(完整版)椭圆知识点复习总结
椭圆知识点总结复习
1. 椭圆的定义：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时122
22=+b
y a x （222a b c =+）?{
cos sin x a y b ??==（参
数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22
22b
x a y +＝1（0a b >>）。方程
22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
例一：已知线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，AB=5，M 是AB
上的一个点，且AM=2，点M 随AB 的运动而运动，求点M 的运动轨迹方程
2. 椭圆的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；
②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：
两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c
e a
=，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e
越大，椭圆越扁。⑥通径2
2b a
例二：设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 作x 轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦
点1F ，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且A,B 两点所确定的直线AB 与OP
平行，求离心率e
2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200
221x y a b
+>；
（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220
220b y a x +＝1；
（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200
221x y a b
+<
3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求） （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?
例三：:直线y ―kx ―1=0与椭圆22
15x y m
+
=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
例四：椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共
点T ，且椭圆的离心率2
e =
（1）求椭圆的方程
（2）设12,F F 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠ （3）求证：2
121
2
AT AF F =.
?4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。
例五：已知椭圆22
221x y a b
+=上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右
准线的距离为____（答：10/3）；
例六：椭圆1342
2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，
使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3
6
2(
-）
；
5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题：0||S c y =，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；
6、弦长公式：（直线与椭圆的交点坐标设而不求）
若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐
标，则AB ＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝
2121
1y y k
-+
，
（若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y y -。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。）
例七：已知椭圆C ：22
142
x y +
=和直线:l y x m =+交于,A B 两点，且2AB =，求直线的方程。
7、圆锥曲线的中点弦问题：（直线和椭圆的交点设而不求）
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆122
22=+b
y a x 中，
以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0
202y a x
b ；
例八：如果椭圆22
1369
x y +
=弦被点A （4，2）平分，求这条弦所在的直线方程是（答：280x y +-=）；
例九：（2）已知直线y=－x+1与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两
点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，求此椭圆的离心率（答：2
）；
例10：试确定m 的取值范围，使得椭圆13
42
2=+y x 上有不同的两点关于直
线m x y +=4对称（答：? ??
）
；
特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！