八年级数学上册第5章《几何证明初步》单元测试3(青岛版)
《几何证明初步》单元测试题
（时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列语句中，不是命题的是（）
A．若两角之和为90°，则这两个角互补
B．同角的余角相等
C．作线段的垂直平分线
D．相等的角是对顶角
2. 下列语句中属于定义的是（）
A．直角都相等
B．作已知角的平分线
C．连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离
D．两点之间，线段最短
3. 下面关于定理的说法不正确的是（）
A．定理是真命题
B．定理的正确性不需要证明
C．定理可以作为推理论证的依据
D．定理的正确性需证明
4. 如图，在等边△中，，则等于（）
A. B. C. D.
5. 如图，已知，，，结论：①；②；
③；④△≌△．其中正确的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第6题图
6. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到∥的是（）
A ．∠1=∠2 B. ∠2=∠4 C. ∠3=∠4 D ．∠1+∠4=180° 7.如图，∥
，
，若
，则等于（ ）
A.
B.
C. D.
8. 如图,在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB =AD
B.CA 平分∠BCD
C.AB =BD
D.△BEC ≌△DEC
9. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OT ⊥AB 于O ，CE ∥AB 交CD 于点C ，若∠ECO =30°，则∠DOT 等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
10. 图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列选项正确的是（ ）
A ．∠2=∠4+∠7
B ．∠3=∠1+∠6
C ．∠1+∠4+∠6=180°
D ．∠2+∠3+∠5=360° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 写一个与直角三角形有关的定理 . 12. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 度．
13. 如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B =______度．
14. 若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2，那么这个三角形的最大内角 是______度.
第10题图
第12题图
第9题图
15. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC =
.
16. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2= .
17. 请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题： . 18. 如图，AB ∥CD ，∠ABE =66°，∠D =54°，则∠E = 度． 三、解答题（共46分）
19.（6分） 下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并判断是否正确．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点． （5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直.
20.（8分）如图，在四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连接AE 、BE ，给出下列五个关系式：①AD ∥BC ；②DE =CE ；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD +BC =AB .将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，便构成一个命题． （1）用序号写出一个真命题（书写形式：如果×××，那么×××），并给出证明．
第13题图
第16题图
第18题图
（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）.
21.（8分）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．
22.（8分）如图，是∠内的一点，，，垂足分别为，
．
求证：（1）；
（2）点在∠的平分线上．
23.（8分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
第20题图
第23题图
第21题图
24.（8分）如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB
第24题图
第5章几何证明初步检测题参考答案
1. C 解析：根据命题的定义，可知A、B、D都是命题，而C属于作图语言，不是命题．
故选C．
2. C 解析：A是直角的性质，不是定义；B是作图语言，不是定义；C 是定义；D是公理，不是定义．故选C．
3. B 解析：根据定理的定义，可知A，C，D是正确的，B是错误的．故选B．
4.C 解析：在等边△中，有，.
又因为，所以△≌△，所以．
所以．故选C．
5. C 解析：因为，，，所以△≌△（AAS），
所以，所以，即
故③正确.
又因为，，所以△≌△（ASA）.所以.故①正确.
由△≌△，知，又因为，，
所以△≌△，故④正确.
由于条件不足，无法证得②故正确的结论有：①③④.
6. D 解析：A.∠1与∠2是邻角，不是被第三条直线所截得的同位角或内错角，不能推出平行；
B.∠2+∠3与∠4是被截得的同位角，而∠2与∠4不是，不能推出平行；
C.∠3与∠4，不是被截得的同位角，不能推出平行；
D.∠1+∠4=180°，∠1的对顶角与∠4是被截得的同旁内角，能推出平行．故选D．
7. C 解析：因为∥，所以.
因为，所以.
如图，过点作∠∠交于点，则△≌△，
所以，
因为，
所以．
8. C 解析：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD,BC=DC,∠BCE=∠DCE,
∴CA平分∠BCD.AB与BD不一定相等，故选C.
9.C 解析：∵CE∥AB，∴∠DOB=∠ECO=30°.
∵OT⊥AB，∴∠BOT=90°，
∴∠DOT=∠BOT-∠DOB=90°-30°=60°．故选C．
10.C 解析：根据四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，可知∠1+∠4+∠6=180°．故选C．
11.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方解
析：本题是一道开放型题目，只要保证命题是真命题即可.
12.270 解析：如图，根据题意可知∠5=90°，∴∠
3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°.
13.40 解析：∵△ABC沿着DE翻折，
∴∠1+2∠BED=180°，∠2+2∠BDE=180°，
∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）=360°，
而∠1+∠2=80°，∠B+∠BED+∠BDE=180°，
∴80°+2（180°-∠B）=360°，
∴∠B=40°．
14.80 解析：这个三角形的最大内角为
180°×4
9
=80°．
15. 108°解析：如图，连接OB，OC.
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴
第12题答图
又∵AB=AC，
∴.
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°.
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴OB=OC，
第16题答图∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°.
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°．
16. 50°解析：如图，由三角形的外角性质可得∠4=∠1+∠3=50°，∵∠2和∠4是两平行线间的内错角，∴∠2=∠4=50°．
17. 对顶角相等（答案不唯一）解析：本题是一道开放性题目，答案不唯一，只要符合条件即可．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
18. 12 解析：∵AB∥CD，∴∠BFC=∠ABE=66°.
在△EFD中，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠BFC=∠E+∠D,
∴∠E=∠BFC-∠D=12°．
19.分析：根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论放在“那么”后面．
解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，正确；
（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，正确；
（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，错误；
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，正确.
20.分析：（1）如果①②③，那么④⑤．过E点作EF∥
AD，与AB交于点F，根据平行线的性质推出EF为梯形ABCD
的中位线，根据平行线的性质和等量代换，即可推出∠4=∠3，
AB=2EF，通过2EF=AD+BC，即可推出AB=AD+BC.（2）根
据真命题的定义，写出命题即可．
解：（1）如果①②③，那么④⑤．
第20题答图
证明如下：如图，过E点作EF∥AD，与AB交于点F.
∵AD∥BC，∴EF∥BC.∵DE=CE，∴AF=BF.
即EF为梯形ABCD的中位线，∴2EF=AD+BC，
∴∠1=∠AEF，∠4=∠FEB.
∵∠1=∠2，∴∠2=∠AEF，∴AF=EF.
∵AF=BF，∴BF=EF，∴∠3=∠FEB，∴∠4=∠3.
∵AB=AF+BF，∴AB=2EF.∵2EF=AD+BC，∴AB=AD+BC．
（2）如果①②④，那么③⑤；如果①③④，那么②⑤；如果①②⑤，那么③④．
21.分析：根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB=∠DCE，再根据SAS 可证△ABC≌△DEC，继而可得出结论．
证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ACE，
即∠ACB=∠DCE.
在△ABC和△DEC中，∵CA＝CD，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．∴DE=AB．
22.分析：（1）连接AP，根据HL证明△APF≌△APE，可得到PE=PF；（2）利用（1）中的全等，可得出∠F AP=∠EAP，那么点P在∠BAC的平分线上．
证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°.
在Rt△AEP和Rt△AFP中，AE=AF，AP=AP，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．
23.分析：利用ASA证明两个三角形全等即可．
证明：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∴△ABC≌△DEF．
24.分析：灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.
∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠ACD（等量代换），
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.
∵EF⊥AB（已知），∴∠AEF=90°（垂直的定义），
∴∠ADC=90°（等量代换）.
∴CD⊥AB（垂直的定义）．