2020考研数学二真题完整版
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一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.0x +→，无穷小最高阶
A.()2
0e 1d x t t -?
B.(0ln d x
t ?
C.sin 20sin d x
t t ?
D.1cos 0t -? 2.1
1ln |1|()(1)(2)
x x e x f x e x -+=--
A.1
B.2
C.3
D.4
3.10x =
? A.2π4
B.2π8
C.π4
D.π8
4.2()ln(1),3f x x x n =-≥时，
()(0)n f = A.!2n n --
B.!2
n n - C.(2)!n n
-- D.(2)!n n
-
5.关于函数0(,)00
xy xy f x y x
y y x ≠??==??=?给出以下结论 ①(0,0)
1
f
x ?=? ②2(0,0)
1f x y ?=?? ③
(,)(0,0)lim (,)0x y f x y →= ④00limlim (,)0y x f x y →→=正确的个数是
A.4
B.3
C.2
D.1
6.设函数()f x 在区间[2,2]-[上可导，且()()0f x f x '>>，则（ ） A.(2)1(1)
f f ->- B.(0)(1)
f e f >- C.2(1)(1)
f e f <- D.3(2)(1)
f e f <- 7.设四阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组.*A 为A 的伴随矩阵.则方程组*A x =0的通解为（ ）.
A.112233x k k k ααα=++，其中123,k k k 为任意常数
B.112234x k k k ααα=++，其中123,k k k 为任意常数
C.112334x k k k ααα=++，其中，123,k k k ，后为任意常数.
D.122334x k k k ααα=++，其中123,k k k 为任意常数
8.设A 为3阶矩阵，12,αα为A 属于1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于特
征值-1的特征向量，则满足1100010001P AP -?? ?=- ? ???的可逆矩阵
P 可为（ ）. A.1323(,,)αααα+-
B.1223(,,)αααα+-
C.1333(,,)αααα+--
D.1233(,,)αααα+--
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9.
设(ln x y t ?=??=+??，则212t d y dx ==_______.
10.10dy =?_____.
11.设arctan[sin()]z xy x y =++，则(0,)|dz π=______.
12.斜边长为2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g ，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为______
13.设()y y x =满足20y y y '''++=，且(0)0,(0)1y y '==，则0()d y x x +∞=?_____
14.行列式01101
1110110a
a a
a --=--________
三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分） 求曲线1(0)(1)x
x
x y x x +=>+的斜渐近线方程. 16.（本题满分10分）
已知函数()f x 连续且100()lim 1,()(),'()x f x g x f xt dt g x x
→==?求并证明'()0g x x =在处连续.
17.（本题满分10分）
33(,)8f x y x y xy =+-极值
19.（本题满分10分）
平面D 由直线1,2,x x y x x ===与
轴围成，计算.D 20.（本题满分11分）
2
1().x r f x e dt =? （1）证：存在2
(1,2),()(2);f e ∈=-ξξξξ
（2）证：存在2(1,2),(2)ln 2.f e ∈=?ηηη
21.（本题满分11分）
()f x 可导，()0(0)f x x '>≥过原点O 上任意M 切线与X 轴交于T ，MP x ⊥轴，(),y f x MP x =轴围成面积与MTP ?面积比为3：2，求曲线方程.
22.（本题满分11分）
设二次型22212312
3121323(,,)222f x x x x x x ax x ax x ax x =+++++经可逆线性变换
112233x y x P y x y ???? ? ?= ? ? ? ?????
得()22212312312,,42g y y y y y y y y =+++. （1）求a 的值；
（2）求可逆矩阵P.
23.（本题满分11分）
设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且是不是A 的特征向量.
(1)证明P 为可逆矩阵.
(2)若260A A ααα+-=，求1P AP -，并判断A 是否相似于对角矩阵.