2016年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题
1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x﹣2,x∈A},则A∩B=()
A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}
2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+5y的最小值为
()
A.﹣4 B.6 C.10 D.17
3.(5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(5分)阅读如图的程序图,运行相应的程序,则输出S的值为()
A.2 B.4 C.6 D.8
5.(5分)设{a n}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n﹣
1+a2n<0”的()
A.充要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
6.(5分)已知双曲线﹣=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程
为()
A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
7.(5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为()
A.﹣B.C.D.
8.(5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()A.(0,]B.[,]C.[,]∪{}D.[,)∪{}
二、填空题
9.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1﹣bi)=a,则的值为.
10.(5分)(x2﹣)8的展开式中x7的系数为(用数字作答)
11.(5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为
m3
12.(5分)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE 的长为.
13.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,若实数a
满足f(2|a﹣1|)>f(﹣),则a的取值范围是.
14.(5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A 作l的垂线,垂足为B,设C(p,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为.
三、计算题
15.(13分)已知函数f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调性.
16.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
17.(13分)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(1)求证:EG∥平面ADF;
(2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;
(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
18.(13分)已知{a n}是各项均为正数的等差数列,公差为d,对任意的n∈N+,b n是a n和a n+1的等比中项.
(1)设c n=b n+12﹣b n2,n∈N+,求证:数列{c n}是等差数列;
(2)设a1=d,T n=(﹣1)k b k2,n∈N*,求证:<.
19.(14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y 轴于点H,若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.
20.(14分)设函数f(x)=(x﹣1)3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;
(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.
2016年天津市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题
1.(5分)(2016?天津)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x﹣2,x∈A},则A∩B=()
A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}
【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值,确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:把x=1,2,3,4分别代入y=3x﹣2得:y=1,4,7,10,即B={1,4,7,10},∵A={1,2,3,4},
∴A∩B={1,4},
故选:D.
2.(5分)(2016?天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+5y的最
小值为()
A.﹣4 B.6 C.10 D.17
【分析】作出不等式组表示的平面区域,作出直线l0:2x+5y=0,平移直线l0,可得经过点(3,0)时,z=2x+5y取得最小值6.
【解答】解:作出不等式组表示的可行域,
如右图中三角形的区域,
作出直线l0:2x+5y=0,图中的虚线,
平移直线l0,可得经过点(3,0)时,z=2x+5y取得最小值6.
故选:B.
3.(5分)(2016?天津)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】直接利用余弦定理求解即可.
【解答】解:在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,
AB2=BC2+AC2﹣2AC?BCcosC,
可得:13=9+AC2+3AC,
解得AC=1或AC=﹣4(舍去).
故选:A.
4.(5分)(2016?天津)阅读如图的程序图,运行相应的程序,则输出S的值为()
A.2 B.4 C.6 D.8
【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可.
【解答】解:第一次判断后:不满足条件,S=2×4=8,n=2,i>4,
第二次判断不满足条件n>3:
第三次判断满足条件:S>6,此时计算S=8﹣6=2,n=3,
第四次判断n>3不满足条件,
第五次判断S>6不满足条件,S=4.n=4,
第六次判断满足条件n>3,
故输出S=4,
故选:B.
5.(5分)(2016?天津)设{a n}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的+a2n<0”的()
正整数n,a2n
﹣1
A.充要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可.
【解答】解:{a n}是首项为正数的等比数列,公比为q,
+a2n<0”不一定成立,
若“q<0”是“对任意的正整数n,a2n
﹣1
例如:当首项为2,q=﹣时,各项为2,﹣1,,﹣,…,此时2+(﹣1)=1>0,+(﹣)=>0;
+a2n<0”,前提是“q<0”,
而“对任意的正整数n,a2n
﹣1
+a2n<0”的必要而不充分条件,
则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n
﹣1
故选:C.
6.(5分)(2016?天津)已知双曲线﹣=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()
A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
【分析】以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,利用四边形ABCD的面积为2b,求出A的坐标,代入圆的方程,即可得出结论.
【解答】解:以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,
设A(x,x),则∵四边形ABCD的面积为2b,
∴2x?bx=2b,
∴x=±1
将A(1,)代入x2+y2=4,可得1+=4,∴b2=12,
∴双曲线的方程为﹣=1,
故选:D.
7.(5分)(2016?天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为()
A.﹣B.C.D.
【分析】由题意画出图形,把、都用表示,然后代入数量积公式得答案.
【解答】解:如图,
∵D、E分别是边AB、BC的中点,且DE=2EF,
∴?==
==
===
=.
故选:B.
8.(5分)(2016?天津)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R
上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()
A.(0,]B.[,]C.[,]∪{}D.[,)∪{}
【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出a的大致范围,再根据f(x)为减函数,得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出a的范围.
【解答】解:y=loga(x+1)+1在[0,+∞)递减,则0<a<1,