最值问题(费马点)
最值问题2（费马点）
1、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值．
2、已知：P是边长为1的等边三角形ABC内的一点，求PA+PB+PC的最小值．
图2
图1
A'
P
P
A A
B
C
B
C
3、（延庆）（本题满分4分）阅读下面材料：
阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A '
,当点A 落在C A '
上时,此题可解（如图2）．
请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）
图3
C
A
B
P
4、(朝阳二模)阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30o，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接P A 、PB 、PC ，求P A +PB +PC 的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60o，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求．
（1）请你写出图2中，P A +PB +PC 的最小值为 ； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60o，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3
中画出并指明长度等于P A +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当P A +PB +PC 值最小时PB 的长．
D
E
A
C B
P
图 2
D
A
C
B
图 3
A C
B P
图1
5、（海淀二模）如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 的坐标为(0,2). 点D 在x 轴的正半
轴上. 30ODB ∠=?. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线2
3
6
y ax x c =+
+与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧).
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上. 求AE 及AM 的长； (3) 点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++.
请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长. (备用图)
费马点问题(含答案)
费马点的问题 定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。 性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 3．费马点为三角形中能量最低点。 4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。 例1：已知：△ABH是等边三角形。 求证：GA+GB+GH最小 证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。 ∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。 以HB为边向右上方作等边三角形△DBH. 以HG为边向右上方作等边三角形△GHP. ∵AH=BH=AB=12. ∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴A、G、P三点一线。 再连PD两点。 ∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°. ∴∠PHD=30°,.
在△HGB和△HPD中 ∵HG=HP ∠GHB=∠PHD； HB=HD； ∴△HGB≌△HPD；（SAS） ∴∠HPD=∠HGB=120°； ∵∠HPG=60°. ∴G、P、D三点一线。 ∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。 ∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。 例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。 求证：GA+GB+GC最小
(word完整版)关于费马点知识总结,推荐文档
费马点 一、研究目的 费马点是17世纪法国著名的数学家费马发现的。所指的是在三角形所在的平面上，有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。而费马点有许多有意义的性质，即为此，本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。 二、研究结果 （一）费马点的发现者 费马点的发现者是费马［Fermat, Pierre de, 1601-1665］，17世纪的法国数学家。1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙--德洛马涅出生。早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师。自1631年起任图卢兹议会议员。任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题。他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识。虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世。 他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书［共两卷］，在图卢兹出版。 由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为「业余数学家之王」。 （二）费马点的求法 △ABC需是三个内角皆小于120°三角形，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。 （三）费马点的验证 1.△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外 侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为 费马点。则可得出结论： ①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③点P 是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；④ 点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；⑤△ABP、 △ACP、△BCP全等。⑥点P是△ABC各边的中线的交 点；⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点 P为费马点时和最小。 2.△ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ABC外 侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为 费马点。则可得出结论： ①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为 费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③ △ABP与△ACP全等；④△BCP为等腰三角形。 3.△ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ABC外 侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为
“费马点”说明及例举
费马点 费马（Pierre de Fermat,1601--1665）法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号,生于博蒙德罗曼。其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。 他是解析几何的发明者之一．在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著〈平面及空间位置理论的导言〉中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。费 马还研究了对方程 2 21y ax= +整数解的问题。得出了求导数所有约数的系统方法。 所谓的“费马点”就是法国著名数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题：“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”让人家想,并自称已经证明了。这是费马通信的一贯作风。当时欧洲所有数学家对他都十分头疼的。人们称这个点为“费马点”。还有象著名的费马大定理也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。可到死也没告诉人家这个所谓证明。结果困扰世界数学界一百多年。直到去年才解决。 著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不 可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。” 即： )3 (,2≥ = +n z y x n n 无整 数解。1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。 费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。 几何光学已有悠久的发展历史,由于费马原理的确立，几何光学发展到了较为完善的程度。。1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。 费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。可以理
专题67 费马点中三线段模型与最值问题(解析版)
专题67 费马点中三线段模型与最值问题 【专题说明】 费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。 主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。 （2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点. 费马点问题解题的核心技巧： 旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题 【模型展示】 问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小． A P B C 【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线 段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等． （1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE． （2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE． （3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）
（4）以BC 为边作等边△BCF ，连接AF ，必过点P ，有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°． 在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ． 有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！ 【精典例题】 1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将∠ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∠EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ） A ． 2 B ． C ． 3 D ． 3 【答案】D 【详解】 解：如图，
中考数学押轴题型-费马点相关问题
费马点及其在中考中的应用 一、费马点的由来 费马(Pierre de Fermat，1601—1665)是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承1 7世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”． 二、探索费马点 1．当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．
下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得A C′=AC， 作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′= AP．即把△APC以A为中心做旋转变换．则△APC≌△AP′C′， ∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤6 0°．∴在等腰三角形PAP′中，AP≥P P′， ∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′= AB+AC．所以A是费马点． 2．如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 120°的点．
如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′B P′．因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三 角形．因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC． 由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC =P′A′+P′P+PC为最小． 当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°．同理，若P′，P，C共线时，则∵∠ BPP′=60°，∴∠BPC=120°． 所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点． 费马点相关问题 等腰直角三角形,已知在直角平分线上的一点P,PA+PB+PC最小值为√6 +√2，求直角边的长度？ 解答：如图 将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD=60度， 三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA， 所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DE+PD+P B最小，这时角BPC=120度，角APC=EDC=120。 下证这时的点P就在角ACB的平分线上。 在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度， 得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，点P在角ACB的平分线上。 所以点P是这样一个点：它使角APC=BPC=APB=120度（这个点叫三角形的费马点）。 延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度， 设PF=x，则PA=PB=2x ，AF=CF=√3*x，PC=(√3-1)x， 有2x+2x+(√3-1)x=√6+√2，x=1/3√6。
平面几何知识点总结.
平面几何知识点总结 4.托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即： 1 PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l .1=????RB AR QA CQ ，则、、长线分别交于或它们的延 、、的三边并且与的顶点，不经过梅涅劳斯定理：若直线三点共线； 、、，则，这时若 或数为边上的点的个三点中，位于、、并且三点，上或它们的延长线上的、、三边的分别是、、梅涅劳斯逆定理：设R Q P 1PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P .2=????RB AR QA CQ 1 :.3=???RB AR QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 条件是三线共点的充要、、边上的点，则、 、的分别是、、塞瓦定理：设M Q R A C P B ； 内接于圆，则有： 设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ?=?+?； 内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD AC BC AD CD AB ABCD ?≥?+?三点共线； 、、则，、、的垂线，垂足分别为、、作外接圆上一点西姆松定理：若从F E D F E D AC AB BC P ABC ?.5的外接圆上； 在则在同一直线上，、、若其垂足作垂线，的延长线或它们的三边向点西姆松的逆定理：从一ABC P N M L ABC P ??)(.6
； ，则、 于分别交和，连接和弦任意引 的中点蝴蝶定理：一个圆的弦NP MP N M AB CF DE EF CD P AB =.7 ; 2.8GH OG H G O H G O ABC =?且三点共线， 、、，则、、分别为的外心、重心、垂心欧拉定理：设 三线共点。 、、则，、、外面，做三个正三角形的的小于费马点：在每个内角都''''''120.9CC BB AA ABC CAB BCA ABC ?? 三角形。 ，此三角形称为拿破仑中心组成一个正三角形，则此三角形的边为边作三个正三角形三角形的外面，各以三拿破仑三角形：在任意.10 的莫莱恩线。 为三点共线。这条直线称、、，则、、长线交于的延、、别和作其外接圆的切线，分、、三个顶点莫莱恩线：过ABC F E D F E D AB CA BC C B A ABC ??.11 三点共线。 、、，则、、的中点分别是以及线段、，对角线延长线交于的、，另一组对边的延长线交于、的一组对边牛顿定理：设四边形Z Y X Z Y X EF BD AC F BC AD E CD BA ABCD .12 共线。 、、的交点和、和、和三边对边求是凸的不要边形巴斯卡定理：圆内接六N M L BC EF FA CD DE AB ABCDEF )(.13 共点。、、的三条对角线六边形卜利安香定理：圆外切CF BE AD ABCDEF .14 15.到三角形三顶点距离之和最小的点――费马点 到三角形顶点距离的平方和最小的点――重心 三角形内到三边距离之和最大的点――重心
最值问题(费马点)
最值问题2（费马点） 1、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值． 2、已知：P是边长为1的等边三角形ABC内的一点，求PA+PB+PC的最小值．
图2 图1 A' P P A A B C B C 3、（延庆）（本题满分4分）阅读下面材料： 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ' ,当点A 落在C A ' 上时,此题可解（如图2）． 请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简） 图3 C A B P
4、(朝阳二模)阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30o，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接P A 、PB 、PC ，求P A +PB +PC 的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60o，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求． （1）请你写出图2中，P A +PB +PC 的最小值为 ； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： ①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60o，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3 中画出并指明长度等于P A +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当P A +PB +PC 值最小时PB 的长． D E A C B P 图 2 D A C B 图 3 A C B P 图1
胡不归及费马点问题
胡不归及费马点问题 一．选择题（共2小题） 1．如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为（） A．+B．+C．4 D．3 2．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（） A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，） 二．填空题（共5小题） 3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为． 4．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的
最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．） 5．等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（﹣1，0），在y轴上有一动点G，则BG+AG的最小值为． 7．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是．
“PA+k·PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点)
“PA+k·PB”型的最值问题 当k 值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处 理，即可以转化为轴对称问题来处理。 当k 取任意不为1的正数时，通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。 其中 点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 一、“将军饮马”模型 “将军饮马”：把河岸看作直线L ，先取A （或B ）关于直线L 的对称 点A′（或B′），连接A′B （或B′A ），并与直线交于一点P ，则点P 就是 将军饮马的地点，即PA+PB 即为最短路线。 例1. 如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线 交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小 值是 。 例2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △PAB ＝ 31S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA+PB 的最小值为 ． 例3. 如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动 点，OP 平分∠AOB ，且OP=6，△PMN 的周长最小值为 ； 当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 。 变式：“造桥选址”模型 例4. 如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=302．试在直线a 上找 一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度 和最短，则此时AM+NB 的值为 。 例5. 如图，CD 是直线y=x 上的一条定长的动线段，且CD=2，点A （4，0），连接AC 、AD ，设C 点横坐标为m ，求m 为何值时，△ACD 的周长最小，并求出这个最小值。
四边形中的最值问题专题(提纲)
主备（讲）人：八年级10班邓永豪 路在脚下 志在我心 全力以赴 永创辉煌 四边形中的最值问题 例1 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ） A.1 B. √3 C ．2 D ．√3＋1 试一试 化动为静，先确定K 点位置，从特殊位置切入。 （2012年台州市中考题） 例2 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ） A ． B ． C . 2 D.3 试一试 三角形任两边之和大于第三边。 （2012年济南市中考题） 例3 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，△AMB ≌△ENB 。 求证： （1）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小。 ②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由。 试一试 连接M 、N ，将AM 、BM 、CM 替换。 （2）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为√3+1时，求正方形的边长。 试一试 ①等腰三角形三线合一 ②构建直角三角形求正方形边长 （2010年宁德市中考题） ①求线段最值常用的方法： 1.两点之间线段最短 例：如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是_________________。 2.垂线段最短。 例： (09陕西) 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是_____________。 3.斜边大于直角边。 4.三角形任两边之和大于第三边。 例：已知菱形ABCD ，点P 是OD 上一点，当AP+CP 值最大时，点P 于何位置？___________________________。 ②线段长度最值常与图形运动、点运动相关联，需理清静点与动点、常量与变量，动静转化。 拓展：费马点： 1.若给定一个三角形△ABC 的话，从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A 、B 、C 的距离之和比从其它点算起的都要小。 2.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。 3.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 D A C E P
费马点与中考试题
识别“费马点”思路快突破 解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有：解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经 验因素和解题的非智力因素，这也就是我们常说的解题基本功．可见解题的知识因素是第一位的，足以说明它的重要性．下面我们从解题的知识因素上关注两道中考题的思路获取． 例1 （2010湖南永州）探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则 称点P为△ABC的费马点，此时P A＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理. （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PB＋PC＝P A. ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆； 第二步：在BC上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C） ＝P′A＋； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离. （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选
三角形的费马点
三角形的费马点 有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小，请同学们想一想，这个供水站应该建在哪里？ 事实上，这是法国著名数学家费马提出的一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小，人们称这个点为“费马点”. 当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；当三角形三个内角都在120°以内，那么费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角 为120°的点.显然在第一种情况下，费马点的位置就是那个大于或等于120°的内角的顶点.在第二种情况下，如图所示：我们只需要以△ABC三边AB、AC、BC为边在三角形外作三个等边△ABC1、△ACB1和△BCA1，连接AA1、BB1和CC1，三线交点P就是费马点. 同学们肯定会想为什么？等同学们学习了三角形全等 的知识后就可以去探索这其中的道理了. 再看一个数学问题：将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法，那走什么样的路线最短呢？这个问题被古希腊亚历山大里亚城的一位久负盛名 的学者海伦解决了，后来被人们称作“将军饮马”问题.费马
思考了这个问题，他觉得不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题.人们总希望寻求最佳的路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短路线问题.费马就把这样的问题联想到某一个图形中，他大胆提出在任意三角形中有且仅有一点到三个顶点的距离最短，并对此进行了充分的证明.现在研究表明不止是三角形，其它多边形也存在这样的点. 平面四边形的费马点：在凸边形中，对角线交点即费马点；在凹四边形中，凹顶点即为费马点. 那费马点在我们的生活中有没有应用价值呢？文章开头的供水站建在费马点肯定是最节约成本的；再譬如打篮球、踢足球时，你时刻注意的是怎样进攻，但要与自己的队友保持最好的距离和方位，前后左右都要顾及，这其实就是在找多边形中的“费马点”. 数学为科学之母，现在已经有很多方面应用到费马点的性质，在医学上、建筑上、军事上…… 像类似费马点这样的问题还有很多，同学们只要你们积极思考，遇到问题多问几个为什么，多一些打破砂锅问到底的精神，你们也会像费马一样发现更多更有趣的数学问题.
费马点最值问题
费马点 破解策略 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离. 若三角形的内角均小于120°那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°则此钝角的顶点就是到三个 顶点距离之和最小的点. 1?若三角形有一个内角大于等于120°则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ ABC中，/ BAC> 120°求证：点A ABC的费马点 证明： 如图，在△ ABC内有一点P延长BA至C,使得AC = AC,作/ CAP = / CAP, 并且使得AP = AP,连结PP 贝山APCAPC, PC= PC 因为/ BAC> 120° 所以/ FAP = / CAC< 60 所以在等腰△ PAP中，AP > PP 所以PA+ PB + PC> PP+ PB + PC>BC = AB + AC 所以点A ABC的费马点
2?若三角形的内角均小于120°则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两 个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点. 如图，在△ ABC中三个内角均小于120°分别以AB、AC为边向外作等边三角形， 两个等边三角形的外接圆在△ ABC内的交点为0,求证：点0 ABC的费马点证明：在△ ABC内部任意取一点0,;连接0A、OB、0C 将厶A0C绕着点A逆时针旋转60°得到△ AO'D连接00’则0'D = 0C 所以△ A00 '为等边三角形，00'= A0 所以0A+ 0C+ 0B = 00'+ 0B + 0 D 则当点B、0、0、D四点共线时，0A+ 0B+ 0C最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ ABC内的交点即 为点0 如图，在厶ABC中，若/ BAC、/ ABC、/ ACB均小于120° 0为费马点，则有/ A0B =/ B0C =Z C0A = 120°所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心 例1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一6,0），点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（6, 4.3 ），延长AC至点D使得CD = AC，过点DE作DE//AB，交BC的延长线于点E,设G为y轴上的一点，点P从直线y= 3x + 6 3与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短 解：??t_ GM GA 2GA GM 2v v 2v ???当2GA+ GM最小时，时间最短 如图，假设在0M上存在一点G,贝y BG = AG
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： -①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． -③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径． 【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题
】1作法图形【问题原理 A A 两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．B B，使上求一点P在直线l 值最小．PA+PB 【问题2】“将军饮马”作法图形原理 A A B＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．B
l l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为 P，使P在直线l 上求一点B' PA+PB 值最小． 3】作法图形原理【问题 P'l 1l 1 分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M P PM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P l l l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P 分别求点在直线l212N M 、N，使△PMN的周长P'' 最小． 4】作法【问题图形原理 l 1l1Q' Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MP l 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N ，使四边形N 、M PQMN P' 的周长最小． 【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文
费马点问题(含答案)
> 费马点的问题 定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。 【 性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 3．费马点为三角形中能量最低点。 ) 4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。 例1：已知：△ABH是等边三角形。 求证：GA+GB+GH最小 证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。 ^ ∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。 以HB为边向右上方作等边三角形△DBH. 以HG为边向右上方作等边三角形△GHP. ∵ AH=BH=AB=12. ! ∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴ A、G、P三点一线。
再连PD两点。 ∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°. ! ∴∠PHD=30°,. 在△HGB和△HPD中 ∵ HG=HP ∠GHB=∠PHD； ： HB=HD； ∴△HGB≌△HPD；（SAS） ∴∠HPD=∠HGB=120°； ∵∠HPG=60°. @ ∴ G、P、D三点一线。 ∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。 ∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。， 、
费马点最值问题(中考备考宝典)
费马点最值问题 例题精讲 例1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为． 例2：如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点． （1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．求证：△ABP∽△BCP； （3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2） ①求∠CPD的度数； ②求证：P点为△ABC的费马点．
强化练习 1、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，BC= ，点O 为Rt △ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO ，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则OA+OB+OC= ． 2、如图，在四边形ABCD 中，60B ο∠=，AB=BC=3，AD=4，90BAD ο∠=，点P 是形内一点，则PA+PB+PD 的最小值为________ 第1题图 第2题图 3、如图，点P 是矩形ABCD 对角线BD 上的一个动点，已知 ， ， 则 的最小值是_______ 4、如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC ＝150°，则线段 AP ＋BP ＋PD 的最小值为________ 第3题图 第4题图 P D C A
5、（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ， 求证：AF +BF +CF ＝CD ； （2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A ，∠C 均小于120°，求作一点P ， 使PA +PB +PC 的值最小，试求出最小值并说明理由． 图① D 图② C A
费马点与中考试题
识别“费马点”思路快突破 例1 探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的 距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA ＝AC·BD.此为托勒密定理. （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PB＋PC＝PA. ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在BC上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B ＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C）＝P′A＋； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离. （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值. （1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小. 特殊三角形中： (2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB，BC，CA，为边，向三角 形外侧做正三角形ABC 1，ACB 1 ，BCA 1 ，然后连接AA 1 ，BB 1 ，CC 1 ，则三线交于一 点P，则点P就是所求的费马点. (3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合. 可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是 例2 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为1 3 时，求正方形的边长.
2019高二数学上学期十五个重要知识点总结语文
高二数学上学期十五个重要知识点总结 一、集合、简易逻辑（14课时，8个）1.集合；2.子集； 3.补集； 4.交集； 5.并集； 6.逻辑连结词； 7.四种命题； 8.充要条件. 二、函数（30课时，12个）1.映射；2.函数；3.函数的单调性；4.反函数；5.互为反函数的函数图象间的关系；6.指数概念的扩充；7.有理指数幂的运算；8.指数函数；9.对数； 10.对数的运算性质；11.对数函数.12.函数的应用举例. 三、数列（12课时，5个）1.数列；2.等差数列及其通项公式；3.等差数列前n项和公式；4.等比数列及其通顶公式； 5.等比数列前n项和公式. 四、三角函数（46课时17个）1.角的概念的推广；2.弧度制；3.任意角的三角函数；4，单位圆中的三角函数线；5.同角三角函数的基本关系式；6.正弦、余弦的诱导公式'7.两角和与差的正弦、余弦、正切；8.二倍角的正弦、余弦、正切；9.正弦函数、余弦函数的图象和性质；10.周期函数；11.函数的奇偶性；12.函数的图象；13.正切函数的图象和性质； 14.已知三角函数值求角；15.正弦定理；16余弦定理；17斜三角形解法举例. 五、平面向量（12课时，8个）1.向量2.向量的加法与减法
3.实数与向量的积； 4.平面向量的坐标表示； 5.线段的定比分点； 6.平面向量的数量积； 7.平面两点间的距离； 8.平移. 页 1 第 六、不等式（22课时，5个）1.不等式；2.不等式的基本性质；3.不等式的证明；4.不等式的解法；5.含绝对值的不等式. 七、直线和圆的方程（22课时，12个）1.直线的倾斜角和斜率；2.直线方程的点斜式和两点式；3.直线方程的一般式； 4.两条直线平行与垂直的条件； 5.两条直线的交角； 6.点到直线的距离； 7.用二元一次不等式表示平面区域； 8.简单线性规划问题. 9.曲线与方程的概念；10.由已知条件列出曲线方程；11.圆的标准方程和一般方程；12.圆的参数方程. 八、圆锥曲线（18课时，7个）1椭圆及其标准方程；2.椭圆的简单几何性质；3.椭圆的参数方程；4.双曲线及其标准方程；5.双曲线的简单几何性质；6.抛物线及其标准方程； 7.抛物线的简单几何性质. 九、（B）直线、平面、简单何体（36课时，28个）1.平面及基本性质；2.平面图形直观图的画法；3.平面直线；4.直线和平面平行的判定与性质；5，直线和平面垂直的判与性质；6.三垂线定理及其逆定理；7.两个平面的位置关系；8.空间向量及其加法、减法与数乘；9.空间向量的坐标表示； 10.空间向量的数量积；11.直线的方向向量；12.异面直线所
费马点的证明
1、费马点一定不在三角形外（证明略） 2、当有一个内角大于或等于120°时 对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转） 则△APC ≌△AP'C'∵∠BAC ≥ 120°∴∠PAP' = 180°-∠BAP-∠C'AP' = 180°-∠BAP-∠CAP = 180°-∠BAC ≤ 60°∴等腰三角形PAP'中，AP ≥ PP'∴PA + PB + PC ≥ PP' +PB + PC' > BC' = AB + AC ∴点A即费马点 3、当三个内角都小于120°时 在△ABC内做一点P，使得∠APC =∠BPC =∠CPA = 120°，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A、P'B、P'C，过P'作P'H ⊥EF于H 易证明∠D =∠E =∠F = 60°，即△DEF为正三角形，设边长为d，面积为S 则有2S = d(PA + PB + PC)∵P'H ≤ P'A所以2S△EP'F ≤ P'A ·d ①同理有2S△DP'F ≤ P'B·d ② 2S△EP'D ≤ P'C·d ③ ① + ② + ③，得2(S△EP'F +S△DP'F + S△EP'D)≤ P'A·d + P'B·d + P'C·d ∴2S ≤ d(P'A + P'B + P'C) 又∵2S = d(PA + PB + PC) ∴d(PA + PB + PC) ≤ d(P'A + P'B + P'C)即PA + PB + PC ≤ P'A + P'B + P'C当且仅当P与P'重合时，等号成立