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非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法

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非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法。

苏志霄郑兆昌

（清华大学工程力学系，北京，１０００８４）

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摘要秭４用Ｔａｙｌｏｒ级数展开导出了任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程，该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为。

进一步求解系统的线性化方程，得到一种非线性动力系统数值计算的新

的递推格式，计算实例表明其精度高于传统的Ｈｏｕｂｏｌｔ、Ｗｉｌｓｏｎ．ｏ及

Ｎｅｗｍａｒｋ－１３等方法，且在计算时间步长较大时，仍然具有足够的计算精

度３文末通过数值计算研究了Ｄｕｆｆｉｎｇ方程和ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的混沌及

周期特性。

关键词非线性动力系统连续线性化模型Ｄｕｍｎｇ方程ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌ方程

近年来，非线性动力系统的定性分析方法在低维系统中的应用已逐步完善。然而。由于非线性系统一般不存在解析解，因此通常利用逐步积分法、有限差分法［１，２］及其他方法，如Ｔａｙｌｏｒ变换法［３】等数值算法得到其数值解。各种数值方法均是基于时间历程上的差分方法，也即通过各种形式的函数曲线来近似代替时间步长上振动系统的实际响应形式。

运动学研究历史上，静止被认为是运动的瞬时存在状态。与此类似，线性结构可认为是非线性系统的瞬时表现形式，线性系统的连续变化反映了非线性动力系统的全部复杂行为。非线性系统的瞬态响应依赖于该瞬时的线性结构，而该时刻线性结构的确定又依赖于上一连续瞬时非线性系统的响应。因此，非线性系统的响应具有连续递推性。由此观点可发展为非线性动力系统的连续线性模型理论。本文即从此出发，推导了一般自治或非自治非线性动力系统的瞬态线性方程，精确求解该线性化方程得到非线性系统的一种新的数值算法。该方法本质上以瞬态线性结构的精确响应来近似代替离散时间段内非线性系统的响应，区别于传统差分方法中以直线或各种曲线近似代替的思想。计算实例表明该方法较传统方法相比，大大提高了计算精度。文末计算了强迫Ｄｕｆｆｍｇ方程与强迫ｖａｌｌｄｅｒＰ０１方程的混沌及周期特性。

１非线性系统的连续线性化模型

考虑相空间中的，ｌ维自治或非自治非线性系统

‘国家重点基础研究发展规划项目（编号：Ｇ１９９８０２０３１６）。国家自然科学基金资助项目（ＮＯ．１９９７２０２９），中国博士后科学基金资助项目（中博基【１９９９】）１７号。

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ｄ＝ｆ（ｕ，ｆ）ｆ１）

其中ｕ＝缸。“。…“。）Ｔ，ｆ（ｕ，ｆ）＝矗（ｕ，ｆ）Ａ（ｕ，ｆ）…＾（ｕ，ｆ））Ｔ，且ｕ∈ＤｃＲ一。ｆ为（Ｄ，Ｒ）到Ｄ上的Ｃ”映射。考虑时刻ｔ＝ｔ，设此时相空间中的状态值为ｕ（∞＝每。（Ｄ１／２（Ｄ…／＇／ｎ（曰）Ｔ，于是将ｆ（ｕ，，）在ｔ处展开为Ｔａｙｌｏｒ级数

眠嗍㈣ｍｃ㈣?制。＋缸∽哪，，

式中角标（Ｔ）表示ｔ＝ｔ，ｕ＝ｕ（Ｔ），ｏ伍）表示（ｒ—ｔ）和［ｕ（ｔ）一ｕ（Ｔ）］的高阶小量。当时间ｔ属于ｔ的右极小邻域内，即ｔ∈ｎ，Ｔ＋矾】时，略去上式中的高阶项ｏ（Ｅ）影响其精度极小，于是

㈣㈣肿卜兮剿。十和廿“训令Ａ（田：ｉ坚警到，ｗ（∞：ｉ！！｝堕ｌ，于是将（３）式整理为仇１ｈｄｔｆ（ｔ】

ｄ＝Ａ（ｆ）ｕ＋（ｔ—ｆ）Ｗ（ｆ）一Ａ（ｆ）ｕ（ｆ）＋ｆ（ｕ（ｚ），ｆ），ｆ∈【ｆ，ｆ＋ｄｚ】（４）（４）式即为非线性系统（１）在ｔ＝ｔ时刻右极小邻域内的瞬态线性化方程，当时间ｔ连续变化时，该线性化方程也连续变化。非线性系统任意时刻的响应依赖于其上一连续时刻的线性化方程，而该连续化方程的确定又依赖于该时刻非线性系统的响应，因此，非线性系统的解对初值具有连续依赖性。

２非线性系统的数值方法

（４）式为一个非齐次线性系统的方程，根据线性微分方程理论［４】’得到其解析解如下ｕ（ｔ）＝Ｐ‘“Ⅺ叫’ｕ（ｔ）＋１１ｅＡ（。ｔｘｔ－，）【ｆ（ｕ（ｔ），百）一Ａ（伽（ｔ）＋（Ｊ－＇ＯＷ（＇Ｏ］ｄｓ（５）其中ｔ∈ｎ，ｔ＋疵１，采用梯形积分法计算（５）式得

盼卅喜尘≠心榔）＋譬（删＋ｇ（ｔ）（㈨）＋半（ｗ（６）其中ｔ∈ｎ，ｔ＋州，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｕ（Ｔ），ｔ）一Ａ０；）ｕ（ｘ）。当时间历程被离散化后，上式中以ｔ代替１，以ｔ＋Ａｔ代替ｔ，可得非线性系统数值计算的一种递推格式为

ｎ和＋△力＝ｎ④十砉等Ａ∞抽钟＋甙力争十ｇ（，）缸＋ｗ＠等（７）

玲一等

事实上，上式描述的数值方法本质上在时间步长上以一个线性系统的解来近似代替非线性系统的实际解，由于线性系统的解具有封闭性，因此构成非线性系统的数值解Ｆｄ样具有封闭性，也即当计算时间较长时不会造成较大的累积误差。下面以非线性单摆为例进行计算并说明该方法的优越性。

非线性单摆的振动方程为

０＋∞：ｓｉｎ０＝０（８）

其中∞：＝ｇ／ｌ，ｇ为重力加速度，ｆ为摆长。数值计算的参数及初始条件为ｇ＝９．８，ｆ－１，ｅ（ｏ）＝０Ｒａｄ，ｅ（ｏ）＝６．２Ｒａｄ／Ｓｅｃ，计算时间为４秒。单摆振动的最大摆角由能量守恒原理得到为ｅ～＝２．８６２２０Ｒ她。表１为不同时间步长下采用Ｈｏｕｂｏｌｔ法、Ｗｉｌｓｏｎ－Ｓ．法、Ｎｅｗｍａｒｋ－［］．法及递推式（７）（其中求和级数中ｋ取至５）四种数值方法的最大摆角计算结果及误差。分析计算结果可知，在各种传统方法中，以Ｎｅｗｍａｒｋ－Ｄ．法的计算精度最高。而本文方法较Ｎｅｗｒａａｒｋ－Ｄ．法的误差约减小一半，且当时间步长较大时，仍然具有一定的计算精度。

衰，非线性单摆最大撄角数值计算结果

３Ｄｕｆｆｉｎｇ方程与ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的数值解

下面利用本文方法计算Ｄｕｆｆｍｇ方程与Ｖａｉｌｄ口ＰＤｌ方程的数值解，并通过计算结果分析这两个经典非线性系统的动力学特性。

强迫Ｄｕｔｆｉｎｇ振动的方程为

ｊ＋缸一ｋｘ＋ｚ３＝ｂｃｏｓ∞ｔ

强迫ｖａｉｌｔｉｅｒＰｏｌ振动的方程为

置＋Ｕ（ｘ２—１）ｋ＋工＝ｂｃｏｓ（Ｏｔ（１０１

其中Ｄｕｆｆｍｇ方程的参数取为ｋ－－－０、８＝０．２５、６＝８．５、∞２１，ＶａｌｌｄｅｒＰｏｌ方程的参数取为肛＝５、ｂ＝５、∞＝２．４６６。

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图１Ｄｕ腼Ｉｇ方程的Ｐ０ｉＩＩｃａ托截面图图２ｖ锄ｄｅｒＰ０ｌ方程的Ｐｏｉｌｌｃ：ｋ截砸图（∞－２．４６６）

图１和图２分别为计算得到的Ｄｕｆｆｉｎｇ方

程与ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｔ６截面图。可见，

在上述参数下，Ｄｕｆｆｍｇ方程产生混沌运动，其

Ｐｏｉｎｃａｒ６截面反映出系统具有一个复杂的Ｕｅｄａ

混沌吸引子；ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程则产生一个周期

３运动，而在以往的研究结果中，在同样的参

数下，认为ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程经由倍周期分叉产

生混沌“。作者通过进一步计算结果表明，当

参数Ｕ和ｂ保持不变时，需要更高的强迫力频

率才能使系统产生混沌运动，如当ＣＯ＝１０时，ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｒ６截面如图３，可见此时系统具有一个混沌吸引子。图３ＶａｉｌｔｉｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｒ６截面图（ｔｏ＝１０）

有关应用连续线性模型理论对高维非线性系统进行模态缩减及相应的计算方法，作者将另文介绍。

参考文献

Ⅲ１郑兆昌机械振动（中册）．北京：机械工业出版杜，１９８６

【２］ＷｅｅｄＷＬ，Ｐｒａｃｔｉｃａｌ＂Ｃｔｒａｅ－ｓｔｅｐｐｉｎｇＳｃｈｅｍｅｓＣｌａｒｅｎｄｏｎＰｒｅｓｓ，Ｏｘｆｏａ＇ｄ，１９９０

【３）３ＣｈｉｏｕＪＳ，ＴｚｅｎｇＪＲ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ山ｅＴａｙｌⅡＴｒａａｓｆｃｃｍｔｏＮｏｎｌｉｎｅａｒＶｉｂｒａｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓ＂Ｉｔ＇ａｎ．ｓ∞ｆｉｏｎｓｏｆ山ｃＡＳ／ｖＩＥ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄＡｃｏｕｓｔｉｃｓ，１９９６１１８：ＰＰ８孓８７

【４］李云非线性动力系统的现代数学方法及其应用北京：人民交通出版杜１９９８

【５】ＵｌｒｉｃｈＰａｒｌｉｔｚ，ｗⅫＬⅡｔｅｆｌｍｍＰｅｆｉｏｄ－ｄｏｕｂｎａｇｃａｓｃａｄｅｓａｎｄｄｅｖｉｌ’ｓｍｈａｓⅨｏｆｔｈｅ士咖ｖａｎｔｉｅｒＰｏｌ∞ｃｉｌｌａｔｏｔ．ＰｈｙｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗ．Ａ，１９８７，３６（３）：１４２８－１４３４

垫垫生垡蠢金丛！堑．ＡＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＬｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎＭｏｄｅＩａｎｄＩｔｓＮｕｍｅｒｉｃａＩＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅＮｏｎ?ＬｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃＳｙｓｔｅｍｓ

ＳｕＺｈｉｘｉａｏ，ＺｈｅｎｇＺｈａｏｃｈａｎｇ

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Ａｂｓｔｒａｃｔ砷１ｅｔｉｍｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｆｉｎｅａｒｉｚａｆｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｆｏｒａｌｌａｒｂｉｔｒａｒｙａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｏｒｎｏｎ—ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｉｃｈｃａｌｌｆｕｌｌｙｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｓｙｓｔｅｍｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ｉｓｄｅｄｕｃｅｄｔｈｒｏｕ翻ａｔｈｅＴａｙｌｏｒｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｂｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｅｗｍｎｌｌｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｉｍｍｆｉｖｅｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｐｒａｃｔｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｈｏｗｓｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｈｉｇｈｅｒｔｈａｎｔｈａｔｏｆｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ，ｓｕｃｈａｓＨｏｕｂｏｌｔｍｅｔｈｏｄ，Ｗｉｌｓｏｎ一０ｍｅｔｈｏｄａｎｄＮｅｗｍａｒｋ－ｐｍｅｔｈｏｄ，ｅｔｅ，ａｎｄｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｉｓｈｉ曲

ｅｎｏｕｇｈｅｖｅｎｗｈｅｎｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｔｉｍｅｓｔｅｐｉｓｌｏｎｇｅｒ．Ａｔｌａｓｔ，ｔｈｉｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅｃｈａｏｓａｎｄｐｅｒｉｏｄｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＤｕｆｆｍｇａｎｄｖａｎｄｅｒＰｎｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ

Ｋｅｙｗｏｒｄｓｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ，ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｉｎｅａｒｍｏｄｅｌ，ｄｕｆｆｍｇｅｑｕａｔｉｏｎ，ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

【作者简介】苏志霄，男，１９７２年１２月生，山西山阴人，１９９９年４月获西安理工大学工学博士学位，研究方向为机械强度设计理论、机械动力学及非线性振动。

摘要关键词腔体噪声主动控制的数值分析与优化设计

高峰沈亚鹏田晓耕

（西安交通大学建筑工程与力学学院西安，７１００４９）

本乏

、ｒ一

有限抚方法被用来分析合压电体的立方腔体振动噪声的主动控制问题』采用一阶剪切Ｍｉｎｄｌｉｎ板理论，建立了包含腔体奔质影响的二维动态有限元方程。主动控制采用速度反馈，数值分析了不同结构与声腔共振频率下主动控制效果。为获得最优的压电片位置，采用了免疫遗传算法设计，结果表明能够很好地控剖腔体的声压与位移。）腔体噪声主动控制遗传算法

封闭腔体．如航空器、核潜艇以及输油管道的振动噪声问题一直是噪声控制的重要问题。用压电材料进行噪声控制的研究大多集中于半无限空间，对于腔体研究并不多见。尽管已有商业软件用于腔体噪声问题分析，但对于含压电结构的腔体噪声有限元分析还很不

非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法

作者：苏志霄，郑兆昌

作者单位：清华大学工程力学系(北京)

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4.苏志霄.郑兆昌.高永毅非线性动力系统线性模型数值计算的Taylor变换法[期刊论文]-力学学报2002,34(4)

5.于开平.李静.杨利芳.邹经湘求解结构动响应的两种有渐进消去特性的算法[期刊论文]-工程力学2004,21(4)

6.吕和祥.于洪洁.裘春航.Lü He_xiang.YU Hong_jie.QIU Chun_hang动力学方程的积分型直接积分法[期刊论文]-应用数学和力学2001,22(2)

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引用本文格式：苏志霄.郑兆昌非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法[会议论文] 2001

04非线性回归模型的线性化 (3)

非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t 上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。 ⑴ 指数函数模型 y t = t t u bx ae + (4.1) b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。显然x t 和y t 的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得 Lny t = Lna + b x t + u t (4.2) 令Lny t = y t *, Lna = a *, 则 y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。其中u t 表示随机误差项。图4.1 y t =t t u bx ae +, (b > 0) 图4.2 y t =t t u bx ae +, (b < 0) ⑵ 对数函数模型 y t = a + b Ln x t + u t (4.4) b >0和b <0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。x t 和y t 的关系是非线性的。令x t * = Lnx t , 则 y t = a + b x t * + u t (4.5) 变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。

基于逆系统方法的非线性内模控制

第 28卷　第5期2002年9月自　动　化　学　报 A CTA AU TOM A T I CA S I N I CA V o l 128,N o 15 Sep t .,2002　基于逆系统方法的非线性内模控制 1)陈庆伟1 吕朝霞1 胡维礼1 吴宏鑫2 1(南京理工大学自动化系　南京　210094) 2( 北京控制工程研究所　北京　100080) (E 2m ail :qw chen @jlonline .com )摘　要　针对一类非线性连续系统,利用小波网络逼近原系统的Α阶积分逆系统,针对复合后的伪线性系统提出了基于逆系统方法的内模控制,证明了闭环系统的鲁棒稳定性,分析了系统性能.仿真结果表明所提的方法控制性能好,精度高,且控制器设计简单. 关键词　非线性,逆系统方法,内模控制,鲁棒性,小波网络中图分类号　 1)国家自然科学基金(60034010和60174019)资助收稿日期　2000208209 收修改稿日期　2000211229 NONL INEAR INTERNAL MOD EL CONTR OL BASED ON INVERSE S Y STE M M ETHOD CH EN Q ing 2W ei 1　LU Zhao 2X ia 1　HU W ei 2L i 1　W U Hong 2X in 21(D ep a rt m en t of A u to m a tion ,N anj ing U n iversity of S cience and T echnology ,N anj ing 210094) 2(B eij ing Institu te of Con trol E ng ineering ,B eij ing 100080) (E 2m ail :qw chen @jlonline .com ) Abstract W avelet netw o rk s are used to app roxi m ate to the Α 2integral inverse system of a class of nonlinear continuous system s .T hen the internal model contro l based on inverse system m ethod is p ropo sed fo r the com bined p seudo 2linear system .Stability and robustness of the clo sed 2loop system are p roved ,and its perfo rm ances are ana 2lyzed .Si m ulati on results show that the m ethod has better perfo rm ance ,h igh accuracy and si m p le design . Key words N onlinear ,inverse system m ethod ,I M C ,robustness ,w avelet netw o rk s 1　引言逆系统方法[1]作为一种直接的反馈线性化解耦控制方法,要求原系统及其逆系统的数学模型已知.由于非线性系统的复杂性,精确建模是困难的,求其逆模型则更难,这是逆系统方法在实际应用中的瓶颈之一.针对建模问题,一些学者提出了用神经网络建模的逆系统方

研究控制非线性动力学模型

Study on Nonlinear Dynamical Model and Control Strategy of Transient Process in Hydropower Station with Francis turbine Haiyan Bao , Jiandong Yang, Liang Fu State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science, Wuhan University No.8 Donghu South Road, Wuchang District, Wuhan 430072, China Haiyan_8931@https://www.wendangku.net/doc/097668779.html, Abstract —The transient process in conduits of hydropower stations is a very complicated dynamic procedure coupled with fluid, machines, electricity. In this paper, a whole nonlinear dynamical model of transient process in hydropower station with Francis turbine has been developed, and the control strategies of each transient process are studied. The nonlinear characteristics of hydraulic turbine and the elastic water hammer effect of pressure water supply conduit are considered in the model. The developed model is accurate enough to represent and simulate each transient process of the plant and may enable a plant operator to carry out economical, convenient study for the static stability and transient stability of the hydropower station under a wide range of transient processes. In addition, the literature takes a hydropower station as engineering case to simulate the transient processes of hydro-generator units ’ start-up, load variation, full load rejection from the grid and emergency stop. And the results of simulation are very satisfied. Keywords-hydraulic transients; nonlinear mathematical model; numerical simulation; control strategy I.I NTRODUCTION H ydropower is an important and vital renewable energy resource, which converts energy in flowing water into electricity. Generally, a hydro-generator unit has many different operating conditions, and any operating condition changes will result in different hydraulic transients. The calculation of hydraulic transient is a key link for the safety and reliability of units and hydraulic installations. Traditionally, the objective of hydraulic transient calculation is to predict three primary regulation guaranteed parameters including the maximum dynamic pressure in the spiral case, the maximum rising ratio of rotating speed and the draft tube minimum pressure, consequently to ensure safety operation of hydropower station. H owever, with the development of hydroelectric construction and technology in China, the content of hydraulic transient calculation is continuously being enriched, it already not only include calculation of regulation guaranteed parameters, but also include calculation and research of stabilization and dynamic quality [1]. In conventional hydropower stations, there are a series of hydraulic transient processes, such as start-up, load variation, full load rejection from the grid, and emergency stop, where power and frequency regulations may always be needed [2]. In order to design suitable control law, stabilize the nonlinear systems, solve many existing control problems, reduce operating costs and energy losses, and improve guarantee security and safety of equipments and plants, it is necessary to develop a whole nonlinear dynamical model that is accurate enough to represent and simulate each transient process of the plant. The developed model may enable a control system designer or a plant operator to carry out accurate, economical, convenient study for the static stability and transient stability of the hydropower station under a wide range of operational modes and nonlinear process conditions, and to design the suitable control strategy, so as to improve stability of hydro-generator units. The literature review carried out in this work finds some published research works. In [3], a new kind of start-up rule is proposed, by using this rule the contradiction between fast start-up and smooth start-up is eliminated; In [4], it analyses the adjusting mode of power adjustment in digital electric-hydraulic governor, and how to realize power adjustment; In [5], the transient performance index of hydro-generator unit in a full load rejection are studied. owever, in the aforementioned published research works, the effect of hydraulic turbine characteristics and the elasticity of conduit walls on the transient process are neglected . In addition, a whole nonlinear dynamical model that can simulate each transient process of the plant isn’t developed in predecessors’ research works. In china, some large-scale hydropower stations often use the complex arrangement nowadays, moreover, the hydraulic conduits are getting longer, and its nonlinearity is very obvious. Therefore, it is very important and necessary to develop a whole nonlinear dynamical model for the complex hydropower system. II.M ATHEMATICAL M ODELS For developing the whole nonlinear mathematical model, the hydropower plant system is decomposed into decoupled dynamical modules as illustrated in Fig. 1, and a mathematical model for each module is developed. 978-1-4244-2487-0/09/$25.00 ?2009 IEEE

非线性动力学数据分析

时间序列分析读书报告与数据分析刘愉 200921210001 时间序列分析是利用观测数据建模，揭示系统规律，预测系统演化的方法。根据系统是否线性，时间序列分析的方法可分为线性时间序列分析和非线性时间序列分析。一、时间序列分析涉及的基本概念 1、测量对于一个动力系统，我们可以用方程表示其对应的模型，如有限差分方程、微分方程等。如果用t X 或)(t X 表示所关心系统变量的列向量，则系统的变化规律可表示成 )(1t t X f X =+或)(X F dt dX = 其中X 可以是单变量，也可以是向量，F 是函数向量。通过这类方程，我们可以研究系统的演化，如固定点、周期、混沌等。在实际研究中，很多时候并不确定研究对象数据何种模型，我们得到的是某类模型（用t X 或)(t X 表示）的若干观测值（用t D 或)(t D 表示），构成观测的某个时间序列，我们要做的是根据一系列观测的数据，探索系统的演化规律，预测未来时间的数据或系统状态。 2、噪声测量值和系统真实值之间不可避免的存在一些误差，称为测量误差。其来源主要有三个方面：系统偏差（测量过程中的偏差，如指标定义是否准确反映了关心的变量）、测量误差（测量过程中数据的随机波动）和动态噪音（外界的干扰等）。高斯白噪声是一类非常常见且经典的噪声。所谓白噪声是指任意时刻的噪声水平完全独立于其他时刻噪声。高斯白噪声即分布服从高斯分布的白噪声。这类噪声实际体现了观测数据在理论值（或真实值）周围的随机游走，它可以被如下概率分布刻画： dx M x dx x p 2222)(exp 21 )(σπσ--= （1）其中M 和σ均为常数，分别代表均值和标准差。 3、均值和标准差最简单常用的描述时间序列的方法是用均值和标准差表示序列的整体水平和波动情况。（1）均值如果M 是系统真实的平均水平，我们用观测的时间序列估计M 的真实水平方法是：认为N 个采样值的水平是系统水平的真实反映，那么最能代表这些观测值（离所有观测值最近）的est M 即可作为M 的估计。于是定义t D 与est M 的偏离为2 )(est t M D -,所以，使下面E 最小的M 的估计值即为所求： 21)(∑=-=N t est t M D E （2）

非线性回归分析

非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究教学过程：一、复习准备：对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+ ，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-$，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为$0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系.

多模型拟合与组合预测

多模型拟合与组合预测对时间序列建模好比替人物画速写；简单几笔素描突出人的特点并由此推测人物个性。时间序列模型也能模拟数据特征、提炼数据信息、预测数据规律。然而，正如每张素描仅能反映人物某一侧面，多个角度的素描才能完整逼真人物形象，非线性复杂时间序列的数学模型仅是该序列的某种简化和抽象，其所包含的变量和参数必定是有所选择并十分有限的。不同模型对同一序列的描述往往各有特点、各有适用场合、也各有不足之处。理论和实践表明，多模型的拟合与组合预测能提高模拟的功效和预测的精度。事实上，在预测实践中，对于同个问题，我们常采用不同的预测方法。不同的预测方法其预测精度往往也不相同。一般是以预测误差平方和作为评价预测方法优劣的标准，从各种预测方法中选取预测误差平方和最小的预测方法。不同的预测方法往往能提供不同的有用信息，如果简单地将预测误差平方和较大的方法舍弃，将推动一些有用的信息。科学的作法是将不同的预测方法进行适当组合，形成组合预测方法。其目的是综合利用各种预测方法所提供的信息，以提高预测精度。早在1954年，美国人Schmitt 曾经采用组合预测方法对美国37个最大城市的人口进行预测使预测精度提高。1959年，J.M.Bate t C 。W 。J 。G 拒有对组合预测方法进行比较系统的研究，研究成果引起预测学者的重视。此后，国外关于组合预测的研究成果层出不究，我国近十几年也很重视组合预测的研究，取得一系列研究成果。采用组合预测的关键是确定单个预测方法的加权系数。设对于同一个问题有 )2(≥n 种预测方法。给出如下记号：t y 为实际观察值；it f 为第i 种方法的预测值； it t it f y e -=为第i 种方法的预测误差；i k 为第i 种方法的加权系数， ∑∑====n i n i it i t i f k f k 1 1 ;1为组合预测方法的预测值；t t t f y e -=为组合预测方法的预测误差，于是∑==-=n i it i t t t f k f y e 1 。其中，N t n i ,,2,1;,,2,1 ==。记组合预测方法的预测误差平方和∑==N i t e J 1 2，则 ?? ????=∑∑ ∑ ===)(11 1 N t jt it j i n j n i e e k k J 记组合预测方法的预测加权系数向量为T n n k k k ],,,[21 =K ，第i 种预测方法的预测误差向量为T iN i i i e e e ],,,[21 =E ，预测误差矩阵为,,[21E E e = ],n E ，于是

流体力学和双星形成的非线性动力学模型

流体力学和双星形成的非线性动力学模型张一方云南大学物理系，昆明（650091） E-mail ：yifangch@https://www.wendangku.net/doc/097668779.html, 摘要：基于星云的流体力学和磁流体动力学，用非线性方程的定性分析理论讨论了双星的形成。非线性相互作用和旋转取到非常关键的作用。此外，Lorenz 模型可以由流体力学方程导出，模型中的双翼正好形成双星。而线性方程仅仅形成单星。关键词：双星，非线性动力学，流体力学，Lorenz 模型，磁流体动力学 1. 引言近年来，双星系统的普遍存在和解释成为天文学中一个令人关注的问题[1-7]。Itoh 等讨论了具有强场的相对论性紧密双星的运动方程[8]。Taniguchi 等讨论了广义相对论中同步的无转动双中子星的准平衡序列[9]。Büning 等用物理模型计算了在闭合双星中质量转移的数值稳定性[10]。Pittard 等推广了正在碰撞缠绕双星（colliding-wind binaries, CWBs ）的幅射模型[11]。Rensbergen 等重新分析了一类相互作用双星的演化[12]。云南天文台黄润乾院士对双星系统进行了长期研究，并且1999年对大质量双星系统的非守恒演化作了系统总结 [13]。基于星云的旋转吸积盘的基本方程，我们应用非线性方程的定性分析理论得到了双星形成的非线性动力学模型[14]。在一定条件下，一对奇点作为演化结果相应于双星。而在其它条件下这些方程给出单个中心点，就相应于单星。这一模型和著名的Boss 等计算机模拟的结果是一致的[15,16]。但是，计算机模拟的定量过程仍然是一个问题。进而我们定性指出用Lorenz 方程可以形成双星，其中具有两“翼”的Lorenz 吸引子相应于双星[14]。Steinitz 和Farbiash 确定了双星中自旋（旋转速度）间的相互关系，并显示出自旋关系度与组成的分离是无关的。这一结果可以作为例子联系于星云形成的双星Zhang’s 非线性模型[17]。本文我们应用星云早期状态的流体动力学和别的非线性理论论证双星的形成，并证明非线性相互作用是其形成的必要条件。 2. 双星形成的非线性流体力学模型基于早期星云的流体力学方程和磁流体动力学方程，非线性相互作用将在二维平面形成某些奇点。当Jeans 不等式λπρ>(/)/v G s 12成立时，引力不稳定，并且原始星云将塌缩。我们模型的基础是恒星起源于星云，而主要由氢和氦等离子体组成的星云服从非线性的磁流体动力学方程。它们的一般形式是著名的Alfver 方程[18]: graddivV V gradp B V c e F V V t V dt dV 3])([ημ??ρρ+?+?×+=?+=. (1) 这是具有磁力项的Navier-Stokes 方程。在二维星云的吸积盘中，方程变为 ),(3)()(2222y v x u x u y x x p v B c e F u y v x u t u z x ??????η????μρ??????ρ++++???+++?= (2) )(3)()(2222y v x u y v y x y p u B c e F v y v x u t v z y ??????η????μρ??????ρ++++????++?=. (3) 旋转作用显出后，方程可以重新写为[19]：

组合预测方法中的权重算法及应用.

组合预测方法中的权重算法及应用 [ 08-09-19 16:57:00 ] 作者：权轶张勇传编辑：Studa_hasgo122 摘要系统地分析了组合预测模型的权重确定方法，并估计各种权重的理论精度，以此指导其应用。文章还首次提出用主成分分析确定组合模型权重的方法，最后以短期(1年)负荷预测为例，检验各种权重下组合预测模型的精度。关键词组合模型权重预测精度负荷预测 1 常用的预测方法及预测精度评价标准正确地预测电力负荷，既是社会经济和居民生活用电的需要，也是电力市场健康发展的需要。超短期负荷预测，可以合理地安排机组的启停，保证电网安全、经济运行，减少不必要的备用；而中长期负荷预测可以适时安排电网和电源项目投资，合理安排机组检修计划，有效降低发电成本，提高经济效益和社会效益。常用的负荷预测方法有算术平均、简单加权、最优加权法、线性回归、方差倒数、均方倒数、单耗、灰色模型、神经网络等。囿于不同的预测模型的理论基础和所采用的信息资料的不同，上述单一预测模型的预测结果经常千差万别，预测精度有高有低，为了充分发挥各种预测模型的优点，提高预测质量，可以在各种单一预测模型的基础上建立加权平均组合预测模型。为此，必须研究组合预测模型中权重的确定方法及预测精度的理论估计。设Y表示实际值，■表示预测值，则称Y-■为绝对误差，称■为相对误差。有时相对误差也用百分数■×100%表示。分析预测误差的指标主要有平均绝对误差、最大相对误差、平均相对误差、均方误差、均方根误差和标准误差等。 2 组合预测及其权重的确定现实的非线性系统结构复杂、输入输出变量众多，采用单个的模型或部分的因素和指标仅能体现系统的局部，多个模型的有效组合或多个变量的科学综合才能体现系统的整体特征，提高预测精度。为了表达和书写方便，下面从组合预测的角度来描述模型综合的方法和类型。设{xt+l},（ｔ=1,2,...,T）为观测值序列，对{xt+l},(l=1,2,...,L)用J个不同的预测模型得到的预测值为xt+l，则组合模型为： ■T+L=■*9棕j■T+L（j）式中，*9棕j（j=1，2，…，J）为第j个模型的权重，为保持综合模型的无偏性，*9棕j应满足约束条件■*9棕j=1 确定权重常用的方法有专家经验、算术平均法、方差倒数法、均方倒数法、简单加权法、离异系数法、二项式系数法、最优加权法和主成分分析法等等。下面仅简单介绍最优加权法和主成分分析法。最优加权法是依据某种最优准则构造目标函数Q，在满足约束条件的情况下 ■*9棕j=1，通过极小化Q以求得权系数。设{xt},（t=1，2，…T）为观测序列，已经为其建立J个数学模型，则最优加权模型的组合权系数*9棕j，（j=1，2，…J）是以下规划问题的解：

浅谈非线性回归模型的线性化

浅谈非线性回归模型的线性化广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部卢瑞勤(516213) 回归分析在各个领域中都有十分重要的作用，比如：在财务中可以用回归分析进行财务预测；在医疗检验中可以用回归分析进行病理预报等等。高中新课标教材就在《必修3》和《选修2-3》中分别增加了《线性回归》和《回归分析》的内容，介绍了求线性回归方程的方法。但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，本文结合本人的教学实践，对教材中的这两部分内容进行适当延伸，谈谈对一些可线性化的非线性回归模型的线性化问题，供各位同行在教学时参考。一、什么是可线性化的非线性回归模型线性回归模型的基本特征是预报变量可以表示成解释变量和一个系数相乘的和，即预报变量y 可以表示成解释变量i x (i =1，2，3，……)的如下形式：0112233y a a x a x a x =++++ ，其中变量i x 是以其原型(而不是以n i x 或其它)的形式出现，变量y 是各变量i x 的线性函数。而有些回归模型不具备这个特点，但是可以通过适当的代数变换转化成这种形式，我们称这类回归模型为可线性化的回归模型。在本文中，我们只讨论只有一个解释变量可线性化的非线性回归模型的线性化。二、非线性回归模型的线性化的基本思路非线性回归模线性化的基本思路是：由已知数据，确定解释变量和预报变量，作出散点图，根据经验，确定回归曲线的类型，然后作适当的代数变换，若变换后散点图体现较好的线性关系，即可将其化成线性形式求解，最后还原到原来的回归曲线。如果回归曲线可用多种形式表示，可以各自将其线性化后求解，再用相关系数2 R 进行拟合效果分析，2 R 越大，拟合效果越好，所求的回归方程也就越精确。三、非线性回归模型的线性化的常用方法可线性化的非线性回归模型有以下几种常见类型： (1)双曲线型，其形式为 1a b y x =+，其变换为1y y '=， 1 x x '=，变换后的形式为y b ax ''=+ (2)幂函数型，其形式为b y ax = ，可以变形为ln ln ln y a b x =+，作变换ln y y '= ，ln x x '= ，变换后的形式为y a bx ''=+ (3)指数函数型，其形式为bx y ae = ，以变形为ln ln y a bx =+，作变换ln y y '=，ln a a '= ，变换后的形式为y a bx ''=+ (4)对数函数型，其形式为ln y a b x =+，作变换ln x x '=，变换后的形式为y a bx '=+ 下面以高中新课标数学教材《选修2-3》一道习题为例加以说明【例】在某地区的一段时间内观察到的不小于某震级x 的地震个数y 数据如下表，试建立回归方程表述二者之间的关系。

非线性数学模型的线性化

非线性数学模型的线性化假设有一个输入为 )(t x 、输出为 )(t y 、其输入-输出关系为 ()x f y =的系统，如图3.52所示， )(t y 与 )(t x 之间具有非线性关系。 ),(00y x A 为系统的工作点，即 )(00x f y =，在A 点附近，当输入变量 )(t x 作 x ?变化时，对应的输出变量的增量为 y ?。而对于通过 A 点的切线， x 变化 x ?时， y 的增量为 'y ?。显然，当 x 在平衡工作点A 附近只作微小的变化 x ?，则 y ?≈'y ?，故可近似地认为有 y ?≈xtga y ?=?' （3.88）式中 tga ——函数 ()x f y =在 ),(00y x A 点处的导数。图3.52 非线性关系线性化以增量为变量的微分方程，称为增量方程，故式(3.88)为线性增量方程。由此可见，在滑动范围内， y ?可用 'y ?近似而和 x ?有线性关系，即可用切线代替原来的非线性曲线，从而把非线性问题线性化了。这种线性化方法，称为滑动线性化法，或切线法。

滑动线性化的这种近似，对大多数控制系统来说都是可行的。首先，控制系统在通常情况下，都有一个正常的稳定的工作状态，称为平衡工作点。例如，恒温控制系统的正常工作状态是输入、输出为常值(输出为被控温度，输入为期望值)。其次，当系统的输入或输出相对于正常工作状态发生微小偏差时，系统会立即进行控制调节，力图去消除此偏差，因此可以看出，这种偏差是“小偏差”，不会很大。滑动线性化这种近似，用数学方法来处理，就是将变量的非线性函数展开成泰勒级数，分解成这些变量在某工作状态附近的小增量的表达式，然后略去高于一次小增量的项，就获得近似的线性函数。对于以一个自变量作为输入量的非线性函数 ()x f y =，在平衡工作点 ),(00y x 附近展开成泰勒级数，则有 ()()()()()()()0002323000023d d d 11()d 2!d 3!d x x x x x x f x f x f x y f x f x x x x x x x x x x =====+-+-+-+ 略去高于一次增量 0x x x -=?的项，便有 ()()()000d d x x f x y f x x x x ==+- （3.89）或（3.90) 式中， )(00x f y =称为系统的静态方程； 0d ()d x x f x K x ==。式(3.89)或式(3.90)就是非线性系统的线性化数学模型。式(3.90)为增量方程式。

基于非线性组合模型的交通流预测方法

—202 — 基于非线性组合模型的交通流预测方法张敬磊，王晓原 (山东理工大学交通与车辆工程学院，淄博 255091) 摘要：为开发智能交通系统，提出一种基于RBF 和ARIMA 网络非线性组合模型的短时交通流预测方法，采用三层结构的RBF 网络将2种单一预测方法——RBF 和ARIMA 网络进行非线性组合，利用实测数据对3类方法进行仿真实验，结果表明，非线性组合模型的预测准确性高于各自单独使用时的准确性，组合模型发挥了2种单一方法各自的优势，是短时交通流预测的有效方法。关键词：交通流；短时预测；RBF 神经网络；非线性组合预测 Traffic Flow Prediction Method Based on Non-linear Hybrid Model ZHANG Jing-lei, WANG Xiao-yuan (School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255091) 【Abstract 】In order to develop the Intelligent Transportation System(ITS), combined RBF network with ARIMA forecast, a method of short-term traffic flow prediction is put forward. The hybrid forecasting method combines the two methods to make use of the non-linear RBF neural network which has a structure of three layers. The simulation test of the three forecasting methods is taken placed used field data, and the results show that the non-linear hybrid model, which takes advantage of the unique strength of the two models in linear and nonlinear modeling can produce more accurate predictions than that of single model. The hybrid model can be an efficient method to the short-term traffic flow prediction. 【Key words 】traffic flow; short-term prediction; RBF neural network; non-linear hybrid prediction 计算机工程Computer Engineering 第36卷第5期 Vol.36 No.5 2010年3月 March 2010 ·人工智能及识别技术·文章编号：1000—3428(2010)05—0202—03 文献标识码：A 中图分类号：U491.14 1 概述短时交通流预测，即对道路交通流进行分析研究，及时、准确地预测未来短时间内(一般认为，不超过15 min ，甚至小于5 min)的交通流状况，是制定正确诱导和控制措施的一个重要前提，也是目前广泛开展的智能运输系统(Intelligent Transportation System, ITS)项目开发研究的基本要求。交通流预测方法主要分2类[1-4]：(1)统计预测方法，如简单移动平均、线性回归、自回归滑动平均、Kalman 滤波以及非参数回归等；(2)人工智能或神经网络方法。研究表明：没有哪一种方法能够适用于所有时间序列的预测，而应当根据实际情况，选择适当的模型与方法[1,3]。为有效地利用各种模型的优点，Bates 等人提出组合预测的思想，将参与组合的各种预测方法的结果通过适当方式进行组合，以获得最优预测结果(至少精度高于各单项方法)。本文在分析ARIMA 预测方法和RBF 神经网络预测模型的基础上，充分利用RBF 网络的非线性映射拟合能力，建立基于RBF 网络与ARIMA 的非线性组合预测模型。 2 ARIMA 模型自回归差分移动平均方法(AutoRegressive Integrated Moving Average, ARIMA)是种精确度较高的线性时间序列预测方法，它是美国学者George Box 和英国统计学家Gwilym Jenkins 建立的Box-Jenkins(B-J)方法的进一步发展和改进。其建模的基本思想是对非平稳的时间序列用若干次差分使其成为平稳序列，作差分的次数就是参数d ，再用以p , q 为参数的ARIMA 模型对该平稳序列建模，之后经反变换得到原序列[4]。以p ,d ,q 为参数的ARIMA 模型预测方程可以表示为 011221122k k k p k p k k k q k q y y y y θφφφεθεθεθε??????=+++++ ????"" (1) 其中，k y 为样本值；(1,2,,)i i p φ="和(1,2,,)j j q θ="为模型参数；k ε是随时误差，它的均值为0，方差为2εσ。 ARIMA 时间序列预测的建模过程有以下5个关键步骤： (1)样本预处理。对非平稳时间序列，先要进行差分、消除趋势项，使其平稳化。 (2)模式识别。根据时间序列样本数据的相关特性，判别序列应属何种模型，其阶数是多少。 (3)参数估计。根据识别的模型及其阶数，对模型中的参数进行估计。 (4)模型检验。在前2步的基础上，得到时间序列的初步模型，模型检验就是用统计检验的方法并结合定阶准则对模型的适用性进行诊断检验。 (5)预测。应用检验后的合理模型对平稳化的时间序列进行预测。 3 RBF 神经网络模型 RBF 神经网络是以函数逼近理论为基础构造的一类前向网络。同许多BP 网络类似，它是一种三层前馈网络：第1层为输入层，由信号源节点组成；第2层为隐含层，其单元数视所描述问题的需要而定；第3层为输出层，它对输基金项目：山东省自然科学基金资助项目(Y2006G32)；山东理工大学科研基金资助重点项目(2004KJZ02) 作者简介：张敬磊(1979－)，男，讲师、硕士，主研方向：智能运输系统关键理论及技术；王晓原，教授、博士收稿日期：2009-09-06 E-mail ：jinglei@https://www.wendangku.net/doc/097668779.html,

非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法

04非线性回归模型的线性化 (3)

基于逆系统方法的非线性内模控制

相关系数模型(相关系数)组合预测模型及应用

研究控制非线性动力学模型

非线性动力学数据分析

非线性回归分析

多模型拟合与组合预测

流体力学和双星形成的非线性动力学模型

组合预测方法中的权重算法及应用.

浅谈非线性回归模型的线性化

非线性数学模型的线性化

基于非线性组合模型的交通流预测方法