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用向量法求二面角的平面角教案

用向量法求二面角的平面

角教案

Prepared on 24 November 2020

第三讲：立体几何中的向量方法

——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。

高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。

为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。

利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。

教学目标

1．使学生会求平面的法向量；

2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；

3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.

教学重点

求平面的法向量；

求解二面角的平面角的向量法. 教学难点

求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾一、回顾相关公式：

1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）

角的补角.

3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习

例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，

AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 分析分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴，

建立空间直角坐标系，求出平面SCD 的法向量1n ，平面SBA 法向量2n ，利用12,n n 夹角求平面SCD 与平面SBA 的夹角余弦值。解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则

易知面SBA 的法向量为)0,21,0(1==n ，)1,21

,0(),0,21,1(-=-=

设面SCD 的法向量为),,(2z y x n =，则有???????

=-=-02

z y y x ，取1=z ，得2,1==y x ，

)1,2

,1(2=∴n

又1n 方向朝面内，2n 方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角即所求二面角的余弦值为

6. 点拨求二面角的方法有两种：（1）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角的大小；（2）根据几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。练习1：正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求二面角D AE F --的余弦值。

解：由题意知，)0,1,21(),21,1,0(E F ，则)21,1,0(=AF )0,1,2

(,=AE

设平面AEF 的法向量为),,(z y x n =，则

???????=+=+?????

?=?=?02

10210

0y x z y ，取1=y ，得2-==z x 又平面AED 的法向量为)1

,0,0(1=AA 观察图形知，二面角D AE F --为锐角，所以所求二面角D AE F --的余弦值为

练习2：如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A '' 是矩

形，。平面平面ABCD B B A A ⊥''

试问：当A A '的长度为多少时，二面角A C A D -'-的大小为？ 60 解：如图建立空间坐标系A xyz -，则 '(1,0,)DA a =- (0,1,0)DC =

设面'DAC 的法向量为1(,,1)n x y =

则'1100DA n DC n ??=???=?? 得1(,0,1)n a = 易得面'AAC 的法向量2(1,1,0)n =-

∴向量12,n n 的夹角为60

由12122121

cos ,2

||||12n n a n n n n a ?-??=

==+? 得 1a =

∴ 当A A '＝１时，二面角A C A D -'-的大小为60．

设计说明：复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．

练习3：正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点．当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的平面角的余弦值．解：如图建立空间坐标系O xyz -，设AP a =

则1,,,A C B P 的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a -- ∵

, 1

(3,1,2)BC =-

由11BC B P ⊥，得110BC B P = 即22(2)0a +-= 1a ∴= 又11BC B C ⊥ 11BC CB P ∴⊥面

∴1(3,1,2)BC =-是面1CB P 的法向量

设面11C B P 的法向量为(1,,)n y z =，由1110

B P n B

C n ??=???=??得(1,3,23)n =-,

设二面角11C B P C --的大小为α，则116

cos 4||||

BC n BC n α== Ⅲ、小结与收获

1、二面角的平面角的正弦值弦值：

2、求平面法向量的方法. Ⅳ、课后练习

1、如图,已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,90ABC BCD ∠=∠=,

2AB BC PB PC CD ====,侧面PBC ⊥底面ABCD . 求二面角P BD C --的大小.

2、如图,已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均相等,点D 是BC 上一点,AD ⊥C 1D.

求二面角C －AC 1－D 的大小.

用向量法求二面角的平面角教案

用向量法求二面角的平面角教案 Prepared on 24 November 2020

第三讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点求平面的法向量；

求解二面角的平面角的向量法. 教学难点求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ， 2 1 = AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 分析分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴，

平面向量的数量积教案

§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义博白县龙潭中学庞映舟一、教学重难点： 1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解；二、教学过程：（一）创设问题情景，引出新课问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？新课引入：本节课我们来研究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的物理背景及其含义（二）新课： 1、探究一：数量积的概念展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型背景的第一次分析：问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？答：实际上是力→F 在位移方向上的分力，即θCOS F → ,在数学中我们给它一个名字叫投影。 “投影”的概念：作图

定义：|→b |cos 叫做向量→b 在→ a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 2、背景的第二次分析：问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 分析：θCOS S F w →→=用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角是θ，则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos （０≤θ≤π）.并规定→0与任何向量的数量积为0. 注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. 3、向量的数量积的几何意义：数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积. 三、例题讲解：例1 已知｜→a ｜＝5，｜→b ｜＝4，→a 与→b 的夹角θ=O 60，求→a ·→b 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） →a ·→b =|→a ||→ b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知｜→a ｜＝8，｜→b ｜＝6，①→a 与→b 的夹角为O 60，②→a 与→b 的夹角θ=00，求→a ·→ b ；

平面向量基本定理教案(区公开课)

仁爱/诚信/勤奋/创新授课教师：蒋金凤课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班

授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重点平面向量基本定理难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证突破方法通过实例画图和类比平面直角坐标系的象限归纳总结教学模式讲授式、探究式板书设计平面向量基本定理平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影小结：教学过程教学活动学生活动设计意图一、情景引入两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算（1）作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量 2 1 e,e和 1 OC，你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗？看图观察并思考，说出自己的判断和依据学生口述，作图过程得结果独立完成，个别展示从实际生活问题入手，贴近学生的日常生活，能很好地激发学生的求知欲望复习向量的线性运算和共线向量定理，为后续的向量的分解和唯一性作铺垫进入向量分解的探究，刚刚作图的过程还记忆犹新，按照来的痕迹寻找构造平行四边形的方法

(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。二、教学目标： 1. 了解向量的数量积的抽象根源。 2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：

2课时五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为W F s cos ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b 的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π）. 并规定0 与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a b = |a||b|cos 无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０ ≤θ≤π）

2.3.1平面向量基本定理教案(人教A必修4)

2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时 §2.3.1 平面向量基本定理教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时 λa = 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λa . 二、讲解新课：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ 2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+ 、使与c 共线. 四、课堂练习： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R ) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系 A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线). 五、小结（略）

二面角的平面角及求法-高中数学知识点讲解

二面角的平面角及求法 1．二面角的平面角及求法【知识点的知识】 1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P ﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O． 3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； 1/ 2

(完整版)《用向量法求二面角的平面角》教案

求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）结论：或统一为： 2、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 2 12121,cos cos n n n n n n ? ?? ?? ρ?=><=θ

2.3.1平面向量基本定理(教学设计)

2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算教学难点：平面向量基本定理．一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解：思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1．平面向量基本定理（1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得

二面角的求法(教师版)

五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G

人教A版高中数学必修四 2.4 《平面向量的数量积》教案

§2.4平面向量的数量积教学目的： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程：一、复习引入： 1．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=

2.3.1平面向量基本定理教案

2.3.1 平面向量的基本定理教学目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量．教学重点：平面向量的基本定理及其应用．教学难点：平面向量的基本定理．教学过程：一、复习提问： 1．向量的加法运算（平行四边形法则）； 2．向量的减法运算； 3．实数与向量的积； 4．向量共线定理。二、新课： 1．提出问题：由平行四边形想到：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．新课 1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量， =1e ，=λ1 2e ，=a =+=λ1 1e +λ2 2e ， =2e ，=λ 2 2e ． 1e 2e a C

得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ 1 1e +λ2 2e ．注意几个问题：（1）1e ,2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；（2）这个定理也叫共面向量定理；（3）λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量．例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e +32e ．作法：（1）取点O ，作=-2.51e ，=32e ，（2）作平行四边形OACB ，即为所求．已知两个非零向量a 、b ，作OA = a ，OB = b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0°，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向，如果a 与b 的夹角为90°，我们说a 与b 垂直，记作：a ⊥b ．三、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合． 1 e 2e

高中数学《二面角的平面角及求法》练习

高中数学《二面角的平面角及求法》练习 1. 如图，直三棱柱中，＝，＝，，分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 2. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中. 证明：平面平面；若是的中点，求二面角的余弦值． 3. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，＝，＝．（1）求证：平面；（2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值；（3）求二面角的平面角的正切值． 4. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；（3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．5. 如图，在平行四边形中，＝，＝，＝，平面平面，且＝，＝．（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；（2）求二面角的余弦值． 6. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，点在上，且．将，分别沿，折叠使，点重合于点，如图所示．（1）试判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）求二面角的余弦值． 7. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，＝，为中点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．

8. 已知四棱柱中，底面为菱形，＝，＝，＝，为中点，在平面上的投影为直线与的交点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值． 9. （（1）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是棱、的中点，＝，，直线与平面所成的角的正弦值为．证明：平面；（2）求二面角的余弦值． 10. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，＝＝，，＝＝ Ⅰ，直线与平面所成的角等于． Ⅱ证明：平面平面；求二面角的余弦值． 11. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，将正方形沿着线段折起，使得＝，设为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值． 12. 已知三棱柱中，＝＝，侧面底面，是的中点，＝，． Ⅰ求证：为直角三角形； Ⅱ求二面角的余弦值． 13. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，＝，是棱的中点，＝，在线段上，且＝．（1）证明：面；（2）若，面面，求二面角的余弦值． 14. 如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，＝＝＝，，＝，为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．

人教版高中数学全套教案导学案241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学案

2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 二．教学目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。七、课时安排：1课时八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。（二）情景导入、展示目标。创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3．量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3 F

高中数学优质课比赛平面向量基本定理教案

《平面向量基本定理》教学教案 ----新余一中蒋小林一、背景分析 1．教材分析函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。 2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．二.学习目标 1）知识与技能目标 1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。 2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。 2）过程与方法目标 1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培

养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。 2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。 3）情感、态度与价值观目标 1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识； 2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 [设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现了培养学生核心素养的要求．三．教学过程设计教学过程 1．创设问题、引出新课（一）通过击鼓传花游戏复习的向量的运算及平行向量基本定理，我们知道可以用(0)a a λ≠表示任意和a 共线的向量，那么再随便画一个方向的向量b ，你还可以用a 表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？za 此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G ，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。 [设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程，培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活化，生活学科化。体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。 2.问题驱动、探究新知问题（1）给定平面内任意两个向量21,e e 请你做出2121223e e e e -+和两个向量。 [设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示

平面向量的内积教案知识讲解

平面向量的内积教案

平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |算向量模的公式的基础；（3）cos ＝ |||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．

【教学备品】教学课件．【课时安排】 2课时．(80分钟) 【教学过程】 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即 W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100×2 3·10＝5003 （J ）图7—21