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数学建模综合题影院座位设计问题

数学模型

张峰华材料学院材料成型及控制工程04班刘泽材料学院材料成型及控制工程04班杨海鹏材料学院冶金工程03班

一、问题重述

影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =. H =5， 4.5,19d D ==，c =(单位m)。

求解以下问题：

(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。

(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。

二、问题的分析

电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。

本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。

针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab 数学软件运算求解；

针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；

在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。

本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。

三、模型假设

1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；

2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；

3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；

4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；

5.相邻两排座位间的间距相等，取为m ；

6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；

7.所有观众的座位等高为平均座高；

8.影院的的地板成阶梯状。

四、符号说明

α 水平视角

视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 β 仰角

αS 观众对水平视角为α的满意程度 θ 地板线与水平线的倾角

βS

观众对仰角为β的满意程度 d 第一排离屏幕水平距离

平均满意程度

D 最后一排离屏幕水平距离 βαc c , 视角α、仰角β在综合满意度i S 中的权重

h 屏幕的高度

l 相邻两排座位间沿地板线方向的间距 H 屏幕上边缘离地面的高度

五、模型的建立与求解

问题一

每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角α和仰角β，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过030。

5.1.1 模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角

以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：

其中，AB 为屏幕，MS 为地板线，OE 为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线OE 上任意一点P 的坐标为)tan ,(θx x ，屏幕上下点的坐标分别为),(c H d A --，

),(c h H d B ---，AP 的斜率记为AP k ,BP 的斜率记为BP k 。

由斜率公式得：

)(tan tan d x c H x k AP --+-=

-=θβ，)

(tan )tan(d x c

h H x k BP --++-=--=θαβ

则直线AP 和BP 的斜率与夹角α满足如下关系：

)

tan )(tan ()()(1tan 2c h H x c H x d x d x h k k k k AP BP AP BP ++-+-+++=+-=

θθα

仰角满足条件：]30,0[ ∈β 所以：33)

(tan 033tan 0≤--+--

≤?≤≤d x c

H x θβ

tan tan 3333c

H x d c H -≤

≤+-- 由公式得到模型为：

)

tan )(tan ()()

(arctan

max 2c h H x c H x d x d x h ++-+-+++=θθα

??-≤≤+---≤≤θθtan tan 33330..c H x d c H d D x t s

模型Ⅰ的求解

当 10=θ时，用Matlab 软件运算求解（程序见附录1），得最大视角为 9522.13=α，仰角为 30=β，7274.1=x 米。即P 点的坐标为)3046.0,7274.1(为最佳位置。离屏幕的水平距离为米2274.67274.15.4=+。模型Ⅱ的建立：离散加权模型

在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l （查阅相关资料间距一般取米），则在水平方向的间距为θcos l ，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。

对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：

)

(cos )1(tan cos )1()(tan tan d l k c

H l k d x c H x ---+---=--+--

=θθθθβ

)

tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()

cos )1((tan 2c h H l k c H l k d l k d l k h ++--+--++-+-=

θθθθθθα

其中，n k ,,3,2,1 =，n 为地板线上的座位的总排数，且191]cos 5

.14[

=+=θ

l n 。一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意的

看法就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题意，在假设条件下，对于第k 排座位，建立观众对视角α、仰角β的满意度函数]1[如下：

min

max min

tan tan tan tan ααααα--=

k k S

min

max min

tan tan tan tan 1βββββ---

=k k S

式中k k βα,为第k 排座位上观众视角和仰角，max max ,βα表示在θ给定的情况下最优满意度，min min ,βα表示在θ给定的情况下最差满意度。

视角α、仰角β在综合满意度k S 中的权重分别为βαc c ,，建立第k 排座位综合满意度函数如下：

αββααc c S c S c S k

k k ++=

根据地板线倾角?=10θ，通过计算可以得出 8975.154210.5≤≤α，

9149.400451.4≤≤β，主观给定权重4.0,6.0==βαC C ，根据模型的建立，可以得出：

1357.0tan 5025.0tan 1596.34

.06.04.06.0+-=++=

++=

k k k

k k

k k S S c c S c S c S βαβαβ

αββαα

将式和式带入公式得到优化模型为：

1357

.0)(cos )1(tan cos )1(5025.0)tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()

cos )1((*1596.3max 2+---+--+++--+--++-+-=

d l k c

H l k c h H l k c H l k d l k d l k h S k θθθθθθθθθ 19,,3,2,1,cos )1(tan tan 33330.. =???

??-=-≤≤+---≤≤k l k x c H x d

c H

d D x t s θθθ

模型Ⅱ的求解

用Matlab 软件运算求解（程序见附录2）可得：3635.2=x 米，4=k 排，最大满意度为6176.04=S ,最大视角为 1282.13=α，仰角为 9084.26=β,最佳位置离屏幕的水平距离为米8635.63635.25.4=+。问题二

模型Ⅲ的建立

要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求S 的最大值。由模型Ⅱ可知，第k 排观众的满意度为S ,则观众平均满意程度函数为：n S S n

k k ∑

==1

，平均满意度S 的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角β和视角α所决定。所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。

由式可知，地板线倾角θ的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改变，

且在某一座位(即x 取某一定值)，在θ逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角θ越大,仰角不超过条件的座位所占的比例越大。

θ角变化

α角变化

θ角变化β角变化

图2 视角α和仰角β随θ变化的变化曲线

第一排观众的仰角为 9149.40=β，不满足仰角的条件，由模型Ⅱ可知第k 排座位所对应的仰角的正切值：

n k d l k c

H l k k ,,3,2,1,)

(cos )1(tan cos )1(tan =---+---

=θθθβ

其中n 为地板线上的座位的总排数：1]cos 5

.14[

+=θ

l n ，随着地板线倾角θ的变化，相邻两排座位间的间距l 不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地板线倾

角θ不超过 20，所以2019≤≤n ，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，即 0543.15≤θ。

由模型Ⅰ可求出第k 排座位所对应的水平视角的正切值为：

)

tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()

cos )1((tan 2

c h H l k c H l k

d l k d l k h ++--+--++-+-=

θθθθθθα 模型Ⅲ的求解

让地板线倾角θ在]20,0[ 内逐一取值,步长为 01.0；让x 在]5.14,0[内逐一取值,步长为。

对一个取定的θ，判断x 所在的位置仰角是否超过 30，若超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角β和视角α的取值；否则，只需要考虑视角α的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时θ的取值。

当取地板线倾角为θ变化时，通过计算可以得出 8975.151143.5≤≤α，

9149.400≤≤β。

由模型Ⅱ的式得：=++=

++=

.06.04.06.0k

k k

k k S S c c S c S c S βαβ

αββαα （）

所以，将式和式带入公式得到平均满意度的优化模型为：

S n

k k

∑==

max

取整数其中n n k l k x d D x n t s ,,2,1,cos )1(00543.1502019. =???????-=-≤≤≤≤≤≤θ

θ 用Matlab 软件计算（程序见附录3）可得：最大平均满意度为6572.0=S ，对应地板线的倾角为 0543.15=θ。

在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。

模型的建立与求解

由上两问可知,观众的满意程度与仰角,视角和地板线倾角θ都有关,而每一座位到屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角，视角随着θ的变化情况。

引理地板线不管设计成什么形状,各排的间距不变，区别在于各排的高度差如何变化，若竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上时，动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂直平分线越近，动点与两定点形成的视角越大。

要使每一个座位所对应的视角取最大值,对应的y 值应在直线上.设计地板线应考虑以下几个方面：(1)第k 排座位所在的位置应高于第1-k 排座位所在的高度；(2)前一排的观众不会挡住后一排观众的视线；(3)视角尽可能大,即眼睛的位置应尽可能分布在垂直平分线的附近；(4)仰角的座位所占的比例尽可能大。

假设每排座位所在的点构成一条折线，任意相邻两排座位水平间距为l ，第k 排座位地板线倾角为k θ，第k 排座位与第1-k 排座位地板线倾角变化为θ?。从而可得：θθ?-+=)1(0k k ，故：

)

()1(])1tan[()()1(tan )1(tan 1

d l k c

H k l d l k c

H l k n

k n

k k

k ---+-?-=

---+---=∑∑==θθ

同理可得：

)

])1tan[(cos )(])1tan[(cos ()cos )1(()

cos )1(()

tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()

cos )1((tan 1

2c h H k l l c H k l l d l k d l k h c h H l k c H l k d l k d l k h n

k n

k ++-?-+-?-++-+-=

++--+--++-+-=∑∑==θθθθθθθθθθθθα 观众平均满意程度函数为：n S S n

k k ∑==1

可算出地板线上的座位的总排数为：1]cos 5.14[

+=θ

l n ，则可计算得当?

=?5.2θ时，6692.0max =S 。

但此时??=?-=455.2)119(θ，根据一般习惯，要求地板线倾角?≤20θ，但此时求得最后一排座位的地板线倾角为?=45θ，这大大超过观众的心理范围，因此文中将对此进一步的修改。当?>?-20)1(θi 时，令?=?-20)1(θi 。当?=20θ时，即将问题转化为问题二中所建立的模型。由于?=?5.2θ，则地板线倾角增加到第8排到达?20，然后保持不变。

对于这两种情况，分别代入不同的函数，利用matlab 数学软件求得：满意度函数的最大值6572.06643.0max >=S 。

可以通过利用Matlab 软件来描点，如图3所示：

图3

从上图可以看出，报告厅座位的前8排呈折线状，以?=?5.2θ递增,当倾角增加到?=20θ时保持不变，且第一排应抬高2.1米。

六、模型的评价与推广

模型的评价模型的优点:

模型抓住影响观众满意程度的主要因素(仰角和视角),合理构造满意度函数,过程清晰明了,结果科学合理。

模型具有较好的通用性,实用性强,对现实有很强的指导意义。模型的不足以及需要改进的地方:

模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同,实际情况并非如此,这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性。

模型建立的过程中,以观众眼睛所在的点为坐高点,没有考虑前排观众额部对后排

观众的遮挡,需要进一步的考虑在内。

模型的推广

本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用,所建立的模型可用于大型场所的座位的设计与安排，以及彩民对中奖率的满意程度等问题上。同时对于已知剖面来分析物体的形状这一类型问题的处理有很好的参考价值.例如:运用该模型去解决会议厅、报告厅的布局,灯塔高度的设计等相关的问题。因此具有很强的实用性和推广性。

八、附录：

附录一

clear

clc

H=5;

h=;

D=19;

d=;

c=;

l=;

pi=;

f=10;

for Q=0::20

for l=1:floorcos(Q/180*pi)+1)

x=(l-1)*cos(Q/180*pi);

T=tan(Q/180*pi);

A=(d+x)*h/((d+x)^2+(H-c-T*x)*(H-h-c-T*x));

if f>A

f=A;

end

for Q=0::20

for l=1:floorcos(Q/180*pi)+1)

x=(l-1)*cos(Q/180*pi);

T=tan(Q/180*pi);

A=(d+x)*h/((d+x)^2+(H-c-T*x)*(H-h-c-T*x));

if f==A

fprintf('Q is:%d\n',Q);

fprintf('k is:%d\n',l);

end

附录二

clear

clc

H=5;

h=;

D=19;

d=;

c=;

l=;

pi=;

t=10;

for Q=0::20

for l=1:floorcos(Q/180*pi)+1)

x=(l-1)*cos(Q/180*pi);

T=tan(Q/180*pi);

B=(H-c-T*x)/(d+x);

if t>B

t=B;

end

for Q=0::20

for l=1:floorcos(Q/180*pi)+1)

x=(l-1)*cos(Q/180*pi);

T=tan(Q/180*pi);

B=(H-c-T*x)/(d+x);

if t==B

fprintf('Q is:%d\n',Q);

fprintf('k is:%d\n',l);

end

附录三

clear;

%clc;

H=5;

h=;

D=19;

d=;

c=;

Q=; %tan(10/180*pi);

s=0;

for x=[ ]

t=*(h*(x+d)/((x+d)^2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)))*(-(x*Q-H+c)/(x+d))+; if s

s=t;

end

for x=[ ]

t=*(h*(x+d)/((x+d)^2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)))*(-(x*Q-H+c)/(x+d))+;

if s==t

fprintf('\nX is:%d',x);

fprintf('\nk is:%d',x/*cos(10/180*pi))+1);

fprintf('\na

is:%d',(atan(h*(x+d)/((x+d)^2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c))))/pi*180);

fprintf('\nb is:%d\n',(atan(-(x*Q-H+c)/(x+d)))/pi*180);

end

附录四

clear;

clc;

H=5;

h=;

D=19;

d=;

c=;

l=;

pi=;

t=0;

for k=1:20

for Q=0::20

z=h*((k-1)*l*cos(Q/180*pi)+d)/(((k-1)*l*cos(Q/180*pi))^2+((k-1)*l*cos(Q/180 *pi)*tan(Q*pi/180)-H+c)*((k-1)*l*cos(Q*pi/180)*tan(Q/180*pi)-H+h+c));

if t

t=z;

end

for k=1:20

for Q=0::20

z=h*((k-1)*l*cos(Q/180*pi)+d)/(((k-1)*l*cos(Q/180*pi))^2+((k-1)*l*cos(Q/180 *pi)*tan(Q*pi/180)-H+c)*((k-1)*l*cos(Q*pi/180)*tan(Q/180*pi)-H+h+c));

if t==z

fprintf('Q 为：%d\n',Q);

fprintf('k 为：%d\n',k);

end

附录五

clear;

clc;

H=5;

h=;

D=19;

d=;

c=;

l=;

pi=;

t=0;

for k=1:20

for Q=0::20

z=h*((k-1)*l*cos(Q/180*pi)+d)/(((k-1)*l*cos(Q/180*pi))^2+((k-1)*l*cos(Q/180 *pi)*tan(Q*pi/180)-H+c)*((k-1)*l*cos(Q*pi/180)*tan(Q/180*pi)-H+h+c));

if t

t=z;

end

for k=1:20

for Q=0::20

z=h*((k-1)*l*cos(Q/180*pi)+d)/(((k-1)*l*cos(Q/180*pi))^2+((k-1)*l*cos(Q/180 *pi)*tan(Q*pi/180)-H+c)*((k-1)*l*cos(Q*pi/180)*tan(Q/180*pi)-H+h+c));

if t==z

fprintf('Q 为：%d\n',Q);

fprintf('k 为：%d\n',k);

end

附录六

%A题模型三程序

%求满意度S（双变量）

clear;

clc;

H=5;

h=;

D=19;

d=;

c=;

l=;

pi=;

t=0;

ST=0;

for Q=0::20

sum=0;

for k=1:floorcos(Q/180*pi)+1)

x=(k-1)*l*cos(Q/180*pi);

T=tan(Q/180*pi);

b=(H-c-T*x)/(d+x); %-(A*T-H+c)/(A+d);

a=(d+x)*h/((d+x)^2+(H-c-T*x)*(H-h-c-T*x));%h*(A+d)/((A+d)^2+(A*T-H+c)*(A*T-H+h+c));

%if b>=0

s=**b+; %**b+;

%end

sum=sum+s;

end

if ST

ST=sum;

end

for Q=0::20

sum=0;

for k=1:floorcos(Q/180*pi)+1)

x=(k-1)*l*cos(Q/180*pi);

T=tan(Q/180*pi);

b=(H-c-T*x)/(d+x); %-(A*T-H+c)/(A+d);

a=(d+x)*h/((d+x)^2+(H-c-T*x)*(H-h-c-T*x));%h*(A+d)/((A+d)^2+(A*T-H+c)*(A*T-H+h+c));

%if b>=0

s=**b+; %**b+;

%end

sum=sum+s;

end

if ST==sum

fprintf('\nQ is:%d\n',Q);

end

ST/20