(完整版)行列式试题库1
一．判断题
（易）1、n 阶行列式
11121212221
2n n
n n nn
a a a a a a a a a ??????????????是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）．
答案：×
（较容易）2、6216
210
0000000λλλ=λλλΛΛ
M
M M
M M ΛΛ．
（ ）． 答案：×
（较容易）3、8218
210
0000000k k k k k k ΛΛ
M
M M
M M ΛΛ=．（ ）．
答案： √
（较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √
二．填空题
（中等）1.设12345
77733
324523332246523
=A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________
答案：0，0
（中等）2.1234
243141321432
=
D , 求11213141+++A A A A =________
答案：0
（较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3
（较容易）4.d
b a
c
d b c a b
d c a b d a c = ．
答案：0
（较容易）5.
y
x y
x x y x y x y x x y x 323222 +++++=
．
答案：)(2y x xy +-
（较容易）6. 621
7213424435431014327
427246-=
答案：510294?-
（中等）7．已知三阶行列式 9
876543
21 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ），
则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为
．
答案： 9
873
21 c b a
（中等）8． 设行列式3
0402222,07
5
3
22
D =
-- 则第四行各元素余子式之和的值为 .
答案：–28
（较容易）9．
1111001
1110
y y y x x
x
--= ．
答案：22
x y
（中等）10． 行列式
1
1
1
1
111111111111
--+---+---x x x x = ．
答案：4x
（较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组???
??=+μ+=+μ+=++λ0
200
321
321321x x x x x x x x x 有非零解．
答案：1，0
（较容易）2. 设2
2
2
2
3333
1
111a b
c
d
D a
b c d
a b c d =
,则D=______________
答案：()()()()()()d c d b d a c b c a b a ------
（较容易）13. 已知四阶行列式D 的第二行元素分别为3, 1, -1, 2, 他们对应的余子式分别为1, 2, 2, -1, 则行列式=D ______ 答案：-1
（较容易）14. 设A 是三阶方阵, 且3||=A , 则|)2(|1
-A =_______
答案：
124
（容易）15. A 为正交矩阵, 则=||A _____________
答案：1或-1 （较容易）16. 已知四阶行列式D 的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=________ 答案：5
（容易）17. 行列式256
13412
a
中元素a 的代数余子式 = _________ 答案：－４
（较容易）18.四阶行列式D 的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则D= _________ 答案：0
（较容易）19.设A 是三阶行列式，且1A =，则2A A =______ 答案：512
（较容易）20.设五阶矩阵A 的行列式2A =-，则其伴随矩阵*
A 的行列式*A = ____ 答案：16
（容易）21. 已知三阶行列式2
51102
3
2
1-=D , 则第3行第2列元素的代数余子式32A =_____________
答案：7
（容易）22. 按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 ．. 答案：1
（容易）23. 当=i =k 时排列1274i 56k 9为偶排列． 答案：8，3
（容易）24. 排列1 3 …（12-n ）2 4…（n 2）的逆序数为 _______ ． 答案：
(1)
2
n n - （容易）25. 在五阶行列式中项5541322413a a a a a 前面应冠以 号（填正或负）． 答案：负
（容易）26. 四阶行列式中含有因子2311a a 且带负号的项为_____ 答案：44322311a a a a -
（容易）27. 设A 为n 阶矩阵,且T A A E =，则必有________A =
答案：1 或－1
（容易）28. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果2A =,则*A =________
答案：12n -
（容易）29. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果 2A =- ,则*A =________
答案：1
(2)
n --
（容易）30. 设A 为n 阶矩阵,且T
A A E =，则必有T A =________
答案：1 或－1
（容易）31.设A 是n 阶方阵, *
A 为其伴随矩阵, 若a A =||, 则||*
A =__________
答案：1
n a
-
（容易）32.若2||44-=?A , 则=||*
A _________ 答案：8
（容易）33.设32
11
11
1410
D -=-,则313233A A A ++=_____ 答案：0
（较容易）34. 若0x a a
a
x a a a
x
=，则a =_____
答案：2a -或0
（较容易）35.已知3
021111
x
y z =，则33
3322
2
2
x y z
x y z x y z ++=+++_____ 答案：2
（较容易）36.设12234
000
000
000
a a D a a =
1
2134
000
0200
00300
4a a D a a =，则1D =_____2D 答案:24
（容易）37.1
200340000540
45
D --=
=-- ____
答案:-18
（容易）38.12
0034000013
00
5
1
D =
=- ____
答案:32
（较容易）39.1111
001100111001
D =
= ____
答案:0
（较容易）40.若齐次线性方程组03030x y z x y z x y z λ+-=??
-+=??-+=?
有非零解,则λ=____
答案:12
λ=-
（容易）41.行列式A 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系____ 答案:(1)
i j
ij ij A M +=-
（较容易）42.若n 阶方阵A 的秩为n-1,在A =____ 答案:0
（较容易）43.设A,B 是两个三阶的方阵,且1A =-,2B =,那么13
3()T
A B -=____
答案:278
-
（容易）44.设三阶方阵A 的不同特征值为-1,2,4 ,则A =____ 答案:-8
（较容易）45.若A,B 为n 阶方阵,且1
,32
A B ==-,则*12A B --=____ 答案:1
2(1)
3
n +- （容易）46.A 为三阶方阵,2A =,则
1
2
A =____ 答案:
14
（较容易）47.设行列式2345246812035643
D =
,则414243442468A A A A +++=____
答案:0
（较容易）48.若3
022111
x
y z =-,则4131111
1
1
x y z ---=____
答案:2
（较容易）49.
82764125
49162523451
1
1
1
= ____
答案:12
（较容易）50. 如果3333231
232221
131211
==a a a a a a a a a D ,则111213
21
222331323332623a a a a a a a a a ---= ____ 答案:-18
（较容易）51. 如果333
32
31
232221
131211
==a a a a a a a a a D ,则111213
21
222331
32
33
222222222a a a a a a a a a = ____ 答案:24
（容易）52.已知三阶方阵A 的三个特征值为1，－2，3 ，则A =____ 答案：－6
（容易）53. 0100002000001000
n D n n ==-L L
M M M O
L L
答案：1
(1)
!n n +-
（容易）54. 0
x y D
x
z y z
=---＝
答案：0
（容易）55.已知12
53284013902
1
6
D ----=
,23A = 答案：－9
（容易）56. ef
cf
bf de cd
bd ae
ac
ab ---= 答案：4abcdef
（较容易）57. 3
32211
11
1100
110
01
b b b b b b D ------=
= 答案：1
（较容易）行列式
2001
021*********
＝
答案：9
三．选择题
（容易）1. 如果??
?=-+=+-0
)1(20
2)1(2121x k x x x k 仅有零解,则( ).
A. 1≠k ,
B. 1-≠k 或3≠k ,
C. 3=k ,
D. 1-≠k 且3≠k .
答案：D
（较容易）2. 设,,D αβγ=
, ,,αβγ分别表示行列式D 的三个列，则D =（ ）
A. ,,γβα
B. ,,αββγγα+++
C. ,,αβγ---
D. ,,ααβαβγ+++
答案：D
（较容易）3．四阶行列式D=
1
1
22334
4
0000
000
a b a b b a b a 的值等于（ ） A. 12341234a a a a b b b b - B. 12341234a a a a b b b b +
C. 12123434 ()()a a b b a a b b --
D. 23231414()()a a b b a a b b --
答案：D
（容易）4.如果11
121321
222331
32
33
2a a a a a a a a a =，则111213
21
222331
32
33
222222222a a a a a a a a a =（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 答案:D
（较容易）5.已知4阶方阵A ，其第三列元素分别为1，3，－2，2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式A =( )
A. 5
B. -5
C. -3
D. 3 答案:A
（中等）6.设2
3
1
111111()11
4118
x f x x x -=
-,则方程()0f x =的三个根分别为( )
A. 1,-1,2
B. 1,1,4
C. 1,-1,8
D. 2,4,8 答案: A
（较容易）7.行列式1122331
10
a b
a c
a b
a c a
b a
c ++++++=( )
A. 0
B. b c -
C. 21()()c b a a --
D. 21()b a a - 答案:C
（容易）8.行列式13
2
5
2
01
03
D -=--中元素32a 的代数余子式为( ) A. 0 B. -10 C. 10 D. 3 答案:B
（容易）9.行列式213
122
01
D -=中元素32a 的代数余子式为( ) A. 4 B. -4 C. 0 D. 2 答案:A
（较容易）10.若11
121321
222331
32
33
1a a a a a a a a a = 则313233
2122
2311
12
13
222333a a a a a a a a a ---=( ) A. -5 B. 6 C. -1 D. 1 答案: B
（较容易）11.设221
15
()1
1
4723
f x x x =+-,则方程()0f x =的根分别为( )
A. 1,1,3,3
B. -1,-1,3,3
C. -1,-1,-3,-3
D. 1,-1,3,-3
答案：D (较容易)
12.已知11
1213
21
222331
32
33
a a a a a a d a a a =,则行列式3132331112132111
2212
2313
333232323a a a a a a a a a a a a ---=+++( )
A. 6d -
B. 6d
C. 3d -
D.3d 答案：A
（较容易）13.1
23
1
231
2
3
3a a a b b b c c c ?=( ) A. 1
23
1
231
2
3
333a a a b b b c c c B. 12
3
1
2312
3333333333a a a b b b c c c C. 1
231231
2
3
333a a a b b b c c c -
D. 12
31
231
2
3
333a a a b b b c c c 答案:D
（较容易）14.行列式0
0030
0100
20
0010000000
2
D -==--( ) A. -12 B. 12 C. -6 D. 6 答案:A
（较容易）15.设det()n ij D a =,则0n D =的充分必要条件是( ) A. n D 中有两行(列)元素对应成比例 B. n D 中有一行(列)的元素均为零 C.11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++???+== D. 11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++???+=≠ 答案:C
（中等）16.1223()710
431
7
1
x
x x x f x x
--=
--是( )次多项式
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1 答案:C （较容易）17.四阶行列式D 的某行元素依次为-1,0,k,6, 它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且9D =-,则k =( )
A. 0
B. 3
C. 1
D. -1 答案:B
(较容易)18.若11
121321
222331
32
33
1a a a a a a a a a =,则13111211
23
21222133
3132
31
454545a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 5 B. -5 C. 20 D. -20 答案:A
（容易）19.22
2
a a
b ac
ab b
bc ac bc c =( ) A. abc B. 1 C. 0 D. 222
a b c 答案:C
（较容易）20. 设*
1
,A A -分别为n 阶方阵A 的伴随矩阵和逆矩阵,则*1A A -=（ ） A. n
A B. 1n A
- C. 2
n A
- D. 3
n A
-
答案:C
（较容易）21.已知A 为三阶矩阵,其第三行元素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则A =( )
A. 5
B. -5
C. 7
D. -7 答案:C
（较容易）22.如果11
121321
222331
32
33
1a a a a a a a a a =,则11111213
21
21222331
3132
33
423423423a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 8 B. -12 C. 24 D. -24 答案：B
（较容易）23.行列式103100204
199
200395301300600
=（ ）
A. 1000
B. -1000
C. 2000
D.-2000 答案：C
（较容易）24.行列式40105
022*********
D =
的值为（ ）
A. -12
B. -24
C. -36
D. -72 答案：D
（较容易）25.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则（ ） A. A 中必有两行(列)的对应元素成比例;
B. A 中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;
C. A 中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;
D. A 中至少有一行(列)向量为零向量
答案：C
（较容易）26. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则行列式2A =( )
A. 0
B. 1
C. 6
D. 36 答案：D
（较容易）27. 如果m a a a a a a a a a D ==33
32
31
232221
131211
，13
12
11
232221
3332311333333333a a a a a a a a a D = 那么=1D （ ）．
A.m 3；
B.m 3-；
C. m 9；
D. m 27-．
答案：D
（较容易）28.已知000100
1
01000
100000
1
D ??????
??????????????????
=?????????
，则D =（ ）
A. 1
B. -1
C. (1)2
(1)
n n -- D. (1)(2)
2
(1)
n n ---
答案：D
29.行列式D 非零的充要条件是（ ） A.D 的所有元素都不为零 B.D 至少有2
n n -个元素不为零 C.D 的任意两列元素之间不成比例
D.以D 为系数行列式的线性方程组有惟一解 答案：D
四．解答题
（较难）1.
123111111111111111
(0,1,2,,)11
1
1
11+++≠=+L L L L M M M M L
i n
a a a a i n a
解：
1231111111111111111111
11++++L
L L M M M M L
n
a a a a 1121
31
11111000000000
+-=--L L L M M M M M M L n
a a a a a a a 112131
11111000000000
+---L L L M M M M M M L n
a a a a a a a 112231111100
00000
0=++=
∑
L L
L M M M M M M
L
n
i i
n
a a a a a a 231120000
100=??=++=??
?
?∑L L L L L L
n
i i n a a a a a a 11
1(1)===+∑∏n
n
i i i i a a （较难）2．1
232
3413
452121-L L L L L L L L L
n n n 解：12323413
4521
2
1-L L L L L L L L L n
n
n ＝122312341124
5212121++++++++++++-L L L L L L L L L L L L L n
n n n n n ＝12301111
3410
111
(1)(12)1
4522
01111
121
1121------++++=-----L L L L L L L
L
L
L L L L L L L L
n n n n n n n n n
＝1
1
11111
111(1)
(1)
2
1111111
1
+---------+---------L L
L
L L L L
n n n n n n n n ＝1
1
0000
00(1)(1)
2
0001111+-+----L L
L L
L
L L
n n n n n n n
＝1
2
000(1)
(1)
(1)2
n n
n n n n n n
+-+--L L L L L L L
＝(1)(4)
1132
2(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22
-++--++----=-L n n n n n n n n n n n
（较难）3．-=------L L L
L L L L L L L
n x a a a a a x
a
a a D a a
x
a
a a a a a x
解：00--=
+-------L L L L L
L
L
L
L L
L
L
L
L L L
n x
a a x a a a a x a a x a a D a a a x a
a a a a
＝11100
()()()0000---+-+--+=-+++---L L L
L L L L L
n n n x a a x
x a a x x a D x a D a x a x a a
a
a
a
由递推关系有1()()2??=
++-?
?n n n D x a x a （较难）4．11111
1
-=
--L
L L
L L L L
n n D n n 解：1010
0111001011
111
+----=
=
+------L L L L L L L L L L L L L
L
n n
n n n D n n n n
＝1
1
1(1)(1)
010100
+---------L
L L L
L L L
n n n n n
＝1
2
01(1)(1)
(1)(1)
010111
+------------L L L L L L L
n n n n n n n
＝254
113112
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)+-+----------=-+L n n n n n n n n n
＝222(1)112
2
(1)(1)
(1)(1)
(1)++-----+=-+n n
n n n n n n n
（中等）5. 写出四阶行列式2
3
7
40101201035
--=
D 中元素4,13323=-=a a 的代数余子式，并求其
值.
解： 2
3
7011
35)
1(3
223-?-=+A 2
3
7013430---
.9610262
3
343=+-=--=
2
01
5)1()2(2
3
0201
35)
1(223
333++-?-=--?-=A .2010)2(-=?-=
.176)20(4960033332323-=-?+-=+++=A a A a D
（中等）6. 计算行列式
7325
254346323214
-----
解:
7
3
2
5
254346323214
----- =
13
7
23
10
3419503100010------
137310319
5010)1(121----?=+13
72310315
00-----.310625)697(57
233
15=?=+-=--=
（中等）7. 计算(2)≥n n 阶行列式00010
0000
0001
000a
a D a a =L L L L L L L L L L
解: 按第一行展开，得()10
0000
0000001000
0100
n
a
a
a
a
D a
a a
+=+-L
L
L L L L L
L L L L
L L L
L L
L
． 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到
()
()(
)()111
2222111n
n n n n n n D a a a a a a +-+---=+--=-=-
（中等）8．计算行列式a
b b b b
a b b D b
b a b b
b
b
a
=L L L L L L L L L
解: D =()()()()1111a n b b b b a n b
a b b
a n b
b
a b a n b b
b
a
+-+-+-+-L L L L L L L L L
[]1
1
(1)1
1
b b b
a b b
a n
b b a b b
b
a
=+-L L L L L L L L L =[]1(1)b b b
a b
a n
b a b
a b
-+---L O
（较容易）9.计算行列式 .2
1
430000120
096878434
1508
9715032
-=D 解:
2315097508
210014
144378968
23
034(83)034
021014
10210200034
00102
14
1111(412)1116176.34
D --==
=+?--=?
=+=?=
（较容易）10. k 取何值时，下列齐次线性方程组有非零解：
???
??=+-=++-=++.
02,0,0321
321321x x x x kx x kx x x 解: 方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零.
211
1
1
11--=k
k D k
k
k k --++22
11011k
k k --+2201
1
11)1(
11
(1)011
004k k k
+-).4)(1(k k -+=即 .0)4)(1(=-+k k
所以当1-=k 或4=k 时，齐次线性方程组可能有非零解.
（中等）11. 计算行列式1314
21
131
102335
1-----=
D .
解： 119
210
111016055100335
1-----=
D 11
1
3200112033515
----=1
1
2
32
0011103351)
5(-----=
1
300
3
2001
1103
35
1)
5(------=2
11
000320011103351)5(-----=55-=
（中等）12. 计算行列式x a a a x a a a x D n ΛM
M M Λ
Λ
=
．
解： x
a a a x a
a n x D n r r r n
Λ
M M M Λ
Λ
Λ111]
)1([)
(21-+=+++a
x a x a n x ---+=Λ
M M
M Λ
Λ
0011
1
])1([
1
)
]()1([---+=n a x a n x
（中等）13. 计算行列式的值1
118
101
71
1101325
--=
D
解：
1
011
3
-
D
=
1
1
81107
113521101--
021
70155011
01---=
=
820
07
120551
00
111
---8
2
017900551
00111--
410017900551001112
--=17
9
41005
5100111
2
---=
3819
410055100111
2
-=----=
（难）4. 计算n 阶行列式的值5
2
(00)
35...000...
0
0 (5200)
(35)
2
00...035=n D
解 按第一行展开，得：
211
16552
(00)
35...000...
...............00...52000 (350)
00 (0323)
5-----=
-=n n n n n D D D D 按第一列展开
得到递推式：2165---=n n n D D D
写作）（211232----=-n n n n D D D D ，可得）（122
1232D D D D n n n -=--- 写作）（211323----=-n n n n D D D D ，可得）（1221323D D D D n n n -=---
而195
235,521==
=D D
?????=-=-∴--n
n n n
n n D D D D 2
33211 解之得1
123++-=n n n D （中等）15. 计算n 阶行列式x
y
y x y x y
x
y x D 0
(00)
...0000 0
0 (000)
(00)
00...00=
的值
解 按照第一列展开
n
n n n n n n n n y x y y x x y y x
y x y y x x y x y x
x D 11111
1
1
1
1)1()1(...000 0
...0
0...00...00)1(...000 0
...0
0...00...0)1(+-+--+-+-+=?-?+?=-?+-?=
（较容易）16. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组 1231231
230020
x x x x x x x x x λμμ++=??
++=??++=?有非零解？
解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故
11011111
111(1)0
12200
λ
λμλ
λμλμμμλμμμ
----===--
即0μ=或1λ=齐次线性方程组有非零解。
（较容易）17．问λ取何值时，齐次线性方程组12312312
3(1)240
2(3)0(1)0
x x x x x x x x x λλλ--+=??
+-+=??++-=?有非零解？
解：
212
4
034(1)2310112(2)(3)1
1
11
1
1λλλλλλλλλλ
λ
------=--+=----＝0 即0,2λ=或3.
（较容易）18. 已知齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00
321
321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解, 求λ.
解 0)1)(2(1111
1
12=-+==λλλ
λ
λ
D , 故1=λ或2-=λ
（中等）19. 计算行列式D=
614
23021
511032121
----
解：200100
005001440212110
100
114
0144021216
1
42302
1
511032121
=--=
----=----=
D
（较难）20.计算行列式2
11 (11)
21 (11)
1
2...1...............111 (2)
D =
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）
工程数学教案行列式的性质与计算
教案头 教学详案 一、回顾导入（20分钟） ——复习行列式的概念，按照定义计算一个四阶行列式，一般需要计算四个三阶行列式，如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦，为简化行列式的计算，我们需要研究行列式的主要性质。 二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟） 一、行列式的性质 定义 将行列式D 的行换为同序数的列就得到D 的转置行列式，记为T D 。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和。 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。二、行列式按行（列）展开 定义 在n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij A 。记ij j i ij M A +-=)1(，叫做元素ij a 的代数余子式。引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那末这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =。定理 行 列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。 行列式的代数余子式的重要性质： ???≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ???≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ
行列式试题库
一．判断题 （易）1、n 阶行列式 11121212221 2n n n n nn a a a a a a a a a ??????????????是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）． 答案：× （较容易）2、6216 210 0000000λλλ=λλλΛΛ M M M M M ΛΛ． （ ）． 答案：× （较容易）3、8218 210 0000000k k k k k k ΛΛ M M M M M ΛΛ=．（ ）． 答案： √ （较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √ 二．填空题 （中等）1.设12345 77733 324523332246523 =A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________ 答案：0，0 （中等）2.1234 243141321432 = D , 求11213141+++A A A A =________ 答案：0 （较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3 （较容易）4.d b a c d b c a b d c a b d a c = ． 答案：0
（较容易）5. y x y x x y x y x y x x y x 323222 +++++= ． 答案：)(2y x xy +- （较容易）6. 621 7213424435431014327 427246-= 答案：510294?- （中等）7．已知三阶行列式 9 876543 21 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ）， 则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为 ． 答案： 9 873 21 c b a （中等）8． 设行列式3 0402222,07 5 3 22 D = -- 则第四行各元素余子式之和的值为 . 答案：–28 （较容易）9． 1111001 1110 y y y x x x --= ． 答案：22 x y （中等）10． 行列式 1 1 1 1 111111111111 --+---+---x x x x = ． 答案：4x （较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组??? ??=+μ+=+μ+=++λ0 200 321 321321x x x x x x x x x 有非零解． 答案：1，0
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．
行列式经典例题及计算方法
行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =
行列式的计算 （四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 （二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑
行列式的计算方法
摘要 行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算
Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation
目录 摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得
(完整版)行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
(完整word)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档
计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
行列式-矩阵练习题
行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)
高二数学上册 9.4《三阶行列式》教案(3) 沪教
9.4（1）三阶行列式 一、教学内容分析 三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容． 二、教学目标设计 经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用． 三、教学重点及难点 三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程． 四、教学用具准备 可以计算三阶行列式值的计算器 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一、情景引入 1．观察
(1)观察二阶行列式的符号特征： 1325 023 1 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13112321=?-? 02013(2)3 1-=?-?- 6 12 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？ 二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】 结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题： 问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？ 问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？ (① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了
行列式测试题(有答案)解析
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = 10.当k=2 2 ± 时，5 42 k k k =。
二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 2211D ,.221 2222111211 = .)1() (21n j j j π-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 1213132333 2122 23122223 3132 3311 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+中的数1与其余数形成的 反序个数为（ A ） （A ）k-1 (B) n-k-1 (C) k n C (D) 2 n C k - 2.设12n i i i 是奇排列，则121n n i i i i -是（C ） （A ）奇排列； （B ） 偶排列；
行列式经典例题
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
行列式练习题及答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= （ ）. （A ）! n （B ）!)1(2) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2 213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 14 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =
最新几种特殊类型行列式及其计算
1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.
2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()1 2323111100 1 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解 将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000 000 n n n a a a a D a a ?? -- - ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即