2019-2020年高考数学《基本不等式》专题复习教学案
【知识梳理】一、基本不等式ab ≤
a +b
2
1.基本不等式成立的条件:a >0,b >0.
2.等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 二、几个重要的不等式
a 2
+b 2
≥2ab (a ,b ∈R );b a +a b ≥2(a ,b 同号).ab ≤
????a +b 22(a ,b ∈R );????a +b 22≤a 2+b 22(a ,
b ∈R ).
三、算术平均数与几何平均数
设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b
2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则:
(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小)
(2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 2
4.(简记:和定积最大)
【基础自测】1.函数y =x +1
x
(x >0)的值域为________
解析: ∵x >0,∴y =x +1
x ≥2,当且仅当x =1时取等号.答案:[2,+∞)
2.已知m >0,n >0,且mn =81,则m +n 的最小值为_______
解析: ∵m >0,n >0,∴m +n ≥2mn =18.当且仅当m =n =9时,等号成立. 3.已知0 解析:选B 由x (3-3x )=13×3x (3-3x )≤13×94=34,当且仅当3x =3-3x ,即x =1 2时等 号成立. 4.若x >1,则x +4 x -1 的最小值为________. 解析:x +4x -1=x -1+4x -1+1≥4+1=5.当且仅当x -1=4 x -1,即x =3时等号成立.答 案:5 5.已知x >0,y >0,lg x +lg y =1,则z =2x +5 y 的最小值为________. 解析:由已知条件lg x +lg y =1,可得xy =10. 则2x +5y ≥2 10 xy =2,故????2x +5y min =2,当且仅当2y =5x 时取等号.又xy =10,即x =2,y =5时等号成立. 答案:2 1.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误. 2.对于公式a +b ≥2ab ,ab ≤?? ??a +b 22 ,要弄清它们的作用和使用条件及内在联系, 两个公式也体现了ab 和a +b 的转化关系. 3.运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2+b 22;a +b 2≥ab (a ,b >0)逆用就是ab ≤????a +b 22 (a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 【考点探究】 考点一利用基本不等式求最值 【例1】 (1)已知x <0,则f (x )=2+4 x +x 的最大值为________. (2)(2012·浙江高考)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是_______ [解] (1)∵x <0,∴-x >0,∴f (x )=2+4 x +x =2-????4-x +(-x ). ∵-4x +(-x )≥24=4,当且仅当-x =4 -x ,即x =-2时等号成立. ∴f (x )=2-??? ?4 -x +(-x )≤2-4=-2,∴f (x )的最大值为-2. (2)∵x >0,y >0,由x +3y =5xy 得15??? ?1y +3x =1. ∴3x +4y =15·(3x +4y )·????1y +3x =15????3x y +4+9+12y x =135+15????3x y +12y x ≥135+15×2 3x y ·12y x =5(当且仅当x =2y 时取等号),∴3x +4y 的最小值为5. 【一题多变】本例(2)条件不变,求xy 的最小值. 解:∵x >0,y >0,则5xy =x +3y ≥2x ·3y ,∴xy ≥12 25,当且仅当x =3y 时取等号. 【由题悟法用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值.在求条件最值时,一种方法是消元,转化为函数最值;另一种方法是将要求最值的表达式变形,然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值,但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件. 【以题试法】1.(1)当x >0时,则f (x )= 2x x 2 +1 的最大值为________. (2)(2011·天津高考)已知log 2a +log 2b ≥1,则3a +9b 的最小值为________. (3)已知x >0,y >0,xy =x +2y ,若xy ≥m -2恒成立,则实数m 的最大值是________. 解析:(1)∵x >0,∴f (x )=2x x 2+1 =2x +1x ≤22=1,当且仅当x =1x ,即x =1时取等号. (2)由log 2a +log 2b ≥1得log 2(ab )≥1, 即ab ≥2,∴3a +9b =3a +32b ≥2×3a +2b 2(当且仅当3a =32b ,即a =2b 时取等号). 又∵a +2b ≥22ab ≥4(当且仅当a =2b 时取等号),∴3a +9b ≥2×32=18. 即当a =2b 时,3a +9b 有最小值18. (3)由x >0,y >0,xy =x +2y ≥22xy ,得xy ≥8,于是由m -2≤xy 恒成立,得m -2≤8,即m ≤10.故m 的最大值为10. 考点二 多元均值不等式问题 【例2】设x ,y ,z 为正实数,满足x -2y +3z =0,则y 2 xz 的最小值是________. 解析:由已知条件可得y =x +3z 2 , 所以y 2xz =x 2+9z 2 +6xz 4xz =14????x z +9z x +6≥14? ?? ? 2 x z ×9z x +6=3, 当且仅当x =y =3z 时,y 2 xz 取得最小值3. 【以题试法】若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-,求2a b c ++ 的最小值 . ,,0,2()()2,,1.2 2. a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解:由知当且仅当即时,等号成立故的最小值为 考点三 基本不等式的实际应用 【例3】 (2012·江苏高考)如图,建立平面直角坐标系xOy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y =kx -1 20(1+k 2)x 2(k >0)表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小 ),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. [解] (1)令y =0,得kx - 1 20 (1+k 2)x 2=0,由实际意义和题设条件知x >0,k >0, 故x =20k 1+k 2=20k +1k ≤20 2=10,当且仅当k =1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a >0,所以炮弹可击中目标?存在k >0,使3.2=ka -1 20(1+k 2)a 2成立 ?关于k 的方程a 2k 2-20ak +a 2+64=0有正根 ?判别式Δ=(-20a )2-4a 2(a 2+64)≥0 ?a ≤6. 所以当a 不超过6千米时,可击中目标. 【由题悟法】 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基 本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 【以题试法】2.(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x 元.公司拟投入1 6(x 2-600)万元作为技改费用,投入50 万元作为固定宣传费用,投入1 5x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价. 解:(1)设每件定价为t 元,依题意,有????8-t -25 1×0.2t ≥25×8, 整理得t 2-65t +1 000≤0,解得25≤t ≤40. 因此要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元. (2)依题意,x >25时,不等式ax ≥25×8+50+16(x 2-600)+1 5x 有解, 等价于x >25时,a ≥150x +16x +1 5有解. ∵ 150x +1 6 x ≥2 150x ·1 6 x =10(当且仅当x =30时,等号成立),∴a ≥10.2. 因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低 于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元. 【巩固练习】 1.函数y =x 2+2 x -1(x >1)的最小值是_______ 解析:∵x >1,∴x -1>0. ∴y =x 2+2x -1=x 2-2x +2x +2x -1=x 2-2x +1+2(x -1)+3x -1 =(x -1)2+2(x -1)+3x -1=x -1+3x -1 +2≥2 (x -1)3 x -1 +2=23+2. 当且仅当x -1=3 x -1 ,即x =1+3时,取等号. 2.设a >0,b >0,且不等式1a +1b +k a + b ≥0恒成立,则实数k 的最小值等于_______ 解析:由1a +1b +k a + b ≥0得k ≥-(a +b )2ab ,而(a +b )2ab =b a +a b +2≥4(a =b 时取等号),所 以-(a +b )2ab ≤-4,因此要使k ≥-(a +b )2 ab 恒成立,应有k ≥-4,即实数k 的最小值等于- 4. 3.求函数2 y = 的值域. (2)t t =≥,则2 y =1 (2)t t t = =+≥ 因1 0,1t t t >?=,但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞,故等号不成立,考虑单调性. 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增,所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数,故52 y ≥. 所以,所求函数的值域为5,2??+∞???? . 4、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+>-的最小值. 解析: 21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=,当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是5 2 . 5.求函数23 (32)(0)2 y x x x =-<< 的最大值 解:30,3202x x <<->∴,∴23 (32)(0)(32)2 y x x x x x x =-<<=??- 3 (32)[]13 x x x ++-≤=,当且仅当32x x =-即1x =时, “=”号成立,故此函数最大值是1 6.已知x ,y 为正实数,且x 2 +y 2 2 =1,求x 1+y 2 的最大值. 解:x · 12 +y 2 2 ≤x 2 +( 12 +y 22 )22 =x 2 +y 22 +12 2 =34 即x 1+y 2 = 2 ·x 12 +y 2 2 ≤ 3 4 2 7.已知a>b>0,求a+ ) (1 b a b -的最小值. 8.已知函数f (x )=x +p x -1(p 为常数,且p >0)若f (x )在(1,+∞)上的最小值为4,则实数p 的值为________. 解析:由题意得x -1>0,f (x )=x -1+ p x -1 +1≥2p +1,当且仅当x =p +1时取等号,因为f (x )在(1,+∞)上的最小值为4,所以2p +1=4,解得p =9 4 . 9.已知x >0,a 为大于2x 的常数, (1)求函数y =x (a -2x )的最大值; (2)求y = 1 a -2x -x 的最小值. 解:(1)∵x >0,a >2x , ∴y =x (a -2x )=1 2 ×2x (a -2x ) ≤12×????2x +(a -2x )22=a 28,当且仅当x =a 4时取等号,故函数的最大值为a 28. (2)y =1a -2x +a -2x 2-a 2≥2 12-a 2=2-a 2 . 当且仅当x =a -22时取等号.故y =1a -2x -x 的最小值为2-a 2. 10.正数x ,y 满足1x +9 y =1. (1)求xy 的最小值; (2)求x +2y 的最小值. 解:(1)由1=1x +9 y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36,当且仅当1x =9 y ,即y =9x =18时取等号,故xy 的最小值为36. (2)由题意可得x +2y =(x +2y )????1x +9y =19+2y x +9x y ≥19+2 2y x ·9x y =19+62,当且仅 当2y x =9x y ,即9x 2=2y 2时取等号,故x +2y 的最小值为19+6 2. 11.若x ,y ∈(0,+∞),x +2y +xy =30. (1)求xy 的取值范围;(2)求x +y 的取值范围. 解:由x +2y +xy =30,(2+x )y =30-x , 则2+x ≠0,y =30-x 2+x >0,0<x <30. (1)xy =-x 2+30x x +2=-x 2-2x +32x +64-64 x +2 =-x -64 x +2+32=-????(x +2)+64x +2+34≤18,当且仅当x =6时取等号, 因此xy 的取值范围是(0,18]. (2)x +y =x + 30-x 2+x =x +32x +2-1=x +2+32x +2-3≥82-3,当且仅当??? x =42-2,y =42-1 时等号成立,又x +y =x +2+32 x +2 -3<30,因此x +y 的取值范围是[82-3,30). 2019年高考数学试题带答案 一、选择题 1.已知二面角l αβ--的大小为60°,b 和c 是两条异面直线,且,b c αβ⊥⊥,则b 与 c 所成的角的大小为( ) A .120° B .90° C .60° D .30° 2.设集合(){} 2log 10M x x =-<,集合{ } 2N x x =≥-,则M N ?=( ) A .{} 22x x -≤< B .{} 2x x ≥- C .{}2x x < D .{} 12x x ≤< 3.如图所示的组合体,其结构特征是( ) A .由两个圆锥组合成的 B .由两个圆柱组合成的 C .由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D .由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲 D .甲、丙、乙 5.已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点,12F F , 为双曲线C 的左、右焦点,若112PF F F =,且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切,则C 的渐近线方程为( ) A .43y x =± B .34 y x =? C .3 5 y x =± D .53 y x =± 6.在△ABC 中,a =5,b =3,则sin A :sin B 的值是( ) A . 53 B . 35 C . 37 D . 57 7.圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2:x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12=0的公共弦的长为( ) A 2B 3 C .22 D .328.若干年前,某教师刚退休的月退休金为6000元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元,则目前该教师的月退休金为( ).2019年高考数学试题带答案
2020高考数学专题复习----立体几何专题