专题考案(14)函数与方程思想 单元检测
(14) 函数与方程思想 单元检测
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设直线ax+by+c =0的倾角为α，且sin α+cos α=0，则a , b 满足 （ ） A ．a+b =1 B.a - b =1 C.a+b =0 D.a - b =0 2．设f -1(x )是函数f (x ) = log 2 (x +1)的反函数，若[1 + f -1 (a )][1 + f -1 (b )]=8，则f (a+b )的值为 （ ） A ．1 B.2 C.3 D.log 23 3．已知y = f (x )是偶函数，且其图象C 与x 轴有4个交点，则方程f (x )=0的所有实根之和为 （ ） A ．4 B.2 C.1 D.0 4．已知函数y = f (x )的图象为曲线C ，直线l : x = a (a 为常数)，则曲线C 与直线l 交点的个数为 （ ） A ．至多有一个 B.只有一个 C.至少有一个 D.没有
5．f (x )与g (x )是R 上的两个可导函数，若f ˊ（x ）＞g (x ),则f ˊ(x ) - g (x )可能是 （ ） A ．y=lg x B.y =2 x C.y = -2x -1 D.y= -
x
1
6.已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0 ，1]时，f (x )= x ,那么在区间[-1，3]内，关于x 的方程f (x ) = kx +k +1(k ∈R 且k ≠-1，k ≠0)的根的个数 （ ） A ．不可能有三个 B.最少有一个，最多有四个 C ．最少有一个，最多有三个 D.最少有二个，最多有四个 7．方程sin(x -
4 )=x 4
1
实数解的个数是 （ ） A ．1 B.2 C.3 D.4
8．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0) , 小王以骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数的图象为 （ ）
9．若函数f (x )=(1-m ) x 2-2mx -5是偶函数，则f (x ) （ ） A ．先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减
10．设x ∈R ，如果a ＜lg(│x - 2│+│x + 8│)恒成立，那么 （ ） A ．a ≥1 B.a ＞1 C.0＜a ≤1 D.a ＜1
11．已知函数f (x )对任意x , y ∈R 都有f (x +y )= f (x )+f (y )，且f (2)=4 , 则f (-1)= （ ） A ．-2 B.1 C.0.5
D.2
12．已知函数y = f (2x )的图象，作y = f (1-2x )的图象时，应将y = f (2x )图象 （ ）， 再作关于y 轴的对称图形.
A ．先向右平移1个单位 B.先向左平移1个单位 C ．先向右平移
21个单位 D.先向左平移2
1
个单位
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上 . 13 .函数y =2 x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为 .
14.已知函数)]41
([),
0(3),0(log )(2f f x x ＞x x f x
则???≤=的值为 . 15 .若函数1
)(----
==a x a
x x f y 的反函数y = f -1(x )的图象对称中心是（-1， 3），则实数 a
= .
16.已知集合A ={(x , y ) |y = x 2+mx +2}, B ={(x ,y ) |y = x +1且0＜x ＜2}，如果A ∩B ≠φ，则实数m 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分12分）
已知二次函数f (x )= ax 2+bx (a ,b 为常数，且a ≠0)满足条件f (x -1) = f (3 - x )，且方程 f (x )=2 x 有等根.
（1）求f (x )的解析式； （2）是否存在实数m ,n (m ＜n ) ,使f (x )的定义域和值域分别为[m ,n ]和[4m ,4n ]？如果存在，求出m ,n 的值；如果不存在，说明理由.
18.（本小题满分12分）
设f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，并且f (x ) - g (x ) = x 2 - x ，求f (x )和g (x )的表达式 .
19.（本小题满分12分） 已知不等式
3
2)1(log 121212111+-+++++a ＞n n n a 对于大于的1的一切自然数n 恒成立，试求参数a 的取值范围 .
20. （本小题满分12分）
对于函数f (x )，若 f (x ) = x ，则称x 为f (x )的“不动点”；若f [ f (x )] = x ，则称x 为f (x )的“稳定
点”.若函数f (x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即
A= {xlf (x)= x}, B={xlf [ f (x)]= x} .
A ；
（1）求证：B
（2）若f (x) = ax2-1(a∈R , x∈R)，且A=B≠ф，求实数a的取值范围.
21.（本小题满分12分）
我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地都在采用价格调控等手段来达到节水的目的，某市用水收费的方法是：水费= 基本费+ 超额费+ 损耗费 .
若每月用水量不超过最低限量a m3时，只付基本费8元和每户的定额耗费c元；若用水量超过a m3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费.据长期的统计资料显示，每户每月的定额损耗费不超过5元.该市某一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：
根据上表中的数据，求a ,b ,c .
22.（本小题满分14分）
已知函数y= f (x)= x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象C：在x=1处的切线与直线l:6x+2y+5=0平行.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值与极小值的差；
（3）若x∈[1，3]时，f (x)＞1-4 c2恒成立，求实数c的取值范围.
(14) 函数与方程思想单元检测答案
一、选择题： 1．D
2. B 易求得f -1(x )=2 x -1 ,由[1+f -1(a )][1+f -1(b )]=8,得2 a+b =8 .
3. D
4 . A 根据函数的定义可知，当x = a 在函数y = f (x )的定义域内时，曲线C 与直线l 交点的个数只有一个；否则，曲线C 与直线l 无交点 .
5. B
6. B y = kx+k +1过点（-1，1），结合y = f (x )的图象（如下图），易知只有B 项正确，
7. C 8. D
9. B 由偶函数的定义f (-x )= f (x )得m = 0.
10. D
11. A 令x = y =0,得f (0)=0；又令x=y =1，得f (1)=2； 再令 x = -1 , y =1,得f (-1)+f (1)=f (0) =0 . 12. D
二、填空题：
13．3 14.
9
1
15. 2 易知y =f (x )的图象对称中心是（3，-1）. 而由y =f (x )=-1
---a x a
x ,
得y +1= -
)
1(1
+-a x .
这说明函数y = f (x )的图象对称中心是(a +1,-1)，故a +1=3 .
16. (]1,-∞- 由题意知方程x 2+（m -1）x +1=0在（0，2）上有解，因此可考虑分离参数m ，转化为求函数的值域问题 .
故m -1=
21
12-≤--=--x
x x x ,当x =1时取等号 .故m ≤ -1 . 三、解答题：
17．解：（1）≧方程ax 2+bx -2x = 0有等根， ?△=(b -2)2=0，得b =2 . 由f (x -1)= f (3-x )知此函数图象的对称轴方程为x = -
a
b
2=1,得a = -1 . 故
f (x )= -x 2+2x .
（2）≧f ( x )=-(x -1)2+1≤1 ， ?4n ≤1，即n ≤
41 . 而抛物线y = -x 2+2x 的对称轴为x =1， ?当 n ≤4
1
时，f (x )在[m,n ]上为增函数 .
若满足题设条件的m , n 存在，则?????=+-=+-???==,
42,
42,4)(,4)(22
n n n m m m n n f m m f 即
解得??
?-==-==,
20,
20n n m m 或或
又m ＜n ≤
4
1
,所以m = -2,n =0 .这时，定义域为[-2，0]，值域为[-8，0] 由以上知满足条件的m , n 存在，且 m = -2，n =0 .
18.解：≧f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ?f (-x )= -f (x ) , g (-x )=g (x ) 由已知得f (-x )-g (-x )=x 2+x ，从而-f (x )-g (x )=x 2+x ，即f （x ）+g （x ）=-x 2-x
由???-=-=?????--=+-=-,
)(,)(,)()(,
)()(22
2x x g x x f x x x g x f x x x g x f 得 ?f (x )= -x , g (x )= -x 2 19.解：构造函数n
n n n f 21
2111)(+++++=
， 0)
22)(12(111221121)()1(＞n n n n n n f n f ++=+-+++=
-+ . 由此可知，关于n (n ＞1，n ∈N +)的函数f (n )在[)+∞,2上是单调递增函数，又n 是大于1的自然数，故12
7)2()(=
≥f n f . 要使3
2)1(l o g 121)(+-a ＞
n f a 对于大于1的一切自然数n 恒成立，必须有)2
5
1,1(.1)1(log ,12732)1(log 121+∈--+-a ＜a ＜a a a 所以即 . 20．（1）证明：若A =φ，则A ?B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f (t )= t , f [f (t )]= f (t )= t , 即t ∈B ，从而A ?B .
（2）解：A 中元素是方程f (x )=x , 即ax 2-1= x 的实根 . 由A ≠φ，知a =0或??
?≥+=?≠,
041,0a a 即a ≥ -41
.
B 中元素是方程a (ax 2-1) 2-1=x ，即a 3x 4-2a 2x 2-x +a -1=0的实根 .
由A ?B 知上述方程的左边一定含有一个因式ax 2-x -1,即方程可化为 （ax 2-x -1）（a 2x 2+ax -a +1）=0 .
因此，要使A =B ，即方程（a 2x 2+ax -a +1）=0①没有实根或实根是方程ax 2-x -1=0②的实根 .
若①没有实根，则△1= a 2 - 4a 2 (1-a )＜0 , 解得a ＜
4
3 . 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有a 2x 2 = ax +a ,代入①有2ax +1=0 .
解得x = -a 21, 再代入②得
,0121
41=-+a
a 解得43=a . 故a 的取值范围是[-4
3
,41] .
21.解：设某月用水量为x m 3，支付费用为y 元，则有
??
?+-+≤≤+=＞a.②
,)(8①
,0,8x c a x b a x c y 由表知第二、三月份的水费均大于13元，故用水量15m 3、22m 3均大于最低限量a m 3,于是就有
?
?
?+-+=+-+=.)22(833.
)15(819c a b c a b 解得b =2,从而有2a =19+c . ③ 再考虑一月份用水量是否超过最低限量，不妨设9＞a ，将x =9代入②式，得
9=8+2（9-a ）+c ，即2a =26+c ,这与③式相矛盾.所以9≤a.从而可知一月份的付款方式应选①式，因此，就有8+c =9,得c =1. 故a =10 ，b =2 ，c =1.
22．解：（1）由题意得y ′=3x 2+6ax +3b , k l = -3 .
故???=-=?????=++='-=++='==.0.
1.031212,33632
1b a b a y b a y x x 得
故y ′=3x 2-6x .令y ′＞0，得x ＜0或x ＞2 .
所以单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（-≦，0）和（2，+≦） .
(2)由（1）知x =0时取极大值c ，x =2时取极小值c – 4,所以极大值与极小值之差为4 .
(3)函数在区间[1，3]上有最小值f (2)=c – 4,要使x ∈[1，3]时，f (x )＞1-4c 2恒成立，只需c - 4＞
1-4c 2,所以c ＜-
4
5
或c ＞1 .
高考数学函数与方程的思想方法
高考数学函数与方程的 思想方法 Last revised by LE LE in 2021
第4讲 函数与方程的思想方法 一、知识整合 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系. 3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 (3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。 (4) 函数f(x)＝n b ax )( （n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元
函数与方程思想在高中的应用
函数与方程思想在高考中的应用 组长：潘云鹏 12033034 组员：夏炎 12304177 杨岑 12304154 张瑶 12304184 孙雪 12304013 高清华 12304196 谭博闻 12304159 郭志岩 12304143 刘春旭 12304009 函数与方程思想在高考中的应用
摘要本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题.用典型的例题阐明用函数与方程思想方法能够轻易解决数学学科中不等式、数列、二项式定理、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何、概率与统计、导数、实际问题等难以突破的部分，并且它也应用在其他学科领域中.并结合中学数学教学，提出教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想，并且给出了具体可行性的建议. 一.函数与方程思想的概念 1.函数思想 函数思想是一种通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法，即用运动变化的思想观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究其内在的联系，使问题获解．应用函数思想解题的基础是：常见函数的单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换等；熟练掌握一次函数、二次函数、指对数函数等具体特征；应用函数思想解题的关键是：善于观察题目的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当地构造函数和利用函数性质去解题．． 2.方程思想 方程思想是若干变量关系是通过解析式表示的，则可以把解析式看成一个等式，然后通过方程的讨论从而使问题获解．许多问题中含有常量、变量和参量，可以通过适当方式，运用方程的观点去观察、
深入分析问题的结构特点，抓住某一个关键变量，构造出这种等式来处理．两种思想方法是相辅相成的，有关方程、不等式、最值等问题，利用函数、方程观点加以分析，常可以使问题“明朗化”，从而易于找到适当解题途径． 3.函数与方程思想的相互转化 很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的． 方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点．例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等．方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义．在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究．对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题．函数知识涉及到的知识点多，面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维． 二.函数思想在解题中的应用分析 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的
函数与方程练习题.doc
圆梦教育中心高考数学专题 1. 若不等式x2+ax+1>0对于一切xe(O ,刃成立，则a的最小值是(). A. 0 B . — 2 C .—号 D . — 3 2. 已知函数f(x)=log a［&一?门对任意xw ［二，+1时，f(x)的递减区间为(). 5_ 5_ A.［车，+8) B.(l , 4 ］ 7_ 7_ C.［车，4-oo) D. ( 1 , T］ 4. 已知f(x)=asinx+b^/^- +4 (a, beR),且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是(). A. - 5 B. - 3 C. 3 D. 5 5?己知卫各上J=l(a, b, ce R),则有(). ja A. b2>4ac B. b2>4ac C. b2<4ac D. b2<4ac 6. 方程lgx+x=3的解所在的区间为_______ o A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3, + -) 7. f(x)定义在R 上的函数,f(x+1)=-缶，当xw［—2,T］时，f(x)=x, 则f(-3.5)为() A.—0.5 B. — 1.5 C.1.5 D.—3.5 PA丄平而丄平而0, A,B为垂足，PA = 4,PB = 2,则AB 8.设P是60°的二而角a-l-0内一点, 的长为( ) A. 2^3 B. 2^5 C? 2>/7 D?4迥 9. 若函数Xx)=(l-m)?-2/7U-5 是偶函数，则7U) () A.先增后减 B.先减后增C?单调递增D?单调递减 10. 对任意非负实数x,不等式厂一皿)Sa恒成立，処I实数a的最小值是(). 1 2 3 A. 2 B. 2 C. D.才
函数与方程思想简单应用
数学思想方法的简单应用（1） 一、函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 1.证明：若 则为整数． 解析：若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得 ，于是此时(1)式的值等于－4． 若x＋y＋z＋t≠0，则 由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4． 2.已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=． （1）求a、b的值及函数f（x）的解析式； （2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；
函数与方程思想的典型例题
函数与方程思想的典型例题 [例1]设函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数βα,有 ，且21)3(=πf ，0)2(=πf . (1)求证：)()()(x f x f x f --==-π； (2)若20π <≤x 时，0)(>x f ，求证：)(x f 在],0[π上单调递减； (3)求)(x f 的最小周期并*证明. [解析](1)),0()3(2)3()3(f f f f πππ=+ 且2 1)3(=πf ，1)0(=∴f . 又)()0(2)()(x f f x f x f =-+，)()(x f x f -=∴. )2()2(2)()(πππ-=-+x f f x f x f ，且0)2(=π f ，)()()(x f x f x f --=-=∴π. (2))()(x f x f =- 且20π<≤x 时，0)(>x f ，∴当2 2ππ<<-x 时，0)(>x f . 设π≤<≤210x x ， 则)()()()(2121x f x f x f x f -+=-π)2()2( 22121ππ-+-+=x x f x x f . 222,2202121πππππ<-+<-<+-≤x x x x ，0)2 (,0)2(2121>-+>-+∴ππx x f x x f . )()(21x f x f >∴，即)(x f 在],0[π上单调递减. (3)由(1))()(x f x f --=-π得)()(x f x f +-=π，)2()(x f x f +-=+ππ， )()2(x f x f =+∴π，说明π2是原函数的一个周期. 假设0T 也是原函数的一个周期，且)2,0(0π∈T ，则由)()(0x f x T f =+得)()0(0T f f =. 但若],0(0π∈T 时，因原函数是单调递减函数，所以)()0(0T f f >，两者矛盾； 若)2,(0ππ∈T 时，),0(20ππ∈-T ，从而)()()2()0(000T f T f T f f =-=->π，两
高中数学竞赛专题一 函数与方程思想
高中数学竞赛专题一函数与方程思想 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。函数思想贯穿于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路． 和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。 一、考点回顾 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的． 如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的 在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。要总结、归纳运用
(word完整版)高三数学专题复习(函数与方程练习题)
高三数学专题复习（函数与方程练习题） 一、选择题 1、定义域为R 的函数y ＝f (x)的值域为［a ，b ］，则函数y ＝f (x ＋a ）的值域为（ ） A 、［2a ，a ＋b ］ B 、［a ，b ］ C 、［0，b －a ］ D 、［－a ，a ＋b ］ 2、若y ＝f (x)的定义域为D ，且为单调函数，［a ，b ］D ，（a －b ）·f (a)·f (b)＞0，则下列命题正确为（ ） A 、若f (x)＝0，则x ∈(a ，b ） B 、若f (x)＞0，则x ? （a ，b) C 、若x ∈（a ，b ），则f (x)＝0 D 、若f (x)＜0，则x ? （a ，b ） 3、设点P 为曲线y ＝x 3－3 x ＋3 2 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A 、［32π，π］ B 、（2π，π） C 、［0，2 π］∪（65π，π） D 、［0，2 π ］∪［32π，π） 4、设函数f (x)是定义R 上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3，且f (1)＞1，f (2)＝1 3 2+-m m ，则m 的取 值范围为（ ） A 、m ＜ 32 B 、m ＜32且m ≠－1 C 、－1＜m ＜32 D 、m ＞3 2 或m ＜－1 5、定义在R 上的函数f (x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则（ ） A 、f (－1)＜f (3) B 、f (0)＞f (3) C 、f (－1)＝f (3) D 、f (0)＝f (3) 6、已知对一切x ∈R ，都有f (x)＝f (2－x ）且方程f (x)＝0有5个不同的根，则这5个不同根的和为（ ） A 、10 B 、15 C 、5 D 、无法确定 7、函数y ＝log 2 1 (x 2＋kx ＋2）的值域为R ，则k 的范围为（ ） A 、［22 ，＋∞］ B 、（－∞，－22）∪［22，＋∞］
函数与方程思想总结(很好很全面)
函数与方程思想 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3．函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。 (2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式； (3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要； (4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； (5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【例1】. 关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题是_____________ 解答：根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*) 作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不
人教版数学必修一函数与方程练习题
人教版数学必修一函数与方程练习题 重点：掌握零点定理的内容及应用 二次函数方程根的分布 学会利用图像进行零点分布的分析 1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（） 2． 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（） 3． A. B. C. D. 4． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （） A ．有一个零点 B ．有两个零点 C ．有一个或两个零点 D ．无零点 5． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0( C ．),0(+∞ D ．? 7． 设函数? ??>≤++=,0,3,0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 无论m 取哪个实数值，函数)2 3(232--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 9． 已知函数).0(42)( 2>++=a ax ax x f 若0,2121=+
函数与方程思想在初中数学解题中的应用
函数与方程思想在初中数学解题中的应用 张猛 【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。 关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例 数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。 一：函数与方程思想的地位与作用 函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。 目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用
的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。 本文例析函数与方程思想在解题中的应用: 二：函数与方程思想的应用案例 通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。 1 求代数式的值 例1 已知 22a b ==求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。 解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。 当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=； 当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得 ∴ 原式=1?11=11。 解题反思：此题若将a ,b 的值分别代入所求式中计算，显然运算过程很麻烦。观察发现，所求式中两个括号内的二次项系数之比与一次项系数之比相等，因此可先算出a +b =4,ab =1.利用根与系数的关系构建一元二次方程，这样解起来就简便多了，体现了方程思想的简捷性。 2 解应用问题 例2 某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂同时加工这批产品。已知甲厂单独完成加工任务比乙厂单独完成加工任务多用20天，而乙厂每天比甲厂多加工8件产品。公司每天需付甲厂加工费800元，每天需付乙厂加工费1200元。 （1）甲、乙两个工厂每天各加工多少件新产品？ （2）请你计算两厂合作完成加工任务公司所付费用。 解：（1）设甲厂每天加工x 件新产品，则乙厂每天加工（x +8）件。 依题意得方程 960960208x x -=+。
2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：26函数与方程的思想、分类讨论的思想
第一部分 二 26 一、选择题 1．(文)方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2 [答案] A [解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2， ∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋5 4 ≤1，故选A ． (理)已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( ) A ．1
高中数学必修一 函数与方程的思想方法
函数与方程的思想方法 函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。 方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。 方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个 领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数 ) (x f y=，当0 = y时，就转化为方程0 ) (= x f， 也可以把函数式 ) (x f y=看做二元方程0 ) (= -x f y，函数与方程这种相互转化的关系十 分重要。 函数与表达式也可以相互转化，对于函数 ) (x f y=，当0 > y时，就转化为不等式 ) (> x f，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。 函数 ) ( ) ( ) (* N n bx a x f n∈ + =与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比 较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。 解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。 高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。 第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等； 第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题； 第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等； 第四层次：构造方程或不等式求解问题。 其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。 纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”
专题01 函数与方程思想(解析版)
专题01 函数与方程思想 思想方法诠释 1．函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想． 2．方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想. 【典例讲解】 要点一 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [解析] (1)当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a 2 －1. 设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝????t －a 2＋1＝????t －t ＋ln t 2＋1＝????t 2－ln t 2 ＋1.设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为3 2，故选D. (2)因为函数f (x )＝log 3(9x ＋t 2)是定义域R 上的增函数，且为“优美函数”，则f (x )＝x 至少有两个不等 实根，由log 3(9x ＋t 2)＝x ，得9x ＋t 2＝3x ，所以(3x )2－3x ＋t 2＝0有两个不等实根．令λ＝3x (λ>0)，则λ2－λ＋t 2 ＝0有两个不等正实根，所以????? Δ＝1－4t 2>0，t 2>0， 解得－12 难点36 函数方程思想 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，数学中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●难点磁场 1.（★★★★★）关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为 . 2.（★★★★★）对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0) （1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点； （2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx + 1 212 +a 对称，求b 的最小值. ●案例探究 ［例1］已知函数f (x )=log m 3 3 +-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由. 命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组. 错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根. 技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题. 解：（1） ?>+-03 3 x x x ＜–3或x ＞3. ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有 0) 3)(3() (6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数. （2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数. ∴??? ???? -=+-=-=+-=) 1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 函数与方程（1） 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______ 1、函数f(x)=2x+5的零点是________ 2、已知关于x 的一元二次方程2x 2+px+15=0有一个零点是-3，则另一个零点是_______ 3、函数y=-x 2+8x-16在区间[3,5]上零点个数是____ 4、设函数?? ?-∞∈-+∞∈-=)1,(,2),1[,22)(2x x x x x x f ，则函数41)(-x f 的零点是______ 5、函数f(x)=ax+b 有一个零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是_______ 6、定义在R 上的偶函数y=f(x)在[0，+∞)上单调递减，函数f(x)的一个零点为2 1，则不等式f(log 4x)<0的解集是_______ 7、求证：方程5x 2-7x-1=0的根在一个在区间（-1,0）上，另一个在区间(1,2)上。 8、已知函数f(x)=2(m-1)x 2-4mx+2m-1 （1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个不同的交点； （2）如果函数的一个零点在原点，求m 的值。 函数与方程（2） 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______ 1、函数f(x)=3x-16在区间[3,5]上有____个零点 2、已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的x 与f(x)的对应值表： 则函数f(x)存在零点的区间是______ 3、函数x x x f 2)2ln()(-+=的零点所在区间是（n,n+1），则正整数n=______ 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想 (推荐时间：60分钟) 一、选择题 1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－ x ，则有 ( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0 2．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为 ( ) A ．1 B.12 C.52 D.22 3．设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围是 ( ) A.??? ?0，34 B ．(2，＋∞) C.????34，＋∞ D ．(－∞，2) 4．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[－3,1] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞) D ．[－1,1] 5．若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a 2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为 ( ) A ．[3－23，＋∞) B ．[3＋23，＋∞) C.????－74，＋∞ D.????74，＋∞ 6．方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为 ( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2 二、填空题 7．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n 的最小值为________． 8．(2011·北京)已知函数f (x )＝????? 2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 9．若方程x 2＋ax ＋2＝0的两根可以作为一椭圆和一双曲线的离心率，则a 的取值范围是 __________． 10．在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632 ，则通项a n ＝___________________________________. 三、解答题 2019学年数学高一上册函数与方程专项练习方程，是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号=。精品准备了数学高一上册函数与方程专项练习，具体请看以下内容。 一、选择题： 1.(2019课标全国)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( ) A.(，0) B.(0，) C ) D.(，) 444224 2.方程|x2-2x|=a2+1 (a0)的解的个数是( ) A.1 B 2 C.3 D.4 3.(2019福建)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A.(-1,1) B.(-2,2) C (-，-2)(2，+) D.(-，-1)(1，+)2??x+2x-3，x0，4.函数f(x)=?的零点个数为()?-2+lnx，x0? A.3 B 2 C.1 D.0 5.已知三个函数f(x)=2x+x，g(x)=x-2，h(x)=log2x+x的零点依次为a，b，c，则( ) A.a 二、填空题(每小题5分，共15分) 116若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数 g(x)=bx2-ax-1的零点是_______.(答案- 23 7.已知函数f(x)=ln x-x+2有一个零点所在的区间为(k，k+1) (kN*)，则k的值为________.(答案3) 8.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)=2014x+log2 014x，则在R 上，函数f(x) 零点的个数为________.答案3 9. (2019深圳模拟)已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+ln x，h(x)=x-x-1的零点分别为x1， x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________.答案x1 2??x-x-1，x2或x-1，10.若f(x)=?则函数g(x)=f(x)-x的零点为____________.答案12或1 ?1，-1 11.(13分)已知函数f(x)=4x+m2x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点. (m=-2时，f(x)有唯一零点，该零点为x=0.) 12.下列说法正确的有________： ①对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点. ②函数f(x)=2x-x2有两个零点. ③若奇函数、偶函数有零点，其和为0. ④当a=1时，函数f(x)=|x2-2x|-a有三个零点. B组专项能力提升 一、选择题(每小题5分，共15分) 1x1.已知函数f(x)=log2x-??3，若实数x0是方程f(x)=0的解，且0 A恒为负B.等于零C.恒为正D.不小于零 二、填空题(每小题4分，共12分) 2.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间 [1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________.答案7 函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f 1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题； 第一编 讲方法 第1讲 函数与方程的思想 「思想方法解读」 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题． 方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式中的系数等问题. 热点题型探究 热点1 函数与方程思想在不等式中的应用 例1 (1)(2019·新疆昌吉市教育共同体高三月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ? ?? ?? π2＋2x 在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－13 B ．1 3 C ．23 D ．1 答案 B 解析 1＋a cos x ≥23sin ? ????π2＋2x ＝2 3(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不 等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，即????? 4＋3a －5≤0，4－3a －5≤0 ?－13≤a ≤1 3.故选B. (2)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 D 解析 因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4函数方程思想
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