数学必修4期末考试试题
数学必修4综合测试题
一、选择题（本大题共12小题,每小题５分，共6０分，在每小题给出的四个选项中,只有一
个是符合题目要求的）
１。下列命题中正确的是( Ｃ )
A ．第一象限角必是锐角 Ｂ.终边相同的角相等
C.相等的角终边必相同 D 。不相等的角其终边必不相同 2．将分针拨慢５分钟，则分钟转过的弧度数是?( C )
A ．
3π? B.-3
π C ．
6
π
Ｄ。－
6
π ３．已知角α的终边过点()m m P 34，
-,()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是( Ｂ ) A 。1或－1 Ｂ．
52或52- C ．1或52- D ．—1或5
2 4、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（ B ）
A 。35(
,
)(,
)244
ππ
π
π B ．5(,)(,)424ππππ
C 。353(,)(,)2442ππππ Ｄ．33(,)(,)244
ππππ
5. 若｜2|=a ,2||=b 且（b a -）⊥a ,则a 与b 的夹角是 ( )
(Ａ)6π (B)4π (Ｃ)3
π
(Ｄ）
π12
5 ６．已知函数B x A y ++=)sin(??的一部分图象如右图所示,如果
2
||,0,0π
??<
>>A ,则( )? A.4=A ?B 。1=? Ｃ.6
π
?=
?D 。4=B
７. 设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，,集合{}x y y x B ==|)(，,则( ） A.B A 中有3个元素 B ．B A 中有1个元素 C.B A 中有２个元素 Ｄ。B A R = 8.已知==
-∈x x x 2tan ,5
4
cos ),0,2
(则π
（ ）
Ａ。24
7
Ｂ．24
7-?C ．7
24?Ｄ．7
24-
9. 同时具有以下性质：“①最小正周期实π;②图象关于直线x ＝错误!对称；③在［－错误!]上是增函数”的一个函数是 （ ）
A . ｙ=ｓin (错误!)?Ｂ. ｙ＝c ｏs (2x ＋错误!) ?C ． y ＝ｓi ｎ（2x —错误!)? Ｄ． y ＝ｃo ｓ(２ｘ－＼f （π,6)）
１0. 设i =（1，0)，j =（０,1)，a =2i +3j ，b ＝k ｉ—4j ，若a ⊥b ，则实数k 的值为（ ） A 。-6 B ．－3 C ．3 D ．6 1１. 函数)34
cos(3)34sin(3x x y -+-=π
π
的最小正周期为 （ )
A ．3
2π
B 。3
π
Ｃ．８
Ｄ.4
12. 2002年８月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与
中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，
小正方形的面积是θθ22cos sin ,251
-则的值等于( ）
A ．１
B 。2524-
C ．257 Ｄ.-25
7
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分)
1３. 已知3
3
22
cos
2
sin
=
+θ
θ
，那么θsin 的值为 ，θ2cos 的值为 14． 已知|ａ｜＝3，|b ｜=5， 且向量a 在向量b 方向上的投影为12
5
,则ａ·b = .
15。 已知向量OP X 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为坐标原点），那么
XB XA ?的最小值是＿____＿_＿___＿_______ １6。给出下列6种图像变换方法:
①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
2
1
;②图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;③图像向右平移3π个单位；④图像向左平移3
π
个单位;⑤图像向右平移32π个
单位;⑥图像向左平移3
2π
个单位。请写出用上述变换将函数y = ｓinx 的图像变换到函数y = ｓ
in (2x ＋3
π
）的图像的一个变换＿_＿_＿___＿_＿___。（按变换顺序写上序号即可）
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明或演算步骤）
１7、已知cos(α－
2β)=19-，sin （2αβ-）=2
3
，且α∈(2π，π),β∈(0,2π）,求c ｏs 2αβ+的值.
18。 （本小题满分12分)
已知4
34π
<α<π,40π<β<,53)4cos(-=+απ，135)43sin(=β+π，求()βα+sin 的值．
1９. （本题满分1２分）已知向量)23sin 23(cos
x x ，=a ，)2
sin 2(cos x
x -=，b ,)13(-=，c ，
其中R ∈x . （Ⅰ)当b a ⊥时,求x 值的集合； （Ⅱ）求||c a -的最大值.
２0、已知函数.,12sin sin 2)(2
R x x x x f ∈-+=
（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合; (２）在平面直角坐标系中画出函数)(x f 在],0[π上的图象.
２１、（本题满分1２分）设、是两个不共线的非零向量（R t ∈）
?(1）记),(3
1
,,b a OC b t OB a OA +=
==那么当实数t 为何值时,A 、B 、C 三点共线? (２）若 1201||||夹角为与且==,那么实数ｘ为何值时||x -的值最小？
22、(本题满分１４分）某沿海城市附近海面有一台风，据观测,台风中心位于城市正南方向200km
的海面Ｐ处,并正以２0km/h 的速度向北偏西θ方向移动(其中19
cos 20
θ=
)，台风当前影响半径为10km,并以10ｋm/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长?
数学必修4综合测试题参考答案
1． C2. D3．B 4、B 5、Ｂ6、C ７、Ａ8、D 9、C ． 1０、D11、A12、Ｄ 1３、
31,9
7
14、12 15．-8 １6． ④②或②⑥ 17、已知ｃos （α-2β）=19-,sin(2αβ-）=2
3
，且α∈(2π,π)，β∈(０,2π),求cos 2αβ+的值。
18。 解:∵
434π
<
α<π ∴π<α+π<π42 又5
3)4cos(-=α+π ∴54)4sin(=α+π
∵40π<β< ∴π<β+π<π4343 又13
5
)43sin(=β+π
∴13
12
)43cos(-=β+π
∴sin( + ） = si ｎ[ ＋ （ + )] = )]4
3()4sin[(β+π
+α+π-
)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=65
63
]13553)1312(54[=
?--?-= 19解：(Ⅰ）由b a ⊥，得0=?b a ，即02
sin 23sin 2cos 23cos =-x
x x x ．…………4分
则02cos =x ，得)(4
π
2πZ ∈+=k k x ．…………………………………5分
∴ ?
??
?
??∈+=
Z k k x x ，4π2π|为所求。…………………………………6分 （Ⅱ）+-=-22
)323(cos
||x c a =+2)123(sin x )3
π
23sin(45-+x ,……………10分 所以||c a -有最大值为3．……………………………………………………１2分 2０解:(Ｉ）x x x x x x x f 2cos 2sin )sin 21(2sin 12sin sin 2)(2
2
-=--=-+= =)4
2sin(2π
-x ………………………………………………５分
所以)(x f 的最小正周期是π……………………………………………………6分
∈x ?Ｒ,所以当∈+
=+
=-
k k x k x (8
3,2
24
2π
ππ
ππ
即Ｚ）时，)(x f 的最大值为2。 ?即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+=k k x x ,8
3|{π
πZ }……………………8分 (II ）图象如下图所示:（阅卷时注意以下３点)
?１．最小值2)8
3(
=π
f ，
最小值2)8
7(
-=π
f .………………10分 2.增区间];,87[],83,0[ππ
π
减区间]8
7,83[π
π (12)
分
3．图象上的特殊点：（０，－１）,(
1,4π)，（1,2π)，)1,(),1,4
3(--ππ
………１4分 [注：图象上的特殊点错两个扣１分，最多扣２分]
21、解:(1）A 、B 、Ｃ三点共线知存在实数)1(,λλλ-+=使
即b t a b a )1()(3
1
λλ-+=+，…………………………………………………4分
?则2
1
,31==t 实数λ………………………………………………………………６分
（2）,2
1120cos ||||-=?=?
?,12||22
2
2
2
++=??-?+=-∴x x x x x ……………………………9分 ?当2
3
||,21
取最小值
时b x a x --=…………………………………………１2分 22、解:如右图，设该市为A ，经过t 小时后台风开始影响该城市,则t 小时后台风经过的路程Ｐ
Ｃ＝（20t ）ｋm ，台风半径为ＣD=（１０+１0t ）km ，需满足条件：C Ｄ≥ＡC
2
22
2
222
()2||||||2||||cos AC PC PA PC PA PA PC AC PC PA PA PC θ
=-=+-=+-
22
219
200(20)22002040000400760020
t t
t =+-=+-
∴2
2
2
400004007600(1010)t t CD t +-≤=+ 整理得2
3007800399000t t -+≤ 即2
261330t t -+≤ 解得719t ≤≤
∴7小时后台风开始影响该市,持续时间达１2小时。