九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的两个三角形相似学案1无答案

九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的两个三角形相似学案1无

答案新版北师大版

第1课时 两角分别相等的两个三角形相似

【学习目标】

1.熟练掌握相似三角形的定义；

2.熟练掌握三角形相似的判定方法；

3.能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似。

【回顾与思考】

1．对应角相等，对应边也相等的两个三角形全等，你还记得三角形全等的其他判别条件吗？

2．相似三角形的定义是什么？你认为判别两个三角形相似至少需要哪些条件？

【合作学习】

合探1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？

合探2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A =∠A ′都等于∠α，

∠B 和∠B ′都等于∠β，此时，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比

C B BC C A AC B A AB '

''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.

思考：在实际画图过程中，同学们画了几个角相等？为什么？

由此得到相似三角形的判定方法1：

【例题学习】

如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥B C ，AB =7，AD =5，DE =10，求BC 的长。

【巩固训练】 1、如图D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，∠AED=∠C ，△ABC 与△ADE 相似吗？如果相似请写出证明过程 A B C E

D

2、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

【拓展运用】

在Rt ⊿ABC 中，

CD 是斜边上的高，则⊿ABC ∽⊿CBD ∽⊿ACD 。

【归纳小结】

C

【堂清】

如图，点A、O、D与点B、O、C分别在一条直线上，如果AB∥CD那么△AOB与△DOC相似吗？为什么？

O

A B

C D

【作业】

1.已知：△ABC和△

A′B′C′中，∠A=40°，∠B=70°，∠A′=40°，∠C′=70°.求证：△ABC∽△A′C′

B′.

2、如图，△ABC中，DE‖BC，EF‖AB，证明：△ADE∽△EFC．

B

A

C D E

3、已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．

4、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EF BF AF ．

5、如图，AF ∥CD ,∠1=∠2,∠B =∠D ,你能找出图中几对相似三角形？并逐一说明相似的理由.

【教学反思】

初中数学 第二章 特殊三角形单元测试

D B C A F E 第二章 特殊三角形单元测试 班级:_________ 学号: _________ 姓名: _________ 一、填空题（30分） 1．等腰三角形一边长为2cm ，另一边长为5cm ，它的周长是_____cm ． 2．在△ABC 中，到AB 、AC 距离相等的点在_______ 上． 3．如图，AC 、BC 分别平分∠BAE ，∠ABF ，如果△ABC 的高CD=8cm ，?那么点C?到AE 、BF 的距离和等于_______． 4. 如图，在Rt ABC 中，CD 是AB 边上的高，若AC=4，BC=3 ，则CD= 5．等腰三角形的一个外角是100°，则它的底角是_______. 6．在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，∠A=3∠B+10°，则∠B=_______． 7．如图,△ABC 为等腰直角三角形，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 边上的中点，则图中共有_____个等腰直角三角形． 8．如图,在 △ABC 中，∠ACB=90°，CE ⊥AB ，垂足是E ，D 是AB 的中点，如果AB=10， ∠B=30°,DE=_______． 9．如图，已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠B=700，BD=CF ，则∠EDF= 。 B A D C F E B A D C E D C B A

10.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 与∠ACB 的平分线AF 、CE 相交于点D ，且∠B=70o，则∠ADE 的度数为_________ 二、选择题（30分） 11. 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 （ ） A 、中线上 B 、角平分线上 C 、高线上 D 、不能确定 12. 下列判断正确的是（ ） A 、 顶角相等的的两个等腰三角形全等 B 、 腰相等的两个等腰三角形全等 C 、 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等 D 、顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等 13. 已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC 为（ ） （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）以上都有可能 14．已知等腰△ABC 的底边BC=4cm ，且│AC-BC │=2cm ，那么腰AC 的长为（ ） （A ）2cm 或6cm （B ）2cm （C ）6cm （D ）4cm 或6cm 15．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于D ，AB=a ，则DB 等于（ ） （A ） 2a （B ）3a （C ）4 a （D ）以上结果都不对 16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（ ） （A ）50° （B ）130° （C ）50°或130° （D ）55°或130° 17. 如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5，则DC 的长度是（ ?） （A ） 85 （B ）45 （C ）165 （D ）225 18．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°， 则∠DEF=（ ） （A ）55° （B ）60° （C ）65° （D ）70° B A D C B A D C E

北师大数学九年级上册---图形的相似知识点详细(一)

图形的相似（一） 一、比例线段 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b =m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b =c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例 项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a =或a ：b =b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。 2、比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b =c ：d ?ad =bc ②a ：b =b ：c ac b =?2 （2）更比性质（交换比例的内项或外项） d b c a =（交换内项） ?=d c b a a c b d =（交换外项） a b c d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： c d a b d c b a =?= （4）合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?= （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( n m b a =d c b a =

3、黄金分割 1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 2.618.02 15≈-=AB AC 二、平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 三、相似多边形 （1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方

初中数学--特殊三角形练习

初中数学--特殊三角形练习 一、选择题 1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（） A．40°B．50°C．60°D．70° 2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（） A．35°B．45°C．55°D．60° 3．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（） A．35°B．40°C．45°D．50° 4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（） A．15°B．17.5°C．20°D．22.5° 5．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（） A．12 B．9 C．12或9 D．9或7 6．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（） A．9 B．12 C．7或9 D．9或12 7．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（） A．8或10 B．8 C．10 D．6或12 8．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）

A．80°B．90°C．100°D．105° 9．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（） A．114 B．123 C．132 D．147 10．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（） A．7 B．8 C．6或8 D．7或8 11．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（） A．17 B．15 C．13 D．13或17 12．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（） A．30°B．40°C．45°D．60° 13．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（） A．21 B．20 C．19 D．18 14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（） A．30°B．45°C．60°D．90° 15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）

最新北师大版九年级数学上册 图形的相似综合复习题

图形的相似综合复习题 一、选择题(每小题6分，共24分) 1．(重庆)如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，若BC ＝1，则EF 的长是( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(泰安)在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题： ①若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠A ＝∠A 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1；②若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠B ＝∠B 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1；③若∠A＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1；④若AC ：A 1C 1＝CB ：C 1B 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1.其中真命题的个数为( B ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3．(宁波)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C ) A ．2∶3 B ．2∶5 C ．4∶9 D .2∶ 3 解析：∵AD∥BC，∴∠ACB ＝∠DAC，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA ∽△ACD ，BC AC ＝AC AD ＝AB DC ，AB ＝2，DC ＝3，∴BC AC ＝AC AD ＝AB DC ＝23，∴BC AC ＝23，∴cos ∠ACB ＝BC AC ＝23，cos ∠DAC ＝AC DA ＝23，∴BC AC ·AC DA ＝23×23＝49，∴BC DA ＝49，∵△ABC 与△DCA 的面积比＝BC DA ，∴△ABC 与△DCA 的面积比＝49 ，故选：C 4．孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O 为位似中 心，相似比为12 ，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是( D ) A ．(－2，1) B ．(－8，4) C ．(－8，4)或(8，－4) D ．(－2，1)或(2，－1) 解析：如图 二、填空题(每小题6分，共24分) 5．(邵阳)如图，在?ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：__△ABP∽△AED(答案不唯

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

特殊三角形常见题型

八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为 6、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的度数为 B O D B O

【配套K12】北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知 识点归纳 第四章图形的相似 一、成比例线段 定义： 线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、cD 的长度分别是,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：cD=:n,或者写成AB/cD=/n. 成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 定理：如果a/b=c/d==/n, 那么/=a/b 二、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。 三、相似多边形 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 四、探索三角形相似的条

两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。 概念：一般地，点c把线段AB分成两条线段Ac和Bc，如果Ac/AB=Bc/Ac，那么称线段AB被点c黄金分割，点c叫做线段AB的黄金分割点，Ac与AB的比叫做黄金比。 五、相似三角形判定定理的证明 六、利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 利用标杆 利用镜子的反射 七、相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 八、图形的位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点o，且有oP1=*oP,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点o叫做位似中心。实际上，就是这两个相似多边形的相似比。

初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)

初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===

九年级数学相似三角形知识点及习题

相似三角形考点 一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： (1)类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比 例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 三、注意 1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）

九年级数学上册 第四章 图形的相似知识点归纳 (新版)北师大版.doc

第四章 图形的相似 1 成比例线段 2 平行线分线段成比例 3 相似多边形 4 探索三角形相似的条件 *5 相似三角形判定定理的证明 6 利用相似三角形测高 7 相似三角形的性质 8 图形的位似 一. 成比例线段 ※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线 段的比AB:CD=m:n ,或写成n m B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即 d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段. ※3. 注意点: ①a:b=k,说明a 是b 的k 倍; ②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则 d c b a = ※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.02 15:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 二．平行线分线段成比例 ※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例. 如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EF BC DE AB =. 三. 相似多边形 ¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似 多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平 方. 四. 探索三角形相似的条件 _ 图1 _ B _ C _ A _ 图2 _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l _3 _ l _2 _ l _1

八上特殊三角形难题

三角形难题集锦 1. 如图，在△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点M ，在MC 上取点N ，使MN=NA ，若∠BAM=∠NAC ，则∠MAC= 度。 2. 如图，等腰直角三角形ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰作第一个等腰直角三角形ADE ，再以所作的第一个等腰直角三角形ADE 的斜边上的高AF 为腰作第二个等腰直角三角形AFG ；……以此类推，这样所作的第n 个等腰直角三角形的腰长为 。 3、如图，在三角形ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC 的长为 4、如图，在△ABC 中，∠ABC=100o，AM=AN,CN=CP,求∠MNP 的度数 5、如图：△ABC 中，AD 是角平分线，AD=BD ，AB=2AC 。求证：△ACB 是直角三角形。 A B C D 第1题

6、如图，在三角形ABC 中，AB=AC=5，P 是BC 边上除B 、C 点外的任意一点，则AP 2 +PB· PC= 。 7、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=0.5（AB+AD ），则∠ ABC+∠ADC 的度数是 度。 8、如图，AM 、BN 分别是∠EAB 、 ∠DBC 的平分线，若AM=BN=AB ，则∠BAC 的度数为------------ 度。 9、如图，AE 、AD 是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA ，若∠DAE=x °,求 x 的度数

10、如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120o，说明AD=BD+CD的理由 11、如图5，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF. （1）求证：EF∥BC. （2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积. 12两个全等的含30度、60度角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，边结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由。 13、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

数学北师大版九年级上册图形的相似

测试题： 一、选择题 1．下面四条线段成比例的是（）． A． B． C． D． 2．如图，若，则下面比例式不能成立的是（）． A．B． C． D． 3．下列说法中，错误的是（）． A．所有的等边三角形都相似 B．和同一图形相似的两图形也相似C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的矩形都相似 4．如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC，他量得米，米， 米，则河宽BC为（）． A．5米 B．4米 C．6米 D．8米 二、填空题 5．两个相似三角形的一边对应边分别为35cm14cm，它们的周长相差60cm，则这两个三角形的周长为_________． 6．如图，，若将图中的旋转（平 移），则所得到的新三角形与_____________，与__________． 7．学校平面图的比例尺是1：500，平面图上校园面积为1300cm，则学校的实际面积为____． 8．把一个矩形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大到_________倍，其面积扩大到_______倍． 9．如图，A、B两点间有一湖泊，无法直接测量，米，米，

米，则米． 三、解答题 10．如图，在中，于D，如果， 求CD、AC． 11．如图所示，五边形与五边形相似，求和的长度． 12．已知：中，，问：边AC上是否存在一点D，使∽ ？如果存在，请算出CD的长度． 13．如图是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80mm，AB是步枪上的准星宽度2mm，CD是目标的正面宽度50cm，求眼睛到目标的距离OF． 14．已知：于B点，于D点，，问： 在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，求DP的长；如果不存在，说明理由．

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似专题练习含答案

图形的相似 专题练习 1．已知△ABC ∽△DEF ，AB ＝1，BC ＝3，EF ＝5，则△ABC 与△DEF 的面积比是( ) A ．1∶9 B ．1∶25 C ．9∶25 D ．3∶5 2．如图，四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OB ∶OB ′＝2∶3，则四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为( ) 图2 A ．4∶9 B ．2∶5 C ．2∶3 D ．2∶ 3 3．如果3A ＝2B (AB ≠0)，那么下列比例式中正确的是( ) A ．a b ＝32 B ．b a ＝23 C ．a 2＝b 3 D ．a 3＝b 2 4．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE ∥B C ．若AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的长为( ) 图4 A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 5．在下面的图形中，相似的一组是( ) ,A ) ,B ) ,C ) ,D ) 图5

6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是() ,A) ,B) ,C) ,D) 图6 7．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于() 图7 A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m 8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是() ,A) ,B) ,C) ,D) 图8 9．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥B C．如果AD DB＝3 2， AC＝10，那么EC＝________．

(完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案

九年级数学相似三角形综合练习题及答案 1．填空（本题14分） （1）若a=8cm ，b=6cm ，c=4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d=___；a 、c 的比例中项x=__。 （2）)x 1(:x x :)x 2(-=-。则x=__________。 （3）在比例尺为1：10000的地图上，距离为3cm 的两地实际距离为______公里。 （4）圆的周长与其直径的比为________。 （5）若 35b a =，则b b a -=________。 （6）若a ：b ：c=1：2：3，且6 c b a =+-，则a=________，b=_______，c=________。 （7）如图1，23DE BC AE AC AD AB ===，则（1）=AE CE ________（2）若BD=10cm ，则AD=______cm 。（3）若△ADE 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________。 （8）若点c 是线段AB 的黄金分割点，且CB AC >，=AC AB ________，= AB BC ________。 2．选择题（本题9分） （1）根据ab=cd ，共可写出以a 为第四比例项的比例式的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）若线段a 、b 、c 、d 成比例，则下列各式中一定能成立的是（ ） A ． c b d a = B ．b d a c = C ．b a c d = D ．a b d c = （3）如图：DE//BC ，在下列比例式中，不能成立的是（ ） A ． EC AE DB AD = B ．EC AE BC DE = C ．AE AC AD AB = D ．AC AB EC DB =

九年级数学上册知识归纳 图形的相似

作品编号：GLK520321119875425963854145698357 学 校： 黄莺读市仙鹤镇喜鹊小学* 教 师： 悟性中* 班 级： 凤翔2班* 图形的相似 1． 比例线段的有关概念 ==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项， a c (a b c d )a d b c a c b d b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b = c ，那么b 叫做a 、 d 的比例中项． 2． 比例性质 ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()() ()?=?? ?=?=?? ?=???=?交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a b c d d c a c b a d b b d c a b d a c ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3． 黄金分割 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果 AC BC AB AC = ，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中 AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：

l 1∥l 2∥l 3．则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定 ①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例； ②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型： C A B D C A B D E E D B A C DE ∥BC ∠B =∠AED ∠B =∠ACD A B C D O B A C O D C B A X 型 母子型 AC ∥BD ∠B =∠C AD 是Rt △ABC 斜边上的高 8． 射影定理 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________． 9． 中位线 1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中 点的线段的长是对应中线长的3 1 ． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段． A D B C

2019-2020初中数学八年级上册《特殊三角形》专项测试(含答案) (1037)

浙教版初中数学试卷 2019-2020年八年级数学上册《特殊三角形》测试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得分 一、选择题 1．(2分)有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个内角的的度等于另两个内角的度数之和；（2）三个内角的度数之比为 3：4：5；（3）三边长之比为3：4：5；（4）三边长分别为 7、24、25. 其中直角三角形有（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．(2分)如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，则图中与CD 相等的线段有（ ） A ．AD 与BD B ．BD 与B C C ．A D 与BC D ．AD ，BD 与BC 3．(2分)已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（ ） A ．30 B ．60 C ．78 D ．不能确定 4．(2分)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为（ ） A ． 14cm B ．4cm C ．15cm D ．3cm 5．(2分)如图，ABC △是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP △绕点A 逆时针旋转后，能与ACP '△重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ）

A ．32 B ．23 C ．42 D ．33 6．(2分)三角形的三边长a 、b 、c 满足等式22()2a b c ab +-=，则此三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 7．(2分)如图，在等边ABC △中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 8．(2分)如图，ABD △与ACE △均为正三角形，且AB AC <， 则BE 与CD 之间的大小关系是（ ） A ．BE CD = B ．BE CD > C ．BE C D < D ．大小关系不确定 9．(2分)在全等三角形的判定方法中，一般三角形不具有，而直角三形形具有的判定方法是 （ ） A ．SSS B ．SAS C ．ASA D ．HL 10．(2分)如图，CD 是等腰直角三角形斜边AB 上的中线，DE ⊥BC 于E ，则图中等腰直角三角形的个数是（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个

九年级数学图形的相似(带标准答案)

第3章图形的相似 【经典例题】 1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．

A ．(2，0) B ．(23 ，2 3) C ．(2，2) D ．(2，2) 【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍． 【答案】C 【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似． 2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则 FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.5 1 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故 FD BF =AD BE =3 1 . 解答：选B ． 点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键. 3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ． 【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根. 【解答】ABC △与DEF △的相似比为 254=5 2. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方. 4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）． 【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。 解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ． （2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ． A C D F E （第6题） y x A O C B D E F

初三数学-相似三角形的判定知识讲解

初三数学-相似三角形 的判定

【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 例1. 如图，△ABC中，∠A= 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。

【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△ ''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？

八年级数学特殊三角形(习题及答案)

特殊三角形（习题） 例题示范 例1：已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =CD ，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且∠EAF =60°． 求证：△AEF 是等边三角形． 【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路： 要证△AEF 是等边三角形，已知∠EAF =60°，只需证△AEF 是等腰三角形即可，考虑证AE =AF ，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等． 观察图形，连接AC ，可以把线段AE 和AF 分别放在△ABE 和 △ACF 中．结合题中条件∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =CD ，可知△ABC 和△ACD 均为等边三角形，所以∠B =∠ACF =60°， ∠BAC =∠EAF =60°，因此∠BAE =∠CAF ，进而得证△ABE ≌△ACF ，证明成立． 【过程书写】 证明：如图，连接AC ． ∵∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =CD ∴△ABC 和△DAC 是等边三角形 ∴AB =AC ，∠BAC =60°，∠ACF =60° ∴∠1+∠3=60°，∠B =∠ACF ∵∠EAF =60° ∴∠2+∠3=60° ∴∠1=∠2 ∴△ABE ≌△ACF （ASA ） ∴AE =AF ∴△AEF 是等边三角形 巩固练习 1. 如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边三角形ABE ，连接DE ， 则∠BED 的度数为________． 60° 60° 60° F E D C B A F E D B A 3 2160° 60° 60°F E D C B A

2.如图，在△ABC的外部，分别以AB，AC为直角边，点A为直角顶点，作等 腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，CD与BE交于点P，则∠BPC 的度数为________． 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线， 交AB于点D，交AC于点E，若DE=2，则AC的长是________． 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB的中点，AD，CE相 交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE的度数为________． 5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，过C作CD⊥AB，交BA的 延长线于点D．求证：AB=2CD．