三角函数的恒等变形培优

三角函数的恒等变形

一、课前小测摸底细 1.已知tan =2α，那么sin 2α的值是（）

A ．45

-

??B ．45?C ．35-???D ．35 2.若sin 2cos 2,cos 2sin 2x y x y -=+=， 则sin()x y -=_________．

3.若33cos()sin 65π

αα+-=，则5sin()6πα+=. 4.函数212cos (2).y x =-的最小正周期为.

5.已知),2(ππ

α∈,5

5sin =α. （Ⅰ）求)4

sin(απ

+的值； （Ⅱ）求)265cos(απ-的值. 二、课中考点全掌握

考点1两角和与差的三角函数公式的应用

【题组全面展示】

【1-1】设α为锐角，若3cos 65πα?

?+= ???，则sin 12πα??-= ???

() A.2

10- B.210C.22 D.4

5

【1-2】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；

(2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；

(3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；

(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；

(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.

请从上述五个式子中选择一个，这个常数为.

【1-3】若,2

14tan =??? ??-θπ则=θθcos sin . 【1-4】函数()sin(φ)-2sin cos f x x x ?=+的最大值为_________．

【1-5】已知71cos =α，1413)cos(=

-βα，且2

0παβ<<<，则=β. 【基础知识重温】 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C (α－β)：cos(α－β)＝；C (α＋β)：cos(α＋β)＝；

S (α＋β)：sin(α＋β)＝；S (α－β)：sin(α－β)＝；

T (α＋β)：tan(α＋β)＝；T (α－β)：tan(α－β)＝.

变形公式：

tan α±tan β＝；.

【方法规律技巧】

1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．

2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．

提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；

若α，β中有一角是k π＋(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．

【新题变式探究】

【变式1】已知4cos sin 365παα?

?-+= ???，则7sin 6πα??+ ??

?的值是() 【变式2】已知2tan()5a b +=，1tan 3b =， 则tan +4p a ?

? ???

的值为． 【变式3】函数()()()sin 22sin cos f x x x ???=+-+的最大值为_________．

【变式4】已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （Ⅰ）求sin()αβ-的值；

（Ⅱ）求cos β的值．

【变式5】已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πω?ω?=+>><

的部分图像如图所示. （Ⅰ）求函数)(x f )的解析式，并写出)(x f 的单调减区间；

（Ⅱ）ABC ?的内角分别是A,B,C.若1)(=A f ,4cos 5

B =,求

C sin 的值. 考点2二倍角公式的运用公式的应用

【题组全面展示】

【2-1】已知1sin 23α=，则2cos ()4

πα-=() A ．13B ．13-C ．23 D ．23- 【2-2】设向量2(sin ,)2a α=的模为32

，则cos2α=（） A.32 B.12C.12- D.14- 【2-3】已知tan =2α，则22sin 1sin 2αα

+=. 【2-4】函数cos 22sin y x x =+的最大值为.

【2-5】若cos α＝－，α是第三象限角，则＝.

综合点评：这些题目都是考查二倍角公式，仔细审题，弄清题目的特征，正确选用公式.

【基础知识重温】 二倍角的正弦、余弦、正切公式：

S 2α：sin2α＝；C 2α：cos2α＝＝＝；

T 2α：tan2α＝.

变形公式：

cos 2α＝，sin 2α＝

1＋sin 2α＝

【方法规律技巧】

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

【新题变式探究】

【变式1】若1sin()63π

α-=，则2cos(2)3

πα+=（） A ．29B ．29-C ．79D ．79- 【变式2】已知cos(α－)＝，则sin2α等于( )

A.B ．－C.

D ．－ 【变式3】函数f(x)=sin 2(x+4π)-sin 2(x-4π),x ∈(6π,3

π)的值域是______. 【变式4】已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.则tan2α的值为.

【变式5】若－2π＜α＜－，则的值是.

考点3三角函数的综合应用

【题组全面展示】

【3-1】已知cos(α＋)＝，则sin(2α－)的值为( )

A.B ．－C.

D ．－ 【3-2】已知点(),a b 在圆221x y +=上，则函数

()2cos sin cos 12a f x a x b x x =+--的最小正周期和最小值分别为（） A.32,2π- B.3,2π- C.5,2

π- D.52,2π- 【3-4】已知1sin()sin()446

ππαα+?-=，(,)2παπ∈，则sin 4α=. 【3-5】已知函数()sin 22sin sin x f x x x =+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和最小正周期； （Ⅱ）若()2f α=，[]0,απ∈，求12f πα??+ ??

?的值. 【基础知识重温】函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝sin(α＋φ)或f (α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．

【方法规律技巧】

高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为)sin(?ω+=x A y 的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．

【新题变式探究】

【变式1】函数)4

3(sin 212π--=x y 是（） A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数

C ．最小正周期为

2π的奇函数D ．最小正周期为2

π的偶函数 【变式2】)已知向量(,),(cos ,sin )a m n b x x ==，函数()2f x a b =?-. （I ）设1m n ==，x 为某三角形的内角，求()1f x =-时x 的值；

（II ）设4,3m n ==，当函数()f x 取最大值时，求x 2cos 的值.

【变式3】设函数()x x x f 2sin 232cos -??

? ??

-=π.

（I ）求()x f 的最小正周期（II ）若]2,0[π

∈x ，求()x f 的最大值及相应的x 值．

【变式4】已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （Ⅰ）若3πα=，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；（Ⅱ）若=βα，求a b ?的取值范围.

【变式5】已已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中a ∈R ，(,)22ππθ∈-

． （Ⅰ）当2,4a π

θ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值； （Ⅱ）若()0,()12

f f π

π==，求,a θ的值． 三、易错试题常警惕

易错典例：若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos2θ的值．

易错分析：不注意挖隐含条件，角θ的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．

三角函数恒等变换(整理)

高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<

4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0

三角函数及恒等变换高考题大全

三角函数题型分类总结 一．求值 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）（09北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) (07陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2 π α∈，若3sin 5α= )4 π α+= . （3）（06福建）已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4 π α+= 4（07重庆）下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。 （3）sin163sin 223sin 253sin 313+=o o o o 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8．（07浙江） 已知cos( )2 π ?+= ，且||2 π ?<，则tan ?＝ 9. 若 cos 2π2sin 4αα=- ?? - ? ? ?cos sin αα+=

三角函数恒等变形公式

三角函数恒等变形公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asi nα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

三角函数恒等变换

§6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）.

5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则.

13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。

三角函数恒等变换

三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2k π+α(k ∈Z) π+α -α 图示 与α角终边的关系 相同 关于原点对称 关于x 轴对称 角 π-α 2π -α 2 π +α 图示 与α角终边的关系 关于y 轴对称 关于直线y=x 对称 2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α (k ∈Z) π+α -α π-α 2 π -α 2 π +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，

符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sinα= 2 2tan 2 1tan 2 α α + , cosα= 2 2 1tan 2 1tan 2 α α - + 3、形如asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα=22 a b +sin(α+β).其中cosβ= 22 a a b + ,sinβ= 22 b a b +三、简单的三角恒等变换

三角函数恒等变形公式

三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数: cos( a + 3)=cos a ? cos 3 -sin a ?sin 3 cos( a - 3)=cos a ? cos 3 +sin a ?sin 3 sin( a ±3 )=sin a ? cos 3 ±cos a ? sin 3 tan( a + 3)=(tan a +tan 3 )/(1-tan a ? tan 3 ) tan( a - 3)=(tan a -tan 3 )/(1+tan a ? tan 3 ) 三角和的三角函数： sin( a + 3 +Y )=sin a ? cos 3 ? cos 丫+cos a ? sin 3 ? cos 丫+cos a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? sin 丫cos( a + 3 + Y )=cos a ? cos 3 ? cos 丫-cos a ? sin 3 ? sin Y -sin a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? cos 丫 tan( a + 3 + Y )=(tan a +tan 3 +tan 丫-tan a ?tan 3 ? tan 丫)/(1-tan a ? tan 3 -tan 3 ? tan 丫-tan 丫? tan a ) 辅助角公式： Asin a +Bcos a =(A2+B2)A( 1/2)sin( a +t)，其中 si nt=B/(A2+B2)A(1/2) cost=A/(A2+B2)A(1/2) tan t=B/A As in a -Bcos a =(A2+B2)A(1/2)cos( a -t) , tan t=A/B 倍角公式： sin (2 a )=2sin a? cos a :=2/(tan a +cot a ) cos(2 a )=cos2( a )- sin2( a )=2cos2( a )-仁1- 2sin2( a ) tan (2 a )=2tan a/[1- tan2( a )] 三倍角公式： sin (3 a )=3sin a-4sin3( a )=4sin a-sin(60+ a )sin(60- a ) cos(3 a )=4cos3( a )-3cos a =4cos a-cos(60+ a)cos(60- a ) tan(3 a )=tan a ? tan( n /3+a) ? tan( n /3-a) 半角公式： Sin( a /2)= ±V((1 -cos a )/2) cos( a /2)= ±V ((1+cos a )/2) tan( a /2)= ±V ((1 -cos a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos a )=(1-cos a )/sin a 降幕公式 sin2( a )=(1-cos(2 a ))/2=versin(2 a )/2 cos2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2 tan2( a )=(1-cos(2 a ))/(1+cos(2 a )) 万能公式： sin a =2tan( a /2)/[1+tan2( a /2)] cos a =[1- tan2( a /2)]/[1+tan2( a /2)] tan a =2tan( a /2)/[1- tan2( a /2)] 积化和差公式：

三角函数恒等变换含答案及高考题

三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο ο ο οοο----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，?????? ?=-=?? ? ????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，

三角函数恒等变换练习题与答案详解

两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．

三角函数诱导公式及恒等变换

授课主题 三角函数诱导公式及恒等变换 教学目的 掌握三角函数的诱导公式和恒等变换公式 灵活运用三角函数公式 教学重点 三角函数公式的运用 教学内容 1、象限角 （1）各象限角的范围 （2）三角函数值在各象限的符号 αsin αcos αtan 2、角度与弧度之间的转换 3、同角三角函数的基本关系 ()()122=+ ()() = αtan 练习：（1、（2011全国，14）已知），（ππα23∈，tan α=2，则cos α= ； （2、若=?+=+α ααααcos sin 2cos 1 0cos sin 32 ，则 ； （3、若==+ααααtan 1sin cos sin 2，则 ；

（一）诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 例题赏析 例题1、（2013广东，4）已知==??? ??+ααπcos 51 25sin ，那么（）； A ：52- B ：51- C ：51 D ：5 2 例题2、已知31sin -=+）（απ，则[]？）（）（）（=-+-?-+--?+) 2cos(cos cos ) 2cos(1cos cos cos πααπαπααπααπ 达标训练 （1、已知=+=+）（是锐角，则，）（απααπsin 5 3 2sin （）． 53.A 53.-B 54.C 5 4.-D 正弦 余弦 正切 α- απ-2 απ+2 απ-2 2 απ +2 2 απ-23 απ+23

（2、若=+）（）（是第二象限角，则θπθπθ-23 sin sin 2-1（） ． θθcos sin -、A θθsin cos .-B )cos sin (.θθ-±C θθcos sin .+D （二）三角函数的求值与化简 1、两角和差公式 =+）（βαsin ；=-）（βαsin ； =+）（βαcos ；=-）（βαcos ； =+）（βαtan ；=-）（βαtan ； 记忆口诀：正弦角大值大，角小值小；余弦角大值小，角小值大；正切的与正弦相同。 公式拓展 =+ααcos sin b a ，其中 ； =+ααcos sin b a ，其中 。 例题精讲 例题1、（2012重庆，5）=? ? ?-?17cos 30cos 17sin 47sin （） A. 23- B.21- C.21 D.2 3 例题3、（2014全国大纲，14）函数x x y 2sin 22cos +=的最大值为 。 达标训练 （1、（2014江苏，15）已知?? ? ??∈ππα，2，55sin =α. 求（1））（ απ +4 sin 的值；

专题3.2 三角函数化简以及恒等变换(解析版)

3.2三角函数化简及恒等变换 一、选择题：每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【四川省绵阳市2020届高三上期第一次诊断性考试数学（理）试题】 函数)0)(6sin()(>+ =w wx x f π 在?? ? ??22- ππ，上单调递增，且图像关于π-=x 对称，则w 的值为（ ） A. 32 B.35 C.2 D.3 8 【答案】A 【解析】 函数)0)(6 sin()(>+ =w wx x f π的递增区间)(22 622 -Z k k x k ∈+≤ + ≤+ππ πωππ ，化简得： ).(23232-Z k k x k ∈+≤≤+ωπωπωπωπ已知在??? ??22-ππ，单增，所以.320.2 32-32-<ω此时k=-1,所以3 2= ω 【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。题目综合性强，需要逆向思维。题目属于中等难度。 2. 【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】 已知函数()2sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2 A B π π-，则?的值为 （ ） A. 56 π B. 6 π C. 56π- D. 6 π - 【答案】C 【解析】由已知得：1,2==ωπT ，图像经过(,1),(,1)2A B π π-6 5-π?= 3. 【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】

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【最新整理，下载后即可编辑】 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(Sα＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β(Tα－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β(Tα＋β) 2．二倍角公式 sin 2α＝α αcos sin 2； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝2tan α 1－tan2α. 3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式

的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β －1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α ＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 热身训练 1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan α tan β的值为_______． 2． 函数 f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为 ______________________． 3． (2012·江苏)设α为锐角，若 cos ??? ? ?+6πα＝4 5，则

三角函数及其恒等变形

高考数学一轮复习学案 编号：9 高二 班 组 姓名 评价 《三角函数》单元 三角函数是数学重要而基础的知识内容之一，在数学理论和实际应用中有非常重要的地位。现在中学数学对三角的内容要求不高，掌握最基本、最常用的内容，能熟练进行基本的三角恒等变换即可。复习中，按以下三条主线进行梳理比较适当：①从三角函数的定义出发，串联符号规律、同角关系、诱导公式以及两角和差倍半等三角公式，系统解决三角恒等变形的问题；②以正、余弦函数的图像性质为基础，拓展延伸到正、余弦型函数的图像和性质，系统解决函数的图像性质问题；③以正、余弦定理为核心，研究解决与三角形有关的三角函数问题。 小单元1 三角函数及三角恒等变形 知识方法梳理 1. 角概念的推广包括些内容？同终边角、象限角、区间角的概念是怎样的？2 π 是第几象限的角？ 同角关系 符号规律 三角函数 的 坐标定义 角概念 的推广 和差角公式 弧度制 诱导公式 余弦差角公式 三角函数线 倍角公式 半角公式 万能公式 化一公式 升降次公式 三角恒等变形 化简 求值 证明 给角求值 给值求值 给值求角 三 角 函 数 坐标法定义 符号规律 诱导公式 同角关系 角概念的推广 弧度制 余 弦 差 角 公 式 和差角公式 半角公式 倍角公式 三 角 恒 等 变 形 正余弦图像与性质 图像变换 )sin(?ω+=x A y 型图像与性质 正、余弦定理 与三角形有关的三角函数问题 解三角形 解三角形的实际问题

2. 角度制、弧度制各怎样度量角的大小的？它们各有怎样的特点？如何进行单位互化？两种制度下的弧长公式和扇形面积公式各是什么样的？ 3. 三角函数的新定义是如何做的？与初中的定义相比有什么样的优势？三角函数线是如何规定的？有什么样的作用？ 4. 总结符号规律和同角关系，如果这些结论忘记了，你能从定义重新得到吗？ 5. 举例说明你对诱导公式口诀的理解，并完整写出常用的几组诱导公式.

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两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征； 2.灵活使用 (正用、逆用、变形用 )两角和与差的正弦、余弦、 正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－ β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋ β)＝cos_αcos_β－ sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－ β)＝sin_αcos_β－ cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋ β)＝sin_αcos_β＋ cos_αsin_β (S α＋β) tan α－ tan β (T α－ β tan( α－ β)＝ 1＋ tan αtan β ) tan α＋ tan β (T α＋ β tan( α＋ β)＝ 1－ tan αtan β ) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ 2 sin cos ； cos 2α＝cos 2α－sin 2 α＝2cos 2α－ 1＝ 1－ 2sin 2α； tan 2 α＝ 2tan α 2 . 1－ tan α 3． 在准确熟练地记住公式的基础上， 要灵活运用公式解决问题： 如公式的正用、 逆用和变形用等． 如 T α±β 可变形为 tan α± tan β＝ tan( α±β)(1tan_ αtan_ β)， tan αtan β＝ 1－ tan α＋ tan β tan α－ tan β ＝ － 1. tan α＋β tan α－ β 4． 函数 f(α)＝ acos α＋ bsin α(a ，b 为常数 )，可以化为 f(α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋ φ)或 f(α)＝ a 2＋ b 2 cos(α－ φ)， 其中 φ 可由 a ， b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源 ] 三角变换中的 “三变 ” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 “配凑 ”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有 “切化弦 ”、 “升幂与降幂 ”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有 “常值代 换 ”、 “逆用变用公式 ”、 “通分约分 ”、 “分解与组合 ”、 “配方与平方 ”等． 热身训练 2 1 tan α 1． 已知 sin(α＋ β)＝ ， sin(α－ β)＝－ ，则 的值为 _______． 3 5 tan β

5,三角函数的恒等变形(一)

实用文档 §4.4三角函数的恒等变形与求值（一） 【复习目标】 1． 熟练掌握两角和与差及两倍角的正弦、余弦、正切公式； 2． 理解22 cos 1sin 2αα-=，22 cos 1cos 2α α+=在升、降幂中的作用； 3． 能正确运用公式解决化简、求值等相关问题、运算问题． 【重点难点】 在化简、求值等运算问题中，训练“变角”、活用公式、“范围意识” 【课前预习】 1. 关于两角和与差及两倍角的正弦、余弦、正切公式的推导体系 2. 化简000029sin 91sin 181sin 119sin -= 。 3. 设)17cos 17(sin 22 00+=a ，113cos 202-=b ，23 =c ，则 （ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．c b a << D ．c a b << 4. 0000tan10tan 50tan 50++= 。 5. 求值：00sin 50(1)?+ 【典型例题】

实用文档 例1 已知α、β均为锐角， 43tan = α，135)cos(-=+βα，求βcos 的值． 例2 求值： 000010cos 1) 10tan 31(80sin 50sin 2+++ 例3 已知)2sin(sin 3βαβ+=，且 2ππα+≠k ，2ππβα+≠+m （k 、Z m ∈），求证： tan()2tan αβα+= 【巩固练习】 1． sin cos 1212ππ += 。 2． 322παπ<<）= 。 3． 若sin sin 1αβ?=，则 ()cos αβ+= 。 4． 如果 ,1)(1)4tg tg παβαβ+=++求（的值．

必修四三角函数三角恒等变换知识点总结

三角函数 三角恒等变换知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系讨论角： 角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α 角终边关于x y =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）正确理解角： 要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断 2α所在的象限。来判断3 α 所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 （7）弧长公式： ；半径公式： ； 扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点

6、三角函数的恒等变形(二)

实用文档 §4.4三角函数的恒等变形与求值（二） 【复习目标】 1． 能正确运用公式解决化简、求值等相关问题、运算问题 2． 在解题训练中，强化“变角找思路，范围保运算”的解题技能训练 【重点难点】 在解题训练中，强化“变角找思路，范围保运算”的解题技能训练 【课前预习】 1. 00sin15cos165?= ； 2. 已知cos cos2αα= ,2π απ?? ??∈ ? ?????，则tan α= 。 3. 若α是锐角，且1 sin 63πα?? -= ???，则cos α的值是 。 4. 已知1tan 2α=-，则sin 22cos 24cos 24sin 2αα αα+-的值 是 （ ） A ．5 2 B ．52- C ．114 D ．1 14 - 【典型例题】 例1 求值：202001 31 cos 80cos 10cos 20??-? ???

实用文档 例2 已知21 )tan(=-βα，71 tan -=β，且),0(,πβα∈，求βα-2的值． 例3 求2345cos cos cos cos cos 1111111111π π π ππ 的值. 【巩固练习】 1． 000078sin 66sin 42sin 6sin = 。 2． 设)2,0(,,π γβα∈，且αγββγαcos cos cos ,sin sin sin =+=+，则αβ-等于（ ） A ．3π - B ．6π C ．3π或3π- D ．3π

实用文档 3． 已知02π αβπ<<<<，3sin 5α=，()4cos 5 αβ+=-，则sin β等于 （ ） A ．0 B ．0或 2425 C ．2425 D ．0或2425 - 【本课小结】 【课后作业】 1． 求0 070sin 20sin 10cos 2-的值． 2． 已知5 3tan 1tan 22=+x x ，求)4(sin 2x +π的值。 3． 已知22sin sin 21tan 4 2k ααππαα+??=<< ?+??，试用k 表示sin cos αα-的值。 4． 已知α、β均为锐角，且1sin 2sin 32 2=+βα，βα2sin 22sin 3=， 求证：22πβα= +. 5． 设3,44ππα??∈ ???，0,4πβ??∈ ???，且3cos 45πα??-= ???，35sin 413πβ??+= ??? ，求()sin αβ+的值。

三角恒等变换及三角函数图象性质

三角恒等变换及三角函数图象性质 一例题讲解 1．快速写出下列各式的值： （1）? ? ? ? -43cos 13sin 13cos 43sin （2）? ? ? ? -26cos 56sin 64cos 56cos （3）2sin15cos15??=_________； （4）2 2 cos 15sin 15?-?=_________； （5）2 2sin 151?-=_________； （6）2 2 sin 15cos 15?+?=________ （7）) 15tan(1195tan 1?? -++ （8） 2cos 6sin x x -=________ 2化简：（1）4221 2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+ -+；（2）(1sin cos )(sin cos )22(0)22cos θθθθθπθ++-<<+．3 设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2 π αβπ+∈，求c o s 2α，cos 2β． 4若3cos()45x π +=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 5已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 6为得到)6 2sin(π - =x y 的图象，可以将x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度． 7已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ； （2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； －2 2 2 x =8 x y O

三角函数恒等变形单元测试1(1)

三角函数恒等变形单元测试 班别___________ 姓名________________ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1．??+??35cos 95cos 35sin 95sin 的值为（ ） A ． 23 B ．23- C ．21 D ．21- 2．下列表达式中，正确的是（ ） A ．βαβαβαcos sin sin cos )sin(?+?=+ B ．βαβαβαsin sin cos cos )cos( ?+?=+ C ．βαβαβαcos sin sin cos )sin(?-?=- D ．βαβαβαsin sin cos cos )cos( ?-?=- 3．下面恒等式正确的是（ ） A ．ααπsin )2 3sin(=- B ．ααπcos )cos(=- C ．ααπcos )2cos(=+ D ．ααπsin )2 3cos(-=- 4．若a =?110tan ，则=?50tan （ ） A ．a a 313 ++ B ．a a 313+- C ．a a 313 +- D ．a a 313 -- 5．化简??-10cos 10sin 21的结果是（ ） A ．?10cos B ．?-?10sin 10cos C ．?-?10cos 10sin

D ．)10sin 10(cos ?-?± 6．?-75cos 8 71672的值为（ ） A ．327- B ．327 C ．3237 D ．1637 7．)4 tan()4tan(A A +--π π的值为（ ） A ．A tan 2 B ．A tan 2- C ．A 2tan 2 D ．A 2tan 2- 8．m =---αβααβαsin )cos(cos )sin(，且β为第三象限角，则βcos 的值为（ ） A ．21m - B ．21m -- C ．12-m D ．12--m 9．在32cos sin 3-=-a x x 中，a 的取值范围是（ ） A ．2521≤≤a B ．21≤a C ．25>a D ．2125-≤≤-a 10．若0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα,则)cos(βα-的值为( ) A ．－１ B ．１ C ．21- D ．21 二、 填空题：（每小题5分共20分） 11．_____________285cos =?。 12．已知πα<<0，且51cos sin = +αα，则________cos sin =-αα。 13．化简 ______________2cos cos 12sin sin =+++θθθθ。 14．_______________178cos 174cos 172cos 17cos =???ππππ. 三、 解答题：（共40分）

三角函数及恒等变换高考题大全修订稿

三角函数及恒等变换高 考题大全 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

三角函数题型分类总结 一． 求值 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）（09北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) (07陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2 πα∈，若3sin 5 α=)4 π α+= . （3）（06福建）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4π α+= 4（07重庆）下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ） ?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+= (2)（）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。 （3）sin163sin 223sin 253sin 313+= 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝1 5，则sin 2θ= （2）已知3sin()4 5 x π -=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8．（07浙江）已知cos()2π?+=，且||2 π?<，则tan ?＝