§1.1.2 从梯子的倾斜程度谈起(二)

第二课时

课 题

§1.1.2 从梯子的倾斜程度谈起(二)

教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.

2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.

4.理解锐角三角函数的意义.

(二)能力训练要求

1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.

(三)情感与价值观要求

1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.

2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.

教学重点

1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.

2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.

教学难点

用函数的观点理解正弦、余弦和正切.

教学方法

探索——交流法.

教具准备

多媒体演示.

教学过程

Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课

[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.

现在我们提出两个问题：

[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?

[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?

Ⅱ.讲授新课

1.正弦、余弦及三角函数的定义

多媒体演示如下内容：

想一想：如图

(1)直角三角形AB 1C 1

和直角三角形AB 2C 2有

什么关系? (2) 2

11122BA C A BA C A 和有什么

关系? 2

112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?

(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?

请同学们讨论后回答.

[生]∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2，

∴A 1C 1//A 2C 2.

∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2.

2

11122BA C A BA C A 和 2

112BA BC BA BC 和 (相似三角形对应边成比例). 由于A 2是梯子A 1B 上的任意—点，所以，如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置，上述 结论仍成立.

由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角 的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大 小无关.

[生]如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比 值，邻边与斜边的比值随之改变.

[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?

[生]函数关系.

[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)

在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即

sinA ＝斜边

的对边A ∠ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即 cosA=斜边

的邻边A ∠

锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction).

[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函数”呢?

[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A 确定时.∠A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠A 的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A 的三角函数”概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°

2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系

[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?

[生]如图所示，AB ＝A 1B 1， 在Rt △ABC 中，sinA=AB

BC ，在 Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=1

11B A C B . ∵ AB BC ＜1

11B A C B , 即sinA

所以梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.

[生]同样道理cosA=AB AC cosA 1＝1

11B A C A , ∵AB=A 1B 1 AB AC ＞1

11B A C A 即cosA>cosA 1， 所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡.

[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.

3.例题讲解

多媒体演示.

[例1]如图，在Rt △ABC

中，∠B=90°，AC ＝

200.sinA ＝0.6，求BC

的长.

分析：sinA 不是“sin ”与“A ”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，AC

BC ＝0.6. 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200.

sinA ＝0.6，即=AC

BC 0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120. 思考：(1)cosA ＝?

19

(2)sinC ＝？ cosC ＝?

(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?

解：根据勾股定理，得

AB ＝2222120200-=-BC AC =160.

在Rt △ABC 中，CB ＝90°.

cosA ＝

5

4200160==AC AB ＝0.8， sinC= 5

4200160==AC AB =0.8， cosC ＝ 53200120==AC BC ＝0.6， 由上面的计算可知

sinA ＝cosC ＝O.6，

cosA ＝sinC ＝0.8.

因为∠A+∠C ＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.

[例2]做一做：

如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝13

12，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.

分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA ，cos (90°-A)=sinA.

解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=10，cosA ＝

1312，cosA ＝AB AC , ∴AB=6

6512131013

1210cos =?==A Ac ,

sinB ＝13

12cos ==A AB Ac 根据勾股定理，得

BC 2＝AB 2-AC 2

＝(665)2-102=2222625366065=- ∴BC ＝6

25.

∴cosB ＝13

565256

65625

===AB BC ,

sinA ＝13

5=AB BC 可以得出同例1一样的结论.

∵∠A+∠B=90°，

∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)；

cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A).

Ⅲ.随堂练习

多媒体演示

1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.

分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三 线合一”的性质，可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足

.

解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.

∴AB=AC ，∴BD=DC=2

1BC=3. 在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3，

∴AD ＝4.

sinB ＝

5

4=AB AD cosB ＝53=AB BD , tanB=3

4=BD AD . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝5

4，BC=20，求△ABC 的周长和面积. 解：sinA=AB BC ，∵sinA=5

4，BC ＝20， ∴AB ＝54

20sin =A BC ＝＝25. 在Rt △BC 中，AC ＝222025-=15，

∴ABC 的周长＝AB+AC+BC ＝25+15+20＝60，

△ABC 的面积：21AC ×BC=2

1×15×20＝150. 3.(2003年陕西)(补充练习

)

在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=

21， 则sinA= .

解：如图，tanA=AC BC =2

1. 设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理，得 AB=x x x 5)2(22=+.

∴sinA=555

15===x x AB BC . Ⅳ.课时小结

本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A 的三角函数概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.

Ⅴ.课后作业

习题1、2第1、2、3、4题

Ⅵ.活动与探究

已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数

的定义证明)

[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB.所以图中含有三个直角三角形.例如∠B 既在Rt △BDC 中，又在Rt △ABC 中，涉及线段BC 、BD 、AB ，由正

弦、余弦的定义得cosB ＝

AB BC ，cosB= BC

BD . [结果]在Rt △ABC 中，cosB ＝AB BC 又∵CD ⊥AB.

∴在Rt △CDB 中，cosB ＝

BC BD ∴AB BC =BC

BD BC 2＝AB ·BD. 板书设计

§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)

1.正弦、余弦的定义在Kt △ABC 中，如果锐角A 确定.

sinA ＝斜边

的对边A ∠ cosA ＝斜边

的对边A ∠ 2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关吗? sinA 的值越大，梯子越陡

cosA 的值越小，梯子越陡

3.例题讲解

4.随堂练习

从梯子的倾斜程度谈起(一)练习

从梯子的倾斜程度谈起（一）练习 目标导航 掌握正切、余切的定义，了解坡度的概念．能正确应用tan α、cot α表示直角三角形中两 边的比．应注意强调：1）对于tan α=αα∠∠的对边的邻边 等2个公式只适用于直角三角形；2）正确理解tan α、cot α是一个完整的符号，只表示一个数值．掌握同一个角的三角函数关系tan （90°－α）=cot α；cot （90°－α ）=tan α；tan α·cot α=1． 基础过关 1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 的 的比叫做∠A 的正切，记作 ；∠A 的 的比叫做∠A 的余切，记作 ． 2．在△ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =1，那么tan A = tan B =________． 3．设直角三角形的两条直角边的比为5∶12，则较大锐角的正切值等于______． 4．在直角三角形中，两锐角的正切互为 关系． 5．在Rt △ABC 中，AB BC tan A = ，cot A = ． 6．在△ABC 中，∠C =90°，若AB =2AC ，则 cot A = ． 7．已知一山坡的坡度为1∶ 3，若某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m ． 8．正方形网格中，AOB ∠如图1放置，则tan ∠AOB = ． 能力提升 9．如图2，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC =3米，3cot 4BAC ∠=，则梯子长AB = 米． 10．如图3，沿倾斜角为30?的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m ．（精确到0.1m ） 11． 如图4，在△ABC 中∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，CD ⊥AB ，垂足为D ，tan ∠BCD = ． 12．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正切值是 ． 13．如果tan x ?tan32°=1，那么锐角x =___________． 14．在△ABC 中，∠C =90°，AD 为BC 边中线，若AB =10，BD =4，则tan ∠DAC = 15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，且满足2220a ab b --=，则tan A 等于 ． 16．在Rt △ABC 中，∠C =90°，各边长都扩大3倍，锐角B 的余切值是（ ） A ．没有变化 B ．扩大3倍 C ．缩小3倍 D ．不能确定 17．如果α是锐角，且4cot 5 α=，那么tan α的值是（ ） A B C 图2 图3 A B O 图 1 图4

从梯子的倾斜角说起

九年级下北师版教材§1、1从梯子的倾斜程度谈起（第1课时） 枣庄市第四中学孙玫玉 教学目标： 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算. ３.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题. 教学重点与难点： 重点：（1）理解正切的意义，能够用tanA表示直角三角形中两边的比. （2）会利用正切刻画物体的倾斜程度、山的坡度等，并能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算. 难点：理解正切的意义，能够用tanA表示直角三角形中两边的比. 教法及学法指导： 本节课中，从引入、探究、归纳、应用都充分利用了“梯子的倾斜程度”这一活生生的现实情景，在具体活动中，我先让学生通过对情景问题的讨论产生困惑，再引导学生共同探究梯子的倾斜角与直角三角形边的比之间的关系.通过层层深入的探究，把每个知识点都落实到实处后，再水到渠成地让学生利用正切来刻画梯子的倾斜程度、山的坡度等，这样使学生接受新知识水到渠成，简单易懂. 课前准备： 课件，直尺，课本，练习本. 教学过程: 一、创设情境、引入新课 教师多媒体课件展示图片,学生感受梯子的诸多作用. 生活小帮手－梯子 【师】（多媒体课件展示）顽皮的小明忘记了家里 的钥匙，他找来了一把梯子，怎样放置梯子，才会 更安全的进入家中拿到钥匙？

【生1】别把梯子放的太陡峭． 【生2】把梯子放的平缓一些． 【师】我们也经常听人们说这个梯子放的“陡”， 那个梯子放的“平缓”，该如何判断梯子的“陡” 或“平缓”呢，这节课我们就来研究这个问题． （板书课题：1.1 从梯子的倾斜程度谈起（1）） 设计意图：从生活中有关梯子的实例入手， 设制了小明爬梯子拿钥匙的动漫情景，以新颖、有趣的问题情景，激发学生的学习兴趣，从而自然引出课题，并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔，同时也体现了数学来源于生活，又将为生活服务。 二、探究新知、合作交流 探究一 【师】 (用多媒体演示) 图中的三个梯子，那个更陡峭．为什么？ 【生３】第三个梯子更陡峭．因为第三个梯子与地面的倾斜角比第一个梯子与地面的倾斜角大，也比第二个梯子与地面的倾斜角大，所以第一个梯子更陡峭. 【师】由此，你有什么发现？ 【生４】梯子与地面倾斜角越大，梯子越陡峭；倾斜角越小，梯子越平缓. 过渡语：这位同学总结的很准确，发现梯子与地面的倾斜角越大，梯子越陡峭．若梯子与地面的倾斜角不知道，你能判断梯子的陡峭程度吗？ 探究二 5米 米 5 5米 图1-1

从梯子的倾斜程度谈1

从梯子的倾斜程度谈起(二) 教学目标 (一)知识与技能 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义. 2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 4.理解锐角三角函数的意义. (二)过程与方法 1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯. 教学重点 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 教学难点 用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 教学方法 探索——交流法. 教具准备 多媒体演示. 教学过程 Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课 [师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题： [问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗? [问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? Ⅱ.讲授新课 1.正弦、余弦及三角函数的定义 多媒体演示如下内容： 想一想：如图 (1)直角三角形AB 1C 1 和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2) 211122BA C A BA C A 和有什么什么关系? 2 112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论? (4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?

从梯子的倾斜程度谈起

《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时 ——教案设计 武进区寨桥初级中学王小松 一、教学目标 1、经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的意义。 2、能运用tanA表示直角三角形的两边比，并进行简单的计算及运用。 3、经历将实际问题转化成数学问题过程，培养学生自主探究的能力及数形结合的思想。 二、重点难点 1、理解tanA的意义。 2、能运用tanA进行简单计算及解决一些实际问题。 三、教具准备 例题投影片、实物展示台、数码投影仪 四、教学过程 Ⅰ课堂导入 师：大家听到这样一个消息没有，常州红梅公园对外免费开放了。红梅公园中现在有两座高塔，其中一座叫做文笔塔。同学们，有谁能利用所学的知识来求得文笔塔的实际高度吗生：（可能会用相似的方法）我明白这位同学的意思，也就是用相似的方法来求塔高。 师：但利用影子的方法来求塔高的要求很高，比如高塔旁不能有建筑物和树，而实际上文笔塔旁既有建筑，也有树。 师：70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗生：。。。。 师：这大厦名叫金茂大厦，它的高度要比文笔塔高得多。大家能应用所学得的知识求出金茂大厦的实际高度吗 生：。。。。 师：通过本章的学习，相信大家一定能够解决以上这些问题。今天这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起，继续来研究直角三角形的相关知识。(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起)。 Ⅱ讲授新课 师：梯子是我们日常生活中常见的物体。我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，他们是如何判断的呢“陡”或“平缓”是用来描述梯子的倾斜程度的。现在我们也一起来研究一下梯子的倾斜程度。请同学们拿出课前发给大家的材料。 师:在图中，梯子AB和EF哪个更陡你是怎样判断的你有几种判断方法（请同学们在讨论时，结合图中所反映的信息来寻找判断梯子陡的方法） （1）（2）

从梯子的倾斜程度谈起

从梯子的倾斜程度谈起 北师大出版社九年级数学下册第一章第一节 一、 教学建议 本节课是由梯子的倾斜程度问题弓I 入正切的概念，教科书呈现了梯子的几种情况，教学时可以呈现 更多情形，供学生讨论，比如，可以增加“底边相同，高度不同” 、“底边与高度成比例”的情形。采用 倾斜角的正切来刻画倾斜程度，学生可能不太容易理解，教学时要注意引导。通过对教材上问题的讨论, 要引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 二、 教学案例 1教学背景分析 锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用。 本节课是在学生学习了直角三角形角之间的 关系、边之间的关系的基础上进行的，借助于学生生活中常见的梯子为切入点，通过研究梯子的倾斜 程度，将问题转化为研究两边之比，利用相似知识解决问题， 题的方法，学生认识和理解了正切的概念后可以为学习正弦、 2整合思路 采用倾斜角的正切来刻画倾斜程度， 学生不太容易理解， 激发学生的学习兴趣。在学生讨论问题的过程中，利用多媒体演示梯子的形 状变化，让学生理解可以用倾 斜角的对边与邻边的比来刻画梯子的倾斜程度，从而正确掌握正切的含义。同时在幻灯片中展示不同类型 的直角三角形，以便学生直观感知，从而达到深入理解概念的目的。 3教学设计 总结规律。同时建立比较系统的研究问 余弦作铺垫。 首先应展示学生比较熟悉的梯子的各种形状,

引出正 切的概 念用电 脑出示 梯子的 几种情 兄 你能求出其它的边和角吗？ 比如：要测一个古塔的高度，下面的方法行吗？ （幻灯片展示） 通过本章的学习，相信大家一定能够解决此问题。 探索新知： 问题1：如图1,等高不等底的两个梯子， 哪一个倾斜 程度较大？ 联系生活，激发学习兴趣 出示：情 兄 学生观察图形，在独立思考的基础上合作交流, 最后总结出不同的方法。 建立 模 型： 三） 出示〈想 一想〉内 容（幻灯 片出示） 方法总结如下：（1）测量（2） BC 与DF 大小比较.（3） AC 与 ED BC DF 的大小比较.（4）过E 点作EM/ AB 等. 问题2 :如图2,底与高都不等的两个梯子, 个倾斜程度大？ 3.5m 哪一 1.3m D 问题3:你还会想到哪些类型？（幻灯片展示） 问题4:（幻灯片展示）小明，小亮的做法对吗? 学生讨论：通过学生的讨论.总结刻画梯子倾斜程度 的几种方法。鼓励学生用自己思想解决问题 . 2.理解正切的概念 通过讨论引导几种方法， 以便 为后面引入正切、正弦、余弦 的概念奠定 基础. 让学生充分理解当倾斜角确 定时， 确定. 有关， 无关。 其对边与邻边的比随之 这一比值只与倾斜角 而与直角三角形的大小

从梯子的倾斜程度谈起学案

2.5m 2m 5m 5m A B C D E F 1.3m 1.5m 3.5m 4m A B C D E F B 1 2 C 1 B 2 β 6m ┐ 5m 13m ┌ α 8m 甲 乙 2m 2m 4m 5m A B C D E F 第一课时 从梯子的倾斜程度谈起（学案） 三、学习目标 1 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，另外，能够用正切进行简单计算。 3.经历观察、猜想等数学过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。 4.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。 四、学习重难点 学习重点： 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切学生与生活的联系。 学习难点：理解正切的意义，并用它来表示直角三角形中两边的比。 五、学习模式 引导启发、合探究学习 六，学习过程 活动一:自主探究 问题1：如图1，等高不等底的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？ （图1） 问题2：如图2，底与高都不等的两个梯子，哪一个倾斜程度大？ （图2） 活动二：勇于发现 理解正切的概念 1，做一做 若没有足够长度的测量工具测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1与AC1, 进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？ 2，议一议 3，直角三角形的边与角的关系发现 (1).Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2有什么关系? 由此你得出什么结论？ 4，提出定义 例题1：下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡? 活动三：实用知识介绍 坡度： 三，中考连接 1、（2007.年成都 ）（4分） 如图，下列关于tanA 描述不正确的是（ ） A 、tanA=BC:AC B 、tanA= CD:AD C 、tanA= CD:AB D 、tanA= tan ∠BCD 2、某人沿一斜坡的底端B 走了10米到达点A ，此时点A 到地面BC 的垂直高度AC 为6米，则斜坡AB 的坡度为多少？ 3、如图，某人从山脚下的点A 走了20m 后到达山顶B ，已知点B 到山脚的垂直距离为12m ，求山的坡度。 4、（2008年.南京）（6分） 在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3， tanA=5:12,求AC 的长。 四、课堂小结 ?).2(2 22111有什么关系和AC C B A C C B B 6m

从梯子的倾斜程度

从梯子的倾斜程度

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王庄中学九年级数学（下）导学案 §1.1从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 姓名：班级：日期： 【学习目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 【学习重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 【学习难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 导学 流程 自研自探环节总结归纳环节 自学指导 （内容?学法） 随堂笔记 （成果记录.?知识生成） 生 活 中 的 数 学 问 题 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图 ⑵如图： 1、你有哪些办法比较两个梯子哪个更陡 。 2、在（1）图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的 3、在（2）图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 直 角 三 角 形 的 边 与 角 的 关 系 1、画两个大小不同的直角三角形，使其中一个锐角为30°，分别测量出两个 三角形中的30°的对边和邻边，它们的对边和邻边的比值相等吗？ 2、如图，回答下列问题 ⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? ⑵ 2 2 2 1 1 1 B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢? 答： 第1题： 第2题： （1） （2） （3） 思考： 1、当直角三角形的一个锐角的大小固定时，它的对边与邻边的比值固定吗？ 从而规定：在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫。 2、利用正切可以判断梯子的倾斜程度吗？如果能，怎么判断？ 答： 用符号表示为： b a A A A= ∠ ∠ = 的邻边 的对边 tan

梯子倾斜度课件

1.1 从梯子的倾斜程度谈起(二) 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义. 2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 4.理解锐角三角函数的意义. (二)能力训练要求 1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯. 教学重点 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 教学难点 用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 教学方法 探索——交流法. 教具准备 多媒体演示. 教学过程 Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课 [师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形

中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题： [问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗? [问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? Ⅱ.讲授新课 1.正弦、余弦及三角函数的定义 多媒体演示如下内容： 想一想：如图 (1)直角三角形AB 1C 1 和直角三角形AB 2C 2有 什么关系? (2) 2 11122BA C A BA C A 和有什么 关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论? (4)如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请同学们讨论后回答. [生]∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2， ∴A 1C 1//A 2C 2. ∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2. 2 11122BA C A BA C A 和 2 112BA BC BA BC 和 (相似三角形对应边成比例). 由于A 2是梯子A 1B 上的任意—点，所以，如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置，上述结论仍成立. 由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定. 也就是说，这一比值只与倾斜角有关，

北师大版初三数学下册《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计

《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计 课题：从梯子的倾斜程度谈起 教材：义务教育课程标准试验教科书数学九年级下（北京师范大学出版社）教师：西安市第七十中学张莹 一、教材分析 本章是九年级下册的第一章《直角三角形的边角关系》，教材内容的顺序是：正切—正弦、余弦—特殊角的三角函数值—三角函数的有关计算—三角函数的应用.我的认识如下：从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数—正切，先学正切，再类比正切学习正弦、余弦，接着考察特殊角的三角函数值，在此基础上过渡到利用计算器求一般角的三角函数值和已知三角函数值求角度，最后回到问题的解决和实际应用；这样安排一方面因为正切是生活中用得最多的三角函数概念，更为常见，如刻画梯子的倾斜程度、山的坡度等，因而先从实际问题引入正切，学习完正切后类比即可学习正弦、余弦；另一方面，这样的顺序更有利于初中学生的学习，符合学生从具体情境中发现问题、寻求解决问题办法，再进一步解决问题的思路，符合具体到抽象的认知规律. 本节包括正切、正弦、余弦的定义，直角三角形边角关系的简单计算两大部分，分为两课时完成.本节课是第一课时，将从梯子的倾斜程度引入正切，进行有关正切的简单计算.教材在这个内容的安排上是：先探究哪个梯子更陡，再从具体解法中提炼出刻画梯子倾斜程度的量—角的对边与邻边之比，由此抽象概括出正切的定义，最后是正切的简单计算和实际应用.这样的安排不仅体现出《义务教育数学课程标准》（2011版）中要求从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境的教学理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解. 通过本节课的学习，学生不仅能初步体会边角之间的数量关系，理解正切的意义，进行一些简单的计算，而且有助于学生进一步感受分类思想、转化和化归思想、数形结合的思想；同时为进一步学习锐角的正弦、余弦，解三角形奠定良好的基础，也为高中阶段学习一般角的三角函数奠定良好的基础. 二、学情分析 学生在学完直角三角形的相关内容后，已经对直角三角形的边和边的关系、

从梯子的倾斜度谈起

§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起 教学目标 经历探索直角三角形中边角关系的过程 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。 师生共同研究形成概念 梯子的倾斜程度 在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 想一想（比值不变） ☆想一想书本P 3 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。 正切函数 (1)明确各边的名称 (2)

(3)明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A的对边与∠A的邻边的比值。☆巩固练习 如图，在△ACB中，∠C = 90°， tanA = ；tanB = ； 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ； 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； 如图，在△ACB中，tanA = 。（不是直角三角形） tanA的值越大，梯子越陡 讲解例题 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。 如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，，求BC、AB的长。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。 正切函数的应用 书本P 5 正切函数的应用 随堂练习 书本 P 6 随堂练习

初三九年级数学下册《从梯子的倾斜程度谈起》教学反思

教学反思从梯子的倾斜程度谈起 恩格斯说，“数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。”数学与现实生活和人类社会息息相关，它源于生活，又服务于社会生活和生产实践。在数学教学中，力求从学生熟悉的生活情景和社会现实出发，选择学生身边感兴趣的事物，提出有关的数学问题，以激发学生学习数学的兴趣和动力，培养他们联系实际，分析问题，解决问题的能力。 本节课的设计是从现实情景入手，以人们熟知的梯子的倾斜程度展开问题的讨论，通过实验，让学生从实践问题中筛选处理加工信息与数据，掌握数学认识结构，用数学的观点和方法去分析问题，解决问题， 所以本节课提出的问题是：如何来判断梯子的倾斜程度？而让学生讨论的结果是：梯子的倾斜程度不仅与梯子的倾斜角的大小有关还与梯子与地面和墙面形成的两条边有关系。这个结果也就是我们本节课教学的目的：如何把生活知识转化成数学问题来解决。 我还设计本节课课堂教学方法以实验讨论为主，通过对小组式研究性学习，教师给出几幅例外且有对比价值的图，让学生利用观察、类比等活动探究梯子的倾斜程度与哪几个量有关系？同时设计这样的问题串：你是怎样判断出来的？你能用语言来描述吗？你能用数学知识来解释吗？找到运用数学解释现实生活的方法，探究出解决问题的大凡规律，同时提高应用意识和能力。为下面给出正切的定义做好铺垫，突破本节课的重点和难点。 这节课是概念探究型课，探究归纳概念的给出是重点而运用定义解决问题也是重点，所以本节课的另一任务是学以致用，建立数学模型解决问题，让学生体验学习中的胜利与喜悦， 在本节课的教学设计中我认为较突出的一点是为了让学生更确凿的体会梯子的倾斜程度，与梯子与墙面地面形成的垂直高度和水平距离的比值有关系，我设计了这样一个环节让学生自己摆梯子，怎样摆梯子更陡？通过动手动脑实践加深了学生的理解和体验，为本节课的难点做好了铺垫，更好的完成本节课的教学。 1/ 1

§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起(一)

§ 1.1.1从梯子的倾斜程度谈起（一） 教学目标 （一）知识与技能 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2. 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的 倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 1. 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 2. 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力. 3. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. （三）情感与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2. 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点 1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 教学方法 引导一探索法.

教具准备 FLASH寅示 教学过程 1. 创设问题情境，弓I入新课 用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现： ［问题1］在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？ ［问题2］随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地 发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？ 通过本章的学习，相信大家一定能够解决. 这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.（板书课题§ 1.1.1从梯子的倾斜程度谈起）. 2. 讲授新课 用多媒体演示如下内容:

§ 1.1.1从梯子的倾斜程度谈起(一)

§ 1.1.1从梯子的倾斜程度谈起(一) 教学目标 (一)知识与技能 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力. 3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. (三)情感与价值观 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 教学方法

引导—探索法. 教具准备 FLASH演示 教学过程 1.创设问题情境，引入新课 用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现： [问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗? [问题2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗? 通过本章的学习，相信大家一定能够解决. 这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起). 2.讲授新课 用多媒体演示如下内容：

三角函数-从梯子的倾斜程度

从梯子的倾斜程度谈起（一） 一、知识要点 正切的定义：tan A A A ∠=∠的( ) 的( ) tanA 的值 ，梯子越陡 巩固练习： 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ； 2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； 二、例题讲解 （一）应知应会 例1如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 对应训练：在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值 正切也常用来描述山坡的坡度（坡比）：学生阅读课本P5，理解坡度（坡比）的定义 例2若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米. 对应训练：如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号) 三、课堂检测 1、在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ） A 、扩大2倍 B 、缩小2倍 C 、扩大4倍 D 、没有变化 2、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,求tanA. A B C A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 斜边

3、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,求 tanA. 4、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,求tanC. ５、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且坡度为3：4，现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高? 从梯子的倾斜程度谈起（二） 一、知识梳理 正弦的定义：sin A A ∠= 的( ) ( ) sinA的值，梯子越陡 正弦的定义：cos A A ∠ = 的( ) ( ) cosA的值，梯子越陡 二、例题讲解 [例1]如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长 思考：(1)cosA＝? (2)sinC＝？ cosC＝? (3)由上面计算，你能猜想出什么结论? [例2]做一做：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝ 13 12 ，AC＝10，AB等于多少?sinB 呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达. 三.随堂练习 1、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) B A α A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 斜边

从梯子的倾斜程度谈起(一)说课稿

1.1从梯子的倾斜程度谈起(一)说课稿 定边县砖井镇中学张炳汉 尊敬的各位评委，各位老师： 大家好!今天我说课的内容是北师大版九年级数学（下）第一章《直角三角形的边角关系》第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时。下面我分别从设计理念、教材分析、教法与学法、教学过程等四个方面逐一进行分析说明。 一、设计理念 从新课标中让我们知道：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”基于课标，我运用导学稿，采用自主探究、合作交流等形式完成了本节课的教学。 二、教材分析 （一）教材的地位和作用 本节为九年级（下）第一章《直角三角形的边角关系》的第一节《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时。直角三角形的边角关系是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的应用。通过本节的学习，学生将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。也将为学生学习正弦、余弦等三角函数知识及进一步学习其他数学知识奠定了基础。 （二）教学目标和要求 本节课的教学目标有三方面的要求： 其一知识目标：要求组织学生通过探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系，并能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，理解其与物体的倾斜程度、坡度的关系，并能够用正切进行简单的计算。 其二能力目标：要求组织学生经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点，体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力，体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。 其三情感目标：要求组织学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。 （三）教学的重点和难点 重点：1.自主探究直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，体会数学与生活的密切 联系. 难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 三、教法与学法 1、教法： 本节课主要采用“以导助学”的方式实施教学，通过循序渐进、环环相扣的问题串，让学生在自主学习与探究中逐步体会“梯子”的倾斜程度与哪些量

从梯子的倾斜程度谈起(一)

重庆八中宏帆初2013级数学备课案 一、新知探究 1．两个梯子的倾斜程度（转化为两个直角三角形锐角）哪个较大？怎样判断的？ 教学建议：采用实验的方法，让学生领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的的比是由锐角的大小变化而变化的。 2．梯子的倾斜程度与正切关系吗? 是怎样的关系? 教学建议：让学生充分理解正切tanA 的现实意义。 二、 例题分析 例1．教材第4页例1 （设计意图：让学生运用新知识能解决与直角三角形有关的实际问题，理解正切的现 实意义） 练习：第6页随堂练习1 例2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13,求tanA 和tanB （设计意图：学生能够用tanA 表示直角三角形中两边的比） A C 5 ２ ５ ２.５ Ａ Ｂ Ｅ ２ Ｆ 图1 5 ２ 6 ２ Ａ Ｂ Ｅ ２ Ｆ 图2 4 ２ 6 3 Ａ Ｂ Ｅ ２ Ｆ 图3 ４ 1.5 3.5 1.3 Ａ Ｂ Ｅ ２ Ｆ 图4

例3．如图，在△ACB 中，∠C=90°，AC=6， ， ，求BC 、AB 的长。 （设计意图：进一步熟练掌握用正切的定义求直角三角形的边长） 例4．如图，在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB. （设计意图：让学生能够用正切进行简单的计算，升华 对正切定义的理解，） 三、 课堂练习 1、在右图中:求tanA 的值 2、判断对错:如图1: (1) tanA=AC BC （ ） 如图2：(2) tanA=0.7m （ ） (3) tanB= 7 10 （ ） 3、如图,在Rt△ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100倍,tanA 的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 4.教材第6页随堂练习2. 探讨的问题：余切三角函数的概念，同角、互余三角函数的关系是否作为教学内容？ 达成的共识：本部节内容不拓展，核心是掌握锐角三数的概念。 A B C 图1 图2 A B C

从梯子的倾斜程度谈起(二)练习

从梯子的倾斜程度谈起（二）练习 目标导航 掌握正弦、余弦的定义，能正确应用sinα、cosα表示直角三角形中两边的比．了解锐角 三角函数的概念．应注意强调：1）对于sinα= α ∠的对边 斜边 、cosα=α ∠的邻边 斜边 这两个公式只 适用于直角三角形；2）正确理解sinα、cosα是一个完整的符号．其表示一个数值．掌握同一个角的三角函数关系sin（90°－α）=cosα；cos（90°－α）=sinα；sin2α＋cos2α=1． 基础过关 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角∠A的的比叫做∠A的正弦，记作；锐角∠A的的比叫做∠A的余弦，记作． 2．在正方形网格中， ABC △的位置如图所示，则cos B的值为． 3．在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，则sin B的值为． 4．已知在△ABC，∠C=90°，且2BC=AB，那么sin A =_______． 5．已知在△ABC中， 90 = ∠C，3cos B=2，则sin A= ． 6．已知三角形三边的比是25∶24∶7，则最小角的余弦值为，最小角的正 切值为______． 7．已知α为一锐角，sinα＝4 5 ，则cosα= ，tanα= ． 8．在△ABC中，∠C=90°，a、b分别为∠A和∠B的对边，且3a，则sin A__________．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是（） A．c=a sin A B．c= a sinA C．c=a cos A D．c= a cosA 能力提升 10．若α是锐角，那么sinα＋cosα的值（） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定 11．在Rt△ABC中，∠ACB=90o，如果sin A∶sin B=2∶3，那么tan A的值为（）A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4 12．在△ABC中∠C=90°，a、b分别为∠A和∠B的对边a=8，b=15，sin A＋sin B＋sin C等于（） A．37 17B．38 17 C．39 17 D．40 17 13．在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．则sin B=（） A．C D AB B．AC BC C．BC AB D．AC AB 14．若A＋B=90°，则22 sin sin A B +的值等于（） A．1 B．2 (sin cos) A B +C．2 2sin A D．8 15．如图，菱形ABC D的周长为40cm，DE AB ⊥，垂足为E，3 sin 5 A=，则下列结论正确的有（） D C B E A

(教案)从梯子的倾斜程度谈起

第一章直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起 课时安排 2课时 从容说课 直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之—.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题. 本节首光从梯子的倾斜程度谈起。引入了第—个锐角三角函数——正切.因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的.所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算. 本节的重点就是理解tanA、sinA、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA的数学含义.所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解. 第一课时 课题 § 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. (二)能力训练要求 1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力. 3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 教学方法 引导—探索法.

从梯子的倾斜程度谈起教学反思

从梯子的倾斜程度谈起教学反思 恩格斯说，数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。数学与现实生活和人类社会息息相关，它源于生活，又服务于社会生活和生产实践。在数学教学中，力求从学生熟悉的生活情景和社会现实出发，选择学生身边感兴趣的事物，提出有关的数学问题，以激发学生学习数学的兴趣和动力，培养他们联系实际，分析问题，解决问题的能力。 本节课的设计是从现实情景入手，以人们熟知的梯子的倾斜程度展开问题的讨论，通过实验，让学生从实践问题中筛选处理加工信息与数据，掌握数学认识结构，用数学的观点和方法去分析问题，解决问题，所以本节课提出的问题是：如何来判断梯子的倾斜程度？而让学生讨论的结果是：梯子的倾斜程度不仅与梯子的倾斜角的大小有关还与梯子与地面和墙面形成的两条边有关系。这个结果也就是我们本节课教学的目的：如何把生活知识转化成数学问题来解决。 我还设计本节课课堂教学方法以实验讨论为主，通过对小组式研究性学习，教师给出几幅不同且有对比价值的图，让学生利用观察、类比等活动探究梯子的倾斜程度与哪几个量有关系？同时设计这样的问题串：你是怎样判断出来的？你能用语言来描述吗？你能用数学知识来解释吗？找到运用数学解释现实生活的方法，探究出解决问题的一般规律，同时提高应用意识和能力。为下面给出正切的定义做好铺垫，突破本节课的重点和难点。 这节课是概念探究型课，探究归纳概念的给出是重点而运用定义解决问题也是重点，所以本节课的另一任务是学以致用，建立数学模

型解决问题，让学生体验学习中的成功与快乐，在本节课的教学设计中我认为较突出的一点是为了让学生更准确的体会梯子的倾斜程度，与梯子与墙面地面形成的垂直高度和水平距离的比值有关系，我设计了这样一个环节让学生自己摆梯子，怎样摆梯子更陡？通过动手动脑实践加深了学生的理解和体验，为本节课的难点做好了铺垫，更好的完成本节课的教学。 反思二：从梯子的倾斜程度谈起教学反思 回想自己对三角函数的认识，只是知道它也以计算，而对于它还有其他什么用处，在没讲这节课之前真的不知道。从课题就引起了学生的兴趣，学生可能就会提出这样的问题：梯子的倾斜程度会设计什么数学知识呢？而数学又将教会我们什么新的东西来衡量梯子的倾斜程度？在这个问题的驱使下，我组织学生小组讨论了如何判断课本中给出的梯子的陡与否。进一步引导学生通过比较倾斜角的对边与邻边的比值来比较梯子的倾斜程度，进而引入正切的概念，正切等于对比邻，得出结论：正切值越大，梯子越陡；反之也成立。最后再简单应用正切解题，整节课学生学习的积极性很强，学习也很主动，效果良好！ 反思三：从梯子的倾斜程度谈起教学反思 通过本节课的学习，学生能运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题，进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。但是课堂上学生的参与还不足，学生的积极回答还有待进一步提高。 提高评价能力和反思能力，有助于学生后续学习的开展，促进学生不断主动发展，为学生课后进一步探索指明方向，激发学生的探索潜能。