2020年沈阳工业大学加试泛函分析考研大纲硕士研究生入学考试大纲

2020年沈阳工业大学硕士研究生入学考试大纲

考试科目名称: 泛函分析

一、援引教材

《泛函分析》第二版 高等教育出版社 江泽坚 孙善利编

二、考试要求

要求考生全面系统地掌握泛函分析的基本概念及基本定理，并且能灵活运用，具备较强的分析问题与解决问题的能力。

三、考试内容

（一）距离线性空间

1． 距离线性空间的定义，常见的距离线性空间的距离定义及其性质。

2． 距离空间中的拓扑涵义，可分空间。

3． Cauchy 序列的性质，距离空间的完备性。

4． 列紧集，完全有界集的定义及它们之间的关系。

5． 赋范线性空间定义；范数与距离的关系；有限维赋范线性空间的结构。

6． 赋范线性空间上的线性算子及有界线性算子的定义、性质与计算方法。

7． 常见空间],[,],,[b a L l b a C p p 以及)(),(),(c m s 等空间中距离与范数之间的定义及关系。掌握这些空间的可分性，完备性及拓扑性质。

8． 压缩映射定义，掌握压缩映象原理，并能熟练的应用定理解决问题。了解压缩映象原理在理论上的典型应用。

（二）Hilbert 空间

1． 内积空间的定义，性质；内积与范数、距离之间的关系。

2． 赋范线性空间成为内积空间的条件，常见赋范线性空间是否成为内积空间的判别。

3． 掌握内积空间],[,22b a L l 的定义及其性质。

4． Hilbert 空间的定义；Hilbert 空间上的正规正交基，正规正交分解；

5． 掌握并熟练运用Bessel 不等式、Schwarz 不等式及Parseval 公式。

6． 掌握可分Hilbert 空间的结构。

7． 掌握射影定理，理解其涵义，并能加以应用；掌握Riesz chet e Fr /表现定理，Hilbert 空间上的线性泛函的表示。

8． Hilbert 共轭算子的定义、性质及其表示；可分Hilbert 空间上有界线性算子的矩阵表达式。

（三）Banach 空间及Banach 空间上的有界线性算子

1. Banach 空间上的有界线性算子定义；算子范数的计算；范数的比较。

2. 有界线性算子空间),(Y X L 的性质。

3. 算子的逆，逆算子存在、连续的条件；利用逆算子解决一些积分方程等方面的实际问题。

4. Hahn-Banach 定理；扩张定理的几种表现形式，如Banach 扩张定理、Bohnenblust-Sobczyk 定理等。