浅谈高考中几种题型的解法与思想
浅谈高考中几种题型的解法与思想
摘要：本文讨论了中学数学填空题的若干解法，如配方法、换元法、定
义法、待定系数法、参数法、数形结合思想、函数与方程法等。以及类比思想方法的应用。
关键词：高考、题型、解法、思想
一、前言
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.而当我们
解题时遇到一个新问题，总想着用熟悉的题型去解决，这只能满足于解出来.只
有对数学思想、数学方法理解透彻并能融会贯通时，才能提出新看法、巧解法. 在
数学学习中“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的
核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能
力”.中学数学特别是高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是考查
能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.
本文主要是通过数学思想方法的应用，提出了关于填空题解法的部分技巧，
以及类比思想的应用。重点强调的是数学思想方法的掌握和应用[1].希望引起对
解题策略的重视.文中讨论了一些常见的数学填空题解法.主要引用以下几种有
配方法、换元法、待定系数法、参数法、定义法、函数与方程法、数形结合法、
等价转化法.类比思想的应用主要讲函数类比、数列类比、维数类比。
解题方法即解题技巧，可以帮助答题者以最有效率的方式得到答案.在数学
题量变大的同时，如何把握解题时间，如何提高解题效率都是很重要的.
二、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的
联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与
“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺y x 、项的二次曲线的平移变换等问题.
配方法使用的最基本的配方依据是完全平方公式222()2a b a ab b +=++，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如
2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+.
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如
21sin 212sin cos (sin cos )ααααα+=+=+；
2222111()2()2x x x x x x
+=+-=-+ …… 例1 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____.
分析 先转换数学表达式，即设长方体长宽高分别为x y z 、、，则
2()11
4()24x y y z x z x y z ++=??++=?
,将其配凑成两已知式的组合形式可得.
解 设长方体长、宽、高分别为x y z 、、，由已知“长方体的全面积为11，
其12条棱的长度之和为24”可得 211424()()xy yz xz x y z ++=++=???
， 长方体所求对角线长为
5===.
注 本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法可以将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.
三、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是
等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，问题变得容易处理.
换元法通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.
换元的主要方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.
例2 设实数x y 、满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________. 分析 本题如果直接求解或是采用配方法，难度较大.所以我们考虑将该题转化.
解 设x y k +=，则2210x kx -+=, 2440k ?=-≥,所以1k ≥或1k ≤-.
注 数学方法的灵活运用也是作为数学素质训练的一个重要方面.
四、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法[2].其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式()()f x g x ≡的充要条件是：对于一个任意a 值，都有()()f a g a ≡；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
例3 在310(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是________.
分析 5x 的系数由510C 与210(1)C -两项组成，相加后得5
x 的系数. 解 5
x 的系数为521010(1)207C C +-=.
五、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量，以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题.直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证.换元法也是引入参数的典型例子.
参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系.参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支.运用参数法解题已经比较普遍.参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题.
例5 实数b c a 、、满足b+c=1a +，222a b c ++的最小值为____________. 分析 由b+c=1a +想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设113a t =
+，213
b t =+，313
c t =+，代入222a b c ++可求. 解 由b+c=1a +，设113a t =+，213
b t =+，313
c t =+，其中1230t t t ++=， 22222222212312312322212311112()()()()3333311,33
a b c t t t t t t t t t t t t ++=+++++=++++++=+++≥ 所以222a b c ++的最小值是13
. 注 由“均值换元法”引入了三个参数，将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧.
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法如下
2222222b ()2()12(b )a c a b c ab bc ac a c ++=++-++≥-++，即2221b 3
a c ++≥. 六、数形结合法
数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的[3].华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.
数形结合的方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.
例8 若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，
则实数a b 、的取值范围是_____. 解 由已知可画出右图，符合题意，故0a >且0b ≤.
注 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了.
七、函数与方程的法
函数法，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题[2].方程法，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.
函数法是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：()f x 、1()f x -的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性.在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键.
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点.我们应用函数思想的几种常见题型是遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n 项和的公式，都可以看成n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决.
例10 设不等式221(1)x m x ->-对满足2m ≤的一切实数m 的取值都成立.则x 的取值范围
____________.
分析 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x 的不等式讨论.然而，若变换一个角度以m 为变量，即关于m 的一次不等式2(1)(21)0x m x ---<在[]2,2-上恒成立的问题.对此的研究，设2()(1)(21)f m x m x =---，则问题转化为求一次函数()f m 的值在[]2,2-内恒为负值时参数x 应该满足的条件f f ()()2020
<-
设2()(1)(21)f m x m x =---, 则 f x x f x x ()()()()()()221210221210
22=---<-=----
得31(,)22
x ∈. 注 本题的关键是变换角度，以参数m 作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题.本题有别于关于x 的不等式221(1)x m x ->-的解集是[]2,2-时求m 的值、关于x 的不等式221(1)x m x ->-在[]2,2-上恒成立时求m 的范围.
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题.
八、等价转化法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的方法[2].通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.历年高考，等价转化法无处不见，我们不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和数学技巧.
等价转化法的特点是具有灵活性和多样性.在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行.它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒
等变形.消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化.可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变.由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免生搬硬套题型.
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化.按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化，可以提高解题的水平和能力.
例11 若x y R +∈、、z 且1x y z ++=，求111(1)(1)(1)x y z
---的最小值_______.
分析 由已知1x y z ++=而联想到，只有将所求式变形为含代数式x y z ++，或者运用均值不等式后含xyz 的形式.所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化.
解 1111(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z xyz
---=--- 11(1)()x y z xy yz zx xyz xy yz zx xyz xyz xyz
=---+++-=++-
1113111193x y z x y z =++-≥=-≥-=++. 注 对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分.将问题转化为求111x y z
++的最小值，则不难由均值不等式而进行解决.此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变.
九、定义类比
定义类比是根据某些熟悉的概念、运算符号、运算法则，从而得出我们从未
学过的新概念、新运算符号、新算法. 在做此类题型时，要求考生必须读懂并理解题意，根据这新定义作出进一步的推理，并归纳总结新的运算规律，于此问题得到更好的分析和解决.
（一）函数类比
函数是中学数学的一块重要的知识点，在高考试卷中占据很大的分值，不过很多题目都可以用类比这一思想方法去解决，于此类比思想是解决函数的重要方法之一.如函数解析式类比、函数性质类比等.
例 1给出下列三个等式：()()()y f x f xy f +=；()()()y f x f y x f =+；()()()()()
y f x f y f x f y x f -+=+1. 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A 、()x x f 3= B 、()x x f sin = C 、x x f 2log )(= D 、()x x f tan =
解 解决本题时充分观察以上三个抽象函数与我们以前所学的那些函数性质有关.
()x x f 3=满足等式()()()y f x f y x f =+；
()x x f sin =满足等式()()()y f x f xy f +=；
()x x f tan =满足等式()()()()()
y f x f y f x f y x f -+=
+1. 于此此题故选A.
点评 本题是通过观察联想到函数的性质，从而得出抽象函数与具体函数进行类比，如指数函数、正弦函数、正切函数.
例 2[4]已知函数)12(+x f 为奇函数，且)(x f y =与)(x g y =关于0=-y x 对称，若120x x +=，则12()()g x g x +=（ ）
A 、0
B 、2
C 、-2
D 、1
分析 由)12(+x f 为奇函数，可得到什么结论？
这不是我们熟悉的内容，可将函数)12(+x f 类比为
)12(+x f =3x
从而 ()3
311()128x f x x -??==- ??? 可见)(x f 关于点（1，0）对称.
解 ∵)12(+x f 为奇函数
∴)12(+x f =-)12(+-x f
∴)2(x f -=????????? ??-+x f 2121=-?????
???? ??--x f 2121=-)(x f ∴)(x f y =关于点（1，0）对称，
又)(x f y =与)(x g y =关于0=-y x 对称，
∴)(x g y =关于点（1，0）对称，
∴12()()g x g x +=2，
又120x x +=
∴12()()g x g x +=2.
故选B.
点评 本题是通过观察联想到奇函数的性质，即0)0(=f ，从而我们可以将抽象函数与幂函数进行类比，再运用0)0(=f 及对称性质得出以上结果。
（二）数列类比
著名数学家波利亚说过[5]：“类比似乎在一切发现中有作用，而且在某些发现中有它的最大作用.”在数学中，我们经常进行类比思想训练，有助于更好的理解，记忆及运用性质、定理. 波利亚的类比思想是近年来在高考试卷中得到广泛的应用，使学生们的思维能力得到提高，创新意识得到培养.
例1在等差数列{n a }中，若010=a ，则有等式
),19(192121*-∈<+++=+++N n n a a a a a a n n 成立，
类比上述性质，相应地：在等比数列{n b }中，若9b =1，则有等式 成立.
分析 设等差数列{n a }的公差为d ，则9b +d =10a ，得9a =-d ,
同理可得
,3,278d a d a -=-=
而11a =10a +d =d ，同理可得
,3,21312d a d a ==
所以1a 到19a 恰好是关于10a 成负对称，因此有等式
),19(192121*-∈<+++=+++N n n a a a a a a n n
成立.
在等比数列{n b }中，设公比为q ，因为9b =1，则
8b q=9b ，得8b =q
1 同理可得
,1,13627q
b q b == 而,910q q b b ==
同理可得
,,,312211 q b q b ==
于此得出8b 与10b ，7b 与111,,b b 与17b 是互为倒数，
不难得出：),17(172121*-∈<=N n n b b b b b b n n .
点评 等差数列和等比数列是在高中阶段非常重要的两类基本数列，在形式和性质上都有类似之处，形如，设s r q p 、、、是正整数，且s r q p +=+，在等差数列{n a }中，有s r q p a a a a +=+；在等比数列{n b }中，有s r q p b b b b =.于此此题迎刃而解.
例 2 已知数列{n a }（n 是正整数）是首项为1a ,公比为q 的等比数列，
（1）求和223122021C a C a C a +-，33
4233132031C a C a C a C a -+-；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.
解 （1）22
3122021C a C a C a +-=21112q a a a +-=()211q a - 33
4233132031C a C a C a C a -+- =34211133q a q a q a a -+-
=()311q a -
（2）归纳（1）题可猜想：
若数列{n a }首项为1a ，公比为q 的等比数列，则
()()n n n n n n n n q a C a C a C a C a -=-+-+-+1111231201 （n 为正整数）
证明()n n n n
n n n C a C a C a C a 12312011+-+-+- =()n n n n
n n n C q a C q a qC a C a 122111011-+-+- =()[]
n n n n n n n C q C q qC C a 122101-+-+- =()n
q a -11 点评 本题关键对一般形式的理解，通过发散思维，合情、猜想、探索，从而由一般向特殊进行类比.
（三）维数类比
把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的一些共同特征，这有助于我们发现一些新的性质特征，实现相似知识的有效迁移. 正如我们在中学接触过的平面（二维）与空间（三维）的类比，平面图形与立体图形除了在维数不同以外，它们还有许多对应关系的不同. 如线对应面、面对应体、平面角对应二面角等等. 作为降维类比与升维类比是相互对应的，我只对升维类比在以往高考题中出现的几类题型作以列举.
例 1在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ?的两边AC AB ,互相垂直，则222BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥BCD A -的三个侧面ABD ACD ABC 、、两两相互垂直，则 .”
分析 在直角三角形中有勾股定理类比可猜想在三个侧面
ABD ACD ABC 、、两两相互垂直的三棱锥BCD A -中有
2222BCD ABD ACD ABC S S S S ????=++ 证明 显然，点A 在底面的射影O 是底面
的垂心，如图AO 是AFD RT ?斜边FD 边上的
高，可得
FD FO AF ?=2 ∴??? ??????? ???=?BC FD BC FO AF BC 21214122 即BO C BCD ABC S S S ????=22
同理CO D BCD ACD S S S ????=22
BO C BCD ABD S S S ????=22
将以上三式相加，得
2222BCD ABD ACD ABC S S S S ????=++
点评 解决本题的关键是平面向空间的一种过渡，通过一些相似性质可以使我们对所学知识进行类比性的迁移，于此，有机的把立体几何问题转化为平面几何问题.
综上所述，配方法、换元法、定义法、待定系数法、参数法、数形结合思想等方法在高考中合理的运用，在解题时常起到事半功倍的作用。类比思想在本文中处理一些数学问题时的确起着十分重要作用，我们也应该学习类比思想，但是在利用类比思想去处理一些问题时，我们也要注意所类比的两个事物在本质上是否是相同和相似的，不能只顾形式上的一致而忽略本质不同的问题.
参 考 文 献
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高考数学常考题型的总结（必修五） 对高三理科来说，必修五是高考的必考内容，它不仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点，什么是常考知识点。对重难点要了如指掌，能做到有的放矢。同学们不仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，否则，基本不可能考出相对理想的成绩来。 必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些内容呢？这是我们师生共同研究的问题。虽然高考题不能面面俱到，但是我们在复习的时候，一定要不留死角，对常考题型的知识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解： 解三角形 解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为5-12分。考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与三角函数，平面向量等知识点进行综合考查，难度一般不是很大，如果出解答题，一般是第17题，属于拿分题。 知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB C ?的外接圆半径） 余弦定理：C ab c b a cos 22 2 2 =-+，B ac b c a cos 22 2 2 =-+，A bc a c b cos 22 2 2 =-+ （变形后） C ab c b a cos 2222=-+，B ac b c a cos 2222=-+，A cb a b c cos 22 22=-+ 三角形的面积的公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21===?。 知识点分解： （1）两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。 （2）两角一边，求另外一角和两边，肯定是正弦定理。 （3）等式两边都有边或通过转化等式两边都有边，用正弦定理。 （4）知道三边的关系用余弦定理。
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为0.不妨设BD的斜率 不存在，则BD⊥x轴，另一条|AC|为直径4，弦|BD|= 此时四边形ABCD 的面积S=1/2|AC|?|BD|=4 2.当直线AC与BD的斜率都存在时，不妨设AC的斜率为k，（k≠0）则BD的斜率为-1/k.所以AC的直线方 k?x-y-k=0，BD的直线方程为x+k?y-=0 。 设O到AC、BD的距离分别是d1，d2，则d1=，d2= 由垂径定理和相交弦定理得|AC|?=4（|AC|/2）?=4（2+d1）（2-d1）=4（4-d1?）类似地可得到|BD|? S?=（1/2|AC|?|BD|）? ∴S ≤ 5. 当k?=1/k?时k=±1时等式成立，此时四边形ABCD的面积S取得最大值5。 坐标系的恰当建立是解析法解题的重要基础和关键，否则会使计算繁琐。本题解法打破题目所给的直角坐标系的禁锢，重新建立坐标系，这就是另辟蹊径的重要途径。然后再综合运用圆的垂经定理和相交弦定理，点到直线的距离公式和重要不等式定理就可解决问题。 解法二：由于AC⊥BD，分别以AC、BD所在直线为x′、y′轴，建立如图新的直角坐标系设∠xMx′=α，则M的坐标为（0，0），O的坐标是（-cosα，sinα），圆的方程是（x′+cosα）?+（y′-sinα）?=4
椭圆的常见题型及解法(一).
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。
∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
高考数学最常考的几类题型
高考数学最常考的几类题型 要想提高高考数学成绩必须要花一定的时间来研究历 年来高考常考题型，精准把握高考最新动态，综合分析往年高考的常规题型，我们发现这七个题型是非常常考的： 第一，函数与导数 主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用 这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用 这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式 主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计 这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。 第七，解析几何 高考的难点，运算量大，一般含参数。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话 空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定 要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事
一道高考数学试题的多种解法
一道高考试题的多种解法 2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题: S?ABCDABCD为平行四边形底面,四棱锥中, CBBCS?A面侧.已知底面2BC?23?SA?SB2?AB45??ABC. ,,,BC?SA; 证明(Ⅰ)SABSD. 与平面所成的角的大小(Ⅱ)求直线下面只列,第一问证法较多,第二问相对作法较少: 举几种第一问的证法AOO?BCSSO. ）垂足为证法一:过（如图作,连接1,?SOCDBC?ABS面底得由侧面底面 ABCDSASBCDAOBOAB内的射,、分别是、在底面影. ?OBOASA?SB? ,又45??ABC?ABO?, 形直,角三角又是等腰?OB?OA. BC?SA. 由三垂线定理得SOOAO?BCA1). 连接如图,垂足为(:证法二过,作?SBCSBCSASOSBC?ABCDAO?且由侧面,在侧面底面内的射 影得是,侧面BO,AO?AO?SO. 45?ABO??SBO????SA?ABO?SBSAOOBOA?. .,在又,中90SOA???SOB??SOOB?. 即BCSA?. 由三垂线定理得 OBCAC连接,记证法三:连接的中点为,ABCAOSO?中2).、在(如图 2BC?245??ABC?2AB?ABC?,,,?BCAO?) .(是等腰直角三角形, 下同证法二OACBC连接的中点为,记,证法四:连接 2BC?245ABO???2AB?ABC?SOAO?ABC是等腰直角,中,,2).、(如图在?BC?AO. 三角形, ??SBCSOSASBCSBCABCDAO?. 在侧面,是又侧面底面,内的射影侧面3?cosSBA?SAB?. 在中易得3． 6???SBCcosCBAcos??cos?SBCcos?SBA. 又3?3SC?SO??BCSBC. 中由余弦定理得,在SA?BC. 由三垂线定理得AAO?BCOSO(如图,连接,垂足为过证法五:1). 作?SOSA?SBCSBCSBC?ABCDAO内的射影侧面由侧面,,底面在侧面得且是AO?SO,AO?BO. OA?OB?245??ABC?2AB?ABO?Rt. ,在中,AOS?SORt??12SA?3,AO?. ,在中BOSSO?1?OB?SO?2BO?SB?3,. 中在,,SA?BC. 由三垂线定理得?SBABCDABCDBCSBC?. ,证法六: 侧面在底面内的射影为底面 3??SBAcosSAB?. 中易得在36?cos?SBC?CBA??SBA?cos?SBCcoscos又. 3 SC?3SBC?. 在中由余弦定理得?AO?ABCDBC?SOBCOAOSOSO?是记则的中点为,连接底面、,(如图1),SAABCD内的射影.
第13讲 函数的零点个数问题的求解方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(
高中数学知识点以及解题方法大全
前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4
一道高考填空题解法探究
一道高考填空题解法探究 江苏省通州市石港中学(226351) 高志军 设函数3()31f x ax x =-+()x R ∈，若对于任意[]1,1x ∈-,都有()f x ≥0 成立，则实数a 的值为▲ ．（2008年普通高等学校招生统一考试（江苏卷）14题）. 解法一 (对x 进行分类讨论) (1)若x ＝0时，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立. (2)当0x >时, 即(]0,1x ∈时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x = -，则()()' 4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ??? 上单调递增， 在区间1,12?????? 上单调递减，因此()max 142g x g ?? == ???，从而4a ≥. (3)若0x <时, 即[)1,0x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331 a x x ≤ - ()() '4 3120x g x x -= <， 所以()g x 在区间[)1,0x ∈-上单调递增，所以min ()(1)4,g x g =-=从而4a ≤. 综上所述,4a =. 解法二(对a 进行分类讨论) 2()33f x ax '=-. (1)0a ≤时, ()0f x '≤恒成立,∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数, min ()(1)2,f x f a ==-()f x ≥0 恒成立，∴20,2,a a -≥∴≥与0a ≤矛盾. ∴0a ≤不可能. (2) 0a >时, 2()33f x ax '=-=3(a x x +. ①01a <≤时, []1,1x ∈- ∴()f x '=3(a x x +≤0恒成立, ∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数, min ()(1)2,f x f a ==-∴20,2,a a -≥∴≥与 01a <≤矛盾. ∴01a <≤不可能. ②1a >时, ()f x '的正负、()f x 的单调性及函数值如下表
高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法
高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法 【知识要点】 一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义 在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化 （1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系； （2）设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）； （3）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程； （4）代点坐标到方程； （5）化简：化方程为最简形式； （6）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略） 三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参 （1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程. （2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点 的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程. （3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程. （4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设 参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参. 四、轨迹和轨迹方程 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程
只求那个方程即可，不需描述曲线的特征. 【方法讲评】 【例1】线段与互相垂直平分于点，，，动点满足 ，求动点的轨迹方程． 【解析】 【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法. 【例2】已知圆：，由动点向圆引两条切线、，
高中数学解题的思想方法
高中数学解题的思想方法（经典） 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助大家掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，咱们就先介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题。 在每一个方法，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 一、配方法 从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
高考数学常见题型汇总(经典资料)
一、函数 1、求定义域（使函数有意义） 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1
题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五
222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减） 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称
一道高考选择题的多种解法
一道高考选择题的多种解法 题目：两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。已知小球a 和b 的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是（ ） A. 45 B. 30 C. 5.22 D. 15 解法一：力矩平衡 辅助线如图所示，其中ON 垂直ab ，OM 垂直水平虚线，则θ=∠MON 。又由于R ab 2=，所以三解形aOb 为等腰直角三角形。以O 点为转轴，用力矩平衡原理有（图中未做出转轴到力的作用线的距离）： ?? ? ??+=??? ??-θπθπ4sin 4sin gR m gR m b a 整理得 ?? ? ??+=??? ??-θπθπ4sin 4sin 3…………………………（1） 将四个选项代入可知，选项D 正确。 附：若将上面的（1）式展开来看，可以直接求出关于关于θ的三角函数值，但从下面的计算可以看出，这样做来选择正确选项，并不是容易的。 θθθθcos 2 2sin 22sin 223cos 223+=?-? 整理可得： 32tan -=θ 图2 图1
可以很容易的知道A 和B 是不正确的，但由于我们没有记住C 和D 的角度的正切值，所以说不易找到结果。这说明了解选择题和解答题的解法是不同的。 解法二：共点力平衡——正弦定理 受力分析如图3所示，由于两物体处于平衡状态，所以所受到的三个力将分别构成封闭的三角形。 由两直线平行，同位角相等，可知a 、b 两物体所受支持与直方向的夹角分别为θπ -4和 θπ +4。在两个三角形中分别用正弦定理，有 4sin 4sin 1π θπg m F =??? ??- (2) 4sin 4sin 2π θπg m F =??? ??+ (3) （2）式除以（3）式，整理可得 34sin 4sin 12==?? ? ??-??? ??+m m θπθπ 将四个选项分别代入上式可以找到正确答案。 解法三：共点力平衡——正交分解法 如图对a 进行受力分析并建立直角坐标系。由共点力平衡条件可知 图4 图3
一道高考填空题的解法探究
一道高考填空题的解法探究-中学数学论文 一道高考填空题的解法探究 贾周德 （赣榆中等专业学校，江苏连云港222100） 摘要：本文探究了一道高考填空题的多种解法，开扩了学生的解题思路，培养了学生的创新思维.教学实践证明，在数学教学中开展一题多解训练，有利于学生掌握数学基础知识和基本方法，提高解题能力。 关键词：基本不等式；判别式；三角换元；几何；导数 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0020-01 在数学教学中，笔者引导学生对下面一道高考填空题的解法作了一番探究，得到了多种不同的解法，现总结如下，供解题参考。 题目：设x,y,z为正实数，满足x－2y+3z=0，则y2xz的最小值是。 (2008年江苏高考数学卷第11题) 一、基本不等式法 解法1：由x－2y+3z=0,得y=x+3z2.将此式代入y2xz中,整理得y2xz=x4z+9z4x+32.由题设知,x4z,9z4x均为正实数,由基本不等式,得x4z+9z4x+32≥2x4z.9z4x+32=3,即y2xz≥3(当x=y=3z时,取“=”)，所以y2xz的最小值是3. 点评：上述解法1是用基本不等式ab≤a+b2（a≥0, b≥0）求解的。本题也可以这样解,将已知等式化为y=x+3z2，由基本不等式,得y≥3xz0，即y2xz≥3,从而得解。利用基本不等式求最值时,要注意满足“一正数、二定值、三相等”的条件。
二、判别式法 解法2：设y2xz=t (t0)，则y2=txz.由已知等式,得y=x+3z2.将此式代入y2=txz 中,整理得(xz)2+(6－4t)xz+9=0.因为这个关于xz的二次方程有正实数根，所以判别式Δ＝(6－4t)2－36≥0,解得t≥3或t≤0(舍去），即y2xz≥3（当x=y=3z 时，取“＝”）.所以y2xz的最小值是3. 点评：上述解法2是将y2xz用新变量t表示，结合已知等式，用代入法消去y，整理得关于xz的二次方程，从而利用“判别式法”得解.利用判别式法求函数的最值时,要注意检验其结论的正确性，防止出现“误判”或“漏判”的情形. 三、三角换元法 解法3：将x－2y+3z=0化为x2y+3z2y=1.令x2y=cos2θ,3z2y=sin2θ,θ∈(0,π2).两式相乘并整理，得y2xz=3sin22θ.因为2θ∈(0,π),所以1sin22θ≥1,于是y2xz≥3.当θ=π4时, 1sin22θ取最小值1,从而y2xz取最小值3,此时x=y=3z.所以y2xz的最小值是3. 点评：上述解法3是将已知等式化为x2y+3z2y=1，利用三角换元法把问题转化为求三角函数的最值问题而得解的。这里得出x2y+3z2y=1后,也可以利用基本不等式求解。 四、几何法 解法4：作线段AP=x，延长AP至点B,使PB=3z，则AB=x+3z=2y(x,y,z为正实数). 以线段AB为直径作圆O (如图),作半径OC,使OC⊥AB,则OC=y.过点P作PE⊥AB,交圆O于点E,则3xz=PE2≤OC2,即3xz≤y2,所以y2xz≥3.显然,当点P 与圆心O重合时,此不等式取“＝”，此时x=y=3z.所以y2xz的最小值是3.
高中数学专题：抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [，-，求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：① 51 )6(1)2(= =f f ，；② )()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2 )]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在 R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题
高中数学解题思想方法大全
目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………
前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
高考数学常见题型汇总
2015年高考数学常见题型汇总（精华资料） 不等式 题型一: 2 (0) 11332 2 x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）x x x x +>++≥=≥ 题型二: 3 3 ( )13 ()32x (3-2x)(0
不等式法 222113y x x x x x =+ =++≥= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1 y x x =+ 法一： 111 (,2 22同号)或y x x x x x x y y =+=+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三：
2sin 11sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 1)1,sin()sin()11 化简变形得即又由解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y x y x x y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++=++= +≤ 题型五 222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域
高考《数学》复习常见24个问题及解答
高考《数学》复习常见24个问题及解答 问题1：我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。 答：数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。 为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。 有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。 所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼、升华成理性认识，在你的头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。当你遇到新问题、新试题的时候，你应该拿着这个规律去面对它，这样的话，你就可以把老师讲解的东西很自然地、流畅地用在你的解题里，这就是所谓通过理解，通过顿悟来学习数学。那么高中数学百分之六七十的成分是要靠着这种方式进行学习的。 问题2：我有时候看基础知识的时候定义都没有问题，但是一做题的时候，就转不过来了，耗的时间比较多，怎么办? 答：那你就看看定理、定义、公式都是怎么使用，除了背下它们之外，关键是要把握住这些数学的定义、定理、公式、法则，在解题中是如何运用的，建议你好好从课本出发，如何利用刚才讲的这个定理或者定义去解题的，把它先搞清楚，适当的时候自己做做笔记，问问自己，这个定义是怎么使用的，在这个定理里怎么用的，你自己在旁边注上一两句话。若是一句话也写不出来，显然以后你还不会用。
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