巩固练习_正弦、余弦定理及解三角形_基础
【巩固练习】 一、选择题
1. (江西高考) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，
3
C π
=
，则△ABC 的面积是( )
A ．3 B. 2 C. 2 D ．3 3
2. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2=ac 且c=2a ，则cosB 等于（ ）
A ．
14
B ．
34
C ．
4
D ．
3
3. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2
sin sin c o s a A B b a +=，
则
b a
=（ ）
A ．
B ．
C D
4. 在△OAB 中，已知OA=4，OB=2，点P 是AB 的垂直平分线l 上的任一点，则O P A B ?=（ ）
A ．6
B ．―6
C ．12
D ．―12
5. 为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶上测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是（ ）
A ．20(1m 3
+
B ．20(1m 2
+
C ．20(1m
+
D ．30 m
6. ΔABC 中，1lg lg lg sin lg 22
a c B -==-
，Ｂ为锐角，则ΔABC 是（ ）
Ａ、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰或直角三角形 D 、等腰直角三角形
7．在ΔABC 中，已知∠A=60?，b=1, A B C S ?=，则
s i n s i n s i n a b c
A B C
++++的值为
（ ）
A 、
33
8 B 、
33
26 C 、
393
2 D 、2
7
二、填空题
8．在△ABC 中，若b=5，4
B π
∠=
，tanA=2，则sinA=________；a=________.
9．在△ABC 中，若B=2A ，a ∶b=1A=________
10.(2015天津高考)在ABC ? 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ?的面
积为 ，12,cos ,4
b c A -==- 则a 的值为 .
11.在△ABC 中，若∠C=60°则
a b b c
c a
+
=++________.
三、解答题
12.(2015 江苏高考)在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB .
（1）求BC 的长；
（2）求C 2sin 的值.
13. 设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且.212ac b =
(1)求证：4
3cos ≥
B ；
(2)若1cos )cos(=+-B C A ，求角B 的大小．
14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4c o s 5
B =，b=2
（1）当53
a =
时，求角A 的度数；
（2）求△ABC 面积的最大值。
15． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设2
2
2
2
2
()()4f x a x a b x c =---。 （1）(1)0f =且3
B C π
-=
，求角C 的大小；
（2）(2)0f =，求角C 的取值范围
【参考答案与解析】 1．【答案】C
【解析】由余弦定理得， 222
261c o s 222
a b c
a b C a b
a b
+--=
=
=
，所以ab ＝6，
所以S △ABC ＝1
2ab sin C ＝2
.
2. 【答案】B
【解析】由b 2=ac ，又c=2a ，
所以2
2
2
222
2
423c o s 244a c b
a a a
B a c
a
+-+-=
=
=
.
3.【答案】D
【解析】依题意可得2
2
sin sin sin c o s A B B A A ?+=
，即sin B A =，
∴
s in s in b B a A
==
，故选D.
4.【答案】D
【解析】由a ∥b 知，23sin 1θ=，得21sin 3
θ=
，∴21c o s 212s in 3
θθ=-=
.故选
D.
5.【答案】A
【解析】如图所示，由已知得四边形CBMD 为正方形，而CB=20 m ，
∴BM=20 m
又在Rt △AMD 中，DM=20 m ，∠ADM=30°，
∴ta n 30A M D M =?=
，
∴2020(1)m
3
A B A M M B =+==+
6. 【答案】D
【解析】由1lg s in lg 22
B =-
，解出s in 2
B =
B=45?，A=135?-C ，
又由1lg lg lg 22
a c -=-
，解出
2
a c
=
由正弦定理得
s in s in 2
A C
=
∴s in s in 2
A C =
，即0
s in (135)in 2
C C -=
展开整理得co s 0C =，∴090C =. 7. 【答案】C 【解析】
sin sin sin sin sin sin sin a b c a b c
a A
B
C
A B C
A
++=
=
?
=
++，
又1s in 2A B C S b c A ?=
=
,∴4c =
∴2222212c o s 14214132a b c b c A =+-=+-???
=
∴a =
∴
s in s in s in s in s in 60
a b c
a A B C A
++=
=
=
++
8. 5
【解析】由tanA=2，得sinA=2cosA ，∴sin 2A=4cos 2A=4－4sin 2A ，
∴即s in 5A =±
。∵∠A 为△ABC 的内角，∴s in 5
A =
.
由正弦定理得s in s in b
a A B
=?=.
9. 【答案】30°
【解析】 由正弦定理
s in s in a b A
B
=
知，
s in s in A a B
b
=
=
，
∴s in in s in 2B A A == .
∴c o s 2
A =A 为△ABC 的内角，∴A=30°.
10.【答案】8
【解析】因为0A π<<，所以sin A ==
，
又1sin 242
ABC S bc A bc ?=
=
=∴=，解方程组2
24
b c bc -=??
=?得6,4b c ==，由余弦定理得
22222
12cos 64264644a b c bc A ??=+-=+-???-= ???
，所以8a =.
11．【答案】1
【解析】∵C=60°，∴由余弦定理得c 2=a 2+b 2－ab ， ∴
2
2
2
()()()1()()
()a b a a c b b c a b c a b b c
c a
a c
b
c a b c a b c
+++++++
=
=
=+++++++.
12.【解析】(1)由余弦定理知：
2
22
12c o s 4922372
B C
A B A C
A B A C A =+-??=+-???
=B C ∴=
(2)由正弦定理知，
s in s in A B B C C
A
=
sin sin 7
A B C A B C
=
?=
=
A B B
C <，
C ∴为锐角，则c o s
7
C =
=
s in 22s in c o s 7
C C C ∴==
13. 【解析】(1)因为ac
ac
c a ac
b
c a B 22
12cos 2
22
22-+=
-+=
4
32212=
-≥
ac
ac
ac ，所以4
3cos ≥
B
(2)因为,1sin sin 2)cos()cos(cos )cos(==+--=+-C A C A C A B C A 所以2
1sin sin =C A
又由.4
1sin sin 2
1sin ,2
12
=
=
=
2C A B ac b 得
所以2
1sin =B
由(1)，得6
π=B
14．【解析】（1）因为4c o s 5
B =
，所以3s in 5
B =
.
因为53
a =
，b=2，由正弦定理
s in s in a b
A
B
=
可得1s in 2
A =
.
因为a ＜b ，所以A 是锐角，所以A=30°. （2）因为△ABC 的面积13s in 2
10
S a c B a c =
=
，
所以当ac 最大时，△ABC 的面积最大.
因为2222c o s b a c a c B =+-，所以22845
a c a c =+-.
因为a 2+c 2≥2ac ，所以8245
a c a c
-
≤，
所以ac≤10（当且仅当a c ==，
所以△ABC 面积的最大值为3.
15. 【解析】（1）∵(1)0f =，∴a 2―(a 2―b 2)―4c 2=0，∴b 2=4c 2，∴b=2c ，∴sinB=2sinC.
又3
B C π
-=
，∴s in ()2s in 3
C C π
+
=， ∴s in c o s
c o s s in
2s in 3
3
C C C π
π
?+?=，
∴
3s in o s 02
2
C C -
=，∴s in ()06
C π
-
=.
又∵56
6
6
C π
π
π-
<-
<
，∴6
C π
=
.
（2）若(2)0f =，则4a 2―2(a 2―b 2)―4c 2=0， ∴a 2+b 2=2c 2， ∴2
2
2
2
c o s 22a b c
c
C a b
a b
+-=
=
又2c 2=a 2+b 2≥2ab ，∴ab≤c 2，∴1c o s 2
C ≥.
又∵C ∈（0，π），∴03
C π
<≤.
(完整版)正弦定理练习题经典
正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
解三角形(1)---正弦定理
解三角形(1)---正弦定理 【定理推导】 如图1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。思考： （1）∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ （2）显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大，能否用一个 等式把这种关系精确地表示出来？ 如图1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a 、AC=b 、AB=c ，根据锐角三角函数 中正弦函数的定义，有a sinA c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则a b c c sinA sinB sinC ===，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C ==。 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况） 如图1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则：sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ，从而 sin sin a b A B = sin c C = 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 证法二：（向量法）过点A 作j AC ⊥ ，由向量的加法可得AB AC CB =+ 则 ()j AB j AC CB ?=?+ ∴j AB j AC j CB ?=?+? ()()0 0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即 sin sin = a c A C 证明三：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴ 2sin sin a a CD R A D ===， 同理：sin b B =2R ，sin c C ＝2R 同理，过点C 作⊥ j BC ，可得sin sin =b c B C ，从而a b c sinA sinB sinC == 类推：当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 从上面的探究过程，可得以下定理： c b a C B A (图1-2) c b a C B A (图1-3) c b a C B A j C B A (图1-1) a b c O B C A D
人教版高中数学高二-1.1正弦定理和余弦定理 同步练习一
1.1.1正弦定理作业 1、 在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 120 2、在ABC ?中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ） A. 226- B. 22 6+ C. 12+ D. 23- 3、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ） A. 30,14,7===A b a ，有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ，有两解 D. 60,10,9===A c b ，无解 4、在ABC ?中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ?的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5、在ABC ?中， 60=A ,3=a ，则=++++C B A c b a sin sin sin （ ） A. 33 8 B. 3392 C. 33 26 D. 32 6、在ABC ?中，已知 30=A , 45=C 20=a ，解此三角形。 7、在ABC ?中，已知 30,33,3===B c b ,解此三角形。
参考答案： 1、 解析：由A b a sin 23=可得23sin b A a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得2 3sin =B ，故=B 60或 120。 2、 解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得21sin =C ，由于b c <，所以 30=C ， 105=B ，又由正弦定理B b A a sin sin =带入可得226+=a 3、解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。 4、解析：由B a b sin 323=可得2 3 sin a B b =，所以23sin =A ，即 60=A 或 120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ?为等腰三角形。 5、解析：由比例性质和正弦定理可知32sin sin sin sin ==++++A a C B A c b a 。 6、解析：由正弦定理C c A a sin sin =，即2 2 2120c =，解得220=c ， 由 30=A , 45=C ，及 180=++C B A 可得 75=B ， 又由正弦定理B b A a sin sin =，即4262120+=b ，解得() 2610+=b 7、解析：由正弦定理C c B b sin sin =，即C sin 332 13=，解得23sin =C ，因为b c >，所以 60=C 或 120， 当 60=C 时， 90=A ，ABC ?为直角三角形，此时622=+=c b a ； 当 120=C 时， 30=A ，B A =，所以3==b a 。
正弦定理练习 含答案上课讲义
正弦定理练习含答 案
课时作业1 正弦定理 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π 12 B.π 6 C.π4 D.π3 【答案】 D 【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝3 2， ∴∠A ＝π 3. 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π 3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B 【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12， 故∠B ＝30°或150°，
由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝5 6π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】 102 【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝10 10.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π 1010 ＝10 2. 4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长． 【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A . 【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ， 又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°. (1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；
正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4， 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin C A =2， ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0 150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5 ，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中， 75 6,8,cos 96BC AC C === ，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A.14 B.23 C.23- D.1 4- 10．在ABC ?中，a b c ， ，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（ ）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4 ，b=4 ，则B 等于（ ）
必修五解三角形正弦定理和余弦定理
学案正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－b
4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3 ，则a ＝________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－ b 2＝a c . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值． 变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3 ，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状． 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C . (1)证明：B ＝C ； (2)若cos A ＝－13 ，求sin ????4B ＋π3的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它 是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求
1.1.1正弦定理公式及练习题
一、引入 我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？这就是我们今天要学习的内容：正弦定理，故此，正弦定理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。 二、新授
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R C c B b A a 2s i n s i n s i n ===（注：为△ABC 外接圆半径） 2、正弦定理常见变形： （1）边化角公式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2= （2）角化边公式：R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin = （3）C B A c b a sin :sin :sin ::= （4）R C B A c b a C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin =++++=== (5) C c B b C c A a B b A a sin sin sin sin sin sin ===，， （6）B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin === 3、三角形中的隐含条件： （1）在△ABC 中，c b a >+,c b a <-(两边之和大于第三边，两边只差小于第三边) （2）在△ABC 中，B A b a B A B A B A B A >?>>?>；；cos cos sin sin （3）在△ABC 中，,cos )cos(sin )sin(C B A C B A C B A -=+=+?=++， π 2 cos 2sin C B A =+ 考试·题型与方法 题型一：解三角形 例1：（1）在△ABC 中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形； （2）在△ABC 中，B=30°，C=45°，c=1,求b 的值及三角形外接圆的半径。 变式训练：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形： （1）；，，?===602010A b a （2）； ，，?===606510C c b （3）； ，，?===4532A b a 例2：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（ ） A.有两解?===30,16,8A b a B. 有一解?===60,20,18B c b C. 无解?===90,2,15A b a
正弦定理练习题DOC
一、单选题 1、若的内角所对的边满足,且,则的值为（） A．B． 1 C．D． 2、若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且=60°,则的值为（） A． B．1 C． D． 3、在中，已知，则角为 ( ) A．B．C．D．或 4、某人先朝正东方向走了km，再朝西偏北的方向走了3km，结果它离出发点恰好为km，那么等于（） A． B． C．3 D．或 5、若的三角，则A、B、C分别所对边=（） A． B． C． D． 6、在△ABC中，若，则此三角形是 ( ) A．正三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形 7、在中，若，则的形状一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形 8、在中，（） A．B．或C．D．或 9、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为() A．2+2 B．+1
C．2-2 D．-1 10、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（） A．a=1, b="2" , c=3 B．a=1, b=2,∠A=100° C．a=1, b=, ∠A=30°D．b="c=1," ∠B=45° 11、在中，，，面积，则 A．B．C．D． 12、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）. A. B. C. D. 13、在△中，角所对的边分别为，若，则△ 的面积等于（） A．10 B．C．20 D． 14、在△ABC中，（a，b， c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 15、在中，若，则等于（） A．B．C．D． 16、在中，若，则是（） A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形 17、（本小题考查正弦定理）在三角形ABC中，，则B等于A或 B. C. D. 以上答案都不对。 18、在△ABC中，三个内角分别是A，B，C，若sinC=2cosAsinB。则此△ABC一定是（）A．直角三角形 B.正三角形 C。等腰三角形 D.等腰直角三角形
解三角形之正弦定理
1.1.1 解三角形之正弦定理2 2015.03.17 命题人——王峰 班级 姓名 学号 一、选择题 1．在△ABC 中，若∠B ＝135°，AC ＝2，则BC sin A ＝ ( ) A ．2 B ．1 C ． 2 D ．2 2 2．在△ABC 中，∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433 ，则∠A 的大小为 ( ) A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 3．已知△ABC 的面积为3 2，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝ ( ) A ．32 B ．12 C ．34 D ． 3 4．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为 ( ) A ．22 B ．24 C ．32 D ．3＋14 5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为 ( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 6．在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝ ( ) A ．4∶5∶6 B ．6∶5∶4 C ．7∶5∶3 D ．7∶5∶6 7．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 *8．[2013·辽宁理，6]在△ABC 中，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2b ，且a >b ，则B ＝ ( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π 6 二、填空题 9．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π 4，cos A ＝5 5，则sin A ＝________；a ＝________． 10．(1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________； (2)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________． 11．(1)在△ABC 中，若b ＝a cos C ，则△ABC 是___________三角形； (2)在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是______________三角形；
正弦定理解三角形
利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： 1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。 例题设计一： 已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。 （1）∠A＝60°∠B=45° a＝10 （2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10 （1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2 （2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a=== b=== 这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。 习题设计一： 设计意图：巩固当堂内容 已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B.
解：∵，∴a＝，∠B＝180°- （∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，∴ b ＝＝20sin75°=20×=5+5. 例题设计二： 已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1） （1） a=3 b=4 ∠A＝30° （2） a=b＝6 ∠A＝120° （3） a=2 b=3 ∠A＝45° （1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理 知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A， ∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°； 当∠B≈41.8°时，∠C≈180°-30°-41.8°＝108.2°， c＝＝≈5.7； 当∠B≈138.2°时，∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°，
正弦定理与余弦定理练习进步题
,. 正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4，ο 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B ．30° 或150° C ．60° D ．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 32π D ．6 5π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin C A =2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B ．60° C ．15° D ．105° 或 15° 6．已知ABC ?中，75 6,8,cos 96 BC AC C ===，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ． 2π B ．3π C ．4π D ．6 π 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形
正弦定理余弦定理解三角形
第一篇 正弦定理和余弦定理 【知识清单】 一、三角形有关性质 （1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b
正弦定理练习题(含答案)
正弦定理 复习 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝ a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4 3，b ＝4 2，则角B 为( ) A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝ b sin A a ＝22 ，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝ 2，则c ＝( ) A ．1 B.1 2 C ．2 D.14 解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝ 2×sin 30° sin45° ＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B 即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π 2. 7．已知△ABC 中，AB ＝ 3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32 或 3 D.34或32
正弦定理和余弦定理(解三角形)
解三角形 1.内角和定理：在ABC ?中，A B C ++= π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -，cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha ＝21bhb ＝2 1chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21absinC ＝21bcsinA ＝2 1acsinB ； ③ABC S ?＝2R 2sinAsinBsinC.（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝R abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式： ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中，B A cos sin > 4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知：A.B.C 是ABC ?的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A m π，??? ? ????? ??-=1,2cos A n π，n m ⊥. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,3 3cos ,2==B a 求b 的长.
解三角形(正弦定理余弦定理)知识点例题解析高考题汇总及答案
解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.
正弦定理练习含答案上课讲义
正弦定理练习
课时作业1正弦定理 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1. （2013湖南理，3）在锐角△ ABC 中，角A , B 所对的边长分别 为a , b.若2asinB = 3b ，则角A 等于（ ） A. T2 【答案】 D 【解析】 本题考查了正弦定理由s^a A =S^B ，得sinA ^23, 1 1 n - sinB , SinB = 2, 3 故ZB = 30 或 150 ° 2.在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为a 、b 、c ,已知/ A n = 3, a= .3, b = 1,则c 等于（ C. 3— 1 D/3 【答案】 【解析】 a 由正弦定理 sinA - si nB ‘ 可得匚3 sin ：
由 a>b ,得/A>ZB. /.z B = 30 ° 故ZC = 90 ° 由勾股定理得c = 2,故选B. 1 5 3 .在厶 ABC 中，若 tanA = 3 , C = g n, BC = 1 ,贝S AB = 【答案】 弓0 【解析】 1 J10 ??tanA = 3,且 A 为/△ABC 的内角，二 sinA^^0.由正 10 4.在△ ABC 中，若Z B = 30° AB = 2 3, AC = 2,求厶 ABC 的 周长. 【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自 然要考虑去寻求第三边 BC ,但BC 的对角Z A 未知，只知道Z B ,可 结合条件由正弦定理先求出Z C ,再由三角形内角和定理求出Z A. 【解 析】 由正弦定理，得sinC =AE AnB = 23 . VAB>AC ,AZ C>ZB , 又 TO ° 课时作业3应用举例 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是() A．103海里B．106海里 C．52海里D．56海里 【答案】 D 【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°， 则∠C＝45°， 由正弦定理得： BC＝AB·sin A sin C ＝10×sin60° sin45° ＝5 6. 2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为() A ．502m B ．503m C ．252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根 据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A. 3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35， 设电视塔高度为h m，则OA＝3 3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB， 即352＝(3 2＋h2－2×33h×h×(－32) 3h) 解得h＝521. 4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可． 解三角形 [前言 ] 1.三角形的构成要素是三条边与三个角，所谓的解 ②该性质对所有三角形均适用，却只关注边且为不 三角形，即根据已知条件求边的长短与角的大小； 等关系，没有体现角；多数情况中，该性质作为判 求解的方法，不再是传统意义上的尺规测量，而是 段三角形构成的条件； 借助三角形本身所固有的性质来求角的大小、边的 ③该性质对所有的三角形均适用，尽管同时涉及角 长度，正是“解铃还须系铃人”； 与边，但体现的是不等关系； ④⑤⑥这几条性质不能推广，针对某一类具体的三 2.对于三角形的性质，常见的可概括为以下几条： 角形适用； ①内角和定理：三个内角相加之和为180°； ⑦⑧这些性质反映了三角形的外延问题，往往不在 ②两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 解三角形的范畴 ③大角对大边，小边对小角； 综括上述性质的特征： ④勾股定理：a 2+b 2=c 2； 解三角形所采用的性质必须满足四点要求：(1)对 ⑤在直角三角形中，30°所对的直角边为斜边的一半 所有的三角形均适用；(2)必须为等式；(3)必须有 ⑥等腰三角形两腰相等，两底角相等；等边三角形 角的参与；(4)必须有边的参与.满足四点要求的性 三条边相等，三个角相等； 质有正弦定理与余弦定理，即解三角形的主要方法. ⑦直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，斜边长 为外接圆的直径； 3.所谓角已知，不见得已知角的度数，凡是角的正 ⑧三角形的外角等于与它不相邻的两个内角相加之 弦值、余弦值、正切值已知，即为角已知；在解三 和等等； 角形中，求角的大小，也不见的求角的度数，可以 比较上述性质： 是角的某一个三角函数值，原因在于角已为任意角 ①内角和定理对所有三角形均适用，但只体现了角 不囿于锐角或者特殊角. 的关系，不能解决有关边的问题； [正弦定理] 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即 a sinA = b sinB = c sinC 其中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边. 对于直角三角形、钝角三角形，同理可证. 2.几何意义：对任意一个?ABC 中，均有： 课题:正弦定理 授课类型：新授课●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动。A 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
正弦定理、解三角形
正弦定理