小学奥数7-6-4 计数之递推法.教师版

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树

形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．

对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可

以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．

【例 1】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人

在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？

【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小

兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加． 依次类推可以列出下表：

经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12

兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有144对兔子．

【答案】144

【例 2】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树

苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？

【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以

十年后树上有89条树枝．

【答案】89

【例 3】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？

【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 登 1级 2级 3级 4级 ...... 10级

1种方法 2种 3种 5种 ...... ？ 例题精讲

教学目标

7-6-4.计数之递推法

我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A 0，那么登了1级的位置是在A 1，2级在A 2... A 10级就在A 10．到A 3的前一步有两个位置；分别是A 2 和A 1 ．在这里要强调一点，那么A 2 到A 3 既然是一步到了，那么A 2 、A 3之间就是一种选择了；同理A 1 到A 3 也是一种选择了．同时我们假设到n 级的选择数就是An ．那么从A 0 到A 3 就可以分成两类了：第一类：A 0 ---- A 1 ------ A 3 ，那么就可以分成两步．有A 1×1种，也就是A 1 种；(A 1 ------ A 3 是一种选择)第二类：A 0 ---- A 2 ------ A 3， 同样道理 有A 2 ．类类相加原理：A 3 = A 1 ＋A 2，依次类推An = An -1 + An -2．

【答案】89

【巩固】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？

【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 登 1级 2级 3级 4级 5级 ...... 10级

1种方法 1种 2种 3种 4种...... ？

我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面相隔的两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是28.

【答案】28

【例 4】 1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法．

【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 如果用12?的长方形盖2n ?的长方形，设种数为n a ,则11a =，22a =,对于3n ≥，左边可能竖放1个12?的，也可能横放2个12?的，前者有-1n a 种，后者有-2n a 种，所以-1-2n n n a a a =+,所以根据递推，覆盖210?的长方形一共有89种．

【答案】89

【例 5】 用13?的小长方形覆盖38?的方格网，共有多少种不同的盖法？

【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 如果用13?的长方形盖3n ?的长方形，设种数为n a ,则11a =，21a =,32a =,对于4n ≥，左边可能竖

放1个13?的，也可能横放3个13?的，前者有-1n a 种，后者有-3n a 种，所以-1-3n n n a a a =+,依照这

【答案】13

【例 6】 有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 取1根火柴有1种方法，取2根火柴有2种方法，取3根火柴有4种取法，以后取任意根火柴的种

【答案】927