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计算方法2006-2007试卷

计算方法2006-2007第一学期

1 填空

1）. 近似数253.1*=x 关于真值249.1=x 有几位有效数字； 2）. 设有插值公式)()(1

k n k k x f A dx x f ?∑-=≈，则∑=n

k k A 1

=______

3）设近似数0235.0*1=x ，5160.2*2

=x 都是有效数，则相对误差≤)(*2

x x e r ____

4）求方程x x cos =的根的牛顿迭代格式为

5）矛盾方程组?????-=+=-=+1211212121x x x x x x 与???

??-=+=-=+1

2122221

2121x x x x x x 得最小二乘解是否相同。

2 用迭代法（方法不限）求方程1=x xe 在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于210-时迭代结束。

3 用最小二乘法x be ax y +=2中的常数a 和b ，使该函数曲线拟合与下面四个点（1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)

（结果保留到小数点后第四位）

4．（10分）用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组

????

??=??????? ????????? ??717353010342110100201

4321x x x x 5．（10分）设要给出()x x f cos =的如下函数表

用二次插值多项式求)(x f 得近似值，问

步长不超过多少时，误差小于3

10- 6. 设有微分方程初值问题

?=≤<-='2

)0(2

.00,42y x x y y －

)

(1) 写出欧拉预估－校正法的计算格式；

(2) 取步长h =0.1，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。

7. 设有积分?+=101x

(1) 取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值

（小数点侯保留4位）；

(2) 用复化Simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小

（小数点侯保留4位）。 8. 对方程组

????

? ??=????? ??????? ??314122*********x x x － (1) 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？ (2) 取初始向量T )0,0,0(=x ，用雅可比迭代法求近似解)1(+k x ，使

)3,2,1(103

)()1(=<--+i x x k i k i

9. 设f (x )在区间[a ，b ]上有二阶连续导数，且f (a )=f (b )=0，试证明

)()(81

)(max max

2x f a b x f b

x a b

x a ''-≤≤≤≤≤

计算方法2006-2007第二学期

1 填空

1）. 近似数0142.0*=x 关于真值0139.0=x 有__为有效数字。

2）适当选择求积节点和系数，则求积公式)()(1

k n

k k x f A dx x f ?∑-=≈的代数精确

度最高可以达到______次.

3）设近似数0235.0*1=x ，5160.2*

2=x 都是四舍五入得到的，则相对误差

)(*

2*1x x e r 的相对误差限______

4) 近似值5**x y =的相对误差为)(*x e r 的____ 倍。

5）拟合三点A(0,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于y 轴的直线方程为_____.

2. 用迭代法求方程0222=++x x e xe x 在（-1，0）内的重根的近似值1+n x 。要求1）说明所用的方法为什么收敛；2）误差小于410-时迭代结束。

3．用最小二乘法确定x b ax y ln 2+=中的a 和b ，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后4位)

写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算)1.1(''f 。

5 已知五阶连续可导函数)(x f y =的如下数据

试求满足插值条件的四次多项式).(x p

6 设有如下的常微分方程初值问题

???=≤<=1)1(4

.11,y x y

dx dy 1）写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。

2）取步长0.2用上述格式求解。

7 设有积分dx e I x ?=6

.002

1）取7个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后4位）

2）用复化simpson 公式求该积分的近似值。

8 用LU 分解法求解线性代数方程组

????

??=??????? ?????????

?-731395222211212032114321x x x x 9 当常数c 取合适的值时，两条抛物线c x x y ++=2 与x y 2=就在某点相切，试取出试点3.00=x ，用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于410-时迭代结束。

参考答案； 1: (1)2, (2) 2n-1 (3) 2.1457*10E-3 （4）1/5 (5) x=1 2 解：将方程变形为 0)(2=+x e x

即求0=+x e x 在（-1，0）内的根的近似值1+n x 牛顿迭代格式为 n

x x n n n e e x x x ++-=+11

收敛性证明；非局部收敛定理结果 56714.04-=x 。

3 用最小二乘法正则方程组为

?=+=+1586.1048446.141165

.986.6541165

.9125.61a b a 解得 a=1.0072; b=0.4563

4．解：中心差分格式

))(2)(((1

)(12021''x f x f x f h

x f -+=

得到3)1.1(''=f 5 解

3432).(x x x p +-=

截断误差 23

)5()1(!

5)()(-=

x x f x R ξ 6 4.1)4.1(;2.1)2.1(==y y 7 0.6805

8 （0 1 0 1） 9 解两条曲线求导 12'+=x y 和2

1'-

=x y

切点横坐标一定满足12+x =2

1-x

将等式变形为 144)(23-++=x x x x f 牛顿迭代法结果为 0.34781

河北工业大学_计算方法_期末考试试卷_C卷

2012 年（秋）季学期课程名称：计算方法 C卷（闭卷）

2012 年（秋）季学期

2012 年秋季 (计算方法) (C) 卷标准答案及评分细则一、填空题（每题2分，共20分） 1、截断舍入； 2、则 ()0n k k l x =∑= 1 ，()0 n k j k k x l x =∑= j x ， 4、 12 。 4、 2.5 。 5、10 次。 6、A 的各阶顺序主子式均不为零。 7 、1A ρ=+（），则6 A ∞ =。二、综合题（共80分） 1. （本题10分）已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。解： )12)(12() 1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+? --+-+?+------? =x x x x x x x L （6分） )1)(1(34 )2)(1(23)2)(1(32-+--+---= x x x x x x （2分） 04167.024 1 )5.1()5.1(2≈= ≈L f （2分） 2. （本题10分）用复化Simpson 公式计算积分()?=1 0sin dx x x I 的近似值，要求误差限为5105.0-?。 ()()0.9461458812140611=???? ??+??? ??+= f f f S （3分） ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+= f f f f f S （4分） 5-12210933.0151 ?=-≈ -S S S I 94608693.02=≈S I （3分）或利用余项：()() -+-+-==!9!7!5!31sin 8 642x x x x x x x f () -?+?-=!49!275142) 4(x x x f ()51 )4(≤ x f

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；（答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为

( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。 13、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为，。 15、、 16、计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12+n )次代数精度。

地方时计算方法及试题精选(DOC)

关于地方时的计算一．地方时计算的一般步骤： 1．找两地的经度差： (1)如果已知地和要求地同在东经或同在西经，则：经度差=经度大的度数—经度小的度数 (2)如果已知地和要求地不同是东经或西经，则：经度差=两经度和（和小于180°时）或经度差=（180°—两经度和）。（在两经度和大于180°时） 2．把经度差转化为地方时差，即：地方时差=经度差÷15°/H 3．根据要求地在已知地的东西位置关系，加减地方时差，即：要求点在已知点的东方，加地方时差；如要求点在已知点西方，则减地方时差。二．东西位置关系的判断：（1）同是东经，度数越大越靠东。即：度数大的在东。（2）是西经，度数越大越靠西。即：度数大的在西。（3）一个东经一个西经，如果和小180°，东经在东西经在西；如果和大于180°，则经度差=（360°—和），东经在西，西经在东；如果和等于180，则亦东亦西。三．应用举例： 1、固定点计算【例1】两地同在东经或西经已知：A点120°E,地方时为10：00，求B点60°E的地方时。分析：因为A、B两点同是东经，所以，A、B两点的经度差=120°－60°=60° 地方时差=60°÷15°/H=4小时因为A、B两点同是东经，度数越大越靠东，要求B点60°E比A点120°E小，所以，B点在A点的西方，应减地方时差。所以，B点地方时为10：00—4小时=6：00 【例2】两地分属东西经 A、已知:A点110°E的地方时为10:00,求B点30°W的地方时. 分析:Ａ在东经，Ｂ在西经，110°+30°=140°＜180°，所以经度差=140°，且A点东经在东，B 点西经在西，A、B两点的地方时差=140°÷15°/H=9小时20分，B点在西方，所以，B点的地方时为10：00—9小时20分=00：40。 B、已知A点100°E的地方时为8：00，求B点90°W的地方时。分析：A点为东经，B点为西经，100°+90°=190°＞180°，则A、，B两点的经度差=360°—190°=170°，且A点东经在西，B点西经在东。所以，A、B两点的地方时差=170°÷15°/H=11小时20分，B点在A点的东方，所以B点的地方时为8：00+11小时20分=19：20。 C、已知A点100°E的地方8：00，求B点80°W的地方时。分析：A点为100°E，B点为80°W，则100°+80°=180°，亦东亦西，即：可以说B点在A 点的东方，也可以说B点在A点的西方，A，B两点的地方时差为180÷15/H=12小时。所以B点的地方时为8：00+12小时=20：00或8：00—12小时，不够减，在日期中借一天24小时来，即24小时+8：00—12小时=20：00。 2、变化点计算【例1】一架飞机于10月1日17时从我国上海（东八区）飞往美国旧金山（西八区），需飞行14小时。到达目的地时，当地时间是（） A. 10月2日15时 B. 10月2日3时 C. 10月1日15时 D. 10月1日3时

数值计算方法三套试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )， b =（）， c =（）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l )(( )，∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时= ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?=1 04)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时， SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=??=?的改进欧拉法?????++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。 10、设 ?? ????????=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ? ∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，