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Chapitre1

Bases mathématiques

L’analyse des systèmes mécaniques va requérir l’utilisation de plusieurs outils mathématiques dont il vaêtre utile de rappeler les notions,voire les notations qui peuventêtre légèrement di?érentes en mécanique.

1.1Les repères

La nature du mouvement d’un solide dépend de son observateur.Un exemple parlant est le mouvement de la Terre:

–pour un observateur regardant la Terre depuis le Soleil,la Terre tourne autour du Soleil en parcourant une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers

–pour un observateur regardant la Terre en se trouvant sur sa surface,la Terre est?xe

Il convient donc de?xer un repère dans lequel la position d’un solide et son mouvement pourront être décrits de manière unique.

1.1.1Dé?nition

1.1.2Les vecteurs

Les vecteurs vontêtre un outil récurrent.Tout d’abord,d’après la dé?nition1,ils permettent de construire les repères,et de plus,nous allons les utiliser:

–en cinématique pour décrire la position,la vitesse et l’accélération des solides

–en statique pour modéliser les actions mécaniques

–en dynamique pour exprimer les composantes de résultante et de moment des torseurs ciné-tiques et dynamiques

Dé?nition

Nous allons nous intéresser aux vecteurs des espaces vectoriels euclidiens de dimension3,ce qui va nous permettre de dé?nir un produit scalaire.Ces vecteurs peuvent ainsiêtre représentés par des ?èches,ce qui va s’avérer très commode pour dessiner des forces ou des vecteurs vitesse.

Direction des vecteurs

Lorsque l’on parle de vecteurs en mathématiques,la direction d’un vecteur est l’une de ses trois caractéristiques,les deux autresétant sa norme et son sens.Le terme de direction est alors associéàun ensemble de droites a?nes parallèles non orientées,et le sens permet de conna?tre l’orientation du vecteur.

En mécanique,cette notion de sens est essentielle puisque l’orientation des vecteurs que nous manipulerons aura un impact sur le résultat de l’analyse,et la notion de direction sans sens n’a donc,sans jeu de mot,aucun sens.C’est pourquoi,en mécanique,nous allons orienter les directions.

Ainsi,dans le cas oùla direction(au sens mathématique du terme)d’un vecteur sera connue, nous tracerons une?èche pour matérialiser et orienter cette direction,et la résolution du problème nous permettra de trouver un résultat avec un signe.C’est ce signe qui nous permettra de valider ou non l’orientation:

–si le signe est positif,le résultat sera donc dans le sens dé?ni par la?èche

–si le signe est négatif,le résultat sera donc dans le sens contraireàcelui qui aétéchoisi

1.1.3Sens trigonométrique

En?n,pour pouvoir orienter l’espace,il vaêtre nécessaire de dé?nir un sens pour les répères pour pouvoir di?érencier les deux repères de l’espace de la Figure1.1.

Nous allons tout d’abord devoir dé?nir un axe par rapport auquel dé?nir ce sens.

Figure1.1–Deux repères(O, x, y, z)dans l’espace

Si l’on reprend,par exemple,les deux repères de la Figure1.1et que l’on considère l’axe commun (O, z)comme axe de rotation,on constate alors que seuls deux sens de rotation sont possibles autour de cet axe:

–il est possible de passer de xà y en laissant l’axe(O, z)sur la gauche

–il est possible de passer de xà y en laissant l’axe(O, z)sur la droite

repère.

C’est ce c?tésur lequel on laisse l’axe de rotation qui va nous serviràdé?nir le sens d’un

1.1.4Base vectorielle directe

Le choix d’une direction et du sens trigonométrique permet de construire une base orthonormée directe,très souvent notée( x, y, z)en mécanique.

Pour une base vectorielle orthonormée directe( x, y, z),le sens direct se dé?nit très simplement par permutation circulaire:

–autour de l’axe x,le sens direct est dé?ni en allant de y vers z,

–autour de l’axe y,le sens direct est dé?ni en allant de z vers x,

–autour de l’axe x,le sens direct est dé?ni en allant de x vers y.

Nous pouvons ainsi di?érencier les deux repères de la Figure1.1:le repère(O, x, y, z)de la?gure de gauche est direct,alors que le repère(O, x, y, z)de la?gure de droite est indirect.

Par la suite,nous n’utiliseront que des bases orthonormées directes.On peut noter qu’une telle base orthonormée directe nous permet d’orienter l’espace euclidien de dimension3,et donc de dé?nir un produit vectoriel.

1.2Les?gures de changement de base

Un angle est dé?ni entre deux vecteurs:c’est donc une construction plane dans le plan vectoriel dé?ni par les deux vecteurs.

Il est ainsi possible de dé?nir un angle entre deux bases vectorielles ayant un vecteur commun. Ce vecteur commun est le vecteur orthogonal au plan contenant l’angleàdé?nir.

Supposons,par exemple,que l’on souhaite dé?nir un angleαentre deux bases vectorielles ( x1, y1, z1)et( x2, y2, z2)ayant pour vecteur commun z1= z2.

Une?gure plane,ou?gure de changement de base,su?tàdé?nir l’angleα.Comme les vecteurs z1et z2sont identiques,cela implique queα=( x1, x2)=( y1, y2).La?gure de changement de base va donc contenir les vecteurs x1, x2, y1, y2,et le vecteur z1= z2est orthogonal au plan de la feuille.

Deux choix sont ensuite possibles:

–choisir une normale sortante(le vecteur z1= z2sort de la feuille)

–choisir une normale entrante(le vecteur z1= z2entre dans la feuille)

Par la suite,nous retiendrons la normale sortante,de sorte que le plan soit orientédans le sens trigonoméhttps://www.wendangku.net/doc/0611480704.html,?gure de dé?nition de l’angleαest donc la Figure1.2.

Figure1.2–La?gure de changement de base permettant de dé?nir l’angleαAinsi,selon le type de mouvement d’un solide,il sera possible de dé?nir un ou plusieurs angles relatifsàune ou plusieurs bases associées au mouvement,et ainsi di?érents systèmes de coordon-nées.Ces?gures de changements de base permettront ensuite d’exprimer deséquivalences entre les

di?érents systèmes de coordonnées.

1.3Les di?érents systèmes de coordonnées

L’espace géométrique est un espace de points.Le repère d’espace de référence est un repère orthonormédirect construit àpartir d’un point particulier et d’une base vectorielle orthonormée directe.Les axes du repère sont les droites issues du point origine du repère et sont orientées par les vecteurs de la base.

Soit O le point origine du repère de référence ( x , y , z ),et soit P le point courant que l’on veut repérer.

1.3.1Coordonnées cartésiennes (x,y,z )

En coordonnées cartésiennes,la position du point P est exprimée àl’aide de ses projections orthogonales x P ,y P ,et z P sur les trois axes du repère de référence,comme illustrésur la Figure 1.3.Les coordonnées cartésiennes sont donc trois longueurs algébriques.Le vecteur position ??→OP peut alors être exprimépar :??→OP =x P x +y P y +z P z

Figure 1.3–Coordonnées cartésiennes du point P

1.3.2Coordonnées cylindriques (r,θ,z )

Les coordonnées cylindriques sont particulièrement adaptées lorsque le point P appartient àun solide en rotation autour d’un axe ?xe (par exemple,(O, z )).La position du point P est alors exprimée àl’aide :

–de la distance r P entre O et le projetéorthogonal P de P sur le plan (O, x , y )

–de l’angle θP =( x ,??→OP )

–de la projection orthogonale z P de P sur (O, z )

La détermination des coordonnées (r P ,θP ,z P )du point P est illustrée sur la Figure 1.4.

Figure 1.4–Coordonnées cylindriques du point P

Les coordonnées cylindriques sont constituées de deux longueurs algébriques (r P et z P )et d’un angle (θP ).Le vecteur position ??→OP peut alors être exprimépar :??→OP =r P u +z P z

oùle vecteur u est dé?ni àl’aide de l’angle θP sur la Figure 1.5de changement de base.

Figure 1.5–Figure de changement de base permettant de dé?nir u

1.3.3Coordonnées sphériques (r,θ,?)

Les coordonnées sphériques sont particulièrement adaptées lorsque le point P appartient àun solide en rotation autour d’un point ?xe (que nous considérerons ici être le point O).Elles constituent

une généralisation des coordonnées polaires du plan.

La position du point P est alors exprimée àl’aide :

–de la distance r P entre O et P

–de l’angle θP =( x , a )

–de l’angle ?P =( z , u )

La détermination des coordonnées (r P ,θP ,?P )du point P est illustrée sur la Figure 1.6.

Figure 1.6–Coordonnées sphériques du point P

Les coordonnées sphériques sont constituées d’une longueur algébrique (r P )et de deux angles (θP et ?P ).Le vecteur position ??→OP peut alors être exprimépar :??→OP =r P u

oùle vecteur u est dé?ni àl’aide des angles θP et ?P sur les ?gures de changement de base de la Figure 1.7.

Figure 1.7–Figures de changement de base permettant de dé?nir u

1.4Changement de repère et angles d’Euler (ψ,θ,?)

Dans la suite du cours,nous allons être amenés àétudier le mouvement relatif de repères les uns par rapport aux autres.Les angles d’Euler vont nous permettre d’étudier l’orientation relative de

ces repères.Ils doivent leur nom au mathématicien et physicien suisse Leonhard Paul Euler(Figure 1.8).

Figure1.8–Leonhard Paul Euler(1707-1783)

Ces trois angles vont nous permettre d’orienter une base vectorielle quelconque par rapportàune autreàl’aide de trois rotations successives:

–une première rotation,appelée précession,autour de l’un des trois vecteurs de la première base,

–une troisième rotation,appelée rotation propre,autour de l’un des trois vecteurs de la deuxième base,

–une deuxième rotation,appelée nutation,autour de l’un des deux vecteurs orthogonaux aux deux vecteurs précédemment choisis,ce vecteurétant appelévecteur nodal.

Les?gures de changement de base permettant d’expliciter ces rotations seront détaillées dans la section1.5.2,après que les rappels sur le produit vectoriel(nécessaire ici)aientétée?ectués.

1.5Opérations sur les vecteurs

Comme nous allonsêtre amenésàassocier des repères aux solides et que ces repères sont construits àl’aide de vecteurs,diverses opérations sur les vecteurs vont nousêtre nécessaires,opérations au sujet desquelles il convient d’e?ectuer quelques rappels.

1.5.1Produit scalaire

Comme nous travaillons dans des espaces vectoriels euclidiens de dimension3,il nous est possible de dé?nir un produit scalaire.

Le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique dé?nie positive.

En mécanique,nous allons cependant simpli?er la dé?nition6.En e?et,les vecteurs que nous allons manipuler seront exprimés dans des bases orthonormées,ce qui implique que les seuls produits scalaires que nous e?ectuerons seront des produits scalaires entre vecteurs de bases vectorielles or-thonormées,dont la norme vaut1.En reprenant la dé?nition6,nous aurons donc u1 = u2 =1, d’où:

u1· u2=cos( u1, u2),

l’angle( u1, u2)pouvantêtre déterminéàpartir des?gures de changement de base.

Ainsi,par exemple,dans le cas de la?gure de changement de base de la Figure1.5,nous pouvons déterminer que:

u· x=cos( u, x)=cosθP

u· y=cos( u, y)=cos π2?θP =sinθP

1.5.2Produit vectoriel

Comme nous pouvons orienter les espaces vectoriels euclidiens de dimension3àl’aide de bases, il nous est possible de dé?nir un produit vectoriel.

Le produit vectoriel est un produit distributif anticommutatif.

Làencore,comme nous allons utiliser le plus souvent des vecteurs unitaires,cette dé?nition pourraêtre simpli?ée en:

u1∧ u2=sin( u1, u2) n

Ainsi,en reprenant la?gure de changement de base de la Figure1.5,nous pouvons déterminer que:

u∧ x=?sin( u, x) z=?sinθP z

u∧ y=?sin( u, y) z=?sin π2?θP z=?cosθP z

Pour rappel,il est possible de déterminer assez facilement les produits vectoriels entre vecteurs d’une même base orthonormée directe en faisant des permutations circulaires.Ainsi,dans la base orthonormée directe( x, y, z),

x∧ y= z

y∧ z= x

z∧ x= y

Réciproquement,le produit vectoriel permet de construire des trièdres directs puisque,pour tous vecteurs orthogonaux u1et u2,la base( u1, u2, u1∧ u2)est directe.

Application du produit vectoriel aux angles d’Euler

Il nous est ainsi possible de reprendre le cas des angles d’Euler.Considérons deux bases ortho-normées directes( x1, y1, z1)et( x2, y2, z2)comme sur la Figure1.9.

Figure1.9–Comment orienter la base( x2, y2, z2)par rapportàla base( x1, y1, z1)?

Considérons que la précession est e?ectuée autour de z1,et que la rotation propre est e?ectuée autour de z2.Le vecteur nodal n est donc orthogonalà z1et z2et dé?ni par:

z1∧ z2

= z1∧ z2

Il est ensuite possible de décomposer les di?érentes rotations pour passer de la base( x1, y1, z1)àla base( x2, y2, z2):

–la précession(1ère rotation)se fait autour de z1,et la nutation(2e rotation)doit se faire autour de n,donc la précession doit faire passer de x1à n et l’on a donc( x1, n)=ψ:on passe de la base( x1, y1, z1)àla base( n, z1∧ n, z1),

–la nutation(2e rotation)se fait autour de n,et la rotation propre(3e rotation)doit se faire autour de z2,donc la nutation doit faire passer de z1à z2et l’on a donc( z1, z2)=θ:on passe de la base( n, z1∧ n, z1)àla base( n, z2∧ n, z2),

–la rotation propre est la dernière rotation:elle se fait autour de z2et fait passer de la base ( z2, n, z2∧∧ n)àla base( z2, x2, y2),on a donc( n, x2)=?.

Les?gures de changement de base dé?nissant les trois angles d’Euler sont présentées en Figure 1.10,et la?gure représentant les di?érentes bases est présentée en Figure1.11.

Figure1.10–Figures de changement de base permettant de dé?nir les trois angles d’Eulerψ,θet ?

Figure1.11–( x2, y2, z2)est orientée par rapportà( x1, y1, z1)grace aux angles d’Euler

Les trois angles d’Euler portent le nom des rotations auxquelles ils sont associés:ψest l’angle de précession,θ,l’angle de nutation,et?,l’angle de rotation propre.

1.5.3Produit mixte

Le produit mixte va s’avérer très utile pour exprimer les lois d’entrée-sortie dans les coursàvenir.

On peut remarquer que:

–( u1, u2, u3)=det( u1, u2, u3)

–le produit mixte est donc invariant par permutation circulaire sur les vecteurs:( u1, u2, u3)= ( u2, u3, u1)=( u3, u1, u2).

–si deux des trois vecteurs sont colinéaires,le produit mixte est nul

Ces propriétés vont nous permettre de simpli?er les calculs.Ainsi,si( x1, y1, z1)est une base orthonormée directe,le produit mixte( x1∧ y2)· z1peutêtre simpli?écomme suit:

( x1∧ y2)· z1=( z1∧ x1)· y2= y1· y2

1.5.4Double produit vectoriel

Le double produit vectoriel est,comme son nom l’indique,une expression du type

u1∧( u2∧ u3)

C’est un vecteur qui présente la particularitéd’être inclus dans le plan( u2, u3)puisqu’il vaut:

u1∧( u2∧ u3)=( u1· u3) u2?( u1· u2) u3(1.1) Le double produit vectoriel va s’avérer utile pour décomposer un vecteur ou pour résoudre des équations vectorielles du type a∧ x= c.Par exemple,si l’on souhaite décomposer un vecteur quelconque U en la somme d’un vecteur d’un plan quelconque P et d’un vecteur portépar la normale nàce plan,on peut remarquer que:

n∧( U∧ n)=( n· n) U?( n· U) n

= U?( U· n) n

et on peut donc en déduire la décomposition de U

suivante : U = n ∧( U ∧ n )+( U · n ) n (1.2)

oùle vecteur n ∧( U ∧ n )appartient au plan P puisque n est orthogonal àP et U ∧ n est donc inclus

dans P.

De même,il est possible de déterminer les vecteurs x solutions d’équations du type a ∧ x = c par application du double produit vectoriel.Pour obtenir x dans le membre de gauche,il su?t d’e?ectuer le produit vectoriel par le vecteur a àgauche,ce qui donne :

a ∧( a ∧ x )= a ∧ c

?( a · x ) a ?( a · a ) x = a ∧ c

? x = a · x a · a a ?1 a 2

a ∧ c ? x =λ a ?1 a

2 a ∧ c ,λ∈R si a = 0.Réciproquement,si x =λ a ?1 a 2 a ∧ c ,

a ∧ x = a ∧ λ a ?1 a 2

a ∧ c ? a ∧ x =?1 a 2

a ∧( a ∧ c )? a ∧ x =?1 a

2[( a · c ) a ?( a · a ) c ]? a ∧ x = c ? a · c a 2

a L’équation a ∧ x = c n’admet donc de solutions que si a est non nul et orthogonal à c .Les vecteurs x solutions sont alors de la forme

x =λ a ?1 a 2 a ∧ c ,λ∈R (1.3)

Remarque :Résoudre l’équation

a ∧ x = c s’appelle également e?ectuer la division vectorielle de c par a .

1.6Torseurs et opérations sur les torseurs

Nous allons par la suite rencontrer plusieurs champs de vecteurs qui peuvent être représentés par des torseurs.Nous allons donc rappeler ce que sont ces di?érents éléments et leurs propriétés.

1.6.1Champs de vecteurs

Il existe deux types particuliers de champs de vecteurs :

–les champs de vecteurs uniformes ,dont les vecteurs sont identiques en tout point àchaque instant (tout en pouvant être di?érents entre deux instants)

?A,B ∈E , u (A )= u (B )

–les champs de vecteurs équiprojectifs ,dont deux vecteurs en deux points ont même projection orthogonale sur la direction dé?nie par ces deux points

?A,B

∈E , u (A )·??→AB = u (B )·??→AB

1.6.2Torseurs

Ce terme de torseur vient de la forme remarquable d’un champ de vecteurs équiprojectif.Nous reviendrons sur ce point dans la section 1.6.5.

Une propriétédes torseurs est qu’il existe un vecteur que nous noterons r et qui permet de changer facilement de point sur le champ de vecteurs,selon la relation

u (B )= u (A )+ r ∧??→AB (1.4)

1.6.3Somme de deux torseurs

Soient deux champs de vecteurséquiprojectifs u1(M)et u2(M).Il est possible de construire un nouveau champ de vecteurs u(M)dé?nir par?M∈E, u(M)= u1(M)+ u2(M).Ce champ de vecteurs estégalementéquiprojectif,et seséléments de réduction peuventêtre déterminés simplement par:

r= r1+ r2

u(M)= u1(M)+ u2(M)

L’écriture torsorielle de la somme de ces deux champs de vecteurséquiprojectifs est alors

T=T1+T2

Remarque:Il faut bien garder en mémoire que l’on ne sait calculer la somme de deux torseurs que s’ils sont exprimés au même point.Si deux torseurs ne sont pas exprimés au même point,alors il faut e?ectuer un changement de point avant de pouvoir les ajouter.

1.6.4Comoment et automoment

Considérons deux champs de vecteurséquiprojectifs u1(M)et u2(M)dont on détermine les éléments de réduction en un même point A:

T1= r1 u1(A) A,T2= r2 u2(A

) A

Les deux torseurs donc on détermine le comoment doivent nécessairement être exprimés au même point.En revanche,le comoment de deux torseurs est un invariant,il ne dépend donc pas du point de réduction des torseurs.

Preuve :Exprimons les éléments de réduction des deux champs de vecteurs u 1(M )et u 2(M )au point B en fonction de leurs éléments de réduction au point A.D’après l’équation 1.4,on a :

u 1(B )= u 1(A )+ r 1∧??→AB u 2(B )= u 2(A )+ r 2∧??→AB

On peut maintenant calculer l’expression r 1· u 2(B )+ r 2· u 1(B )comme suit :

r 1· u 2(B )+ r 2· u 1(B )= r 1·( u 2(A )+ r 2∧??→AB )+ r 2·( u 1(A )+ r 1∧??→AB )? r 1· u 2(B )+ r 2· u 1(B )= r 1· u 2(A )+ r 2· u 1(A )+ r 1·( r 2∧??→AB )+ r 2·( r 1∧??→AB )

Nous avons vu que le produit mixte est invariant par permutation circulaire sur les vecteurs,donc

r 2·( r 1∧??→AB )= r 1·(??→AB ∧ r 2)=? r 1·( r 2∧??→AB ),

du fait que le produit vectoriel est anticommutatif.On a donc ?nalement :

r 1· u 2(B )+ r 2· u 1(B )= r 1· u 2(A )+ r 2· u 1(A ),

ce qui prouve bien que le comoment de deux torseurs est un invariant.

L’automoment d’un torseur T est donc égal àla moitiédu comoment du torseur T avec lui-mêhttps://www.wendangku.net/doc/0611480704.html,me le comoment est un invariant,la preuve que l’automoment est un invariant est donc évidente.

1.6.5Axe central d’un torseur

Pour un torseur àrésultante non nulle,il existe une droite particulière de l’espace pour laquelle le vecteur moment en tout point est colinéaire au vecteur résultante.

Considérons un torseur T d’éléments de réduction r et u (A ).Cherchons l’ensemble des points M tels que r ∧ u (M )= 0.D’après l’équation (1.4),on a

u (M )= u (A )+ r ∧??→AM

On a donc :

r ∧ u (M )= 0

? r ∧( u (A )+ r ∧??→AM )= 0? r ∧ u (A )+ r ∧( r ∧??→AM )= 0? r ∧( r ∧??→AM )=? r ∧ u (A )ce qui revient àrésoudre une équation du type a ∧ x = c comme nous l’avons vu dans la section

1.5.4.Nous avions vu qu’une telle équation admettait des solutions si a était non nul et orthogonal à c .Ici, r ∧ u (A )et r sont orthogonaux,il su?t donc que r soit non nul pour que l’équation admette des solutions r ∧??→AM .On a donc :

r ∧( r ∧??→AM )=? r ∧ u (A )?( r ·??→AM ) r ?( r · r )??→AM =? r ∧ u (A )

???→AM =λ r +1 r

2 r ∧ u (A ),λ∈R

La dé?nition de la notion d’axe central permet de mieux comprendre pourquoi les torseurs portent ce nom.En e?et,si l’on représente la répartition des vecteurs d’un champ équiprojectif autour de l’axe central,on obtient une répartition similaire àcelle de la Figure 1.12et qui donne une impression de torsion autour de l’axe central :

On peut constater que :

–l’axe central du torseur est orientépar sa résultate

–par dé?nition de l’axe central,tous les points de l’axe central ont le même moment,appelémoment central ,qui est colinéaire àla résultante

–le vecteur moment est invariant le long de toute droite parallèle àl’axe central

–dans un plan perpendiculaire àl’axe central :

–le vecteur moment en un point Q quelconque est égal àla somme du moment central et d’une composante orthogonale proportionnelle àla distance de Q àl’axe central

–pour tout point d’un cercle centrésur l’axe central,cette composante orthogonale a le même module est est orthogonale au rayon

–en?n,que deux plans perpendiculaires àl’axe central admettent la même répartition des vec-teurs moment.

Figure1.12–Répartition des vecteurs moments autour de l’axe central

1.6.6Torseurs particuliers

Il existe trois types de torseurs particuliers:

–le torseur nul:un torseur nul est un champ de vecteurs nul.Seséléments de réduction sont les vecteurs nuls,et on le note O.

–le torseur couple:un torseur couple est un champ de vecteurs uniforme non nul dont la résultante est le vecteur nul.Un torseur couple T peut ainsi s’écrire,en tout point M:

T= 0 C M

–le torseur glisseur:un torseur glisseur est un champ de vecteurs non nulàautomoment nul.

Le moment d’un torseur glisseur est nul en tout point de l’axe central.Un torseur glisseur T peut ainsi s’écrire,en tout point M de l’axe central:

T= r 0 M

1.7Dérivation

1.7.1Dérivation vectorielle

Nous avons vuàla section1.3que le vecteur position pouvaitêtre expriméàl’aide de vecteurs de plusieurs bases plus ou moins adaptées.Cependant,nous allons non seulement nous intéresseràla position des points d’un solide,mais aussiàla variation(et doncàla dérivée)de cette position au cours du temps.

Il va cependantêtre primordial de tenir compte de la base dans laquelle les vecteurs sont exprimés, et de la base par rapportàlaquelle ils sont dérivés.En e?et:

–si un vecteur est exprimédans la base de dérivation,alors sa direction est?xe dans la base de dérivation et les coordonnées du vecteur dérivésont les dérivées respectives des coordonnées du vecteur dans cette même base,

–si un vecteur est exprimédans une base i autre que la base de dérivation k,alors sa direction est variable dans la base de dérivation,et la dérivée temporelle des vecteurs de la base i par rapportàla base de dérivation interviendraégalement dans le calcul.

Dans la pratique,cette dérivation par rapportàune base vectorielle aura les mêmes propriétés que la dérivation par rapportàune variable concernant:

–la dérivée d’une somme de deux vecteurs

? U, V, d( U+ V)dt k= d U dt k+ d V dt k

–la dérivée d’un produit d’un réel et d’un vecteur

?λ∈R,? U, d(λ U)dt k=dλdt U+λ d U dt k

–la dérivée d’un produit scalaire entre deux vecteurs

? U, V, d( U· V)dt k= d U dt k· V+ U· d V dt k

–la dérivée d’un produit vectoriel entre deux vecteurs

? U, V, d( U∧ V)dt k= d U dt k∧ V+ U∧ d V dt k

On peut remarquer que,si l’on considère un vecteur quelconque U=λ u,où u est unitaire,la dérivée du vecteur U dans une base k estégaleà

d U dt

= d(λ u)dt k=dλdt u+λ d u dt k,

et est donc constituée de deux termes:

–un premier terme,dλ

u,qui représente la variation de module du vecteur Uàdirection constante dt

–un second terme,λ d u dt k,qui représente la variation de direction du vecteur Uàmodule constant

ce qui traduit bien le fait qu’un vecteur quelconque peut changeràla fois de module et de direction au cours du temps.

1.7.2Changement de repère de dérivation

Comme indiquédans la section précédente,si la base i dans laquelle un vecteur est expriméet la base k de dérivation sont di?érentes,alors ce vecteur est mobile par rapportàla base par rapportàla base j,et la dérivée temporelle des vecteurs de la base i par rapportàla base k interviendra dans le calcul.Il est possible de changer de base d’observation graceàune formule.

On aura donc tout intérêtàchoisir pour la base i une baseàlaquelle appartient le vecteur u, de sorte que d u dt i= 0.Le vecteur ?(i/k)est appelévecteur rotation de la base vectorielle i par rapportàla base vectorielle k.

1.7.3Vecteur rotation

Ce vecteur rotation qui intervient dans la formule de changement de base(et qui interviendra également dans d’autres parties du cours)est,comme nous l’avons indiquédans la section1.7.2,le vecteur rotation d’une base vectorielle par rapportàune autre.Nous avons vuàla section1.2qu’une base pouvaitêtre positionnée par rapportàune autreàl’aide d’angles.Le vecteur rotation va donc être directement liéaux angles apparaissant sur les?gures de changement de base.

Avant tout,il est nécessaire de souligner une di?érence qui pourrait sembler déroutante entre la notation que nous allons utiliser en mécanique pour les dérivées temporelles de fonctions du temps et les notations utilisées en sciences physiques et en mathématiques: