基于CrankNicolson格式的输运方程的数值求解方法
输运方程是数学物理方程中比较重要的方程之一，能够描述一些输运的物理过程，比如：制作半导体器件就常用到扩散法，把含有所需杂质的物质涂敷在硅片表面，把硅片放在扩散炉里，杂质就向硅片里面扩散，扩散运动的方向基本上是垂直于硅片表面而指向硅片深处［１］，这种只沿某一方向进行的扩散就可以用一个一维的输运方程来描述这一物理过程．输运方程的解法很多，一般的输运方程是可以用解析的解法求解的，对于复杂的方程、边界条件及初始条件，解析解就变的比较困难了，于是需要寻求数值解法．对于偏微分方程，数值解法一般采用有限差分法，在此介绍一种基于Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式的差分方法的数值求解．
本文第一部分将对Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式做个简单的介绍，第二部分将给出数值结果，第三部分则是本文的结论．1
Crank-Nicolson 格式简介考虑如下的定解问题：
鄣ｕ－鄣２ｕ＝０
０≤ｘ≤５，ｔ＞０
ｕ（ｘ，０）＝ｓｉｎπｘ０≤ｘ≤５，ｕ（０，ｔ）＝ｕ（５，ｔ）＝０
ｔ≥０鄣
鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣
．
（１）
上述方程是一个输运方程，该方程的最基本差分格式为向前差分和向后差分格式，向前差分格式可以写为［２］：
ｕｊｎ＋１
－ｕｊ
ｎ
τ－ａｕｊ＋１ｎ
－２ｕｊｎ
－ｕｊ－１ｎ
ｈ２＝０（２）
可以将这个差分格式改写为：ｕｊｎ
－ｕｎ－１ｊｎ－ａｕｊ＋１ｎ－１－２ｕｊｎ－１－ｕｊ－１
ｎ－１
＝０
（３）
向后差分的的格式可以写为［３］：ｕｊｎ
－ｕｎ－１ｊ
ｎ
τ－ａｕｊ＋１ｎ－２ｕｊｎ－ｕ
ｊ－１ｎ
ｈ
２＝０
（４）
在（４）式的等式左右两边同乘θ，在（３）式的两边同乘（１－θ），并将两式相加得到［４］：ｕｊｎ
－ｕｎ－１ｊ
ｎ
τ
－ａθｕｊ＋１ｎ－２ｕｊｎ＋ｕｊ－１ｎｈ２＋（１－θ）ｕｊ＋１
ｎ－１－２ｕｊｎ－１＋ｕｊ－１ｎ－１
ｈ２
鄣
鄣
＝０（５）上式为加权隐格式的差分格式，在上面的式子中，λ表示时间步长，ｈ表示空间步长，θ是一个大于０小于１的数，当θ＝０时上式成为向前差分格式，当θ＝１时上式变成向后差分格式．
有一种特殊情况是当θ＝１２
时，等式（５）变为：
（ｕｊｎ＋１－ｕｊｎ）－ａτ２ｈ
２［（ｕｊ＋１ｎ＋１－２ｕｊｎ＋１＋ｕｊ－１ｎ＋１）＋（ｕｊ＋１ｎ－２ｕｊｎ＋ｕｊ－１ｎ
）］＝０（６）
这个格式一般称作Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式，这个差分格式是无条件稳定的，这会给数值解法带来很多方便．2
数值结果
定解问题（１）能够给出解析解，在此取ａ＝１，其解析解为：
ｕ（ｘ，ｔ）＝ｅ
－π２
ｔ
ｓｉｎπｘ（７
）
图１ｔ＝０．５时Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式下的数值解
Ｖｏｌ．２９Ｎｏ．２
Ｆｅｂ．２０１３
赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第２９卷第２期（上）
２０１３年２月基于Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式的输运方程的数值求解方法
魏丙涛
（文山学院
数理系，云南文山
６６３０００）
摘要：本文将介绍一种求解输运方程的数值方法Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式，通过数值求解的方法得到方程的数值解并与该方程的解析解对比，给出数值解法的稳定性以及数值方法精度．
关键词：加权隐格式；输运方程；数值方法中图分类号：０１７５．２
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１３）０２－００１２－０２
１２－－
普通计算器用计算器解方程的方法
用计算器解方程的方法 高中时发现一个用计算器来解方程的方法，前一阵用到计算器就想起来了，习惯性地谷歌之、百度之，居然没有发现类似的方法，于是就想把它写下来。 说明下对计算器的要求，只要是个带有"Ans"键的计算器就行，一般我们用的都是这种计算器。对于要解的方程，无论是超越方程还是高次方程，基本上都一样。 先来初步尝试一下。如果要解的方程是：exp(x)=-x+3 (注：exp(x) 是表示e的x次方) ，你要按的键就像下面一样： 0 = ln ( - Ans + 3 ) = = = = ?? 如你所知，Ans键有保存上一次计算结果的功能，所以第一条语句就是给Ans赋初值的意思，初值要选在解的附近，大概估计下就可以。第二条我没有打错，你在连续按了十几次"=" 后，是不是发现再按的时候屏幕上的数值不变了？这就是方程的解。看起来好像很晕，还是解释解释这样做的原因： 看见上面的图了吗？小赵(高一数学老师)曾经给我们介绍过一种有趣的现象，一般情况下两函数图象在交点附近有这种类似螺旋的收敛特性。灵感正是来自这里。是不是有点眉目了？ 假设上面的图中两个图象分别是y=f(x) 和 y=g(x) ，而我们要解的方程是f(x)=g(x)。为了方便，这里把F(x)和G(x)分别记做f(x)和g(x)的反函数。于是这个方程可以等价变换为 x=F(g(x)) 和x=G(f(x)) 。这两个式子的右半边就是我们要输入计算器然后不断按"="的，当然，输入计算器的时候所有的x都用Ans代替。再看看上面的图，其实这两个式子中，一个的代表顺时针螺旋，另一个代表逆时针螺旋；一个能使螺旋收敛于交点，另一个会使螺旋扩张。不幸滴是，我们不知道哪个式子能使螺旋扩张，哪个能使收敛，所以两个式子都得试试，在我们按了若干次 "=" 后如果屏幕上数值稳定了，就说明这是收敛式，并且这个稳定的值就是解。比如前面的例子，方程可以变成 x=ln(-x+3) 和 x=-exp(x) +3 ，其中-exp(x)+3使值扩散，而ln(-x+3)使值收敛，就想一开始做的那样。 如果这个方程有好几个解呢？那你就使用不同的初值，一般来说，它总会收敛于离初值比较近的那个解。要注意的是，使方程各个解收敛的螺旋方向可能不同，也就是说对于每个解，你还是需要代两个式子。上面说的是理想情况，比如遇到x^5+x^2 = x^4-x+5 这样的方程，总不可能去求两边的反函数吧，累都累死。这时候，提取两边最能体现原本特征的一部分就可以了，比如这里就是x^5 和x^4 ，变换后的式子是 x=5次根号下的(x^4-x+5-x^2) 和 x=4次根号的(x^5+x^2+x-5) 。 最后不得不说，比如x=-x+3 这种情况，这种方法无效。
081数值计算方法—常微分方程(组)
科学计算—理论、方法 及其基于MATLAB 的程序实现与分析 微分方程（组）数值解法 §1 常微分方程初值问题的数值解法 微分方程（组）是科学研究和工程应用中最常用的数学模型之一。如揭示质点运动规律的Newton 第二定律： ()()()?????'='==0 00022x t x x t x t F dt x d m （１） 和刻画回路电流或电压变化规律的基尔霍夫回路定律等，但是，只有一些简单的和特殊的常微分方程及常微分方程组，可以求得用公式给出的所谓“解析解”或“公式解”，如一阶线性微分方程的初值问题： () ()0 0y y t f ay dt dy =+= （２） 的解为： ()()()τττd f e y e t y t t a at ?-+=00 （３） 但是，绝大多数在实际中遇到的常微分方程和常微分方程组得不到“解析解”，因此，基于如下的事实：
１、绝大多数的常微分方程和常微分方程组得不到（有限形式的）解析解； ２、实际应用中往往只需要知道常微分方程（组）的解在（人们所关心的）某些点处的函数值（可以是满足一定精度要求的近似值）； 如果只需要常微分方程（组）的解在某些点处的函数值，则没有必要非得通过求得公式解，然后再计算出函数值不可，事实上，我们可以采用下面将介绍的常微分方程（组）的初值问题的数值解法，就可以达到这一目的。 一般的一阶常微分方程（组）的初值问题是指如下的一阶常微分方程（组）的定解问题： ()()0 00,y t y t t t y t F dt dy f =≤≤= （７） 其中 ()()()()???? ?? ? ??=t y t y t y t y n 21 （８） ()()()()???? ?? ? ??=y t f y t f y t f y t F n ,,,,21 （９） 常微分方程（组）的初值问题通常是对一动态过程（动态系统、动力系统）演化规律的描述，求解常微分方程（组）的初值问题就是要了解和掌握动态过程演化规律。 §１.1 常微分方程（组）的Cauch 问题数值解法概论
涡量输运方程
粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量的耗散性。 1、粘性流体运动的涡量输运方程 为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。推导过程如下： 其Lamb型方程是： 引入广义牛顿内摩擦定理： Lamb型方程变为： 对上式两边取旋度，得到： 整理后得到： 这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。由于：
（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为： 这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。 （2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为： 张量形式为。 （3）对于二维流动，上式简化为： 2、粘性流体运动的有旋性 理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为： 根据场论知识，有：
代入上式，得到： 如果流动无旋，则： 这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。但问题出在固壁边界上。在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件，即：。要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。这说明粘性流体流动一般总是有旋的。 但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。 3、粘性流体旋涡的扩散性 粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。 以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度的定解问题为：
(完整版)小学五年级解方程计算题练习题
一、解方程专题 7+=19 X+120=176 58+X=90 X+150=290 79.4+X=95.5 2X+55=129 7 X=63 X× 9=4.5 4.4X=444 X × 4.5=90 X × 5=100 6.2X=124 X-6=19 X-3.3=8.9 X-25.8=95.4 X-54.3=100 X-77=275 X-77=144 X ÷7=9 X÷4.4=10
X÷78=10.5 X÷2.5=100 X÷3=33.3 X÷2.2=8 9-X=4.5 73.2-X=52.5 87-X=22 66-X=32.3 77-X=21.9 99-X=61.9 3.3÷X=0.3 8.8÷X=4.4 9÷X=0.03 7÷X=0.001 56÷X=5 39÷X=3 3×(X-4)=46 (８+X)÷5=15 (X+5) ÷3=16 15÷(X+0.5)=1.5
12X+8X=40 12X-8X=40 12X+X=26 X+ 0.5X=6 X-0.2X=32 1.3X+X=26 3X+5X=48 14X-8X=12 6×5+2X=44 20X-50=50 28+6X=88 32-22X=10 24-3X=3 10X×（5+1）=60 99X=100-X X+3=18 X-6=12 56-2X=20 4X+2=6 X+32=76
3X+6=18 16+8X=40 2X-8=8 4X-3×9=29 8X-3X=105 X-6×5=42 X+5=7 2X+3=10 X-0.8X=6 12X+8X=4.8 7(X-2)=49 4×8+2X=36 (X-2)÷3=7 X÷5+9=21 (200-X)÷5=30 48-27+5X=31 3X-8=16 3X+9=27 5.3+7X=7.4 3X÷5=4.8
小学五年级解方程计算步骤
小学五年级解方程计算步骤 小学阶段解方程计算题一般有以下几个步骤，大家要认真把这几个步骤记住，看到相关题型就按照下面的方法去做就可以了。 一．移项 所谓移项就是把一个数从等号的一边移到等号的另一边去。注意，加减法移项和乘除法移项不一样，移项规则：当把一个数从等号的一边移到另一边去的时候，要把这个数原来前面的运算符号改成和它相反的运算符号，比如“+”变成“-”，或是“×”变成“÷” 请看例题： 加减法移项： x + 4 = 9 x-8=19 x=9-4 x=19+8 x=5 x=27 乘除法移项： 3x=27 x÷6=8 x=27÷3 x=8×6 x=9 x=48 1.常规题目，第一步，把所有跟未知数不能直接运算的数字，转移到与未知数相反的等号 那一边。比如： 3x - 4 = 8 5x + 9 = 24 3x=8+4 5x=24 - 9 3x=12 5x=15 x=4 x=3 2.第二种情况请记住，当未知数前面出现“－”或是“÷”的时候，要把这两个符号变成 “＋”或是“×”，具体如何改变请看下面例题： 20 – 3x=2 20=2 + 3x -----(注意：也就是前面提过的移项问题，改变符号在方程里面就是移项) 20-2=3x 18=3x x=6 36÷4x = 3 36=3×4x ----(注意：也就是前面提过的移项问题，改变符号在方程里面就是移项) 36=12x x=3
3.未知数在小括号里面的情况，注意，这种情况要分两种，第一种是根据乘法分配律先把 小括号去掉 例如：3(3x+4) = 57 9x + 12=57 9x=57-12 9x=45 x=5 第二种情况就是，要看括号前面的那个数跟等号后面的那个数是否倍数关系，如果是倍数关系，可以互相除一下，当然，用这一种方法的前提就是等号另一边的数只有一个数字，如果有多个，则先要计算成一个。 例如 3(3x+4) = 57 2(4x - 6) = 30+9-3 3x+4 = 57÷3 2(4x-6) = 36 3x+4 = 19 4x – 6=36÷2 3x = 19-4 4x-6=18 3x = 15 4x=18+6 x = 5 4x=24 x=6 4.第四种情况就是未知数在等号的两边都有，这种情况就是要把未知数都移项到一边，把 其它的数字移项到另一边，具体规则，如果两个未知数前面的运算符号不一样，要把未知数前面是“－”的移到“＋”这一边来，如果两个未知数前面的运算符号一样，则要把小一点的未知数移到大一点的未知数那一边去。 例如： 3x +12 = 48 – 6x 3x + 48 = 8 + 5x 3x + 6x = 48-12 48-8 = 5x – 3x 9x = 36 40 = 2x x = 4 x = 20
解方程计算题
解方程计算题 2x+8=16 x÷5=10 x+7x=8 9x-3x=6 6x-8=4 5x+x=9 x-8=6x 4÷5x=20 2x-6=12 2x+8=16 x÷5=10 x+7x=8 9x-3x=6 6x-8=4 5x+x=9 x-8=6x 4÷5x=20 2x-6=12 7x+7=14 6x-6=0 5x+6=11 2x-8=10 1÷2x-8=4 x-5÷6=7
3x+7=28 3x-7=26 9x-x=16 24x+x=50 6÷7x-8=4 3x-8=30 6x+6=12 3x-3=1 5x-3x=4 2x+16=19 5x+8=19 14-6x=8 15+6x=27 5-8x=4 7x+8=15 7x+7=14 6x-6=0 5x+6=11 2x-8=10 2x-8=4 x-5÷6=7 3x+7=28 3x-7=26 9x-x=16 24x+x=50 6÷7x-8=4 3x-8=30 6x+6=12 3x-3=1 5x-3x=4 2x+16=19 5x+8=19 14-6x=8 15+6x=27 5-8x=4 7x+8=15 9-2x=1 4+5x=9 10-x=8 8x+9=17 9+6x=14
x+9x=4+7 2x+9=17 8-4x=6 6x-7=12 7x-9=8 x-56=1 8-7x=1 x-30=12 6x-21=21 6x-3=6 9x=18 4x-18=13 5x+9=11 6-2x=11 x+4+8=23 7x-12=8 = 15 5X-2X=18 ×2= x 26×= 2x ×16―16×=4x －X= ÷X=0. 3 X÷= x＋13＝33 3 － 5x＝80 6x＝5 4 －＝ 9 ＋4x ＝40 －＋＝ －＝ 12 －4x＝20 1/3 x＋5/6 x＝ 12 x＋34 x=1 18x－14 x= 12
π计算方法,二元一次和二元二次方程求根公式,一元n次方程
π的计算方法 如图，这是一个正五边形和它的外切圆。AD平分∠EDB，AC⊥交于BD与点C.已知外切圆的半径为5cm。求正五边形的周长？ 根据题目可以求出∠EDB= ? = - 108 5 180 * 2 5） （ ∵AD为∠EDB角平分线 ∴∠ADC=∠EDA=108*(1/2)=54° ∵AD=5cm,∠ADC=54° ∴CD=cos54°*5cm ∴BD=2CD=2*cos54°*5cm ∴C[正五边形] =2*cos54°*5cm*5=50*cos54° 如图，这是一个正n边形和它的外切圆。AD平分∠EDB，AC⊥交于BD与点C.已知外切圆的半径为rcm。求正n边形的周长与它的外切圆直径之比？根据题目可以求出∠ EDB= ?- n n180 * 2） （ ∵AD为∠EDB角平分线
∴∠ADC=∠EDA=n n n 2180*2n 21*180*2）（）（-=- ∵AD=rcm,∠ADC=n 2180*2-n ）（ ∴CD=r n *)2180*2-n cos(）（ ∴BD=2CD=2*r n *)2180*2-n cos(）（ ∴C[正五边形]=2*n **)2180*2-n cos(r n ）（ ∴π=n r n r n C C n *)2n 180*2)-(n cos(2*2**)2180*)2n ((cos =-=≈它外切圆直径 直径边形正圆（180单位为°）
)2180)2n (tan(*)2180)2n (tan(na n *)2180)2n (tan(2*a 5.0*)2180)2n (tan(5.0*)2180)2n (tan()2180)2n (tan(5.02180)2n (,180)2n (a 5.0,a n n a n n a C a n n G a n GH n a HG AH HG n FAG BAF AG n BAF HF AH AF H AF GH G AF FG AG AF n G n n AFG n -=-≈≈∴=-=-∴-=∴-==-=∠∴∠-=∠==∴∴⊥∴==直径边形周长外接正π直径为圆平方中点 为等腰三角形三线合一 的切线 为圆边形的内接圆。为正边形，圆已知；这是一个正边形一部分 为等腰△是正边形，△假设这是个正正多边形ΘΘΘΘΘ 二元一次方程的求根公式
郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章 常微分方程数值解法
郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课 第八章常微分方程数值解法
待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使 对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾
§8.2 欧拉(Euler)法 通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 )
§8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′
数值分析_第五章_常微分方程数值解法
图５畅２ 令珔h ＝h λ，则y n ＋１＝１＋珔 h ＋１２珔h ２ ＋１６珔h ３＋１２４ 珔 h ４y n ．由此可知，绝对稳定性区域在珔h ＝h λ复平面上满足 ｜１＋珔 h ＋１２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４珔h ４ ｜≤１的区域，也就是由曲线 １＋珔h ＋ １２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４ 珔h ４＝e i θ 所围成的区域．如图５畅２所示． 例22 用Euler 法求解 y ′＝－５y ＋x ，y （x ０）＝y ０， x ０≤x ≤X ． 从绝对稳定性考虑，对步长h 有何限制？ 解 对于模型方程y ′＝λy （λ＜０为实数）这里λ＝抄f 抄y ＝－５．由 ｜１＋h λ｜＝｜１－５h ｜＜１ 得到对h 的限制为：０＜h ＜０畅４． 四、习题 １畅取步长h ＝０畅２，用Euler 法解初值问题 y ′＝－y －x y ２ ， y （０）＝ １． （０≤x ≤０畅６）， ２畅用梯形公式解初值问题 y ′＝８－３y ， （１≤x ≤２），
取步长h＝０畅２，小数点后至少保留５位． ３畅用改进的Euler公式计算初值问题 y′＝１x y－１x y２， y（１）＝０畅５， １＜x＜１畅５， 取步长h＝０畅１，并与精确解y（x）＝ x １＋x比较． ４畅写出用梯形格式的迭代算法求解初值问题 y′＋y＝０， y（０）＝１ 的计算公式，取步长h＝０畅１，并求y（０畅２）的近似值，要求迭代误差不超过１０－５． ５畅写出用四阶经典Runge唱Kutta法求解初值问题 y′＝８－３y， y（０）＝２ 的计算公式，取步长h＝０畅２，并计算y（０畅４）的近似值，小数点后至少保留４位． ６畅证明公式 y n＋１＝y n＋h９（２K１＋３K２＋４K３）． K１＝f（x n，y n）， K２＝f x n＋h２，y n＋h２K１， K３＝f x n＋３４h，y n＋３４h K２， 至少是三阶方法． ７畅试构造形如 y n＋１＝α（y n＋y n－１）＋h（β０f n＋β１f n－１）
boltzmann方程与输运现象 (1)
0f f f f dk f v r k dt t τ -????+?+=-???Blotzmann 方程及其应用 1. Blotzmann 方程 （1） 即 0f f f f F f v r k t τ -????+?+=-??? （2） 2. 静态电阻率 在均匀静电场E 下，对于均匀材料，分布函数f 只与k 有关，（2）式变为： 0f E f f e k τ?=+?? （3） 在低场下，F eE k τ<<，作为近似， f f k k ??≈ ?? 则001f f E f e e v E k ττε ??=?=??? （4） 电流密度：031 ()()4f J e e v E vdk τπε ?= -??? （5） 设样品各项同性：0J E σ= 所以， 22003()4f e v n dk στπε???=?- ???? ? （6） 其中，n 为电场强度方向单位矢量，在各项同性的假设下2 2 ()3 v v n ?=，并且，样 品温度远小于费米温度，0 ()F f δεεε ?- ≈-?,在这种情况下： 2222 03323 ()()121212F F k Fermi Surface e e dS v dk v d e vdS στδεετδεεεππετπ=-=-?= ??? （7） 所以：222 03* 412F F F F ne e v k m τστππ== （8） （（8）式利用：*F F m v k =，并且3 23F k n π=）
3. 电导率随频率和波矢的变化 外加电场为交变场：()0e i q r t E E ω?-=，并设01f f f =+ 从Boltzmann 方程出发，经过适当近似后： 0111()f f f f eE v r k t τ ???-?+?+=-??? （9） 设()1()e i q r t f k ωφ?-=，并代入上式解得： 0()()1() f v E e k i q v τεφτω???=--? （10） 同前面的方法类似： 203()41() f e v v E J dk i q v τπετω????=- ??--???? （11） 设样品各向同性： 2203()41()f e v n dk i q v στπετω????=- ? ?--??? ? （12） 从上式不难看出，当0q →（长波近似）和0ω→（静态）时，0σσ→ 由于电磁波为横波，设?q qz =，00?E E x =，代入（12）： 2 203(,)41() x z f v e q dk i qv σωτπετω??? =- ??--??? （13） 利用0 ()F f δεεε ?- ≈-?，在球坐标下： 22222 3sin cos 1(,)sin 41(cos )F F F F F F Fermi Surface v e q k d d i qv v θφσωτθθφπτωθ=--? （14） 令cos θη=； 1F F F i qv s i ττω =- 2 22 1 3 11(,)4(1) 1F F F F v k e q d i s πτησωηπτωη--=-+? （15） 其中221 2311211ln 11s s d s s s s ηηη---+?? =+??+-?? ?
输运方程的本征值问题
输运方程本征值 无外源时，输运方程可以写成 0'1(,)(,')(;',') (,',',)'' t E v t E f E E E t dE d φφφφ∞Ω?=????Σ?+Σ→→∫∫?r r r ??r ?? （1） (,,,)E t φφ=r ?其中 简记为 1(,) '''''t E f d dE v t φφφφ?=????Σ+Σ?∫∫?r ? （2） 注意：积分中的f 是广义指示函数（或转移函数），散射源和裂变源 都包括在内。 把与时间无关的线性算符记为L ，则无外源输运方程（２） 可以简记为 1v t φφ?=?L （3） 分离变量，令 (,,,)(,,) ()E t E T t φ?=r ?r ? ， 代入（2），并用(,,) ()E T t ?r ?除两边，得到： {} ''''' T v f d dE T T ?????????Σ+ΣΩ=∫∫? 左边是时间的函数，右边是位置，能量，方向的函数，两者怎能相等？只有两者都等于一个常数时才可能．故 {} ''''' T v f d dE T T ???λ? ?????Σ+ΣΩ==∫∫? 这就把原方程分离成了两个方程 T T λ?= （4） ） v λ ??=L (5a) （4）的解是 0 t T T e λ= (6)
其中的λ是方程（5）的本征值。这样我们就把求解与时间 有关输运方程的问题转化为求解定态方程（5）的本征值与 本征函数问题。 容易看出，方程（5）与定态输运方程的差别是其总截面 Σ增加了v λ；当0λ=时，两者没有差别。当0λ>时， 相当于俘获截面增大（因为积分号中的散射与裂变截面未 变，只能是俘获截面增大）。物理上是相应于一个超临界 系统，为了使其变成稳态，可以人为地加大其俘获截面。 由于这虚拟俘获 v λ符合1v 律，必然会造成能谱的吸收硬 化（算出的能谱比实际能谱硬），这是λ本征值的特点。 也可以采用k 本征值，此时方程为 ' 111'''' ()''''4 t s f v t f dE d E dE d k ????χν?π ?+??+Σ?=Σ+Σ∫∫∫∫??? （上式中将散射源和裂变源和分开写出，是因为要对裂 变源进行人为调整） 采用k 本征值，超临界时候，k >1,人为压低了裂变，使得 能谱变软 (算出的能谱比实际能谱软)。 除了λ本征值和k 本征值之外，常用的还有γ本征值。关于各种本征值 与相应的本征函数的讨论，可参考杜书华《输运问题的计算机模拟》一书的 第三章。 注：许多文献中把本文中的λ特征值称为α本征值。
小学四年级解方程的方法详解
小学四年级解方程的方法详解 方程：含有未知数的等式叫做方程。如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得x=6 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：方程就是一架天平，―=‖两边是平衡的，一样重！ 1. 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。 2. 加减乘除法的变形： (1) 加法：a + b = 和则 a = 和－b b = 和－a 例：4+5=9 则有：4=9-5 5=9-4 (2) 减法：被减数a –减数b = 差则： 被减数a = 差＋减数b 被减数a－差= 减数b 例：12-4=8则有：12=8+4 12-8=4 (3) 乘法：乘数a ×乘数b = 积则： 乘数a = 积÷乘数b 乘数b= 积÷乘数a 例：3×7=21则有：3=21÷7 7=21÷3 (4) 除法：被除数a ÷除数b = 商则： 被除数a= 商×除数b 除数b=被除数a ÷商例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9 解方程的步骤： 1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是―－‖，去掉括号要变号；括号前边是―＋‖，去掉括号不变号。 2、移项：法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法，越过―=‖时，加减号互变，乘除号互变。 注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。 3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。 4、系数化为1：利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。
偏微分方程数值解法
《偏微分方程数值解法》 课程设计 题目: 六点对称差分格式解热传导方程的初边 值问题 姓名: 王晓霜 学院: 理学院 专业: 信息与计算科学 班级: ０91１01２ 学号: ０９１10１218 指导老师：翟方曼 ２０12年12月14
日 一、题目 用六点对称差分格式计算如下热传导方程的初边值问题 222122,01,01(,0),01 (0,),(1,),01x t t u u x t t x u x e x u t e u t e t +???=<<<≤?????=≤≤??==≤≤??? 已知其精确解为 2(,)x t u x t e += 二、理论 1.考虑的问题 考虑一维模型热传导方程 （1.１) )(22x f x u a t u +??=??,T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.１)的定解问题分两类: 第一,初值问题（Cauch ｙ 问题)：求足够光滑的函数()t x u ,,满足方程（１.1）和初始条件： (1.２) ()()x x u ?=0,， ∞<<∞-x 第二,初边值问题（也称混合问题）:求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(１.１)和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,， l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑,并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（１.1),（1.３)的差分逼近 取 N l h = 为空间步长,M T =τ为时间步长,其中N ,M 是自然数,
第四节输运方程
第四节 系统 控制体 输运公式 一、系统 系统：就是一群流体质点的集合。流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化，但始终包含有相同的流体质点，有确定的质量。 系统的特点： 1、从流体中取出的一定质量的流体； 2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点） 0d d t m ； 3、系统的体积和形状可以随时间改变。 4、在系统的边界上可以有能量交换。 二、控制体 控制体(control volume)：相对于坐标系固定不变的空间体积V 。是为了研究问题方便而取定的。边界面S 称为控制面。 控制体的特点： 1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。 2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。 3、在控制面上可以存在质量及能量交换。
三、输运方程（雷诺输运定理） 引言：为什么需要雷诺输运定理？ 看下图 如此简单的一个射流挡板受力，挡板受到的力多大？ 根据牛顿力学，就是求挡板对流体的力多大。挡板对流体施加了力，根据牛顿第二运动定律，应该等于流体系统的动量的变化率。请注意，牛顿力学适用的是形状、位置、密度不发生变化的系统的动量变化率。 系统的动量变化率怎么求？真的要研究一个个的流体微团的来龙去脉，密度、速度变化，再把它们总加起来，合成为系统，研究系统的变化率吗？不是不可以，这是拉格朗日的研究方法。前面咱们已经亲身实践过了拉格朗日研究方法迹线的求法，计算相对于欧拉的空间点法要复杂许多。而且这样一个问题，我们实际上并不关心流体的最终去向和流体的形状、密度会发生什么变化，只是关心板的受力情况。这里流体还是密度不发生变化的不可压缩的液体，若射流是密度可能发生变化的气体，用可压缩流体去研究，情况会变得更加复杂。 为了使研究过程以及计算变得简单，我们想用欧拉的空间的办法，也就是控制体的办法解决这个问题。 绘出如上图的控制体，设法用形状、位置不变的控制体内的动量变化率来表示系统的动量变化率，这就是雷诺输运定理。整个思路是：板受到的力，
常微分方程数值解
第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截
计算方法实验一 方程求根
山西大学计算机与信息技术学院 实验报告 姓名学号专业班级 课程名称计算方法实验实验日期 成绩指导老师批改日期 实验名称实验一方程求根 一、实验目的 用各种方法求任意实函数方程f(x)=0在自变量区间[a,b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、实验方法 (1)二分法 对方程f(x)=0在[a,b]内求根，将所给区间二分，在分点x= 2a b 判断是否f(x)=0，若是，则有根x=(b+a)/2。否则，继续判断是否f(a)* f(x)<0，若是，则令b=x，否则令a=x、重复此过程直至求出方程f(x)=0在[a,b]中的近似根为止。 (2)迭代法 将方程f(x)=0等价变换为x=φ（x）形式，并建立相应的迭代公式x k+1=φ（x k）。 (3)牛顿法 若已知方程f(x)=0的一个近似根x0，是函数f(x)在点x0附近可用一阶泰勒多项式 p1(x)=f(x )+f`(x0)(x-x0)来近似，因此方程f(x)=0可近似表示为f(x0)+f`(x0)(x-x0)=0。设f`(x0)≠0，则x=x0-f(x0)/f`(x0)。则x作为原方程新的近似根x1，然后x1将作为x0带入上式。迭代公式为x k+1=x k -f(x k)/f`(x k)。 三、实验内容 （1）在区间[0，1]上用二分法求方程ex+10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5x10-3。 （2）取初值x0=0，用迭代公式，x k+1= 10 k x e- 2，（k=0,1,2···）求方程e x+10x-2=0的 近似根。要求误差不超过0.5x10-3。 （3）取初值x0=0，用牛顿迭代法求方程e x+10x-2=0（k=0,1,2···）的近似根。要求误差不超过0.5x10-3。 四、实验程序 #include
计算方法6_微分方程
习题6 6.1 试用三种方法导出线性二步方法 122+++=n n n hf y y 6.2 用Taylor 展开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法. 6.3 形如 ∑=++=k i k n k j n j f h y 0βα 的k 阶方法称为Gear 方法，试确定一个三步Gear 方法，并给出其截断误差主项。 6.4 试用显式Euler 法及改进的Euler 法 )],(),([2 11n n n n n n n hf y t f y t f h y y +++=++ 6.5 给出线性多步法 ])13()3[(4 )1(212n n n n n f f h y y y +++=--++++αααα 为零稳定的条件，并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的. 6.6 给出题(6.5)题中1=α时的公式的绝对稳定域. 6.7 指出Heun 方法 0 0 0 0 1/3 1/3 0 0 2/3 0 2/3 0 1/4 0 3/4 的相容阶，并给出由该方法以步长h 计算初值问题(6.45)的步骤. 6.8 试述刚性问题的基本特征，并给出s 级Runge-Kutta 方法为A -稳定的条件. 6.9 设有???=='00 )(),(y x y y x f y ，试构造形如 )()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα 的二阶方法，并推导其局部截断误差首项。
6.10设有常微分方程初值问题???=='00 )(),(y x y y x f y 的单步法)],(2),([3 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ，证明该方法是无条件稳定的。
计算方法-方程求根实验
实验四 方程求根实验 一. 实验目的 （1）深入理解方程求根的迭代法的设计思想，学会利用校正技术和松弛技术解决某些实际的非线性方程问题，比较这些方法解题的不同之处。 （2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。 二. 实验要求 用Matlab 软件实现根的二分搜索、迭代法、Newton 法、快速弦截法和弦截法，并用实例在计算机上计算。 三. 实验内容 1. 实验题目 （1）早在1225年，古代人曾求解方程020102)(23=-++=x x x x f 并给出了高精度的 实根368808107.1*=x ，试用Newton 法和弦截法进行验证，要求精度610-=ε，并绘制方程的图形。 答：A.Newton 法： a ．编写文件Newton.m 、func4.m 内容如下所示：
b.运行，如下所示A为矩阵， 由上面可知，对于初值为5，运行7次即可得到所需的精度，验证结果为古人给出的解释正确的； c.作图，编写下面的文件photo1.m.然后运行即可： 注意下面中的x矩阵即为刚才计算出来的x系列，k为迭代的次数：
a．编写文件Chord.m内容如下所示： b．运行结果如下所示：
由上表可知，在精度为10^-6时有7位有效数字，古人的结果还是正确的 c．作图，在上面运行后，即运行newton法时写的photo1.m文件即可出现图像：
可以看到图中两条曲线基本重合； （2）取5.00=x ，用迭代法求方程x e x -=的根，然后用Aitken 方法加速，要求精度为 结果有4为有效数字。 答： a. 编写文件func7.m 和Aiken.m ，内容如下所示：
计算方法--常微分方程求解实验
实验五 常微分方程求解实验 一、 实验目的 通过本实验学会对给定初值我呢他，用欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法求数值解和误差，并比较优缺点.对给定刚性微分方程，求其数值解，并与精确解比较，分析计算结果. 二、 实验题目 1. 解初值问题各种方法比较 实验题目：给定初值问题 ?? ???=≤<+=,0)1(, 21,e d d y x x x y x y x 精确解为)e -e (x x y =，按 （1） 欧拉法，步长;1.0,025.0==h h （2） 改进欧拉法，步长;01.0,05.0==h h （3） 四阶标准龙格-库塔法，步长;1.0=h 求在节点)10,,2,1(1.01 =+=k k x k 处的数值解及误差，比较各方法的优缺点. 2. 刚性方程计算 实验题目：给定刚性微分方程 ?? ???=≤<-+-=-,2)0(, 50,600e 8.1199600d d 1.0y x y x y x 其精确解为12e e )(-0.1x -600x -+=x y .任选取一显示方法，取不同的步长求解，并分析计算 结果. 三、 实验原理 1.欧拉格式 由数值微分的向前差商公式可以解决初值问题（6.1）()()? ??=≤≤=0 0', ,,y x y b x a y x f y 中的导数的 数值计算问题： ()()() ()() ,'1h x y x y h x y h x y x y n n n n -= -+≈ + 由此可得 ()()().'1n n n x hy x y x y +≈+
（6.1）实际上给出 ()()()()()().,','n n n x y x f x y x y x f x y =?= 于是有 ()()()().,1n n n n x y x hf x y x y +≈+ 再由()()11,++≈≈n n n n x y y x y y 得 ().,1,0,,111 =+=+++n y x hf y y n n n n （6.2） 递推公式（6.2）称为欧拉格式。 2.改进欧拉格式 先对欧拉格式（6.2）对1+n y 进行计算，并将结果记为1+n y ，再代入（6.7） ()()[]111,,2 +++++ =n n n n n n y x f y x f h y y 可得“预报-校正”形式的差分格式： ()()()[] ?? ? ? ?++=+=++++.,,2,,1111n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 公式（6.8）称为改进欧拉格式。 3.四阶经典龙格-库塔格式： ()()()?? ?? ? ? ??? ???? +=???? ??+=???? ??+==++++=++++.,,2,,2,,,,226 31422131212143211 hK y x f K K h y x f K K h y x f K y x f K K K K K h y y n n n n n n n n n n 四、 实验内容 1. 解初值问题各种方法比较 实验程序： function shiyan51 h=0.1; dyfun=inline('y./x+x*exp(x)'); [x,y1]=maeuler1(dyfun,[1,2],0,h); [x,y2]=maeuler(dyfun,[1,2],0,h); [x,y3]=marunge4(dyfun,[1,2],0,h); y=x.*(exp(x)-exp(1));
非线性方程求根问题
计算机学院上机实践报告 一、目的 1．通过本实验，帮助加深对非线性方程求根方法的构造过程的理解； 2．能将各种方法编写为程序并上机实现； 3．比较各种方法在求解同一非线性方程根时，在收敛情况上的差异。 二、容与设计思想 1．用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2 , 3]的根。 2．方程f(x)=2x3-5x2-19x+42=0在x=3.0附近有根，试写出其三种不同的等价形式以构成三种不同的迭代格式，再用简单迭代法求根，观察这三种迭代是否收敛。 三、使用环境 1. 硬件环境 微型计算机（Intel x86系列CPU）一台 2. 软件环境 Windows2000/XP操作系统 VC++6.0或其它的开发工具。 四、核心代码及调试过程 1．用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2 , 3]的根主要代码： void bisect(double a,double b,int max_B) { double root, ya,yb,yroot; int i,actual_B; ya=f(a);yb=f(b); if(ya*yb>0) { printf("method failed!\n"); exit(0); } for(i=1;i<=max_B;i++) { root=(a+b)/2;yroot=f(root); //取当前含根区间的中点 if(yroot==0) { a=root;b=root;} else if(yb*yroot>0) //取含根区间为[a,(a+b)/2]
{ b=root;yb=yroot;} Else //取含根区间为[(a+b)/2,b] { a=root;ya=yroot;} if(fabs(b-a)