平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.
向量常用有向线段来表示 .
注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.
举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0）
2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；
3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位
向量（与u A uu B r共线uuur
的单位向量是u A u B ur ）；
| AB|
4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量
a r、
b r叫做平行向量，记作：a r∥b r，
规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有r0）；
④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线.
6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r.
举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相
等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur
u D u C u r，则ABCD是平行四边形 .
（4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur.
（5）若a r b r，b r c r，则a r c r.
（6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5）
二、向量的表示方法
1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；
2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如 a r ，b r ， c r 等；
3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同 的两个单位向量 i r , r j 为基底，则平面内的任一向量 a r 可表示为 a r xi r y r j （x, y ） ，称 （ x, y ）为向量 a r 的坐标， a r （x, y ）叫做向量 a r 的坐标表示 .
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同.
三、平面向量的基本定理
定理 设e r 1
,e r 2
同一平面内的一组基底向量， a r 是该平面内任一向量， 则存在唯一实数对 （ 1, 2
），使 a r 1
e r 1 2
e r 2
.
1）定理核心： a r
λ1e r 1 λ2e
r 2
；（2）从左向右看，是对向量 a r
的分
解，且
表达式唯一；反之，是对向量 a r
的合成 .
（3）向量的正交分解：当 e r 1
,e r 2
时，就说 a r λ1r e 1 λ2r e 2
为对向量 a r
的正交分 解．
举例 3 (1)若 a r
(1,1)， b r
(1, 1)， c r
( 1,2) ，则 c r
. 结果：
1r 3 r a b
.
22
(2)下列向量组中， 能作为平面内所有向量基底的是 B A. e r 1
(0,0) ， e r 2
(1, 2) B. r e 1
( 1,2) ， e r 2
(5,7) C. r e 1
(3,5) ， e r 2
(6,10)
（1）模：| a r | | | |a r |；
（2）方向：当 0时， a r 的方向与 a r 的方向相同，当
D. e r 1
(2, 3) ， 1, 3 ,
24
（3）已知u A u D ur ,u B u E ur
分别是 可用向量 a r
,b r
表示为 . （4）已知 △ABC 中，点 值是 . 结果： 0 四、实数与向量的积 实数 与向量 a r 的积是 下： △ABC 的边 BC ，AC 上的中线 ,
且 u A u D ur
a r
4
r a
2
果 结上 边
B u u r B
u u u u r
u u r
u u u u r C u 的
u u r u u 个向量，记作 a r ，它的长度和方向规定如
方向与a r的方向相反，当0时，a r r0，注意：a r 0.
五、平面向量的数量积
1. 两个向量的夹角：对于非零向量a r，
b r，
）称为向量a r，b r的夹角. uuur r
作OA
a r，
u r
u u把
r b
AOB (0
当 0时， a r ， b r 同向；当 时， a r ， b r 反向；当 2时，a r ，b r 垂
直
. 2. 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a r ， b r ，它们的夹角为 ， 我们把数量 | a r || b r | cos 叫做 a r 与b r 的数量积（或内积或点积） ，记作： a r b r ， 即 a r b r |a r | |b r |cos .
规定：零向量与任一向量的数量积是 0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量 举例 4
（1
）△ ABC 中，| u A uu B r
| 3 ，|u A uu C r
| 4 ，|u B u C ur
| 5 ，则 9
.
uuur uuur AB BC
果
：
结
果：
2）已知a r
1,21
，b r
0, 12
，c r
a r
kb r
，d r
a r
b r
，c r
与d r
的夹角为 4
，则k
1. 3）已知 |a r
| 2，|b r
| 5， a r
b r
3，则 |a r
b r
| ___ . 结果： 23. 4）已知 r
a, r
b 是两个非零向量，且| a r
| |b r
| |a r
b r
|，则a r
与a r
b r
的夹角为 30o . 结果： 3.向量b r 在向量 a r
上的投影： |b r | cos ，它是一个实数，但不一定大于 0. 举例 5 已知|a r
| 3，|b r
| 5，且 a r
b r
12 ，则向量 a r
在向量 b r
上的投影为 ___ . 结果： 152
.
5
4. a r b r 的几何意义 ：数量积 a r b r 等于a r 的模|a r |与b r 在a r 上的投影的积 .
5. 向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a r ， （ 1） a r b a r b 0 ； （2）当 a r 、 b 同向时， a r b |a r | |b|，特别地， a r b r |a r | | b r |是a r 、 b r
同向的充要分条件 ； 当a r 、 b r 反向时， a r b r |a r | |b r |，a r b r |a r | 件； 当 为锐角时， a r b r 0，且 a r 、b r 不同向， 充分条件 ； 当 为钝角时， a r b r 0 ，且 a r 、 b r 不反向； 充分条件 .
（3）非零向量 a r ， b r 夹角
b r ，其夹角为 ，
则：
a r 2
|b r |是a r 、 b r 反向的充要分条 ab ab 的计算公
式： cos 0 是 为锐角的 必要不 0 是 为钝角的 必要不 | a r a ||b b r | ；④ a r b r |a r ||b r | . 举例 6 取值范1）已知 a r
（ ,2 ） ， b r
（3 ,2） ，如果 a r
与b r
的夹角为锐角，则 的 3
或 0
且 3
；
(2)已知△OFQ 的面积为 S ，且
u O u F ur u F u Q ur 1
，若
12 S 23
，则
u O u F ur
， u F u Q ur
夹角
的 取值范围是 _____ . 结果： 4, 3
；
43
①用 k 表示 a r
b r
；②求 a r
b r
的最小值，并求此时 a r
与b r
的夹角 的大小. 结果：① a r
b r k 4k 1
(k 0) ；②最小值为 12
， 60o
. 六、向量的运算
1. 几何运算 (1)向量加法
运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则 . r 运算形式：若 u A uu B r a r ， u B uu C r b r ，则向量u A uu C r 叫做 a r
与b 的和，即 r r uuur uuur uuur a b AB BC AC ；
作图：略 . 注：平行四边形法则只适用于不共线的向
量 .
(2)向量的减法 运算法则：三角形法则 . 运算形式：若 u A uu B r a r ， u A u C ur b r ，则 a r b r u A u B ur u A uu C r C uu A ur ，即由减向量的终 点指向被减向量的终点 .
作图：略 .
注：减向量与被减向量的起点相同 .
举例 7
( 1
)化简：①
u A u B ur
u B u C ur
C uu
D ur
；② u A uu B r
u A u D ur
u D uu C ur
；③
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r (AB CD) (AC BD) . 结果：① AD ；② CB ；③ 0；
(2
)若正方形 ABCD 的边长为 1
，u A u B ur
a r
，u B u C ur
b r
，u A u C ur r
c ，则 |a r
b r
c r
|
.
结果： 2 2 ；
(3
)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足 O uu B ur
O uu C ur u O u B ur
O uu C ur
2u O u A ur
，则△ABC 的 形状为 . 结果：直角三角形；
( 4)若 D 为 △ ABC 的边 BC 的中点， △ ABC 所在平面内有一点 P ，满足 u P u A ur u B u P ur
C uu P ur r
0，设 || u u P
Au u D
uP ur r |
| ，则 的值为 . 结果：2；
(5)若点O 是 △ABC 的外心，且 u O u A ur u O uu B r u C uu O r r
0 ，则
△ABC 的内角 C 为 . 结
果： 120o
.
2. 坐标运算 ：设 a r (x 1,y 1) ，b (x 2,y 2
) ，则
(1)向量的加减法运算 ：a r b (x 1 x 2,y 1 y 2)，a r b (x 1 x 2,y 1 y 2
) . 举例 8 (1)已知
3)已知 a r
(cos x,sin x) ， r
b (cos y,sin y) ，
且满足 |k r
a b | 3|a r
kb|
其中 k 0 )