascal归纳概率逻辑。我们称建立在数学概率语义解释基础上的归纳概率逻辑为经典归纳概率逻辑。一旦某一种归纳方法给

中心极限定理及其应用论文

青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日

青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日

中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量

Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理及其应用

中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn（x）对于任意x满足 （5.7） 从定理1的结论可知，当n充分大时，有 或者说，当n充分大时，有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。 定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则

帕斯卡原理及其应用

帕斯卡原理及其应用 ?帕斯卡原理: 加在密闭液体上的压强，能够大小不变地被液体向各个方向传递，这个规律被称为帕斯卡原理。帕斯卡原理揭示了液体压强的传递规律，是许多液压系统和液压机工作的基础。如用于维修汽车的液压千斤顶(如图)，汽车的液压刹车系统，铲车等部用了液压技术。 液压机的工作原理如图所示，两个活塞，与同一容器的液体相接触。施加于小活塞的压强被液体传递给大活塞，大活塞便可以产生一个与其表面面积成正比的力。 ?帕斯卡: 帕斯卡发现了液体传递压强的基本规律，这就是著名的帕斯卡定律．所有的液压机械都是根据帕斯卡定律设计的，所以帕斯卡被称为“液压机之父”． 通过观察，帕斯卡设计了“帕斯卡球”实验，帕斯卡球是一个壁上有许多小孔的空心球，球上连接一个圆筒，筒里有可以移动的活塞．把水灌进球和筒里，向里压活塞，水便从各个小孔里喷射出来了，成了一支“多孔水枪”帕斯卡球的实验证明，液体能够把它所受到的压强向各个方向．通过观察发现每个孔喷出去水的距离差不多，这说明，每个孔所受到的压强都相同。 在初中阶段，液体压强原理可表述为：“液体内部向各个方向都有压强，压强随液体深度的增加而增大，同种液体在同一深度的各处，各个方向的压强大小相等； 不同的液体，在同一深度产生的压强大小与液体的密度有关，密度越大，液体的压强越大。” 特点：加在封闭液体上的压强能够大小不变地被液体向各个方向传递。同种液体在同一深度液体向各个方向的压强都相等。 裂桶实验： 帕斯卡在1648年表演了用一个著名的实验：他用一个密闭的装满水的桶，在桶盖上插入一根细长的管子，从楼房的阳台上向细管子里灌水。结果只到了几杯水，

桶就裂了，桶里的水就从裂缝中流了出来。原来由于细管子的容积较小，几杯水灌进去，其深度h很大。一个容器里的液体，对容器底部(或侧壁)产生的压力远大于液体自身所受的重力。

最新帕斯卡原理

1．帕斯卡原理（静压传递原理）（在密闭容器内，施加于静止液体上的压力将以等值同时传到液体各点。） 2．系统压力（系统中液压泵的排油压力。） 3．运动粘度（动力粘度μ和该液体密度ρ之比值。） 4．液动力（流动液体作用在使其流速发生变化的固体壁面上的力。） 5．层流（粘性力起主导作用，液体质点受粘性的约束，不能随意运动，层次分明的流动状态。） 6．紊流（惯性力起主导作用，高速流动时液体质点间的粘性不再约束质点，完全紊乱的流动状态。） 7．沿程压力损失（液体在管中流动时因粘性摩擦而产生的损失。） 8．局部压力损失（液体流经管道的弯头、接头、突然变化的截面以及阀口等处时，液体流速的大小和方向急剧发生变化，产生漩涡并出现强烈的紊动现象，由此造成的压力损失） 9．液压卡紧现象（当液体流经圆锥环形间隙时，若阀芯在阀体孔内出现偏心，阀芯可能受到一个液压侧向力的作用。当液压侧向力足够大时，阀芯将紧贴在阀孔壁面上，产生卡紧现象。） 10. 液压冲击（在液压系统中，因某些原因液体压力在一瞬间突然升高，产生很高的压力峰值，这种现象称为液压冲击。） 11. 气穴现象；气蚀（在液压系统中，若某点处的压力低于液压油液所在温度下的空气分离压时，原先溶解在液体中的空气就 分离出来，使液体中迅速出现大量气泡，这种现象叫做气穴现象。当气泡随着液流进入高压时，在高压作用下迅速破裂或急剧缩小，又凝结成液体，原来气泡所占据的空间形成了局部真空，周围液体质点以极高速度填补这一空间，质点间相互碰撞而产生局部高压，形成压力冲击。如果这个局部液压冲击作用在零件的金属表面上，使金属表面产生腐蚀。这种因空穴产生的腐蚀称为气蚀。） 12. 排量（液压泵每转一转理论上应排出的油液体积；液压马达在没有泄漏的情况下，输出轴旋转一周所需要油液的体积。） 13. 自吸泵（液压泵的吸油腔容积能自动增大的泵。） 14. 变量泵（排量可以改变的液压泵。） 15. 恒功率变量泵（液压泵的出口压力p与输出流量q的乘积近似为常数的变量泵。） 16. 困油现象（液压泵工作时，在吸、压油腔之间形成一个闭死容积，该容积的大小随着传动轴的旋转发生变化，导致压力冲 击和气蚀的现象称为困油现象。） 17. 差动连接（单活塞杆液压缸的左、右两腔同时通压力油的连接方式称为差动连接。） 18. 往返速比（单活塞杆液压缸小腔进油、大腔回油时活塞的运动速度v2与大腔进油、小腔回油时活塞的运动速度v1的比值。） 19. 滑阀的中位机能（三位滑阀在中位时各油口的连通方式，它体现了换向阀的控制机能。） 20. 溢流阀的压力流量特性（在溢流阀调压弹簧的预压缩量调定以后，阀口开启后溢流阀的进口压力随溢流量的变化而波动的性能称为压力流量特性或启闭特性。）

液压千斤顶帕斯卡原理

液压千斤顶帕斯卡原理 液压千斤顶又称油压千斤顶，是一种采用柱塞或液压缸作为刚性顶举件的千斤顶。简单起重设备一般只备有起升机构，用以起升重物。构造简单、重量轻、便于携带，移动方便。常用的简单起重设备有液压千斤顶、滑车和卷扬机等。 千斤顶是一种起重高度小的最简单的起重设备。它有机械式和液压式两种。机械式千斤顶又有齿条式与螺旋式两种，由于起重量小，操作费力，一般只用于机械维修工作，在修桥过程中不适用。液压工程千斤顶结构紧凑，工作平稳，有自锁作用。 通用液压千斤顶适用于起重高度不大的各种起重作业。它由油室1、油泵2、储油腔3、活塞4、摇把5、油阀6等主要部分组成。 专用液压千斤顶使专用的张拉机具，在制作预应力混凝土构件时，对预应力钢筋施加张力。专用液压千斤顶多为双作用式。常用的有穿心式和锥锚式两种。 其工作原理。张拉时，打开前后油嘴，从后油嘴向张拉工作油室内供油，张拉缸缸体向后移动。由于缸索锚固在千斤顶层部的工具锚上，因此千斤顶通过工具将钢索拉长。 当钢索张拉到需要的长度时，关闭后油嘴，从前油嘴进油至顶压缸内，使顶压缸活塞向前伸移而顶住锚塞，并将锚塞压入锚圈中，从而使钢索锚固。打开后油嘴并继续从前油嘴进油，这时张拉缸向前移动，缸内油液回流。最后打开前油嘴，使顶压缸内的油液回流，顶压活塞由于复位弹簧的作用而复还原位。超薄液压千斤顶. 小千斤顶有外壳、大活塞、小活塞、扳手、油箱等部件组成。工作原理是扳手往上走带动小活塞向上，油箱里的油通过油管和单向阀门被吸进小活塞下部，扳手往下压时带动小活塞向下，油箱与小活塞下部油路被单向阀门堵上。 小活塞下部的油通过内部油路和单向阀门被压进大活塞下部，因杠杆作用小活塞下部压力增大数十倍，大活塞面积又是小活塞面积的数十倍，有手动产生的油压被挤进大活塞，有帕斯卡原理知大小活塞面积比与压力比相同。 这样一来，手上的力通过扳手到小活塞上增大了十多倍(暂按15倍)，小活塞到大活塞力有增大十多倍(暂按15倍)，到大活塞（顶车时伸出的活动部分）力量=15X15=225倍的力量了，假若手上用每20公斤力，就可以产生20X225=4500公斤（4.5吨）的力量。工作原理就是如此。当用完后，有一个平时关闭的阀门手动打开，油就靠汽车重量将油挤回油箱。 注意事项： 1：液压千斤顶在顶升作业时，要选择合适吨位的液压千斤顶：承载能力不可超负荷，选择液压千斤顶的承载能力需大于重物重力的1.2倍；液压千斤顶最低高度合适，为了便于取出，

帕斯卡原理及其发现过程

定义 帕斯卡定律：加在密闭液体任一部分的压强，必然按其原来的大小，由液体向各个方向传递。 原理的发现 发现定理1651~1654年，帕斯卡研究了液体静力学和空气的重力的各种效应。经过数年的观察、实验和思考，综合成《论液体的平衡和空气的重力》一书。提出了著名的帕斯卡定律（或称帕斯卡原理），即；加在密闭液体任何一部分上的压强，必然按照其原来的大小由液体向各个方向传递。 原理的意义 著名科学史家沃尔夫称，帕斯卡的这一发现是17世纪力学发展的一个重要里程碑。帕斯卡在此书中详细讨论了液体压强问题。在第一章中，帕斯卡叙述了几种实验，它们的结果表明，任何水柱，不论直立或倾斜，也不论其截面积的大小，只要竖直高度相同，则施加于水柱底部的某一已知面积的活塞上的力也相同。这一个力实际上是液体所受的重力。书中详细叙述了密封容器中的流体能传递压强，讨论了连通器的原理。帕斯卡利用一个充水的容器，它有两个圆筒形的出口，除此之外，其他部分都封闭。两个出口的截面积相差100倍，在每一个出口的圆筒中放入一个大小刚好适合的活塞，则小活塞上一个人施加的推力等于大活塞上100人所施加的推力，因而可以胜过大活塞上99个人施加的推力，不管这两个出口大小的比例如何，只要施加于两个活塞上的力和两个出口的大小成比例，则水的平衡就可以实现。帕斯卡在书中一一叙述了密闭液体、压强不变、向各方传递等帕斯卡定律的基本点。 定律的发现 此书是帕斯卡于1653年写成的，但直到他逝世后的第二年----1663年才首次面世。帕斯卡是在大量观察、实验的基础上，又用虚功原理加以；证明才发现了帕斯卡定律的。在帕斯卡做过的大量实验中，最著名的一个是这样的：他用一个木酒桶，顶端开一个孔，孔中插接一根很长的铁管子，将接插口密封好。实验的时候，酒桶中先权满水，然后慢慢地往铁管子里注几杯水，当管子中的水柱高达几米的时候，就见木桶突然破裂，水从裂缝中向四面八方喷出。帕斯卡定律的发现，为流体静力学的建立奠定了基础。 发展 帕斯卡还在这一定律的基础上提出了连通器的原理和后来得到广泛应用的水压机的最初设想。他又指出器壁上所受的、由于液体重力而产生的压强，仅仅与深度有关；他用实验，并从理论上解释了与此有关的液体静力学佯谬现象。他在一周之内就突击读完了欧几里得《几何原本》的前六本，并还能把它应用于力学。1653年，他进入牛津大学里奥尔学院做工读生。他没有取得学士学位，而是在1663年获得文学硕士学位。 应用 帕斯卡定律是流体（气体或液体）力学中，指封闭容器中的静止流体的某一部分发生的压强变化，将毫无损失地传递至流体的各个部分和容器壁。帕斯卡首先阐述了此定律。压强等于作用力除以作用面积。根据帕斯卡原理，在水力系统中的一个活塞上施加一定的压强，必将在另一个活塞上产生相同的压强增量。如果第二个活塞的面积是第一个活塞的面积的10倍，那么作用于第二个活塞上的力将增大为第一个活塞的10倍，而两个活塞上的压强仍然相等。水压机就是帕斯卡原理的实例。它具有多种用途，如液压制动等。帕斯卡还发现：静止流体中任一点的压强各向相等，即该点在通过它的所有平面上的压强都相等。这一事实也称作帕斯卡原理（定律）。

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理及其意义

题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，

大数定理与中心极限定理的关系及应用

本科生毕业论文（设计） 题目大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名学号 院系数学科学学院 专业数学与应用数学 指导教师职称 2013年4 月16 日 曲阜师范大学教务处制

目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)

大数定律与中心极限定理的 关系及应用 摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。 而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分

斯卡定理-帕普斯定理的证明技巧

用面积法证明Pascal 定理的方法与技巧 [帕斯卡定理] 如图，用一条6-闭折线依次连接圆上的六个点A B C D E F 、、、、、，其中 AB DE G BC EF H CD FA I ，，，则G H I 、、三点共线。 E F [证1]首先，连接GI ，设'GI BC H GI EF H ，；

E F 图（1）

E F 图（2） 顺次连接圆上的6个相邻点，得到圆的接凸六边形AEBDFC；

F

E F 连接G I 、与圆周上的六点A B C D E F 、、、、、，设 ' ' 'GH GH HI H I ，，则 'GBC GEF IBC IEF S S GH HI S S ，，从而'' ' GBC IEF IBC GEF S S GH H I HI GH S S 。 GBC IEF GBC IEF IFC GBE IFC GBE IBC GEF IFC GBE IBC GEF GEF IBC S S S S S S S S BG BC FI FE S S S S S S FI FC BG BE S S BG BC FI FE CI CF EG EB BG FI FC BG BE EG EF CI CB BC FI FC FI FE BG BE CI CF EG EF EG EB CI CB 1， 可知， 1'，即得 '1'GH H I HI GH ，即' 'GH GH HI H I 。 由于'H H 、都是线段GI 上的点，可知'H H 、同向分线段GI 的比相等， 故'H H 、为同一点（重合），从而证明了G H I 、、三点共线。

第2课时 液体压强的应用、帕斯卡定律

第2课时液体压强的应用、帕斯卡定律 【教学目标】 一、知识与技能 1.认识连通器，了解连通器的原理和在生产、生活中的应用． 2.了解帕斯卡定律及其应用. 3.通过本课时的学习，进一步巩固液体压强的综合运用． 二、过程与方法 1．能联系生活实际，感知连通器在生活中的应用． 2.通过实例帮助学生理解液体的压力和流体的重力之间的关系，液体压强和液体传递压强的区别． 三、情感、态度与价值观 通过对三峡船闸的认识，培养学生的民族自信心和自豪感． 【教学重点】 连通器的概念和应用． 【教学难点】 液体的压力和流体的重力之间的关系． 【教具准备】 多媒体课件、连通器、注射器三只、墨水、三通管、乳胶管、砝码. 【教学课时】 1课时 【巩固复习】 教师引导学生复习上一节内容，并讲解学生所做的课后作业（教师可针对性地挑选部分难题讲解），加强学生对知识的巩固. 【新课引入】 教师出示茶壶、水位计和乳牛自动喂水器的图片，引导学生思考它们在结构上有什么相同点？

学生观察后积极发言：茶壶、水位计和乳牛自动喂水器，它们各自的底部都互相连通. 师像这样上端开口，下端连通的容器叫做连通器，下面我们就一起来学习它. 【课堂导学】 【指导预习】 阅读课本P152－P154页的文字内容和插图，在基本概念、定义、规定及规律上，用红笔做上记号，并完成学案中“课前预习”部分.各小组交流讨论，提出预习疑问. 【交流展示】 1.小组代表举手发言，报告“课前预习”答案，教师评价订正. 2.学生质疑，教师指导释疑. 【拓展探究】 知识点1连通器 师1.演示课本图8-22连通器的实验，引导学生观察，并回答连通器的原理是什么？ 生：1.当连通器中装有同种液体且液体不流动时，各容器中液面保持相平. 师2.课本图8-23中左管盛水，右管盛煤油，两管液面是否一样平？为什么？ 生：2.两管液面不一样平，平衡时F 左＝F 右 ，p 左 ＝p 右 ，由于ρ 水 >ρ 油 ，由p ＝ρgh可知h 水

大数定律及中心极限定理 应用题

大数定律与中心极限定理 应用题 1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差 为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？ 解 设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ，则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ，5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设 汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随 机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？ 解 设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种 蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率 （2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。

帕斯卡原理

1. 帕斯卡原理（静压传递原理）（在密闭容器内，施加于静止液体上的压力将以等值同时传到液体各点。） 2. 系统压力（系统中液压泵的排油压力。） 3. 运动粘度（动力粘度口和该液体密度p之比值。） 4. 液动力（流动液体作用在使其流速发生变化的固体壁面上的力。） 5. 层流（粘性力起主导作用，液体质点受粘性的约束，不能随意运动，层次分明的流动状态。） 6. 紊流（惯性力起主导作用，高速流动时液体质点间的粘性不再约束质点，完全紊乱的流动状态。） 7. 沿程压力损失（液体在管中流动时因粘性摩擦而产生的损失。） 8. 局部压力损失（液体流经管道的弯头、接头、突然变化的截面以及阀口等处时，液体流速的大小和方向急剧发生变化，产 生漩涡并出现强烈的紊动现象，由此造成的压力损失） 9. 液压卡紧现象（当液体流经圆锥环形间隙时，若阀芯在阀体孔内出现偏心，阀芯可能受到一个液压侧向力的作用。当液压 侧向力足够大时，阀芯将紧贴在阀孔壁面上，产生卡紧现象。） 10. 液压冲击（在液压系统中，因某些原因液体压力在一瞬间突然升高，产生很高的压力峰值，这种现象称为液压冲击。） 11. 气穴现象；气蚀（在液压系统中，若某点处的压力低于液压油液所在温度下的空气分离压时，原先溶解在液体中的空气就 分离出来，使液体中迅速出现大量气泡，这种现象叫做气穴现象。当气泡随着液流进入高压时，在高压作用下迅速破裂或急 剧缩小，又凝结成液体，原来气泡所占据的空间形成了局部真空，周围液体质点以极高速度填补这一空间，质点间相互碰撞 而产生局部高压，形成压力冲击。如果这个局部液压冲击作用在零件的金属表面上，使金属表面产生腐蚀。这种因空穴产生 的腐蚀称为气蚀。） 12. 排量（液压泵每转一转理论上应排出的油液体积；液压马达在没有泄漏的情况下，输出轴旋转一周所需要油液的体积。） 13. 自吸泵（液压泵的吸油腔容积能自动增大的泵。） 14. 变量泵（排量可以改变的液压泵。） 15. 恒功率变量泵（液压泵的出口压力p与输出流量q的乘积近似为常数的变量泵。） 16. 困油现象（液压泵工作时，在吸、压油腔之间形成一个闭死容积，该容积的大小随着传动轴的旋转发生变化，导致压力冲 击和气蚀的现象称为困油现象。） 17. 差动连接（单活塞杆液压缸的左、右两腔同时通压力油的连接方式称为差动连接。） 18. 往返速比（单活塞杆液压缸小腔进油、大腔回油时活塞的运动速度V2与大腔进油、小腔回油时活塞的运动速度v i的比值。） 19. 滑阀的中位机能（三位滑阀在中位时各油口的连通方式，它体现了换向阀的控制机能。） 20. 溢流阀的压力流量特性（在溢流阀调压弹簧的预压缩量调定以后，阀口开启后溢流阀的进口压力随溢流量的变化而波动的 性能称为压力流量特性或启闭特性。） 21. 节流阀的刚性（节流阀开口面积A 一定时，节流阀前后压力差△ p的变化量与流经阀的流量变化量之比为节流阀的刚性T 22. 节流调速回路（液压系统采用定量泵供油，用流量控制阀改变输入执行元件的流量实现调速的回路称为节流调速回路。） 23. 容积调速回路（液压系统采用变量泵供油，通过改变泵的排量来改变输入执行元件的流量，从而实现调速的回路称为容积调速回 路。） 24. 功率适应回路（负载敏感调速回路）（液压系统中，变量泵的输出压力和流量均满足负载需要的回路称为功率适应回路。） 25. 速度刚性（负载变化时调速回路阻抗速度变化的能力。 26. 相对湿度（在某一确定温度和压力下，其绝对湿度与饱和绝对湿度之比称为该温度下的相对湿度。 27. 气动元件的有效截面积（气体流过节流孔时，由于实际流体存在粘性，其流束的收缩比节流孔实际面积还小，此最小截面积称为有 效截面积） 28. 马赫数（气流速度v与当地声速c之比称为马赫数。）

帕斯卡定理的几何演示

帕斯卡定理的几何演示 下载该课件 功能：随意改变圆内接六边形的形状，验证帕斯卡定理。 1.封面的制作。 打开几何画板，选择“文本工具”（工具栏中画有手和“A”的按钮），在绘图板中，按住鼠标左键，拖动鼠 出现一个文本输入框，输入“帕斯卡定理”，选中这五个字，选择“显示”->“字型”->“24”。同样另建一个文本输入“（几何演示）”，将字型设为12。再建一个文本框，输入“定理内容：圆内接六边形三组对边延长线个交点共线”，将字型设为12。 按住shift键，同时选中三个文本框，选择“编辑”->“操作类按钮”->“隐藏/显示”，用“文本工具”将“显示”改显示封面”，将“隐藏”改成“隐藏封面”（如图1）。 图1 帕斯卡定理的封面 选中“选择箭号工具”，双击“隐藏封面”按钮，将几个文本框隐藏。 2.内容的制作。 ?几何画板简介 ?三角形中线、角平 分线和高线的画法 ?帕斯卡定理的几 何演示 ?椭圆的画法（一） ?椭圆的画法（二） ?椭圆的画法（三） ?椭圆的画法（四） ?椭圆的画法（五） ?三角形外接圆记 录的生成 ?循环的使用 ?几种简单方法制 作的图像变化效果 ?复杂动画的制作 ?图像的飞入 选取工具栏中的“圆规工具”，作一圆。用“选择箭号”工具选中圆周上的点，选择“显示”->“隐藏点”（或Ctrl+H 键），将圆周上的点隐藏。 用“点工具”在圆周上任意选取六个点，将“直尺工具”设为“线段”（点击“直尺工具”，按住鼠标左键不放，向右拖动鼠标，此时会出现三个按钮，分别为“线段”、“射线”和“直线”），选中圆周上相邻的两个点，按Ctrl+L 键用线段连接，这样就可以作出圆的内接六边形（如图2）。 图2 圆内接六边形 将“直尺工具”设为“直线”，选择“显示”->“线型”->“虚线”，选中一条边上的两个点，按Ctrl+L键作出过两点的直线，同样作出过对边上两点的直线。选中这两条直线，按Ctrl+I键，作出两条直线的交点。用“文本工具”点击该点，设标签为A（如图3）。

中心极限定理证明

中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此

故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有的把握使出现六点的概率与之差不超过,问需要抛掷多少次 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多. 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布: 的随机变量.求. 解:

帕斯卡定律

帕斯卡定律 ［教学目标］ 1．知识和技能 （1）知道液体（或气体）能够传递压强。 （2）理解帕斯卡定律。 2．过程和方法 （1）通过注射器的实验感受液体对压强的传递。 （2）通过帕斯卡球和实验3研究液体传递压强的规律。 3．情感、态度和价值观 （1）通过液体传递压强规律的过程，培养学生的观察和分析能力。 （2）通过对实验的分析，培养学生能用简洁、正确的语言表述结论。 （3）通过对帕斯卡的事迹介绍，培养学生树立正确的科学观。 ［教学重点］ 帕斯卡定律 ［教学准备］ 注射器、帕斯卡球、烧杯、玻璃管、水、橡皮球。 ［教学设计思路］ 本节课的主要内容是：研究密闭液体传递压强的规律——帕斯卡定律。 本节课的基本思路是：以实验为基础，通过分析，揭示密闭液体（或气体）传递压强的规律，即帕斯卡定律。 本节课要突出的重点是帕斯卡定律。首先通过实验1，让学生认识液体能够传递压强；通过实验2和3，揭示密闭液体能够向各个方向传递压强并且压强大小不变，进而建立帕斯卡定律。通过例题巩固帕斯卡定律的内容。 ［教学流程］

［教学过程设计］ 一、准备知识 1、压力：垂直作用在物体表面上的力叫做压力。 2、压强：单位面积上所受的压力叫压强，压强是用来反映压力作用效果的物理量。 3、如右图，重为G，侧面积为S的正方体木块，在压力 F的作用下静止在竖直墙面上，求墙面受到的压力和压强？ F 解：F’= F；P = F’/ S = F / S 二、新课 1、帕斯卡定律 实验1： 在注射器内灌一些水，当一手指按压注射器活塞时，堵着出口端的另一手指能感受到水的压力吗？ 结论1： 水（或其他液体）能够传递压强。 实验2： 帕斯卡球实验。在球内注满水，给球内的水施加一个压强，要求学生观察实验现象，并思考球内的水，能把受到的压强向什么方向传递。 结论2： 球内的水能将它在某一处受到的压强向各个方向传递。这是液体具有流动性的缘故。 实验3 ： 在一玻璃瓶中倒入适量的水，用三根玻璃管穿过软木塞深入水中，另用一根玻璃管穿过软木塞插入瓶内空气中，它的一端连接一个能压气的橡皮球。用石蜡封住瓶口，使瓶内的水密闭。 实验时，用手压橡皮球，给瓶内充气，使水面产生一个压强。要求学生观察三根玻璃管中液面的变化情况，并分析原因。 结论3： 加在密闭液体上的压强，能被液体向各个方向传递，且被传递的压强大小相等。 这是法国科学家帕斯卡通过反复的研究，发现的规律，所以叫帕斯卡定律。帕斯卡定律内容：

中心极限定理的应用

毕业论文 题目中心极限定理的应用 学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日

中心极限定理的应用 张世军 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000） 指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation